Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và mở rộng ch[r]
(1)27
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
Nguyễn Văn Dũng1, Nguyễn Chí Tâm 1
TS Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2
ThS Khoa Sư phạm Tốn-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Thơng tin chung:
Ngày nhận bài: 25/02/14 Ngày nhận kết bình duyệt: 29/04/14
Ngày chấp nhận đăng: 22/10/14
Title:
Fixed point theorems for generalized - weak contractions mappings in metric-type spaces Từ khóa:
Điểm bất động, kiểu-mêtric, ánh xạ -co yếu suy rộng Keywords:
Fixed point, metric-type, -weak contractions
ABSTRACT
In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weak contractions mappings in metric-type spaces This result generalizes the main result of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces
TÓM TẮT
Trong báo này, thiết lập chứng minh định lí điểm bất động cho dạng -co yếu suy rộng không gian kiểu-mêtric Kết mở rộng kết (Zhang & Song, 2009) sang khơng gian kiểu-mêtric
1 GIỚI THIỆU
Định lí điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết bật Giải tích, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng cho nhiều ánh xạ nhiều không gian khác (Agarwal, Meehan & O’Regan, 2004) Năm 2009, Zhang Song (2009), tác giả mở rộng ánh xạ co thành dạng -co yếu suy rộng không gian mêtric chứng minh định lí điểm bất động cho dạng
-co yếu
Gần đây, Khamsi (2010) giới thiệu khái niệm mêtric suy rộng gọi kiểu-mêtric sau
Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng, K 1
là số thực D X X: [0, )là hàm thoả mãn điều kiện sau
(1) D x y( , ) 0 khi x y (2) D x y( , ) D y x( , ) với x y, X (3)
1
( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )]n
D x z K D x y D y y D y z
với x y y, , , , ,1 2 y zn X
Khi đó, D gọi kiểu-mêtric X
( , , )X D K gọi khơng gian kiểu-mêtric Ta có ( , )X d không gian mêtric khi ( , ,1)X d không gian kiểu-mêtric
(2)28 Hằng (2013) chứng tỏ kiểu-mêtric Định nghĩa 1.1 ánh xạ không liên tục (Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example 2.1) Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburg
và Radenovic (2010) xét không gian kiểu mêtric khác, điều kiện (3) Định nghĩa 1.1 thay điều kiện sau
(3’) D x z( , ) K D x y[ ( , ) D y z( , )] với , ,
x y z X
Trong báo này, xét không gian kiểu-mêtric theo Định nghĩa 1.1 Một số khái niệm liên quan đến khơng gian kiểu-mêtric trích dẫn từ báo Khamsi (2010), Zhang Song (2009)
Định nghĩa 1.3 Cho ( , , )X D K khơng gian kiểu-mêtric Khi
(1) Dãy { }xn gọi hội tụ đến xX , viết lim n
n x x, nlim ( , )D x xn 0 Khi
x gọi điểm giới hạn dãy { }xn (2) Dãy{ }xn gọi dãy Cauchy
,lim ( ,n m) 0
n m D x x
(3) Không gian ( , , )X D K gọi đầy đủ dãy Cauchy ( , , )X D K dãy hội tụ
Định nghĩa 1.4 Cho X d, không gian mêtric T X: X ánh xạ
(1) T gọi ánh xạ co tồn (0,1)
k cho d Tx Ty( , )kd x y( , )với x y, X.
