r , 4 Mị 1
Bài 1: Cho dãy sô [un) xác định như sau :
u n+ 1 = u n + 2
VneN* (2.2.1) Tìm công thức tổng quát của dãy
Lòi giải:
Từ giả thiết ta có : и +1 - и - 2 ( n e N ‘)
Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un ) lập thành cấp số cộng với u{ = \, công sai d - 2 suy ra : и =ul + ị n - \ ) . d - l + (w -l).2
Vậy: и - l + (w -l).2
Bài 2: (Đề thi Violympic lớp 11 cấp trường THPT Đông Anh - 2012)
Tìm dãy số (un) biết I
\и.
u = 1
Tỉ + 1 и +n +n 1(я = 1,2, 3,...) (2.2.2)
Lòi giải:
Ta có
U . - U = и + 1 = —
Л+1 n 2
\S П+-1
2 Л2
= A i f - - W- — 1
2 V 2 y
/
\ 2
П - —1 к 2 y
+ ' í (n + p - ( n - pL - í _ Ỉ 0
H n - ị )
Hay Au = Л I f П - —1 2
\ 2 A
+ 1Л
П - — 2 у Do đó H = —
2 V
л2
+ ( w - ỉ ) + c = ìw 2+ ỉw + c
2 2 2 1
л л __
Với điêu kiện ban đâu Mj = 1 ta có Cj = о
V- - i 2 1 Vậy u = —n + —n
" 2 2
Nhận xét: Trong bài toán trên ta cần đưa n +1 về sai phân của một hàm nào đó Như ta đã biết ( n +1) là hàm bậc nhất nên ( n +1) là sai phân của một hàm bậc hai. Có thể làm bằng phương pháp hệ số bất định để tìm ra
' l 0 1 ^
n - — + (n - ô)
, 2 K 2 ,
Bài 3: ( Đề thi chọn đội tuyển toán THPT Nguyễn Trãi Hà Nội-2012)
Lòi giải:
Ta viết (2.2.3) <=> u J + (n +1) + 2 = 2(ụ + n + 2) Đặt • l V ì = u +n +n 2 => V /ỉ + 1 , =2v n
Vậy u = V - n - 2 = 2"_1.4 — n — 2 = 2"+1 —n — 2. Thử lại thoả mãn.
Nhận xét: Không phải ngẫu nhiên ta viết được u J + (n +1) + 2 = 2(u +n + 2) Mà thực tế ta tìm đa thức bậc 1 với n (cùng bậc với (n +1)) là: an + b sao cho
[ a = - \
a(n + \')-2(an + b) = n + \ (Vn e N*) ỡ j Tìm dãy số (u ) biết *ul = 1
u ] = 2u +n + 1 (Vn e N*) (2.2.3)
b = - 2 Bài 4: ( THTT sổ 400 tháng 10/2010)
với n E N, n > 1
(2.2.4)
Đặt V = (m +1 - I/ ) thì ta có V J - V =1 nên dãy (v ) lập ứiành cấp số cộng có:
Vj = u2 - ux = 0 và công sai d - 1, do đó:
p / 1\V’ +V-
Ê„-1 = Vl + v2+ - + v„_! = ( ô - ! )
Theo giả thiết ta có: (un+l- un) - (un - un l) +1
(n - l)(2vj + n - 2)
_ ( n - l ) ( n - 2 ) 2 Mặt khác ta có:
(w„ - w„-i) + K - 1 - w„-2) + •••+ (ô2- “i) + ô1
: V ĩỉ — 1 + V Tỉ — 1 + ... + V, + u,1 1
— s ,n - 1 + M1
(n -1 )(n - 2) +■ 1
Do đó lim
Vậy un
- lim n(n - 3) V 2 n n { n - 3)
= lim
V 2ô y
= —lim 2
và lim 1
U 2J
Bài 5: Cho dãy số (u )xác định như sau:
ux = 1
1 V ne N
Hãy xác định số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy trên.
Lời giải:
Ta cỏ:un - (un - + ( u ^ - un_2) + (un_2 - un_3) +... + (u2 - ul) + ul
(2.2.5)
í 1V“1 í 1V“2 +
( 1 Y
1 - -
_
1 - 1
= 2 - 2
A i V
Г П n ( Г Г n ^
2 - 2 và Итм„ = lim 2 - 2
u , n , 2 У)
= 2 / Nhận xét: Ta có thể viết Mn+1 - M„ = (—)" = -A (—)n l
nên ^ (M t+1 - u t ) = ỵ (—)k - - (—)”+1 - — . Từ đó xác định được công thức
k=i k= 1 2 \ 2 2 )
tổng quát un
Bài 6: (Câu 5 trong kỳ thỉ chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 ngày 1/3/2010) Cho dãy số thực {a ) xác định bởi = 5 và a = yjanzl + 2"“1 + 2.3"“1
V n > 2, n £ N .
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số {an ).
2/ Chứng minh rằng (an ) là dãy số giảm. (2.2.6)
Lòi giải:
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số {an ).
+) Dễ chứng tỏ an > о V n e N*
+) Từ giả thiết ta có ann - a"zl - 2n_1 + 2.3”“1 \fn > 2, n e N.
Lấy tổng hai vế của đẳng thức trên, Vw > 2, и G N ta có Ẻ ( “ỉ - “ỉ : : ) = ằ ( 2 M + 2 '3“ 1)
*=2 fc=2
Hay < - ô ! = 2(2"_1- l ) + 3(3”_1- l )
ô . anw n = 2" + 3" o n = V2"+3" .*
2/ Chứng minh rằng ữn là dãy số giảm.
