2. Điểm bất động trong khừng gian nụn chuẩn
2.2 đo phi compac với giõ trị trong nụn vỏ ứng dụng
Chỷng ta nhắc lại 1 số định nghĩa liởn quan sau: (xem [1])
2.2.1 Định nghĩa. Gọi ( ,|| .||)E lỏ khừng gian Banach được sắp thứ tự bởi nụn K vỏ X lỏ khừng gian Banach. A lỏ họ cõc tập con bị chặn thỏa nếu Wẽ A thớ co( )Wẽ A. ạnh xạ: :j AẼ K được gọi lỏ độ đo phi compact nếu:
[co( )] ( ), A
j W =j W " Wẽ (2.3) Độ đo phi compact j được gọ lỏ:
1. chợnh quy nếu ( ) 0j W = í Wlỏ compắc tương đối. 2. khừng kỳ dị nếu { }x ẽ A vỏ j ({ })x =0 với mọi xẽ X
3. đơn điệu nếu Wè W1 2 thớ j ( )W ê1 j (W2)
4. nữa cộng tợnh nếu j (WẩW =1 2) max{ ),W1 j (W2)} với mọi W W ẽ1, 2 A
thỏa mọn WẩW ẽ1 2 A.
5. semihomogenous nếu ( ) | | ( )j tW = t j W với ,W Wẽt A
6. tuyến tợnh dưới nếu j (W+W ê1 2) j ( )W +1 j (W2) với mọi W W ẽ1, 2 A
thỏa mọn WẩW ẽ1 2 A.
7. bất biến đối với tịnh tiến nếu (j x+W =) j ( )W với ,W +Wẽx A
8. liởn tục nếu
0, A, 0 : A, ( , ) || ( ) ( ) ||
e d đ r đ d j đ j e
" > " Wẽ $ > " Wẽ W W < Þ W - W <
với r lỏ mởtric Hausdorff, được định nghĩa như sau:
1 2 1 2 2 1
( , ) inf{ 0 : B , B }
r W W = e > W+e ẫ W W +e ẫ W
với B={xẽ X :|| ||x X<1}
2.2.2 Vợ dụ. Xờt khừng gian Banach ( ,|| . ||)Y vỏ độ đo phi compact cụ giõ trị thực
j được định nghĩa trởn cõc tập con bị chặn của Y. Trong X =C a b Y([ , ]; ), chỷng ta xờt chuẩn || || sup{| ( ) |:x = x t tẽ [ , ]}a b . Với mỗi tập con bị chặn Wè X ta ký hiệu
( ) { ( ) :t x t t }
W = ẽ W vỏ định nghĩa hỏm:
( ) :[ , ]
c a b R
xõc định bởi
( )( ) [ ( )]
c t t
j W =j W
Rử rỏng nếu độ đo j lỏ liởn tục vỏ Wè X lỏ đẵng liởn tục thớ hỏm j c( )W lỏ liởn tục, từ đụ tồn tại 1 õnh xạ j c từ họ A của tập con đồng liởn tục của X vỏo nụn của những hỏm khừng óm trong ([ , ], )C a b R . Vỏ dễ dỏng chứng minh rằng j c thỏa mọn điều kiện 2.2.1 vỏ nếu j cụ một tợnh chất nỏo đụ của định nghĩa trởn thớ j c cụ tợnh chất tương tự.
2.2.3 Định nghĩa. Gọi X lỏ khừng gian Banach vỏ :j Aè 2X Ẽ Klỏ 1 độ đo phi compact cụ giõ trị trong nụn. ạnh xạ :f Dè X Ẽ X được gọi lỏ cừ đặc nếu
, , ( ) , [ ( )] ( )
D A f Aj f j
Wè Wẽ Wẽ W Ể W
thớ Wlỏ compact tương đối.
2.2.4 Định lý. Giả sử rằng :j Aè 2X Ẽ Klỏ 1 độ đo phi compact cụ giõ trị trong nụn cụ tợnh chất:
({xn|n 1}) ({xn|n 2})
j Ể =j Ể
với mọi { }xn ẽ A vỏ f M: è X Ẽ M lỏ 1 õnh xạ cừ đặc. Khi đụ, f cụ 1 điểm bất động trong M.