(2) T gọi ánh xạ -co yếu tồn : [0, ) [0, ) cho
( )t 0với t 0, (0) 0 ( , ) ( , ) ( , )
d Tx Ty d x y d x y với
, .
x y X
Đồng thời, Zhang Song (2009) thiết lập định lí điểm bất động cho dạng -co yếu không gian mêtric
Trong báo này, mở rộng định lí điểm bất động cho ánh xạ -co yếu không gian mêtric Zhang Song (2009) sang ánh xạ -co yếu suy rộng không gian kiểu-mêtric Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết thu
2 KẾT QUẢ CHÍNH
Bổ đề 2.1 Cho ( , , )X D K không gian kiểu-mêtric Nếu dãy { }xn hội tụ điểm giới hạn
Chứng minh Giả sử { }xn hội tụ x y X Khi với n ta có
( , ) ( , )n ( , ) n
D x y K D x x D x y
Cho n ta D x y( , ) 0 hay x y
Vậy điểm giới hạn { }xn Định lí 2.2 Cho X D K, , không gian
kiểu-mêtric đầy đủ T S X, : Xlà hai ánh xạ cho với x y, X ta có
( , ) ( , ) ( , )
D Tx Sy M x y M x y ,
: [0, ) [0, ) hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( )t 0 với
(0, )
t , (0) 0và
1
( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy K
(1)
Khi S T có điểm bất động chung, nghĩa là, tồn điểm u Xsao cho u Tu Su.
Chứng minh Trường hợp 1: Tồn x y, cho ( , ) 0
M x y Khi x y điểm bất động chung T S, Thật M x y( , ) 0
( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )
D x y M x y D Tx x M x y D Sy y M x y
nênD x y( , ) D Tx x( , ) D Sy y( , ) 0 Điều có nghĩa
.
x y Tx Ty Sx Sy
(3)29 Bước 1: Xây dựng dãy lặp xn thỏa mãn
1
lim ( ,n n ) 0.
n D x x
Lấy
x X đặt
1 0, 1, 2, 3,
x Sx x Tx x Sx x Tx
Tiếp tục trình ta chọn xnX cho x2n 2 Tx2n 1,x2n 1 Sx2n với
0
n
Giả sử nlẻ, từ (1) ta có
1
1
1
1 1 1
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
1
max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) 2
n n n n
n n n n
n n
n n n n n n n n n n
D Tx Sx D x x
M x x M x x
M x x
D x x D x x D x x D x x D x x
K
1 1 1
1
1
max ( , ), ( , ), ( , ), K ( , ) ( , ) 2
= max ( , ), D( , )
n n n n n n n n n n
n n n n
D x x D x x D x x D x x D x x
K
D x x x x
Nếu tồn n lẻ cho
1 1
max D x( n , ), D( ,xn x xn n ) D x( n , )xn
thì M x x( ,n n 1) D x( n 1, )xn 0 Do
1 1
( n , )n ( n , )n ( n , )n
D x x D x x D x x
Điều vơ lí Vậy với nlẻ , ta có
1
( n , )n ( ,n n ).
D x x D x x (2)
Giả sử n chẵn, từ (1) ta có
1
1
1
1 1 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
1
max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2
n n n n
n n n n
n n
n n n n n n n n n n
D Tx Sx D x x
M x x M x x
M x x
D x x D x x D x x D x x D x x
K
1 1 1
1
1
max ( , ), ( , ), ( , ), K ( , ) ( , )
2
max ( , ), D( , )
n n n n n n n n n n
n n n n
D x x D x x D x x D x x D x x
K
D x x x x
Nếu tồn n chẵn cho
1 1
max D x x( ,n n ), D(xn , )xn D x x( ,n n )
thì M x( n 1, )xn D x x( ,n n 1) 0 Do
1 1
( ,n n ) ( ,n n ) ( ,n n )
D x x D x x D x x
Điều vơ lí Vậy với n chẵn, ta có
1
( ,n n ) ( ,n n ).