Điều cần chứng minh tương đương với:
„+yr + 1 + 3ô+i < nj2n + 3ằ ^ ^2ằ+i + 3„+i y* < + 3ô J /'/„Nằ+1 V /■
V J y
+ 1 Í2T
X
. n+ 1
+ 1 (*)
n + 1 n
Ta có: 1< + 1 < + 1 í f ~ \ n+1 Y
V
+ 1 r 2 Y + 1
V
< Í 2 Y
. n+l + 1 y Bất đẳng thức (*) được chứng minh.
Bài 7: Tìm số hang tổng quát của dãy số ịu ) biết I 1
u ,= 2 ô +3"
^ n + 1 n
Lời giải:
Ta viết (2.2.7) như sau un+ỉ - 3n+1 = 2 (un - 3”) <^>un- 3” = 2n- \ u x - 3).
Hay un =3n - 2"
Nhận xét: Để viết được (2.2.7) như trên thực chất ta đã tìm hàm g ( n ) cho: g(n +1) - 2g(n) = 3" V n G N *
a3"+1 - 2a3n = 3" V n G N * chọn được a = 1.
Bài 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u ) biết u = 1
u = 2 u + 3” + n
„ n +1 n
(n = 1,2,3...)
(2.2.7)
a.3" sao
(2.2.8)
Lòi giải:
Ta viết (2.2.8) thành:
u l - g(n +1) - h(n +1) = 2(ụ - g(n) - h(n))\/n e N *.
Vậy un = (Wj + 2 - 3)2"_1 - n - ì + 3" =3n - n - ì . Thử lại thoả mãn
Nhận xét: Để viết được (2.2.8) như trên ta đã tìm hai hàm số: g { n) = an + b sao cho g{n + Ý ị - 2 g { n ) = n
và h(n) = c3n sao cho /z(h + 1)-2/z(h) = 3". v ô ẽ N * . Giải ra ta có a = b = - \ , C- 1
Bài 9: (Olympic Bungarỉ 1978)
Cho dóy SỐ (a ) biết + * ,’ + ằ ) /ô № e Z , an * 0 V n e N*
1 = (ô2„ . + “) / “. (V neN *)
( a là số cho trước ). Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên.
(2.2.9)
T u _• 2 •
Lời gỉảỉ:
Từ giả thiết suy ra a a +2= a 2 +l+ a V n e N* suy ra a +la _J = a2 + a V n > 2.
Trừ hai đẳng thức này ta có a +2a + a =a +ỉa _J + ầ +1 hay a”+2 — a” = a”+1 — a”~1 ( V ô e TV*, ô > 2)
ữ„+i
Từ đỏ suy ra a”+1 — a" 1 = t (hằng số V n > 2) hay a J= ta - ữ j(V ô > 2 ) an
, 2 +ữ, ữ.2+ ữ ,2+ữ _
Mặt khác aĩ =(aỉ + a) / => t = —L = — —---e z . ữ 2 ữ a12
Bài 10: (Đe thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 năm 2010 của tình Nghệ An )
X1 =2
Vì й1(й2, / е e Z V n e N * ( Chứng minh bằng quy nạp).
Cho dãy số (xn) thỏa mãn x ỉ + 2x2 + 3*3 +. . . + ( n - ( и ё К , й > 2 ) .
nịn — 1)
Tính lim un, với un - (n +1 ý xn (2.2.10)
V, = 2 2
Ж ' - • • 2 *
Lòi giải:
•: Í V1
Đăt vn = nxn, khi đó giả thiêt đã cho có dang: <Ị
- 1 к = Vj + v2 + ... + v„4 (*) Từ (*) suy ra o 2 - ỉ)vn = ((и - 1)2 - l ) ^ + v„_!
Hay (n2 - l)v„ = { n- 1 )2 V„_1 <^> (n + l)v„ = ( n - l)v„_!.
Mặt khác (n + Y)vn = ( n - l)vn_j (n +1 )wvn = n(n - l)vn_! (**) Suy ra dãy ((и +1 )nvn) là dãy số không đổi.
Từ đó (n +1 )nvn - 2 . 1 .Vị - 4 . Hay VB
n(n +1) suy ra un ={n + vỷx n (w + l)3 4(w + 1)2
n 4(1+Ị ) :
n
n 4.
n
Vậy lim un = 4
Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất sai phân: Nếu một hàm có sai phân là 0 thì đó là hàm hằng
Bài 11: (Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 ngày 21/3/2010 năm 2010 của tình Hải Dương)
ux=\
Cho dãy sỐ (m„ ) thỏa mãn: и: (n = 1, 2, 3,...)
u n+ 1 =
2010■ + u.
Xét dãy số vn = — + — + + ^ - L (n - 1, 2, 3,...). Chứng minh dãy số (vB) có (2.2.11) u2 u3
giói hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lòi giải:
+) Dễ dàng chứng minh dãy số trên là dãy số tăng +) Từ giả thiết suy ra:
u n+ 1 ~ u n 2010ầ K (ằ = 2’ •■•)
U n +l ~ U n u u
—2---- - ^ = 2010
u n + \u n 2010ttn+J un+ỉ \ un un+u
{n = 1, 2, ...)
Từ đó ta có: ^ - ^ - = ^ 2 0 1 0
k = l u k+1 k= l
hay u2 u3 uk+1 V W1 W*+1 y 2010 1 -
Măt khác 1 = M, < M, < . . . • 1 2 < u < u ,,n n + 1
Nếu dãy (wn) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn hữu hạn a = lim u (a > 1) Vì un+1
u2 ,
—— + , chuyên qua giới hạn, ta có 2010
2
a a
+ a => a = 0 trái với a > 1 2010
Suy ra dãy không bị chặn trên
Vỡ dăy (ô ) tăng, nờn ta cú lim un = +00 Kết hợp với (1) ta có lim — + — + ... + - z?ZL
V u 2 u 2010 hay limvn = 2010
Bài 12. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình, vòng 1 năm 2011-2012)
Cho dãy số {u ) xác định như sau
u = 1
uB+l _= 1 + u2r (n = 1, 2, 3,...)