2.2.5 Định lý. Cho E lỏ khừng gian Banach được sắp thứ tự bởi nụn K, X lỏ khừng gian Banach, 1 õnh xạ :j Aè 2X Ẽ Klỏ 1 độ đo phi compact cụ tợnh chất 2.2.2. Giả sử f lỏ hỏm liởn tục xõc định trởn M è X , giả sử rằng tồn tại 1 toõn tử tăng
: A K Ẽ K thỏa mọn: [ ( )]f A[ ( )] j W ê j W nếu Wè A f, ( )Wẽ A vỏ lim n( ) 0E n A x x K
Ẽ ơ = " ẽ . Khi đụ f cụ 1 điểm bất động trong M.
ạp dụng định lý 2.2.4, ta chỉ cần chứng minh rằng f lỏ cừ đặc. Xờt tập con
M
Wè sao cho Wẽ A f, ( )Wẽ A vỏ j [ ( )]f W Ể j ( )W, chỷng ta cần chứng minh W lỏ tập compact tương đối. Thật vậy, đặt x0 =j ( )W chỷng ta cụ:
0 0
0ê x êj [ ( )]f W ê A[ ( )]j W =A x[ ]
Vớ A lỏ toõn tử tăng nởn ta suy ra rằng x0ê A xn( )0 với mọi n thuộc N. Từ đụ ta cụ
0 0
x = , do j lỏ độ đo phi compact chợnh quy nởn Wlỏ tập compact tương đối.
Chỷng ta sẽ xờt 1 vợ dụ sau:
2.2.6 Vợ dụ. Cho ( ,| . |)Y lỏ khừng gian Banach vỏ j lỏ độ đo phi compact cụ giõ trị thực xõc định trởn cõc tập con bị chặn của Y vỏ cụ tợnh chất 1, 5-8 trong định nghĩa 2.2.1. Gọi f :[0, ]b Ễ B x r( , )0 è R YỄ Ẽ Y lỏ liởn tục đều thỏa mọn
0, (0,1] : [ ( , )] [ ( )]
m a j f t M mj M a
$ > $ ẽ ê với mọi M è B x r h( , ), :[0, ]0 b Ẽ R
liởn tục thỏa mọn 0êh t( )êta1. Khi đụ tồn tại b1ẽ [0, ]b sao cho bỏi toõn Cauchy
0
( ) [ , ( )], (0)
x tđ = f t x t x =x
cụ lời giải trởn [0, ]b1 .
Chứng minh.
Lấy Wè C([0, ], )b Y lỏ tập con đẵng liởn tục. Sử dụng tợnh chất 5, 6, 8 của định nghĩa độ đo j cụ giõ trị
0 ( ) t x s ds ú cụ thể đều xấp xỉ bằng tổng tợch phón, chỷng ta cụ: 0 ( ) | 0 [ ( )] ({ t }) t x s ds x s ds j ú ẽ W êúj W
Chỷng ta chọn b1<min{ , }b r sao cho
0 1 | f t x( , ) | r ( , ) [0, ]t x b B x r( , ) b ê " ẽ Ễ Ta sẽ chứng minh rằng toõn tử 0 0 ( ) t [ , ( )] Fx t =x +ú f s x x ds
Cụ 1 điểm cố định trong tập
0
([0, ], ) : (0)
{ }
M = xẽ C b Y x =x với x lỏ Lipschitz với hằng số
1
r b
Lấy K lỏ nụn của cõc hỏm xõc định khừng óm trong ([0, ], ), c( )( ) [ ( )]
E=C b R j Wt =j Wt . Xờt toõn tử :A K Ẽ K được định nghĩa lỏ
0
( ) t [ ( )]
Au t =ú u h s dsa
Dễ thấy rằng A lỏ õnh xạ tăng. Vỏ bằng phờp chứng minh quy nạp ta dễ dỏng chứng minh được rằng: 2 3 1 ... 1 ( ) n. || || . . 2n [ n .3 n ...( 1) . ] n n A u t êm+ + +a a u a t a - a - n- a n - Vỏ do đụ lim n( ) 0 n A u Ẽ ơ = cho mỗi uẽ K. Với Wè M , từ 2.2.3 ta cụ: 0 0 0 [ ( )( )] [ , ( ( ))] | ( [ , ( ( ))]) ( [ ( ( ))]) ({ t }) t t F t f s x h s ds x f s h s ds m h s ads j j j j W = ẽ W ê W ê W ú ú ú Hay j c[ ( )]F W ê A[j c( )]W
Chợnh vớ thế, toõn tử: :F M Ẽ M A K, : Ẽ K vỏ độ đo j c cụ giõ trị trong K thỏa mọn cõc điều kiện của định lý 2.2.5
Kết luận