D x x D x x (3)
Như vậy, từ (2) (3) ta suy D x x( ,n n 1) dãy số thực không tăng bị chặn
Vì tồn r 0 cho
1
lim ( ,n n ) lim ( ,n n ) .
n D x x n M x x r (4)
Vì hàm nửa liên tục nên ta có
1 ( ) liminf ( ( ,n n ))
n
r M x x
Lưu ý rằng, với
mọi n ta có
1 1
( n , )n ( ,n n ) ( ,n n )
D x x M x x M x x (5)
Lấy giới hạn n (5) sử dụng (4) ta có
1
lim inf ( ,n n ) ( )
n
(4)30 Vậy ( )r 0 hay ( )r 0 Suy r 0 Từ ta có
1
lim ( ,n n ) 0.
n D x x r
Bước 2: Chứng minh dãy lặp xn dãy Cauchy
Đặt cn sup D x x( , ) : ,j k j k n . Khi
{ }cn dãy khơng tăng
Nếu lim n
nc
lim sup ( , ) : ,j k 0
n D x x j k n Nói cách
khác, với 0 tồn n0 cho với
0
n n ta có sup D x x( , ) : ,j k j k n Vậy D x x( , )j k , với j k, n. Chọn
0
n n , với j k, n0
( , )j k
D x x Điều có nghĩa xn
dãy Cauchy
Giả sử lim n
n c c Chọn 6
c
, tồn N cho với n N ta có
1 ( n , )n
D x x cn c (6)
Vì
1 sup ( , ), , 1
N m n
c D x x m n N ,
tồn m n, N 1 cho
1
( , )m n N
D x x c c (7)
Điều kéo theo
1 1
1
(m , n ) ( , )m n ( ,n n ) ( ,m m ) c
D x x D x x D x x D x x
K K
.(8)
Mặc khác, từ (1) ta có
1 1 1
( , )m n ( m , n ) (m , n ) (m , n )
D x x D Tx Sx M x x M x x (9)
Áp dụng (8)
6 c
ta suy
1 1 1 1
1
1
( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2 ( , )
3
m n m n m m n n n m m n
m n
M x x D x x D x x D x x D x x D x x
K
D x x
c K c K
Vì ( 1, 1)
2
m n
c
M x x
K hàm
không giảm nên
1
( , )
2
m n
c
M x x
K
Mặc khác, với m n, N 1
1
( m , n ) N
M x x c Do theo (9) ta có
( , )
2
m n N
c
D x x c
K với
, 1
m n N Từ suy
1 2
N N
c
c c
K (10)
Từ (6), (7) (10) ta có
2 c
c c
K Cho 0 ta suy
ra
2 c
c c
K Điều vơ lí c 0
Vậy c 0, nghĩa { }xn dãy Cauchy Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy { }xn hội tụ điểm bất động chung S T.
VìX khơng gian kiểu-mêtric đầy đủ nên tồn u X cho lim n .
(5)31
2
lim n
n x u, nlimx2n u.
Tiếp theo, ta chứng minh u Tu Su Thật vậy, giả sử u Tu, D u Tu( , ) 0 Suy
ra tồn N1 cho với n N1, ta có
2
2
1 1
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ),
2 2
1 ( , ) ( , )
2
n n
n n
D x u D u Tu D u Tu D x u D u Tu D u Tu
K K
D x x D u Tu
Khi ta có
2
2 2 2
2 2
2 2
2
( , ) ( , )
1
max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
K ( , ) ( , )
max ( , ), ( , ), ( , ),
+K ( , ) (
n
n n n n n
n n n
n n n
n
D u Tu M u x
D u x D u Tu D x x D u x D x Tu
K
D u x D x x
D u x D u Tu D x x
D x u D
K , )
1
( , ) ( , )
1 1 2 2
max ( , ), ( , ), ( , ), K
1
2 2 + ( , ) ( , )
( , )
u Tu
D u Tu D u Tu
D u Tu D u Tu D u Tu
K D u Tu D u Tu
D u Tu
Vậy M u x( , 2n) D u Tu( , ) Khi
2
2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
n n
n n
D Tu x D Tu Sx
M u x M u x
D u Tu D u Tu
Lấy giới hạn n ta ( , ) ( , ) ( , )
D Tu u D Tu u D Tu u Điều
này mẫu thuẫn với D u Tu( , ) 0 Vậy
.