Hãy tính lim
( 2011 2011
u, u u _2011
V U 2 u
~w ■> • • 2 •
Lòi giải.
Từ công thức xác định dãy, ta có
1 1 20 1 1 2 0 1 1 -I 1
1 1 w u 1 1
____ ____________|_ n y n _________________
(ằ1 = 1, 2,3,...)
u lì u n + 1 un +1 u 7Ỉ + 1 u n u .7Ỉ + 1
Do đó
(, . l ữ n u, ■,.2 ữ nu~ u
V U 2 U ĩ u
2011 ^ n 2011
= ấ - ;
'n+1 y
= z
k - ì uk+ì n í 1 o
i = l
= 1 un+1
Dễ thấy u > 0 (Vn = 1, 2, 3,...) và ta cũng có
u +l=u + M2012 =>u +l—u = u2012 nên u là dãy tăng thực sự.
Giả sử lim u = /= > / = / + /2012 ^> / = 0. Rõ ràng ỉ >uì ( mâu thuẫn) Vậy u là dóy khụng bị chặn limô = limô J = +00
Từ đó ta có lim
( 2011 2011 20
u, u, u
— + — + . . . + —
V U 2 u lim
n +1 /
1 -
V
Bài 13: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long, vòng 1 năm 2011-2012) u, —3
Cho dãy số u xác định như sau 1
a) CMR u là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.
u n+i = ị ( u n + u n + 4 ) (w = 1,2,3,...)
(2.2.12)
(2.2.13)
______ " 1 _ ___
b) Đặt V = ^ — -— , n = \, 2, 3,... Tính limv„
i=i uk + 3
T u _• 2 •
Lời gỉảỉ.
a) Dễ thấy với mọi n > 0 thì các số hạng đều dương.
TacÓ M +1-M = - ( u 2+u + 4 ) - u = —(u - 2)2 > 0 nên dãy đã cho không giảm.
Hơn nữa, từ = 3 > 2 => u > 2,V n.T ừ để M ] - u > 0 Vô = 1, 2, 3, ...hay dóy u đơn điệu tăng.
Giả sử dãy u bị chặn trên thì nó phải có giới hạn / (/ > 3) 1 ,
Ta có ỉ - - ( / + / + 4) =>/ = 2 ( mâu thuân). Vậy u là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.
b) Giả sử từ công thức 1
uk + 3 a 1 1
uk + 3= a uk+ỉ ~ uk (uk +b)(uk+l+b Qui đồng mẫu số và biến đổi ta được
(3a - b)u +1 + (a - \)u +lu - a.u2 + (3a + b)u +b2.
Để tương ứng với công thức xây dựng, ta chọn a- 1 thì được
(3 - b)u +1 = u2 + (3 + b)u + b2 . Chọn tiếp b = - 2 ta được công thức đã cho.
í 1
Như thế, ta có —-— =
u, +k 3 . U . —2 u. , —2 .V k Ẳ+l / \/k K hiđó v . = ẳ - ^ - = Z
k=1 u, + J k=lk V i u — 2 u —k+1 2y 1 -
u - 2n+ 1 Do lim u_ =+00 nên limv_ = lim 1--- -—
V u —2 J
V n+1 /
= 1
Bài 14: (Đề thỉ học sinh giỏi thành phố Hà Nội, vòng 1 năm 2011-2012)
CMR: lim — — — = 20112 2 2
Cho dãy số (vn) xác định bởi công thức: V, =72015
V n+ 1 = V - n 2 (Vn G N, n > 1)
V .V ...VK1 2 •' ằ Lòi giải.
Vì V1= V2015 > 2 nên có ứiể đặt Vj = a + —, a> 1 a
Ta có v2 = Vj - 2 =(a + —lY
V a ) a
Bằng qui nap ta chứng minh đươc V , = ar + (Vn > 1). Ta xét tích a
n n
II' - IIi=l i=l
n n
ủ v' = ủi = l i=l
2i_1 1 \ (
a +- 2'- — a - —0
V a K a )
/ 2M 1 \ (
a f 2- — a - —
V a a )
ía —0
V a ) n
i=l
2>-i
a
í 1 V’ r
a - —
V a ) \
Do đó
lim v;
2 2 2
V . V ...V
1 2 n
= lim
ữ2" +
V
_ 2 "
a ----
V a J
( ìY Y 2. 1 x2 a H— r
V ữ y
= lim í a ----o
V
Vậy lim
2 2 2
V .V ...V1 2 %
= v í - 4
= 2011
= 2011 ta có đpcm Ci2
(2.2.14)
2 Cho dãy số (u ) được xác định:
Bài 15: (Câu VI đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước 2013-2014) u] =
2013
u l ( 2 - 9 u n+1 ) = 2 u n+i ( 2 - 5 u n ) ’ V w ^ 1
Xét dãy số V u, M,
— — I—
1 1 - u2 1 — u . Tìm limv„. (2.2.15)
T u _• 2 • _
Lời gỉảỉ:
Ta cú u„ * 0 Vô > 1.
Khi đó: uị ị l - 9un+ỉ) = 2un+l (2 - 5un) 2 - 9 un+1
n+1
= 4 ( 2 - 5 ô , ) u~
J _ _ o = i _ Ị £ M , n+1 u 2n u n
Đặt X = — Vn > 1.