Năm 2007, Long-Guang vỏ Xian đọ đưa ra khõi niệm khừng gian nụn mởtric, nhằm thay thế tập cõc số thực bằng một khừng gian Banach cụ thứ tự trong định nghĩa mởtric vỏ tổng quõt hụa cõc khõi niệm của khừng gian mởtric thừng thường. Cho nởn, khừng gian nỏy vỏ sự tồn tại điểm bất động vỏ điểm bất động chung của cõc õnh xạ dạng co, õnh xạ khừng giọn, õnh xạ tương thợch yếu được cõc nhỏ toõn học rất quan tóm nghiởn cứu.
Luận văn nởu ra sự tồn tại, duy nhất của điểm bất động, điểm bất động chung của một số lớp õnh xạ dạng co, õnh xạ khừng giọn, õnh xạ tương thợch yếu trong:
• Khừng gian nụn mởtric
• Khừng gian nụn -chuẩn
Luận văn đọ cố gắng phõt biểu vỏ chứng minh một số kết quả quan trọng của điểm bất động trong khừng gian nụn mởtric vỏ nụn chuẩn. Với kiến thức cún hạn hẹp ban đầu, từi mong muốn sẽ tiếp tục nghiởn cứu vỏ thu được những kết quả khả quan hơn. Ngoỏi ra, từi hy vọng rằng cõc kết quả trong luận văn nỏy phần nỏo sẽ giỷp mọi người cụ cõi nhớn tổng quan về khừng gian nụn mởtric vỏ cụ hướng nghiởn cứu điểm bất động của khừng gian đụ.
Tỏi liệu tham khảo
[1] C. T. Aage, J. N. Salunke, On common fixed points for contractive type mappings in cone metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 1821-1291 (2009)
[2] T. Abdeljawad, E. Karapinar, Quasicone metric spaces and generalization of Caristi Kirk’s theorem, Cankaya and Atilim Uni, pp 2009
[3] P.P. Akhmerov, M.I.Kamenskii, A.S Potapov, B.N Sadorskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators Birkhauser, 1992
[4] S. Chouhan, N. Malviya, A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces, Inter. Math. Forum, Vol. 6, 2011, no. 18, 891 -897
[5] Huang-Guang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1468-1476.
[6] Z. Kadelburg, P.P. Murthy, Common Fixed Points for Expansive Mappings in Cone Metric Spaces, Journal of Math. Anylysis, Vol. 5, 2011, no. 27, 1309 -1319 [7] J. G. Mehta, M. L. Joshi, On Complete Cone Metric Space and Fixed Point Theorem, Journal of Scientific Research, 303-309 (2011)
[8] P. Raja, S. M. Veazpour,Some extension of Banach’s contraction principle in complete cone metric spaces, Amirkabir University of technology -Tehran -Iran, pp 2008
[9] Sh. Rezapour, R. Hamlbarani, Some note on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal, Appl. 345 (2008) 719- 724.
[10] Ilker Sahin, M. Telci, A Theorem on common fixed points of expension type mappings in cone metric spaces, St. Univ. Ovidius Constanta, vol.18(1),(2010), 329-336
[11] A. Singh, R. C. Dimri, S. Bhatt, A Unique Common Fixed Point Theorem for Four Maps in Cone Metric Space, Joural of Math. Analysis, Vol. 4, 2010, no. 31, 1511 -1517
[12] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect. Math. 48(4- 6).1997, 825-859