u Tu
Ta lại có
( , ) ( , )
( , ) ( ( , ))
( , ) ( , )
D u Su D Tu Su
M u u M u u
D u Su D u Su
Từ D u Su( , ) 0 hay u Tu Su Như vậy, từ Trường hợp Trường hợp ta suy S T có điểm bất động chung
Cuối cùng, ta chứng minh tính điểm bất động chung S T Giả sử tồn v
v Tv Sv Ta có
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
D u v D Tu Sv
M u v M u v
D u v D u v
Suy D u v( , ) 0 Vậy u v. Hệ 2.3 Cho X D K, , không gian
kiểu-mêtric đầy đủ T X: Xlà ánh xạ cho với x y, Xta có
( , ) ( , ) ( , )
D Tx Ty M x y M x y ,
: [0, ) [0, ) hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( )t 0 với
(0, )
t , (0) 0
1
( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
M x y D x y D Tx x D Ty y D y Tx D x Ty K
Khi T có điểm bất động, nghĩa tồn điểm u Xsao cho u Tu. Chứng minh Hệ có cách thay
S T Định lí 2.2 Trong Định lí 2.2, ta chọn K 1 ta
hệ sau
Hệ 2.4 Cho ( , )X d không gian mêtric đầy đủ T S X, : Xlà hai ánh xạ cho
với x y, Xta có
( , ) ( , ) ( , )
d Tx Sy M x y M x y ,
(6)32
(0, )
t , (0) 0
1
( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
M x y d x y d Tx x d Sy y d y Tx d x Sy
Khi S T có điểm bất động chung
Lưu ý Hệ 2.4 tương tự Định lí 2.1 (Zhang & Song, 2009) ngoại trừ giả thiết không giảm hàm Tuy nhiên, chứng minh Định lí 2.1 (Zhang & Song, 2009) trang 77, từ ( 1, 1)
2
m n
c
M x x Các tác giả suy ( 1, 1)
2
m n
c
M x x Điều
chưa hợp lí
Cuối cùng, chúng tơi giới thiệu ví dụ minh họa cho kết đạt
Ví dụ 2.5 Xét X {0,1,2} kiểu-mêtric D xác định
(0, 0) (1,1) (2,2) 0
D D D ,
(1,2) (2,1) 4
D D ,
(0,1) (1, 0) (0,2) (2, 0) 1
D D D D
Khi ( , )X D không gian kiểu-mêtric đầy đủ với K 2 Xét hai ánh xạ
, :
T S X X xác định
0 1 2 0
T T T ,
0 0, 1 2, 2 1
S S S , với x X
Khi
0 0
( , ) (0, )
1 0
khi y
D Tx Sy D Sy
khi y
và
1
( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
1
max ( , ), (0, ), ( , ), ( , 0) ( , )
0
= 0, 0,
M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy D x y D x D Sy y D y D x Sy
khi x y khi y x khi y x X
Xét hàm ( ) 1 , 0
6
t t t Khi ta có ( , ) ( , ) ( , )
D Tx Sy M x y M x y Đồng
thời, giả thiết cịn lại Định lí 2.2 thỏa mãn Do Định lí 2.2 áp dụng cho S T không gian kiểu-mêtric ( , , )X D K Mặc khác D không mêtric X Do Hệ 2.4 không áp dụng cho S T
( , )X D
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Agarwal, R P., Meehan, M., & O’Regan, D (2004)
Fixed point theory and applications Cambridge:
Cambridge University Press
Khamsi, M A (2010) Remarks on cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
Fixed Point Theory Appl 2010, -
Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng (2013) Coupled fixed point theorems for generalized contactive mappings in partially ordered metric-type spaces, J Nonlinear Anal Optim (bài gửi đăng)
Jovanovic, M., Kadelburg, Z., & Radenovic, S (2010) Common fixed point results in metric-type spaces
Fixed Point Theory Appl 2010, – 15
Zhang, Q., & Song, Y (2009) Fixed point theory for generalized -weak contractions Appl Math