L ỜI MỞ ĐẦU
3.3Định lý Krasnoselskii trong E-khơng gian Banach
3.3.1. Định nghĩa
Cho ( , , )X d E là E-khơng gian metric 1) Tập A⊂ X được gọi là E-mở nếu
, r > 0: B(x,r) A
∀ ∈x A ∃ ⊂ trong đĩ B(x,r)={y∈X d x y: ( , )<r}
2) Tập C⊂ X được gọi là E-compact nếu với mỗi E-phủ mở của C cĩ một phủ con hữu hạn.
3) Tập C⊂ X được gọi là E- compact theo dãy nếu mỗi dãy phần tử { }xn n ⊂C
cĩ thể lấy dãy con { }
k
n k
x E hội tụ về phần tử thuộc C.
4) Tập C⊂ X được gọi là E-bị chặn hồn tồn nếu với mỗi ε∈E+,ε >0 tồn tại một số hữu hạn các phần tử x x1, 2,...,xn trong X sao cho
1 ( , )ε = ⊂n i i C B x .
Tập {x x1, 2,...,xn} được gọi là ε–lưới hữu hạn.
5) Tập C⊂ X của một khơng gian tơpơ được gọi là E-compact tương đối nếu bao đĩng C là E-compact.
6) Tập C⊂X gọi là E - compact tương đối theo dãy nếu mỗi dãy trong C chứa một dãy con E - hội tụ (giới hạn khơng nhất thiết là phần tử thuộc C) hay C là E-dãy compact.
3.3.2. Mệnh đề
Nếu C là một tập con của E thì ta cĩ:
(i) E-compact ⇔ E-compact theo dãy ⇔ E-đĩng và bị chặn hồn tồn.
(ii) E-compact tương đối ⇔ E-compact tương đối theo dãy ⇔ E bị chặn hồn tồn.
Nếu a, b là hai phần tử của E, tập {x x| = −(1 λ)a+λb, 0≤ ≤λ 1} được gọi là đoạn thẳng nối a và b.
Tập K ⊂E được gọi là E-lồi nếu mỗi cặp a b, ∈K, đoạn thẳng nối a và b nằm trong K.
Với bất kì tập A⊂E, giao của tất cả tập E-lồi chứa A được gọi là bao lồi của A, kí hiệu co (A).
3.3.3. Định nghĩa
1) Cho X là khơng gian tuyến tính, E là khơng gian Riesz. Khi đĩ một E-chuẩn trên X là một hàm 0 :X →E thỏa những tính chất sau:
(a) x ≥0 ∀ ∈x X
(b) x+y ≤ x + y ∀x y, ∈X
( , . , )X E được gọi là E-khơng gian định chuẩn.
Nếu . là một E-chuẩn trên X thì hàm d X: × →X E d x y, ( , )= −x y là một E- metric trên X và d được gọi là E-metric được sinh ra bởi E-chuẩn . .
2) E-khơng gian định chuẩn ( , . , )X E được gọi là E-khơng gian Banach nếu mỗi dãy E-Cauchy trong X là E-hội tụ đối với . .
3.3.4 Định nghĩa:
Cho X,Y là hai E-khơng gian định chuẩn, K ⊂X , f K: →Y là một tốn tử. Khi đĩ ta nĩi:
(i) f là E-compact nếu với bất kỳ tập con E-bị chặn A⊂K ta cĩ f A( ) là E- compact tương đối hay f A( ) là E-compact
(ii) f là E-hồn tồn liên tục nếu f là E-liên tục và E-compact
Đối với E - khơng gian Banach ta cũng cĩ định lý tương tự định lý Schauder như sau
3.3.5. Định lý
Cho ( , . , )X E là một E-khơng gian Banach với E đầy đủ theo thứ tự, Y ⊂ X là tập E-đĩng, E-bị chặn và E-lồi và f Y: →Y là tốn tử với f Y( ) là tập E-compact tương đối. Khi đĩ f cĩ ít nhất một điểm bất động trong Y.
3.3.6. Định lý
Cho ( , . , )X E là E-khơng gian Banach đầy đủ theo thứ tự và Y là tập con khác rỗng, E-bị chặn, E-lồi, E-đĩng của X.