Khi đó ta có dãy mới (xn) được xác định bởi:
X =2013
x n+W+1 1 ~ x n 5 ỵ nw + 9 Vn > 177
Chứng minh (xn) là dãy tăng:
Xét hiệu:
X n+l ~ X n
- x l - 5x_ + 9 - JC_
= ( * „ - 3 ) 2 ằ 0 Do .Kị = 2013 > 3 nên *n+1 - xn > 0 Vậy dãy ịxn) là dãy tăng.
Chứng minh (xn) không bị chặn hay limx = +00:
Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
Giả sử dãy (xn ) có giói hạn hữu hạn, đặt limxn - a, {a> 2013).
Từ công thức truy hồi xn+l = x ^ - 5 x n +9
Lấy giới hạn hai vế, ta được: a = a2 - 5 a + 9<3>a = 3 (không thỏa mãn) Do đó dãy (jtn) không có giới hạn hữu hạn.
Ta có:
ил u _
v „ = ^ - + ...+
1 - u 1 — u .
= 2
- 2
V u ĩ и
= 2
- 2 n
\ - 2 Xn ~ 2 y
Vw> 1
Mà:
Do đó
xn- 2 n xn- 3 n xn+ì -n+L 3
v„= 2
= 2
* 1 -3 *й+1 - 3.
v 2 0 1 3 -3 *й+1- З у Mà lim JC = + 0 0 nên limv_
1005
Vậy limvn = lim и, U1 и
1 - Mj 1 - u2 1 — u. 1005
Bài 16: (Câu 3b đề thỉ học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013-2014)
Cho dãy số {un ) thỏa mãn:
w, = —5 1 2
— -L 2 _ 1 0
M„4-1 = —n + i 2 + 2
f ằ 1 ^ (n e N *). Tìm lim T —
U=1 uk)
(2.2.16) Lòi giải:
Ta có: u
Nếu có số M sao cho u < Mn với moi * n, thì tồn tai ' • limu - L .n Vì un > Mj => L > Uị
Khi đó ta CÓ: L = ---ứ L + 2o L = 2. (vô lý) Do đó limun = +00
Ta có: u2n - 2un +4 = 2un+ỉ
<z> un(un - 2 ) = 2 ( u n+l- 2 )
1 1
u n ( u n ~ 2 ) 2 ( m „ + 1 - 2 )
J ___ 1 _ 1 u_—2 u n u n+1 2
1 1
<^> 1
w 71 u —2 u n 71+1 2
Do đó: Y — = —ỉ--- ỉ— => lim
£-1 Mị í/j — 2 wn+1 — 2
V Í_1 y
1 u - 2 = 2
Bài 17: (Đề thỉ hoc sinh giỏi thành phố Hà Nội vòng 1 năm 2013-2014) ux = 2
Cho dãy số (w ) thỏa mãn điều kiện< ỵ 2 2013 (2.2.17) un+í= + u , n = 1,2,...
. "+1 2014 2014 "
a) Chứng minh rằng (u ) là dãy tăng.
b) Với mỗi ằ > l , ô e N , đặt V = u_
u n+1 1
. Chứng minh rằng V, + V, +.... + V < 2004, Vô > 1, 1 2 n n e N
~T 1 J • 2 •
Lòi giải
a) Trước hết ta chứng minh theo qui nạp u > 1, Vô > 1, ớớễ N Ta có = 2 > 1
Giả sử M, > 1, VẢ: > 1, k e N Ta có = u. - + 2013
- u k > 1 2013
— + - ^ - = 1, VẢ: > 1, Ẫ:eN
2014 2014 2014 2014
Do đú u n > 1, Vô > 1, 7 3 n e N
u2n 2013 + 2014)
Vìw = ——---- h -Z_— - 1 = - ^ ---- ---L
"+1 " 2014 2014 " 2014 > 0 , n = l, 2,...
Nên (m ) là dãy tăng.
_ u _
b) v„ =
u n+1 “ 1
Ta viết u
u , - 1n+1
= 2014
. u — 1 M — 1 .
V n H+l /
(*)
. u - 1 u — 1 .
V ằ+1 /
Nên = 2014
= 2014 1
V1 - u , - 1 ,
V n+1 /
, V n > l, n e N
Mặt khác ( u ) là dãy tăng và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn của dãy số ( u ) .
Giả sử limM = c ( c > 2) Khi đó
с2 2013 2014 2014*
с(с - 1) = о с = 0 (0 с = 1(0
Vậy (и ) là dãy tăng và lim и = +00 Do đó V . + V . + . . . . + V 1 2 n=2004 1---—
V
<lim 2004 1---— = 2014- Nhân xét:
Trong công thức (*) bạn đọc sẽ tự hỏi sao ta có thể viết được như vậy. Thực tế ta xét hai số thực a, b thỏa mãn u _
ô , - 1И+ 1 = a
Ta có u_
ô , - 1n + 1 а. \ и - b и л — b .n n + ù /
о и_
о
и 2013
--—--- 1- и -1 2014 2014 ’
2014м
______ и_____
и2 + 2013м -2 0 1 4
= а 1 1
и -Ъ ul 2013
+ — и - Ъ
а
2014 2014 ’ 2014
2014 и
и2 + 2013м -2 0 1 4 = а
. и - Ъ\ п м2 + 2013м -2 0 1 4п п ь .у _________ и1 - ип_________
(и2+ 2013м -2 0 1 4ь)(и - ъ ) 2014
ul + 2013м -2 0 1 4 = а ____________п_____________и -1 (и2п +2013мл- 2 Ш Ь ) ( и п-ь)
Chọn а = 2014, ъ= 1 ta được đẳng thức đúng Ta bắt gặp một ý tưởng tương tự với bài toán sau:
Bài 18: (Đề thỉ công chức Hà Nội năm 2013-2014)
Cho dãy số (un) xác định bởi
Mj = 3
un+ 1 = - { u 2n - u n +4) V h > 1 ,ô g N
" 1
Đặt vn = V —:— . Tính giới hạn nêu có của dãy vn k=i uk +1
Lòi giải:
Trước hết ta chứng minh dãy số {un) là dãy số tăng
un+ 1 — u = - ị u 2- 4 u + 4 ) = —(m - 2 ) 2 > 0 V ô> 1, n e N nờn dóy số I dãy số tăng
Giải sử lim u - a => <
1 9 r
a = - H ữ - a + 4) a = 2
3 => i ( không thỏa m ãn )
. l a > 2
a > 2 = M, ^ do đó limMn = +00
Xét hai số thực a, b thỏa mãn
u k + 1
= a
uk + 1
- a
= a
%+Ị uk (uk +b)(uk+ị+b)
( % - 2 ) 2
+ b^ịuị - uk + 4 + 3b}
K - 2 )2
- M* + 4 + 3ồ) Đễ thấy a - 2014, ỏ = 1 thỏa mãn yêu cầu trên.
