Phương trình p-Laplace là một trong các phương trình được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Đây là phương trình có nhiều ứng dụng trong vật lí và các ngành khoa học khác. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một kết quả đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho nghiệm renormalized của phương trình p-Laplace dữ liệu độ đo trên miền Reifenberg với giá trị p gần 1. Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi sử dụng kĩ thuật good-λ được nghiên cứu trong nhiều bài báo gần đây.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 521-537 ISSN: 1859-3100 Vol 18, No (2021): 521-537 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* MỘT ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE DỮ LIỆU ĐỘ ĐO VỚI P GẦN Lê Hồng Phúc Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Lê Hồng Phúc – Email: phuc1321996@gmail.com Ngày nhận bài: 20-7-2020; ngày nhận sửa: 11-01-2021, ngày chấp nhận đăng: 22-3-2021 TĨM TẮT Phương trình p-Laplace phương trình nhiều nhà tốn học nghiên cứu Đây phương trình có nhiều ứng dụng vật lí ngành khoa học khác Trong báo này, chứng minh kết đánh giá gradient không gian Lorentz cho nghiệm renormalized phương trình p-Laplace liệu độ đo miền Reifenberg với giá trị p gần Để chứng minh kết chính, chúng tơi sử dụng kĩ thuật good-λ nghiên cứu nhiều báo gần Cụ thể, kế thừa kết bất đẳng thức Hölder ngược đánh giá so sánh nghiệm toán ban đầu nghiệm toán báo (Tran, & Nguyen, 2019c) để chứng minh bất đẳng thức gọi good-λ Đặc biệt, chúng tơi xét giả thiết tốn miền Reifenberg để thu đánh giá tốt báo (Tran, & Nguyen, 2019c) Từ khóa: khơng gian Lorentz; liệu độ đo; phương trình p-Laplace; miền Reifenberg Giới thiệu Trong báo này, nghiên cứu đánh giá gradient không gian Lorentz cho nghiệm renormalized phương trình p-Laplace liệu độ đo có dạng sau x , pu , x , u 0, đó, tập mở bị chặn (1.1) n ( n ), hàm liệu độ đo Radon hữu p 2 hạn ; p kí hiệu tốn tử p-Laplace pu div(| u | u) , với tham số p Cụ thể hơn, khảo sát dạng tổng quát phương trình (1), sau div x, u , x , u 0, x , đó, tốn tử tựa tuyến tính Caratheodory thỏa hai điều kiện sau (1.2) Cite this article as: Le Hong Phuc (2021) A lorentz gradient estimate for a class of measure data p-Laplace equation with p closed to Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(3), 521-537 521 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM x, y c1 y p 1 Tập 18, Số (2021): 521-537 , x, y x, z , y z c2 y z 2 p 2 yz , với c1, c2 hai số, x, y, z thuộc Rn Sự tồn tính nghiệm renormalized phương trình (1.2) chứng minh nhiều báo (Boccardo et al., 1996), (Maso et al., 1999) (Betta et al., 2003) Liên quan đến toán đánh giá gradient phương trình (1.2), có nhiều kết công bố gần đây, với giả thiết khác toán tử , điều kiện biên cho miền giá trị tham số p Trong trường hợp p , nghiên cứu kết n quy cho phương trình khảo sát báo Mingione Byun (Mingione, 2007, 2010), (Byun, & Wang, 2004, 2008) chuỗi báo sau Trong báo (Nguyen, & Nguyen, 2019), tác giả mở rộng kết quy cho trường hợp 3n p kĩ thuật good-λ, với giả thiết miền có biên khơng trơn, thỏa 2n n điều kiện Reifenberg Cũng trường hợp này, báo (Tran, 2019) (Tran, & Nguyen, 2020), tác giả khảo sát toán với giả thiết yếu giả thiết miền Reifenberg, thỏa điều kiện p-capacity Sau báo (Tran, & Nguyen, 2019c), tác giả 3n thỏa điều kiện p-capacity Trong 2n 3n báo này, tiếp tục khảo sát toán p với giả thiết miền 2n mở rộng kết trường hợp p Reifenberg Một số ứng dụng cho kết đánh giá gradient nghiên cứu báo (Nguyen, C.