n
2
Bài 1: / = Ịsin^xíừ 0
T u _• 2 • _
Lời gỉảỉ:
n n
2 2
Ta có I n - J sin" xdx - J sin"“1 x.sinxíừ
0 0
Chọn <u = sin" 1 X dv = sinxdx
du = (n - 1) cos X sin" 2 xdx V = - c o s x
7Ĩ
n_ 2
I n - -cosx.sin"“1 X lồ +{n - 1)J cos2xsin"“2 xdx
0
71
2
= { n -1) J (1 - sin2x) sin"“2 x)dx 0
71
2
= { n -1) J(sin”“2 X - sin” x^dx 0
= { n - \ ) ự n_2- I n)
I = ^ — ^ 1 2
n n - 2
n Ta có
(2.4.1)
L n - l n n - ì
n- 2 n- 4
ĩl
Nếu n chẵn thì n - 1 n—3 3
n 71
_n n 2 2
.---- Mà L = [ sin2 f
n n - 2 2 J J
Nên / = K - l K -3 3 n n — 2 2 "4 Nếu n lẻ thì
n — 1 /2 -3 2
Nên /„ =
n n- 2
^ n - 1 n - 3 2^
n
2 Ị
- / j . Mà /j = I sinxíừ = 1
1 0
ô n - 2 1
Nhận xét: Trong phần tính tích phân truy hồi I n, bằng phương pháp tích phân từng phần ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các I n, In_x, In_2 và thiết lập được một phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên. Từ đó tìm được kết quả bài toán.
n
2
Bài 2: I n - J cos" xdx
0
(2.4.2)
T u _• 2.* -
Lời gỉảỉ:
n n
2 2
Ta có / = J cos" Xdx - J cos"“1 x.cosxdx
0 0
Chọn <
_ n—1
u = cos X
dv - cosxdx
du = —(n - l)simc.cos" 2 xdx
V - sin X
n
I n - sinx.cos"“1 X lổ +(n - 1)J sin2xcos"“2 xdx 0
n
2
= { n - 1)J (1 - cos2x)cos"“2 x)dx 0
Jt_ 2
Ta có
/ = ^ —n _ n —22 n
Ịn-2 = ---/^ô-4 ĩl
Nếu n chẵn thì n - 1 /2-3 3
Nên / =
n ô - 2 2
^ ô - 1 n - 3 3^
;r ;r
2 2
/ 2. Mà / 2 = Ịcos2Xíừ = J
0 0
V n n — 2 2
;r ĩ Nếu 72 lẻ thì
n
I = - — . Mà /, = [ cosxíừ = 1
" n n - 2 1 1 1 J0 Nờn / = K - l ô - 3 2
n n- 2 1
71
Bài 3: Tính tích phân ỉ n - ị cos" x.cos nxdx (n € N*) 0
Lời giải:
(2.4.3)
Chọn <u = cos X
dv = cosnxdx 1 .
V = —sinnjc tl
du = -nsiiuc.cos” 1 xdx
J 7Ĩ n
I n sinnx.cos" jc|ổ +[cos"“1sinnx.sinxíừ
72 *
n 0
n
- J co s"_1sinnx. sinx dx 0
1 71
- - - - J cos"“1 (cos(n+ l ) x - cos(n -1 )x)dx 2 0
= - —\ KJ co s"_1cos(n+1) X dx + — J co s”_1co s(n -1) X dx
2 0 2 0
= —r f co s"_1cosnx. cosx dx + — í co s"_1sinnx. sinx dx + — /
^ 0 ^ 0 ^
- ọ J í co s”cosnx ọ n dx + —/ +1 .B - l
z 0 z
1 J_ J.
2 " + 2 " + 2 ”_1
= 1 /n—1 2 Như vậy
1 In 2 In~l I n-\ ~ 2 ^ô-2
Nên /„ =
71
/j mặt khác /j = I cos2 xdx = —
0 2
Vậy I n = f l Ỵ
n
Bài 4: Tính tích phân I k(x) = j 0
coskt - coshc
d t ( k = 1,2,3...) cosí - cosx
Lòi giải:
Ta có / 0 = 0,/j = n .