Giả sử rằng tốn tử f g Y, : → X thỏa:
(i) f là ánh xạ ϕ−co phi tuyến và ψ :E+ →E+ được xác định bởi
( )t t ( )t
ψ = −ϕ thỏa
Nếu {ψ( )tn }↓0 khi n→ +∞ thì ( )tn ↓0 khi n→ +∞
(ii) g là E-liên tục
(iii) g Y( ) là E-compact tương đối và f x( )+g y( )∈Y với mọi x y, ∈Y. Khi đĩ
f +g cĩ một điểm bất động trong Y. Chứng minh
*Ta chứng minh với x∈Y tùy ý, ux:Y →Y u y, x( )= f y( )+g x( ) là một ánh xạ phi tuyến ϕ−co. Ta cĩ: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (y ) ( ) ( ) y , x x u y −u = f y − f y ≤ϕ y −y ∀ y ∈Y
Do đĩ ux là ánh xạ phi tuyến ϕ−co với mọi x+Y
Theo định lý 3.2.2 với mỗi x∈Y, tồn tại duy nhất *
x
y ∈Y sao cho * *
( x) ( ) x
f y +g x = y
Ta định nghĩa c Y: →Y c x, ( )= yx*. Như vậy c x( )= f c x[ ( )]+g x( ) ∀ ∈x Y
Lấy { }xn là dãy trong Y sao cho xn ,E→x
Khi đĩ tồn tại { }εn trong E sao cho εn ↓0 và xn− ≤x εn ∀ ∈n Vì f là ánh xạ phi tuyến ϕ−co, ta cĩ ϕ tăng nên
( ) ( n)− ( ) ≤ϕ n− ≤ϕ ε( n)≤εn↓0 f x f x x x Do đĩ , ( n) E ( ) f x → f x khi n→ ∞. Vậy f là E-liên tục
Vì g là E-liên tục, với dãy { }xn trong Y: xn ,E→x, tồn tại { }an trong E sao cho an ↓0 và g x( )n −g x( ) ≤an ∀ ∈n Ta cĩ: ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) n n n n n n n c x c x f c x g x f c x g x f c x f c x g x g x c x c x g x g x ϕ − = + − − ≤ − + − ≤ − + − Do đĩ ψ( (c xn)−c x( ) )≤ g x( n)−g x( ) ≤an ↓0 khi n→ +∞ Từ tính chất của ψ , ta cĩ c x( )n −c x( ) ↓0khi n→ +∞ (*)
Vì g Y( ) là E-compact tương đối nên g Y( ) là E-bị chặn hồn tồn và với
, 0
r∈E r+ > , tồn tại Z ={x1,...,xn}⊂Y sao cho
{ 1 } { 1 ( )} ( ) ,..., n ( , ( )) ( ),..., n ( , ( )) g Y ⊂ z z +B Oψ r = g x g x +B Oψ r , trong đĩ ( ), 1, i i z =g x ∀ =i n Từ (*) ta cĩ c Y( )⊂{c x( ),..., (1 c xn)}+B o r( , ) Do đĩ c Y( ) là E-bị chặn hồn tồn.
Vì X là khơng gian vectơ Banach nên c Y( ) là E-compact tương đối. Áp dụng định lý 3.3.5 tồn tại x*∈Y sao cho * *
( )=
c x x hay * * *
( ) ( )
f x +g x =x
KẾT LUẬN
Trong luận văn tơi đã trình bày định lý Krasnoselskii trong khơng gian nĩn - định chuẩn, khơng gian nĩn – định chuẩn phi Archimed, và trong E – khơng gian; các ứng dụng của nĩ trong phương trình hàm.
Qua quá trình làm luận văn, tơi thấy được phần nào mối liên hệ giữa lý thuyết và ứng dụng trong các học phần của giải tích như Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề mới và làm quen với nghiên cứu khoa học.
Vì khả năng và thời gian hạn chế nên tơi chưa tìm được nhiều ứng dụng của định lý điểm bất động Krasnoselskii trong các lĩnh vực của giải tích. Tơi hy vọng sẽ được học tập và nghiên cứu thêm về đề tài này trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Hữu Khánh, Võ Viết Trí, Fixed point theorems
via cone – norms and cone – valued measure of non compactness Fixed point Theory( nhân đăng)
2. Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh, Fixed point theorems and the Ulam
– Hyers stability in non – Archimedean cone - metric spaces J. Math. Anal. Appl, 414( 2014), 10-20.
3. I.R Petre, Fixed point for ϕ- contractions in E – Banach spaces
Fixed point theory, 13(20) No2, 623-640.
4. P. Zabreiko, K- metric and K – normed linear spaces: survey