-P, 2014), (Tran, & Nguyen, 2019a, 2019b) Kết báo chứng minh đánh giá gradient cho nghiệm 3n miền Reifenberg Cụ 2n renormalized u (1.1) trường hợp p 1, thể, chứng minh đánh giá || u ||Ls ,t ( ) C [M m ( )] m p 1 , (1.3) L () s ,t với s 0, t (0, ] Để thu kết này, giả thiết thêm Lm với m m* , m** , 522 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM m* Lê Hồng Phúc np n m** , 2n p 1 p n p 1 p không gian Lorentz Ls,t định nghĩa phần báo Với giả thiết miền Reifenberg, thu đánh giá tốt xét toán với giả thiết miền p-capacity Cụ thể, với miền p-capacity ta chứng minh đánh giá Lorentz Ls,t với s (với p ), với giả thiết miền Reifenberg, đánh giá với s 0, Trong chứng minh định lí chính, chúng tơi kế thừa số kết báo gần với vài khái niệm nghiệm renormalized, độ đo Radon hữu hạn nửa chuẩn (kí hiệu BMO tốn tử ) Chúng tơi khơng trình bày lại định nghĩa để tránh R0 phức tạp không cần thiết cho báo Các khái niệm tham khảo nhiều tài liệu (Nguyen, Q.-H., & Nguyen, C.-P., 2019), (Maso et al., 1999) (Tran, & Nguyen, 2019c) Chúng giới thiệu lại định nghĩa quan trọng, với mục tiêu mang lại thuận lợi cho người đọc Một số định nghĩa Đầu tiên, nhắc lại định nghĩa, số tính chất biết khơng gian Lorentz hàm cực đại Hardy-Littlewood Định nghĩa 2.1 (Tran, 2019) Cho hai tham số s t Không gian Lortentz Ls ,t định nghĩa tập tất hàm f đo Lebesgue cho f f Ls ,t s t x : f x Ls ,t , s t s d t , với t , (2.1) || f ||Ls , ( ) : sup x : f ( x) s , với t (2.2) 0 Khơng gian Ls, cịn gọi khơng gian Marcinkiewicz Ở đây, kí hiệu | W | độ đo Lebesgue tập đo W Định nghĩa 2.2 (Tran, 2019) n Cho n , hàm cực đại M hàm f : n , khả tích địa phương định nghĩa sau M f x sup 0 B x B x f y dy 523 (2.3) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 Trong trường hợp 0, ta nhận hàm cực đại Hardy-Littlewood, Mf M0 f , định nghĩa với hàm f khả tích địa phương Mf x sup 0 B x sau n f y dy B x (2.4) Bổ đề 2.3 (Maso et al., 1999) Toán tử M toán tử bị chặn từ Ls n vào L , với s 1, tức tồn s , n số C cho: x n : M f x C s f x dx, s n Bổ đề 2.4 (Maso et al., 1999) Tốn tử M bị chặn khơng gian Lorentz Lq , s n (2.5) với q 1, tức tồn số C cho: Mf Lq ,s C f n Lq ,s (2.6) n Các đánh giá địa phương Trong phần này, nhắc lại số đánh giá địa phương biết mối liên hệ nghiệm renormalized phương trình (1.2) nghiệm phương trình 1, p (3.1) Giả sử M b u Wloc nghiệm renormalized phương trình (1.2) Với x0 cố định, 2R r0 cầu B2 R B2 R x0 , giả sử w W01, p B2 R u nghiệm phương trình div A x, w B2 R , w u treân B2 R Bổ đề 3.1 (Tran, & Nguyen, 2019c) Tồn số 0 p cho Br y (3.1) 0 0 w dx C Br y B2 r y p 1 p 1 w dx , B2 r y (3.2) với B2r y BR số dương C phụ thuộc vào n, p, Bổ đề 3.2 (Tran & Nguyen, 2019c) Cho Lm với m m* , m** u nghiệm (1.2) Khi nm p 1 nm u L tồn số dương C thỏa mãn 524 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM u nm p 1 L nm C Lê Hồng Phúc p 1 Lm (3.3) Bổ đề 3.3 (Maso et