Lấy tích phân từng phần, ta được h+2 (*) - 2 C0S x h +l (*) + h (*) = 0
Phương trình đặc trưng Ấ2 - 2/lcosx +1 = 0, có nghiệm Ả = cosX ± isinX => I h{x) = v4coskx+Bsinkx Với k = 0 ^ 0 = A;k = Ỉ ^ B n
sinx Vậy I k(x) n
sinAx sinx
(2.4.4)
C h ư ơ n g III:
ứ n g dụng của p h ư ơ n g trình sai p h ân giải m ột số b ài toán ở phổ thông.
Trong chương trình toán phổ thông không chuyên phương trinh sai phân không được giới thiệu và học nên việc tiếp cận phương trình sai phân dưới dạng cấp số cộng, cấp số nhân, tách các hạng tử ... tôi đã trình bày ở chương 2. Tuy nhiên trong chương trình toán của khối THPT chuyên ban A của các trường chuyên trên cả nước đều được học phương trình sai phân ở lớp 11. Nên việc giải quyết một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán áp dụng phương trình sai phân trong phương trình hàm ... trở nên ngắn gọn và đơn giản hơn. Trong chương này tôi xin trình bày một số bài toán phổ thông ( đặc biệt là các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi) áp dụng của phương trình sai phân
3.1. ứng dụng của phưong trình sai phân tuyến tính cấp 1
Bài 1: ( Đề thỉ Olympỉc 30-4-2000 trường chuyên Lê Quý Đôn Bà Rịa- Vũng tàu)
Trên mặt phẳng cho n đường tròn đôi một cắt nhau, không có ba đường cùng đi qua một điểm, tính số phần của mặt phẳng do các đường tròn đó chia
T ' • • 2 *
Lòi giải:
Gọi a là số phần mặt phẳng do n đường tròn đã chia
So sánh giữa an_J và an ta có an = an_J + 2{n -1 ) (n > 2, n £ N) (3.1.1) Xét phương trình đặc trưng Ẳ = \ nên phương trình thuần nhất an = an_x có nghiệm ã n = c
Vì 2{n -1 ) là đa thức bậc 1 đối với n nên phương trình (3.1.1) có nghiệm riêng dạng an2 + bn
Do đó (3.1.1) có nghiệm dạng an - an2 + bn + c
Thay vào phương trình (3.1.1) và đồng nhất hệ số ta được an - n2 - n + 2
Vậy số phần của mặt phẳng do các đường tròn đó chia là n2 - n + 2 Bài 2:( Đề thi K I4- Đại hoc su phạm Hà Nội 2)
í í 9 1
Tìm dãy sô xn biêt xn+ì +3xn = 2n - —72 + 1
T \ • • 2 *
Lòi giải:
(3.1.2)
Xét phương trình đặc trưng à - - 3 nên phương trình thuần nhất xn+ỉ = - 3 x n có nghiệm ã„ = (-3 )”
Xét nghiệm riêng của (3.1.2) có dạng an2 +bn + c
Giả sử tồn tại hàm số / thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với n là số tự nhiên bất kì, Xột dóy số [an )như sau: a0 =n, an+l = /(ô„)■
Khi đú an > 0, Vô và từ (1) thay n bởi an ta được
Xét phương trình đặc trưng Ă = ì nên phương trình thuần nhất an = ữn_, có nghiệm a„=c
Vì 1 là đa thức bậc 0 đối với n nên phương tìn h (1) có nghiệm riêng dạng an Do đó (2) có nghiệm dạng an = an + c
Thay vào phương trình (2) và đồng nhất hệ số ta được an = + n - 1, Vn e N Mà aQ = n => = 1. Do đó ta có an = n => an+Ị = f(ỵì) = n + 1 ,Vn e N
Vây xn - (-3)” + —n2 —
" 2 8 32
Bài 3: ( Pan African Olympiad 2002)
Tỡm cỏc hàm số / : N —ằN th ỏ a m ó n /( /( ô ) ) = / ( ô ) + l, V n e N (3.1.3) và m in { /(0 ),/(l),/(2 ),...} = 1
T \ • • 2 *
Lời giải:
a n+ 2 = a n+ 1 + l ’ V w = 0 , 1 , 2 , . . . (2)
Rõ ràng min {/(0), /(1), /(2),...} = 1 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy hàm số cần tỡm là / ( ô ) = n +1
Bài 3: ( Đề thỉ chọn đội tuyển toán 12 trường THPT Liên Hà )
Cho dóy số (xn) xỏc định như sau: Xn+Ị - —x 2n Vô G N \ Xy - 4. (1) Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.