uk +\ — a
Do đó
uk + 1 \ u k 2 M fc+1 2 y
nên V
n
"=ịk=1 = 1 ỉ
Từ đó ta có limv_ = lim = 1 vì limỉ/n+1 =+00
(2.2.18)
* 0 là
1
Bài 19: (THTTsố 447) Giải toán đặc biệt trên THTT Cho hai số thực a,b thỏa mãn a + b> 0. Xét dãy số ịun) có
í _ 7 1 _ i u + ữ b .
- a > m a x |a , o jv à u 1 = — , V n e N a + b
Đặt s = V Ì - ^ L . Tính limS
* n ^ 7 n
i =1 u,.,-b*i+l (2.2.19)
T u _• 2 • _
Lời gỉảỉ:
Ta cú - ô . =
ữ + ố " a + ố
n + 1 71
Kết hợp uỊ - a > max {a, b}.
Chứng minh bằng phương phỏp qui nạp ta nhận được u l - u > 0,vô > 1 tức là [u ) là dãy tăng
(ỉ - a ) ( ỉ - b ) \ l = a
G iả sử lim u = / ta có 1 - Ỉ - ----—--- -=> (loai) a + b ỉ = b
do đó limu = n +0 0
Từ công thức ta cũng có
uM - b - ( ụ =
a + b u —b u _ , - b *n+ì u _ , - bn+1 Do đó Sn=ỲJ-^L
i =l-1 u ., ì i+l b i—1V n . u —b u — b .n+1 / u . —b u , —b 1 M+l a - b u , —bM+l limS_ = lim a + b a+b
a - b u , - b .n + 1 /
a + b a - b
2.3. Bài toán sai phân trong trong phưoug trình hàm
Bài 1: Tìm tất cả các đa thức f ( x ) G M[x] thoả mãn một trong các điều kiện sau:
T u _• 2 • _
Lời giải:
a) Cho X = 0,1, 2 , ta được phương trình f { x ) = / ( o ) c ó vô số nghiệm mà / ( Jt) là đa thức nên / ( * ) = / ( o ) , V x . Thử lại hiển nhiên đúng giả thiết.
b) Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g (x ) sao cho:
g ( x + l) - g ( x ) = X, V ( x )
Chọn g { x ) - ax2 +bx (đ a thức có bậc lớn hơn bậc của X một đơn yị) Ta có
a{x +1)2 + b(x +1) - (ax2 + bx) = X (Vx)
<^2ax + a + b = x (Vx) =>ô = -,& = - —
khi đó bài toán đã cho ( f ( x +1) - g (x +1)) - ( / (X) - g(x)) = 0 Vx Theo a) ta có f { x ) - g { x ) - A (A hằng số) hay f { x ) = - x 2- — + A (Vx) Thử lại đúng.
c)Tương tự câu b), nhưng tìm g ( x ) = ax + b (cùng bậc với 2x + 5 ) sao cho g (x + l ) - 3 g ( x ) - 2x + 5 (Vx)
a) f ( x + ì ) - f ( x ) = 0 ,Vx b) f ( x + ì ) - f ( x ) = X ,Vx
c) / ( x + l ) - 3 / ( x ) = 2x + 5, Vx
(2.3.2) (2.3.1)
(2.3.3)
Ta có а{х + \) + Ь -Ъ (ах + Ь) = 2х + 5 (Ух)
<=>-2ах + а - 2 Ь - 2 х + 5 Ух<=> а - - \ , Ь - - 3
khi đó giả thiết có dạng: ( / ( j t + l ) - g ( j t + l ) ) - 3 ( / ( j t ) - g ( j t ) ) = 0 V(x)
Dễ chứng minh đa thức й(х) thoả mãn /ỉ(x + l)-3 A (x ) = 0 (Vx) là đa thức đồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số).
Vậy / ( x ) = g (x ) = - x - 3 (Vx).
Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã vận dụng tính chất 3 (trang 10) để tìm ra hàm f(x)
Bài 2: Tìm tất cả các hàm số / : [0;+oo) —>■ [0;+oo) thỏa mãn
/ ( * ) + / ( / ( * ) ) = 2 x ,V x > 0 . (2.3.4)
n
Đây là bài toán phương trình hàm dạng + g(jc) = 0 i=\
T Л • • ? •
Lời giải:
Với mỗi X G [0;+oo) ta xây dựng dãy số (un ) như sau u0 =x, Щ = f ( u 0) = f ( x ) ,
Щ = Ж ) = / ( / ( * ) ) , - , K+1 = / Ю , V n G N Do un = f e [0;+oo) nên ип > 0 Vn e N
Trong (2.3.4) lấy X = un ta được un+2 + un+l - 2un = 0
^ un+2 + 2и„+1= un+ỉ + 2 un = ... = 2 w j + 2 u0
Đặt 2mj + 2uữ = a ta có
u n + 2 m „ - i = a < = > - 1 = - 2 ( * V i - 1 ) = ...= ( - 2 ) " ( w 0 - 3 )
Hay = ô + ò ( - 2 ) n Vw = о, 1, 2 ,...
Do u 0 = X , иJ = / (л), nên
f ( x ) = a - 2 ò x = a + ò
2x + f ( x) a = ----
3 x - / ( x )
3
Neu JC - /(jc) > 0 => limu2n+1 = -00 mâu thuẫn vì un > 0 V n e N Neu X - f ( x ) < о => limu2n = - 0 0 mâu thuẫn vì un > 0 V n e N Vậy X - f ( x ) - 0 hay X - f ( x)
Thử lại ta có rõ ràng f ( x ) + / ( / (x)) = x+ f ( x ) = x + x = 2x, Vx > 0.( thỏa mãn ) Vậy hàm số cần tìm là f ( x ) = x
Nhận xét: Xét phương trình hàm tổng quát
(Vói f ( x ) là hàm cần tìm; aỊ,a2,....,an là các hằng số cho trước ) Ta giải quyết bài toán sau bằng cách sau:
+ Giả sử / là hàm số thỏa mãn đề bài. Với mọi X thuộc tập xác định của hàm số / (x ), ta xây đựng dãy số (un) như sau
+ Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) ( dựa vào phương pháp sai phân) tò đó suy ra Щ = f (jt),
+ Thử lại và kết luận Bài 3: ( Dự tuyển IMO 1992) Cho a,b là hai số thực dương.
Tìm tất cả các hàm số / : [0;+oo) [0;+oo) thỏa mãn
n
+ = 0 v ớ i f n ( x ) = / ( / ( - ( f ( x ) - ) )V ________1
i=1 nchu fT7ÌT7
u0 =x, Щ = f ( u 0) = f ( x ) ,
щ = Я щ ) = f ( f ( x ) ) , . . . , u n+ỉ =/(m „),V n e N
/ ( / w ) + a f w = b{a + b)x, Vx > 0. (2.3.5)
ж и • 9 •
Lcd giải:
Với mỗi X G [0;+oo) ta xây dựng dãy số (un ) như sau u0 =x, Щ = f ( u 0) = f ( x ) ,
щ = Ж ) = / ( / ( * ) ) ,...,un+l = f ( u n), Vn G N Do un = f (u^ị) e [0;+oo) nên ип > 0 V n e N
Trong (2.3.5) lấy x = un ta được
un+2 + aun+l - b(a + b)un = 0, V n e N
<=> u n+2 + ( ữ + Ố K + 1 = è ( w „ +1 + ( a + b ) u n ) ’ e N
Mn+2 +{a + tí)un+ỉ = ố(wn+1 + (a + ố)w„) = .... = b”+1(Wj +{a + b)u0), Vw G N Đặt Mj + (a + b)uữ = c ta có un + 2wn_j = a + (a + ố) un_j = z>”_1.c
Tương tự bài 1 ta tỡm được un = crỏ” + ò { - a - b ) n Vw = 0,1,2,...
Do u0 = X, иJ = / (л), nên
Nếu bx - / ( Jt) > 0 => limu2n+1 = -00 mâu thuẫn vì un > 0 V n e N Nếu bx - f ( x ) < 0 => limu2n = -00 mâu thuẫn vì un > 0 V n e N Vậy b x - f ( x ) = 0 hay bx = f (x)
Thử lại ta có rõ ràng thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm là f ( x ) = b x
Bài 4: ( Đề thi chọn đội tuyển Singapore năm học 2001-2002) Tìm tất cả các hàm / : [0;1) —> [0;3) thỏa mãn
x - a + ò
/ (x) - b a - ( a + b )ò
/ ( / ( * ) ) + / ( * ) = ì2 x ’ Vx > 0. (2.3.6)
Hoàn toàn tương tự như bài 2 với a = 1, b = 3, ta có kết quả f ( x ) = 3 X Bài 5: Tìm tất cả các hàm / : [0;+oo) [0;+oo) thỏa mãn
/ ( / ( * ) ) + 4 / (jc) = 21* + 2009, Vx > 0. (2.3.7) Lòi giải:
Với mỗi X <E [0;+oo) ta xây dựng dãy số (un ) như sau u0 =x, Щ = /(ô „ ) = /( * ) ,
u2 = / K ) = / ( / ( * ) ) , = f ( u n), Vn G N Do un = f (*/„_! ) e [0;+oo) nên un >0 V n e N
Trong (2.3.6) lấy X = и ta được и +2 + Au +1 - 21м =2009 Vw = 0,1, 2,...
Xét phương trình đặc trưng Ẳ2 + 4Ấ - 21 = 0 có các nghiệm là 3 ,- 7 Do đó un = a . y + ò { - l ) n + a. Vw = 0,1,2,...
Ta tìm a thỏa mãn phương trình - 2а + 21 а = 2009 => a = — ——2009 16 Khi đú un = a . y + ò { - i y Vw = 0,1,2,...
16
Vì un > 0 Vw = 0,1,2,... nên а > 0, /? = 0 nên un =a.3n - ^992. Vw = 0,1,2,...