al, 1999) Cho u nghiệm renormalized (1.2) với liệu độ đo Lm với m m* , m** Giả sử dãy uk k nghiệm renormalized (1.1) với liệu độ đo p m p 1 k L uk 'k ' thỏa mãn k hội tụ yếu Lm Khi tồn dãy thỏa mãn uk ' hội tụ u uk ' hội tụ u Lq với nm p 1 nm Bổ để 3.4 (Tran, & Nguyen, 2019c) 3n 1, p Cho p Lm BR với m m* , n Giả sử u Wloc 2n 0q nghiệm phương trình (1.2) w W01, p B2 R u nghiệm phương trình (3.1) Với q thỏa mãn điều kiện nm p 1 n q , 2n nm tồn số C phụ thuộc vào n, p, q m thỏa mãn BR BR q q u w dx C đó, BR BR x0 hàm R R p 1 C R BR BR q u dx (3.4) 2 p q , (3.5) định nghĩa Rm m m (3.6) d x R BR B R Mệnh đề 3.5 (Nguyen, & Nguyen, 2019) 3n Cho Mb , p số q thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi tồn 2n v W 1, p BR W 1, BR /2 cho với R0 v L BR/2 C 2R p 1 C B2 R q u dx , q B2 R 525 (3.7) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 BR BR q q u v dx C với C C n, p, , R 2R p 1 C B2 R B2 R q q u dx , (3.8) định nghĩa Bổ để 3.4 Kết đánh giá biên thực tương tự miền miền 0 , R0 Reifenberg với Cho x0 điểm biên R R0 10, 1, p ta đặt 2 R B2 R x0 Giả sử u Wloc nghiệm phương trình (1.2) ta gọi w u W01, p 2 R nghiệm phương trình div A x, w 10 R , (3.9) w u treâ n 10 R Bổ đề 3.6 (Nguyen, & Nguyen, 2019) 3n Giả sử p w nghiệm (3.9) số q thỏa mãn điều 2n kiện (3.4) Khi ta có B10 R x0 q Rm u w dx C B10 R x0 B10 R x0 q Rm C B10 R x0 m p 1 dx m B10 R x0 B10 R x0 m m dx B10 R x0 q B10 R x0 u dx 2 p q Mệnh đề 3.7 (Nguyen, & Nguyen, 2019) 3n Cho Mb , p số q thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi đó, với 2n 1 , tồn n, p, , 0, cho miền , R0 - Reifenberg tồn hàm V W 1, BR/2 x0 thỏa mãn cho R0 V L BR /10 x0 C 10 R x0 p 1 C B10 R B10 R q q u , BR /10 x0 q q C u V dx BR/10 x0 với C C n, p, , 10 R 10 R B 10 R x0 p1 C định nghĩa Bổ đề 3.4 526 q q , u B10 R x0 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc Bổ đề 3.8 (Tran, 2019) Cho 0,1 ,0 R1 R2 cầu Q : BR2 x0 với x0 n Cho V W Q hai tập đo thỏa mãn hai tính chất n i) V ii) Với n B ; R1 xQ r 0, R1 , n V B x B x n r r Br x Q W Khi tồn số C dương phụ thuộc vào n cho n V C n W Kết Kết báo trình bày hai định lí Trong đó, Định lí 4.1 bất đẳng thức dạng good-λ, chứng minh dựa Bổ đề 3.8, biết đến dạng bổ đề phủ Vitali Kết đánh giá gradient phát biểu Định lí 4.2, chứng minh dựa Định lí 4.1 Định lí 4.1 3n , M Q Bdiam x0 với x0 cố định Giả sử Cho p 2n u nghiệm renormalized (1.2) với liệu độ đo Lm với m m* , m** Khi đó, nm p 1 n 0,1 , tồn số q 2n nm với n, p, c0 , , n, p, c0 0, n, p, q, , c0 C C n, p, q, , c0 , diam / r0 cho miền , R0 - Reifenberg ta có bất đẳng thức R0 n q M u q , M m m m p 1 q C n M u Q q Q , Chứng minh : Với r0 , xét hai tập hợp có dạng V , q M u q , M m m m p 1 q W M u q Q, 527 Q, (4.1) Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 đó, 0,1 chọn phía sau Đặt D0 diam , ta có Q BD0 x0 Ta cần chứng minh tồn tham số , , cho (4.1) thỏa mãn với 0, , tức V C W n n , Ý tưởng dùng Bổ đề 3.8 để chứng minh Định lí 4.1, nghĩa ta kiểm tra hai giả thiết Bổ đề 3.8 thỏa mãn Đầu tiên ta cần chứng minh V C B 0 , n 0, n , R0 (4.2) đó, R0 D0 , r0 Khơng tính tổng qt, ta giả sử V , (bởi V , (3.12) hiển nhiên đúng) Khi tồn M m m p 1 x1 Q thỏa mãn Theo định nghĩa hàm cực đại M m ta có