~T 1 J • ‘ĩ •
Lòi giải:
Ta có các số hạng của dãy số trên là dãy số không âm do đó 1
2 " n
<^>lnx„+1= l n i + 21nx„
Đăt v„ = lnx„ ta có • n n 71+1 = lnẬ + 2v2 n
Xét phương trình thuần nhất vn+1 = 2vn có nghiệm của phương trình đặc trưng là Ầ = 2 nên vn+1 = 2vn có nghiệm tổng quát Vn = C.2"
Vì 2 * 1 nên phương trình vn+ì - ln — + 2vn có nghiệm dạng vn - C .T + D Thay vào phương trình vn+1 = ln — + 2vn ta có
2
c .2 ”+1 + D = l n - + 2ÍC.2" +D)<?>D = —ln —-
2 V ; o
Hay V = C.2" - ln - 2
2
Mặt khác V, = ln 4 nên ln4 = C.2 - ln— c = — ln2
1 2 2
V = ln2.2”_1 - l n — 2
=> x„ = 22 +1
T 7 A 2™ 1 +1
Vậy xn =2
Bài 5: Cho dãy số (xn) xác định như sau:
xn+1 =xt + + 6 V ne N*, Xj = 1. (3.1.5)
Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.
Nhận xét: Ta sẽ đưa phương trình trên về phương trình tương tự bài 2
T u _• 2 • _
Lời giải:
Ta có các số hạng của dãy số trên là dãy số không âm do đó ln ( ^ +i + 3) = 21n( ^ + 3 )
Đặt vn = ln(xn + 3) ta có phương trình v„+l = 2vn ( phương trình tuyên tính thuần nhất cấp 1- có nghiệm của phương trình đặc trưng là 2) có nghiệm vn - C 2 n V ớiĐ K = 1 = > V j = 2 1 n 2 = > v n = 2 " l i i 2
Nhân xét.
Như vậy có hay chăng bài toán tổng quát tìm số hạng tổng quát của dãy cho bởi công thức sau xn+l - ax2n +bxn +c V ne N*, a * 0, XỊ - d
Hướng dẫn
*„+i + 3 = (* „ + 3)2
= > x = 2 r - 3n Vậy xn = 2 r - 3
Vậy bài toán này sẽ giải quyêt được n b2 - 4 ac
4a
= — <^>c 2 a
b ( b - 2) 4 a
Khi đó ta sẽ tìm công thức tổng quát dưa trên bài toán đăt vn =xn + — 2 a Khi đó vn+1 = av2n . Vì không biết dấu của a nên ta có thể đưa về bài toán
l n ^ - = 2 1 n -^ -. Tìm được CTTQ: в - —п-
V,n+1 ' О
v_ V v n -l n-l Vn-1
Do đó X = V - —71 п О _ 2a
Bài 6: Cho dãy số (jt ) xác định như sau:
*„.1.1 - xl + Л+1 n 6x1 +n 12x + 6 Vw e N*, X = 1.n 7 1
Hãy tính lim ^ . ỉog3(x2„+2)
(3.1.6)
T и _• 2 • _
Lời giải:
Ta có xn+ỉ + 2 - ( x n+2f dễ thấy các số hạng trong dãy là các số dương nên ta có 1п(хй+1 + 2) = 31пОй+2)
Đặt vn = ln(jtn+2) ta được vn+1 = 3vn => vn = C.3"
Vì = 1 => Vj = ln 3 =>vn = 3"”1 ln3 từ đó ta được ^ x n =33 - 2
1 Nên lim log3( j. + 2) _ llm^ l = lỉmi z ^ _ = l
logs 0*2*+2) 2w“ ! 2- - 2 n Nhân xét:
Như vậy bài toán tìm số công thức của (xn ) xác định bởi công thức
1 2 T r r b1 b(c — 3)
xn+ỉ = axn + bxn +cxn + d (а Ф0) có ứiê giải quyêt được nêu с = — , d - —--- -
vì khi đó ta đưa bài toán trên về bài toán xn+ì + m = a(xn + rrìỷ, (m - — ) За
Như vậy ta có thể giải quyết được bài toán tìm công thức của (x ) xác định bởi công thức
xn+ì - akxì + ak-ìxn ~l + ak-2xn~2 + — + aix„ + a 0 (ak ф 0) với điều kiện nhất định nào đó.