^ ^ _ _ _ . 2009 ^ , 2009 ft Do un= x = a0 ---- — , 16 U, — f1 (x) - З а ----—— nên16
2009
16 => /Yx) = 3x+= a , 2009
2009 8
/ (x) = З а— Do đó / (x) = 3x +
8 Thử lại ta có (1) ứiỏa mãn
Vậy hàm số cần tìm là / (x) = 3x + 2009 8
Bài 6: ( Đề thi HSG Quốc Gia 2012)
Tìm tất cả các hàm / xác xác định trên tập số thực M, lấy giá trị trong M và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
(1) / là toàn ánh tò R đến R (2) / là hàm số tăng trên R
( 3 ) / ( / ( * ) ) = f ( x ) = U x , xeM . (2.3.8) Lời giải:
Nếu / ( * ) = /(>>)thì / ( / ( * ) ) = /( /( j> ) ) n ê n từ (3) ta có 12x = 12y do đó x - y . Vậy / đơn ánh. Kết hợp vói (1) ta có / là song ánh. Gọi / _1 là hàm ngược của
/ thì do (2) nên / -1. Thay X - 0 vào (3) ta được / ( / ( 0 ) ) = / ( 0 ) . Do / là song ánh nên từ đây suy ra / _1 (0) = 0. Lấy / _1 hai vế ta có / _1 (0) = 0. Đặt
f-nự) = / “1( / “1—( / “1(*)))> n !ần, dễ thấy / „là hàm số tăng và /_„(0) = 0. Xét dóy (a„) với a0 = /( x ) , = X, an = / _1 (ô„_!> (Vn = 2, 3,...)
Thay X bởi / _1(an_1) vào (3) ta được an_2 = an_x + 12ữn.
Giải phương trình này ta được a - a . í 1 V
+ /? - Vô = 0,1, 2,
V ì ữ 0 = / ( x ) , U ị = X ta có
' f ( x ) = a + fi _ a Ị3 o 1 x = 4 3
3 /
3 (-4 * + /( * ) ) 7
4(3* + / ( * ) )
V õ v a _ 4(3x + / ( x ằ ớ 1Ỵ 3 (-4 x + /( x ) )
" 7 7 Vô = 0,1, 2,...
V -V Hay = 4(3* + / M ) (4),-ằ + ( / M - 4 * ) (_ 3)1-,
Xét với X > 0 cố định. Khi đó /_„(x) > 0 Vn do f_n là hàm số tăng, 4 x - / ( x ) = 0
Vậy 4x = f (x) thỏa mãn đề bài.
Nhận xét: Để giải quyết được bài toán trên ta phải hiểu rõ được thế nào là hàm đơn ánh, hàm song ánh, hàm toàn ánh
Định nghĩa 2.1. Ảnh xạ f : X —>Y được gọi là đom ánh nếu với a e X , b e X mà a ^ b thì f { a ) ^ f { b ) , tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt.
Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khỉ với a G X , b G X mà f { à ) = f { b ) , ta phải cổ a - b .
Định nghĩa 2.2. Ảnh xạ f \ X —>Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử y & Y đều tồn tại một phần tử X G X sao cho y = f (x). Như vậy f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Y - f ị x ).
Định nghĩa 2.3. Ảnh xạ f : X - ^ Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Như vậy ánh xạ f : X —>Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi
y & Y , tồn tại và duy nhất một phần tử X e X để y = f ( x ) .
Nhắc lai:
Bài 7: Tỡm hàm số / : R —ằ R thoó món điều kiện:
Vx e R (2.3.9)
T u _• 2 • _
Lời gỉảỉ:
Thay X bởi / ( x ) ta được:
/ ( / ( ^ ) ) = 3 / ( / ( * ) ) - 2f ( x ) , V x e K
V V--- V
n+ 2 n+ 1 n
”■"V-
71+1 n
Hay f n+2(x) = 3 f n+ỉ( x ) - 2 f n(x),n>0
xn+2 = 3xn+l - 2xn Phương trình đặc trưng là:
л2-ЗЛ + 2 = 0о Л = 1,Л = 2 Do đó xri=c1+c2 2”
Ta có: x 0 = c l + c 2 = X
xl = Cj + 2 c2 = /( л )
Từ đó ta được: cl = 2 x - f (x),c2 = f (x) - X
Vậy: / (л) = X + c2 hoặc / (л) = 2x — cỉ Bài 8: (Lập bảng tìm qui luật)
Xét dãy số hữu hạn: 1, -1, -1, 1, 5, 11,19, 29, 41, 55.
Tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó, từ đó tìm công thức tổng quát của dãy số.
Lòi giải:
Ta lập bảng sai phân như sau:
Xn 1
1 1
1 5 1 1 19 29 41 55
ầxn
2
0 2 4 6 8 1 0 1 2 14
A 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Vậy A2xn = const do đó xn là đa thức bậc hai xn = an2 +bn + с
Để tính a, b, с ta đưa vào 3 giá tri đầu x0 = 1, jCj = -1, x2 = -1 sau đó ta giải hệ phương trình ta nhận được: a = 1, b = -3, с = 1. Do đó xn = n1 - Зп +1
Bài 9: Xét dãy số hữu h ạ n :-1, 0, 7, 26, 63, 124.
Tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó, từ đó tìm công thức tổng quát của dãy số.