m 1 m n m 1 m m p 1 BD0 x1 p 1 m dy dy D , B x D0 D0 hay n Lm D0m 1 p 1 (4.3) Áp dụng Bổ đề 2.3 với s 1, ta có n V , n q M u 1 C q dx n C q D0 q C q q n m mn p 1 q n m m p 1 u q dx q n m nm p 1 nm p 1 u n m dx u nm p 1 n m dx q n m nm p 1 (4.4) Mặt khác, theo đánh giá gradient Bổ đề 3.2 ta có u nm p1 L n m C p 1 Lm , kết hợp với (4.3) (4.4) ta n V , n C q D0 q n m m p 1 q n p 1 mn 1 D0 p 1 D C R 0 528 n B R0 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Đánh giá dẫn đến n Lê Hồng Phúc V C B với C n, p, , q, , R / R n , R0 n D số C phụ thuộc vào , (4.2) chứng minh R0 Tiếp tục ta cần chứng minh x Q BR2 x0 , r 0, R0 : n V B x C B x B x Q W n , r r r Thật vậy, ta chứng minh mệnh đề phản chứng, giả sử Br x Q Wc V , Br x Khi đó, tồn x2 , x3 Br x thỏa mãn M u q x2 q , (4.5) M m m x3 m p1 (4.6) Ta chứng minh tồn C C n, p, , m, q, c0 cho V , Br x C Br x (4.7) Với 0, y Br x ta có u B y q dx sup '0 B y u B y ' q dx B ' y max sup 0 'r B ' y u dx; sup q ' r B ' y q u d x B ' y B' y Với ' r, y Br x ta có B ' y B2r x , sup ' r u B y q dx sup ' r B ' y ' B y u dx M B q B2 r x r x u q y B ' y ' Với B ' y B 'r B '2r x2 B3 ' x2 với ' r Từ (3.15) ta có sup ' r B y ' u dx sup q ' r B ' y B3 ' y 3n sup ' r Từ suy 1 B y B y ' B x u B y q q B3 ' x2 ' ' u dx u dx 3n M u q B3 ' x2 dx max M B B y 529 r x u q q x y ; 3n q , n q Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM hay M u q y max M q M u B2 r x u q Tập 18, Số (2021): 521-537 y ; 3n q , y Br x Đánh giá dẫn đến Br x q n q n q Như vậy, với ta có, V , q Br x M u q , M m m m p 1 q m q M B2 r x u , M m Q Br x m p 1 Q Br x (4.8) Giả sử uk W01, p nghiệm phương trình div A x, u uk k , treân , (4.9) với k Tk Để chứng minh (3.17), ta xét hai trường hợp B8r x B8r x c Trường hợp B8r x Áp dụng Bổ đề 3.5 cho vk W 1, p B4r x W 1, B2r x nghiệm phương trình: div A x, vk vk B8r x , uk treân B8r x , (4.10) với k B2 R B8r x , tồn số C C n, p, q cho , với , ta có : R0 vk L B2 r x C 8r k p 1 C B8r x q q u k , B8 r x q q uk vk dx C B4 r B 4r hàm 8r định nghĩa 8r k p 1 530 C B8 r B8 r q q u k , Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 8r m m m dx 8r k B4 r x B x k 4r Áp dụng (3.15), (3.16) Bổ đề 3.3, ta nhận lim sup vk k C L Br x 8r p 1 C B8 r x u B8 r x q q m q C M m x3 p 1 C M u C 1 C , x2 q lim sup k B4 r x C 8r B4 r x uk vk p 1 q dx q C B8 r x m C M m u B8 r x 1 q q q x3 p 1 C M u C C , x3 q k hội tụ yếu L Như tồn k0 cho k k0 ta có m vk L B2 r x C , (4.11) B4 r x Ta có đánh giá V , B4 r x uk vk q dx q C C q Br x M B2 r uk vk q M B2 r u uk M B2 r vk q q q q (4.12) Br x Br x Br x (4.13) 531 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 n Dựa vào (3.6), ta nhận thấy với max 3q ,10C ( C số (3.6)) k k0 , ta suy M B2 r x vk q q Br x Do đó, (4.13) dẫn đến q Br x M B2 r uk vk q M B2 r u uk Áp dụng Bổ đề 2.3 (4.12), ta có V , V , Br x q q Br x Br x q q C uk vk u uk q B2 r x B2 r x q q C C q r n u uk q B2 r x Cho k ta V , Br x C C Br x Br x , q , C n, p, c0 , q, C n, p, c0 , q, , R R0 Trường hợp B8r x c Tồn x4 thỏa mãn x4 x dist x, 8r Ta có B2r x B10r x4 B100r x4 B108r x B109r x2 , (4.14) B100r x4 B108r x B109r x3 (4.15) Áp dụng Mệnh đề 3.7 với u uk W01, p Vk W 1, B10r x4 nghiệm phương trình : div A x, Vk Vk B10 r x4 , uk B10 r x4 , với k B10 R B100r x4 , có số C C n, p, thỏa mãn 532 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vk L B10 r x4 C 100 r p 1 Lê Hồng Phúc C B100 r x4 q q u k , B100 r x4 B10 r x4 đó, q q uk Vk dx C B8 r x4 100r k C B100 r x4 q q uk , B100 r x4 định nghĩa sau 100r m 100 r k B100 r x 100 r p 1 B100 r x m m k dx q Từ M u x2 M m x3 p 1 với x2 , x3 Br x , (4.14), (4.15) Bổ đề 3.3, ta có q lim sup Vk k L B2 r x C C 100 r 109 r p 1 p 1 C B100 r x4 q q u B100 r x4 C B109 r x4 q q u B109 r x4 q M m x3 p 1 M u 1 x2 q C , q q lim sup uk Vk k B2 r x C M m x3 p 1 C C C R q M u x2 q Như vậy, ta tìm k0 thỏa mãn với k k0 ta có Vk L B2 r x C , (4.16) 533 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 q q C C u V dx k k B2 r x B x 2r Ta có đánh giá tương tự trường hợp cho k k0 sau, V , q Br x M B2 r uk vk q M B2 r u uk q q (4.17) Br x Br x , với số phụ thuộc vào n, p, Do đó, theo (4.11) (4.12) cho k k0 ta suy ra, V , Br x q q C uk vk u uk B2 r x B2 r x q q C q n C r u u k B2 r x Khi cho k ta nhận V , Br x C C Br x , q , C n, p, , q, C n, p, , q, , R / R0 Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 3.8 với V V , W W để hoàn tất chứng minh định lí Định lí 4.2 3n 2n Cho n 2, p 1, n miền thỏa mãn điều kiện Reifenberg Giả * ** sử cho kiện L với m m , m Khi tồn số m D C C n, p, , m, s, t , thỏa mãn với nghiệm renormalized u (1.2), ta có R0 || u ||Ls ,t ( ) C [M m ( )] m p 1 , (4.18) L () s ,t với s 0, t (0, ] 534 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc Chứng minh Ta chứng minh kết trường hợp t , trường hợp t chứng nm p 1 n q , áp dụng Định lí 3.9, tồn 2n nm minh hoàn toàn tương tự Cố định n q số C 0, max 3 ,10C , C n, p, , q, , R / R0 thỏa mãn bất đẳng thức (4.1), với 0, Bằng cách thay giá trị định nghĩa không gian Lorentz, ta có M u t q q s ,t L q s t n M u t q s d q M u Áp dụng (4.1) (4.19), ta nhận ts t M u t q q t s Ls ,t n C t s q d q t n M u (4.19) t s t q s d (4.20) t s d m p 1 M m Ta biểu diễn lại giá trị tích phân bên vế phải (4.20), ta C t s t M u q t q t s n q q C s M u s ,t L t q q Ls ,t C t M m m t m p 1 , Ls ,t dẫn đến M u q q s C s M u s ,t L C Mm Ls ,t m m p 1 , Ls ,t n q với max 3 ,10C , C n, p, , q, , R / R0 t , ta chọn s 0, đủ nhỏ cho C để thu điều phải chứng minh 535 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 521-537 Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Betta, M F., Mercaldo, A., Murat, F., & Porzio, M M (2003) Existence of renormalized solutions to nonlinear elliptic equations with a lower-order term and right-hand side a measure J Math Pures Appl., 80, 90-124 Boccardo, L., Gallouët, T., & Orsina, L (1996) Existence and uniqueness of entropy solutions for nonlinear elliptic equations with measure data Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 13, 539-551 Byun, S S., & Wang, L (2004) Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains Commun Pure Appl Math., 57, 1283-1310 Byun, S S., & Wang, L (2008) Elliptic equations with BMO nonlinearity in Reifenberg domains Adv Math., 219, 1937-1971 Maso, G D., Murat, F., Orsina, L., & Prignet, A (1999) Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data Ann Scuola Norm Super Pisa (IV), 