Lòi giải:
Ta lập bảng sai phân như sau:
n -1 0 7 26 63 124
ầxn 1 7 19 37 61
Á 2Xn 6 12 18 24
A \ 6 6 6
Vậy A3xn - const do đó xn là đa thức bậc hai: xn - an3 + bn2 + cn + d
Để tính a, b, c, d ta đưa vào 3 giá tri đầu x0 - -1, jCj = 0, x2 = 7 sau đó ta giải hệ phương trỡnh ta nhận được: <2 = 1, b = 0, c - 0,ớ/ = -1 Do đú: = ô3 - 1
Nhân xét:
Trong bài tập 8 và 9 ta đã dùng tính chất tổng quát ( trang 10) đặc biệt là Sai phân cấp k của đa thức bậc m là hằng số nếu k = m
B à i 10: Tìm tất cả các hàm xác định trên N và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Ị 2 f ( n ) f ( k + n ) ~2f { k - n ) = 3 k > n
1 / ( 1 ) = 1
w 1 J • 2 *
Lòi giải:
Cho k = n = 0 ta có 2 / 2(0) - 2 /(0 ) = 3 / 2(0) <^> /( 0 ) = 0 /( 0 ) = -2
Nếu / ( 0 ) = 0chọn ô = 0 ta được: -2/(Ẵ :) = 0do đú f ( k ) - 0 với mọi k Chọn k - 1 ta được / (l) = 0 mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy: / ( 0 ) = -2.
Chọn n - 1 ta được phương trình:
2 / â ) / ( * +1) - 2 f { k -1 ) = 3/(l)/(Ả :), VẢ:
ô 2 f { k +1) - 2 f { k -1 ) = 3 m , Vk
Đặt: xk = f (k) ta có phương trình sai phân: 2xk+ỉ - 3xk - 2xk_ì = 0 Phương trình đặc trưng là:
~ Á = 2
2Ẳ2 -3 Ẳ - 2 - 0 < = >
Ằ = ~ - 2
Vậy: f ( h ) = c12n +cĩí 1Y Ta tìm Cj, c2
Từ điều kiện / (o) = -2 , / ( l ) = 1 thay vào trên ta tìm được Cj = 0, c- í 1V
= - 2 Vậy: / ( ô ) = - 2
V
2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi
n
2
Bài 1: / = Ịsin^xíừ 0
T u _• 2 • _
Lời gỉảỉ:
n n
2 2
Ta có I n - J sin" xdx - J sin"“1 x.sinxíừ
0 0
Chọn <u = sin" 1 X dv = sinxdx
du = (n - 1) cos X sin" 2 xdx V = - c o s x
7Ĩ
n_ 2
I n - -cosx.sin"“1 X lồ +{n - 1)J cos2xsin"“2 xdx
0
71
2
= { n -1) J (1 - sin2x) sin"“2 x)dx 0
71
2
= { n -1) J(sin”“2 X - sin” x^dx 0
= { n - \ ) ự n_2- I n)
I = ^ — ^ 1 2
n n - 2
n Ta có
(2.4.1)
L n - l n n - ì
n- 2 n- 4
ĩl
Nếu n chẵn thì n - 1 n—3 3
n 71
_n n 2 2
.---- Mà L = [ sin2 f
n n - 2 2 J J
Nên / = K - l K -3 3 n n — 2 2 "4 Nếu n lẻ thì
n — 1 /2 -3 2
Nên /„ =
n n- 2
^ n - 1 n - 3 2^
n
2 Ị
- / j . Mà /j = I sinxíừ = 1
1 0
ô n - 2 1
Nhận xét: Trong phần tính tích phân truy hồi I n, bằng phương pháp tích phân từng phần ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các I n, In_x, In_2 và thiết lập được một phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên. Từ đó tìm được kết quả bài toán.
n
2
Bài 2: I n - J cos" xdx
0
(2.4.2)
T u _• 2.* -
Lời gỉảỉ:
n n
2 2
Ta có / = J cos" Xdx - J cos"“1 x.cosxdx
0 0
Chọn <
_ n—1
u = cos X
dv - cosxdx
du = —(n - l)simc.cos" 2 xdx
V - sin X
n
I n - sinx.cos"“1 X lổ +(n - 1)J sin2xcos"“2 xdx 0
n
2
= { n - 1)J (1 - cos2x)cos"“2 x)dx 0
Jt_ 2
Ta có
/ = ^ —n _ n —22 n
Ịn-2 = ---/^ô-4 ĩl
Nếu n chẵn thì n - 1 /2-3 3
Nên / =
n ô - 2 2
^ ô - 1 n - 3 3^
;r ;r
2 2
/ 2. Mà / 2 = Ịcos2Xíừ = J
0 0
V n n — 2 2
;r ĩ Nếu 72 lẻ thì
n
I = - — . Mà /, = [ cosxíừ = 1
" n n - 2 1 1 1 J0 Nờn / = K - l ô - 3 2
n n- 2 1
71
Bài 3: Tính tích phân ỉ n - ị cos" x.cos nxdx (n € N*) 0
Lời giải:
(2.4.3)
Chọn <u = cos X
dv = cosnxdx 1 .
V = —sinnjc tl
du = -nsiiuc.cos” 1 xdx
J 7Ĩ n
I n sinnx.cos" jc|ổ +[cos"“1sinnx.sinxíừ
72 *
n 0
n
- J co s"_1sinnx. sinx dx 0
1 71
- - - - J cos"“1 (cos(n+ l ) x - cos(n -1 )x)dx 2 0
= - —\ KJ co s"_1cos(n+1) X dx + — J co s”_1co s(n -1) X dx
2 0 2 0
= —r f co s"_1cosnx. cosx dx + — í co s"_1sinnx. sinx dx + — /
^ 0 ^ 0 ^
- ọ J í co s”cosnx ọ n dx + —/ +1 .B - l
z 0 z
1 J_ J.
2 " + 2 " + 2 ”_1
= 1 /n—1 2 Như vậy
1 In 2 In~l I n-\ ~ 2 ^ô-2
Nên /„ =
71
/j mặt khác /j = I cos2 xdx = —
0 2