28, 741-808 Mingione, G (2007) The Calderón–Zygmund theory for elliptic problems with measure data Ann Scu Norm Sup Pisa Cl Sci., (5)6, 195-261 Mingione, G (2010) Gradient estimates below the duality exponent Math Ann 346, 571-627 Nguyen, C P (2014) Nonlinear Muckenhoupt–Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations Adv Math., 250, 387-419 Nguyen, Q H., & Nguyen, C P (2019) Good-λ and Muckenhoupt-Wheeden type bounds, with applications to quasilinear elliptic equations with gradient power source terms and measure data Math Ann., 374, 67-98 Tran, M P (2019) Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Anal., 178, 266-281 Tran, M P., & Nguyen, T N (2019a) Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccatitype equation in Lorentz spaces C R Acad Sci Paris, Ser I 357, 59-65 Tran, M.-P., & Nguyen, T N (2019b) An application of global gradient estimates in LorentzMorrey spaces: The existence of stationary solution to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi equations Electron J Differential Equations, (118), 1-12 Tran, M P., & Nguyen, T N (2019c) Global gradient estimates for very singular nonlinear elliptic equations with measure data arXiv:1909.06991, 39 pp Tran, M P., & Nguyen, T N (2020) Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data Commun Contem Math., 22(5), 1950033, 30 p 536 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc A LORENTZ GRADIENT ESTIMATE FOR A CLASS OF MEASURE DATA P-LAPLACE EQUATION WITH P CLOSED TO Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam Corresponding author: Le Hong Phuc – Email: phuc1321996@gmail.com Received: July 20, 2020; Revised: January 11, 2021; Accepted: March 22, 2021 ABSTRACT p-Laplace equation is one of the partial differential equations which has been studied extensively This equation has many applications in Physics and other sciences The aim of the present paper is to establish a Lorentz gradient estimate for renormalized solutions to the p-Laplace equation with the data satisfying a Reifenberg domain in the case of p closed to In order to prove the main result, we use a good-λ technique which has been considered in many recent studies In particular, we used the results of the reverse Hölder’s inequality and the comparison estimate between the solutions of the original problem and the corresponding homogeneous problem in the study by Tran and Nguyen, 2019c to prove the good-λ inequality In particular, we consider the hypothesis of the Reifenberg domain to obtain a better evaluation in the study by Tran and Nguyen, 2019c Keywords: Lorentz spaces; measure data; p-Laplace equations; Reifenberg domain 537 ... Trường ĐHSP TPHCM m* Lê Hồng Phúc np n m** , 2n p 1? ?? p n p 1? ?? p không gian Lorentz Ls,t định nghĩa phần báo Với giả thiết miền Reifenberg, thu đánh giá tốt xét toán với giả... với giả thiết miền p- capacity Cụ thể, với miền p- capacity ta chứng minh đánh giá Lorentz Ls,t với s (với p ), với giả thiết miền Reifenberg, đánh giá với s 0, Trong chứng minh... M bị chặn không gian Lorentz Lq , s n (2.5) với q 1, tức tồn số C cho: Mf Lq ,s C f n Lq ,s (2.6) n Các đánh giá địa phương Trong phần này, nhắc lại số đánh giá địa phương biết