phương trình sai phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC …………………………………… NGUYỄN TIẾN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC …………………………………… NGUYỄN TIẾN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH Hà Nội - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số, hàm lƣới sai phân 1.2 Phƣơng trình sai phân tuyến tính 1.3 Một số phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản 13 1.4 Phƣơng trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa 23 1.5 Một số phƣơng trình sai phân phi tuyến tính thƣờng gặp 24 Chƣơng 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 29 2.1 Giải hệ phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 29 2.2 Chuyển đổi đại lƣợng trung bình 31 2.3 Tìm giới hạn dãy số 33 2.4 Giải toán số học 41 2.5 Giải toán phƣơng trình hàm 52 2.6 Giải toán tích phân 56 BÀI TẬP THAM KHẢO 60 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn tác giả đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Lê Đình Định – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội Lời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ngƣời thầy dạy ngƣời thầy hƣớng dẫn - Tiến sĩ Lê Đình Định Thầy dành nhiều thời gian để bảo, hƣớng dẫn tác giả với nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc, đầy kinh nghiệm học tập suốt trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ tất ngƣời tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Tác giả LỜI MỞ ĐẦU Rất nhiều tƣợng khoa học kỹ thuật thực tiễn mà việc tìm hiểu dẫn đến toán giải phƣơng trình sai phân Phƣơng trình sai phân công cụ giúp giải toán vi phân, đạo hàm phƣơng trình đại số cấp cao Sự đời phƣơng trình sai phân xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bên đại lƣợng biến thiên liên tục (đƣợc biểu diễn hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên lại độ biến thiên đại lƣợng Đối với hàm thông thƣờng nghiệm giá trị số (số thực, số phức,… ) Còn phƣơng trình sai phân mục tiêu tìm công thức hàm chƣa đƣợc biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thông thƣờng họ phƣơng trình, sai lệch số C Hàm đƣợc xác định xác có thêm điều kiện xác định ban đầu điều kiện biên Trong ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm công thức hàm nghiệm Với giá trị thực tiễn ngƣời ta quan tâm tới giá trị hàm giá trị cụ thể biến độc lập Các phƣơng pháp nhằm tìm giá trị xác hàm đƣợc gọi phân tích định lƣợng Tuy nhiên lúc xác định đƣợc giá trị thực, lúc ngƣời ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có độ xác định) với giá trị thực Việc tìm giá trị đƣợc thực thƣờng phƣơng pháp số với công cụ máy tính Phƣơng trình sai phân đƣợc nghiên cứu rộng rãi toán học túy ứng dụng, vật lí ngành kỹ thuật Toán học túy quan tâm đến việc tìm tồn hàm nghiệm Phƣơng trình sai phân đƣợc phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên cứu phƣơng trình sai phân có chứa số hạng đại số sai phân Trong loại phƣơng trình sai phân lại đƣợc chia thành hai dạng tuyến tính phi tuyến tính Việc giải phƣơng trình sai phân tuyến tính thực đƣợc nhƣng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính công thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng Thay vào dùng hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến với điều kiện ràng buộc định Ở trƣờng trung học phổ thông nhƣ kỳ thi học sinh giỏi toán xuất nhiều toán hay khó dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi, phƣơng trình hàm, … đƣợc cho dƣới dạng phƣơng trình sai phân hay có sử dụng phƣơng trình sai phân để giải Chính mà nhiệm vụ tìm hiểu ứng dụng phƣơng trình sai phân toán phổ thông yêu cầu cấp thiết quan trọng Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phƣơng trình sai phân có phân loại dạng phƣơng trình sai phân với tổng hợp phƣơng pháp giải đóng góp tốt hơn, có hiệu cao cho việc định hƣớng nghiên cứu phát triển tƣ cho học sinh Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng nhắc lại xây dựng kiến thức mà đƣợc ứng dụng rộng rãi chƣơng sau Phần kiến thức chuẩn bị nhắc lại định nghĩa dãy số, hàm lƣới, sai phân tính chất sai phân Phần thứ hai chƣơng trình bày kiến thức định nghĩa, phân dạng phƣơng pháp giải dẫn đến công thức nghiệm phƣơng trình sai phân tuyến tính Phần thứ ba chƣơng giới thiệu số dạng phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản, thƣờng gặp toán phổ thông Đó phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, hai, ba phƣơng pháp giải dẫn đến công thức nghiệm phƣơng trình sai phân tuyến tính Phần thứ tƣ chƣơng trình bày phƣơng trình sai phân phi tuyến tính vấn đề tuyến tính hóa Đặc biệt phần nêu đƣợc phƣơng pháp để tuyến tính hóa số phƣơng trình sai phân dạng phi tuyến tính dạng tuyến tính giải đƣợc Nhờ mà làm phong phú thêm ứng dụng phƣơng trình sai phân Phần cuối chƣơng giới thiệu số dạng ví dụ phƣơng trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa đƣợc Chƣơng 2: Một số ứng dụng phƣơng trình sai phân Chƣơng nêu ứng dụng phƣơng trình sai phân giải toán phổ thông Đặc biệt giới thiệu đƣợc số toán kì thi học sinh giỏi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính phi tuyến tính để giải Vấn đề tuyến tính hóa đƣợc thâm nhập sâu đa dạng chƣơng Phần chƣơng nêu rõ đƣợc phƣơng pháp giải tổng quát cho hệ hai phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, việc biến đổi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Trong phần đƣa số tập có lời giải để học sinh nắm bắt dạng toán vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải Phần hai chƣơng tổng quát đƣợc sáu dạng toán có lời giải chuyển đổi đại lƣợng trung bình đối số hàm số nhờ việc biến đổi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phần ba chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải số tập việc tìm giới hạn có liên quan đến dãy số đƣợc biết đến dƣới dạng: số hạng tổng quát; phƣơng trình sai phân hay hệ phƣơng trình sai phân Phần bốn chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải số toán liên quan đến số học Phần năm chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải toán phƣơng trình hàm Phần cuối chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải số toán liên quan đến tích phân truy hồi Những kiến thức trình bày luận văn phổ thông đƣợc dùng cho em học sinh ôn luyện tham gia kì thi học sinh giỏi Tất nhiên kiến thức đƣợc xếp, trình bày cách có hệ thống để tiện theo dõi Ngƣời đọc từ nhận xét, đánh giá tổng quan để bổ sung, mở rộng kiến thức nhằm phát huy khả sáng tạo, say mê khám phá hứa hẹn nhiều kiến thức thú vị, bổ ích thiết thực ( ) ( * ( ) ) + ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) * + ( ( ( ) * ) ( ) ) ( ) + ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ∑( ) ( ( ) ) ) ∑ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )( ) ( )( ) ( ( ( )( ) )( ( √ * ứ ỏ , ( đị ( ) , ( ) é ì đề ( - , ) - ) ( √ ( ) ệ ( ƣơ ) ) ƣơ ì ì ể ứ ( ê ) ế í ê + ứ ê ( ) ( ủ ) ) * ố ) ) , ê ( ( ó ố ự ( / ) ) ) + ( ( ( ) ) ó , ) ) * + * + 51 ằ ã { ( ữ ô ã ƣơ đị ƣơ ố ì â ế ố ố ọ ố ậ ệ ả ế í ấ đề đị ệ ƣơ ƣơ ế ấ đẳ ả ƣơ Đề à ủ ó đƣợ ầ ã ố ê ị ẳ đề đƣợ â í ẫ ) ì đế ( ì ê í ( đƣợ đƣợ ế ( ) ứ ) ố ứ đị ứ ƣ ƣớ ứ ố ố ố ê ì ụ ó ủ ò ủ ế ƣơ ì ê ầ ê ố ố ầ â đị ê í â ó ) * + ( ) ( ) ( ) { ệ ê ( ) ó √ 52 í √ ( (√ ) √ ( ) (√ ) ) √ √ √ √ √ √ [(√ ậ √ ) ( ì ậ à (√ ] (√ √ ) √ ) ) √ √ ê ụ ầ ì ( ) ê ( ) ( ( ) ằ ) ( √ ố ̅̅̅̅̅̅ ( ) ∑ Đặ ả ∑ ( ế ặ ∑ ( ) / / / ( 53 ) ) ) ì ( ) ế ∑ ( ( ) ( ) ∑ ( ) ) ( ) ( ( * ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ( ) ( )( ( )( ) ( ) )( ) ( ) 54 ̃( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ( ) ) ) ( ) √ ( ( )( ( ) ) ( ( )( ( ) ) ( ) ( )( ) ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( √ ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( √ )( √ ) ) ( √ ) ( ) ( ) )( √ ) ( ) 55 √ ( ) ( ( ) ) ( ) ∫ ( ) ( ( ) ) {( ) ∫ * + ( ( ƣ ậ ( ) ) ) ∫ , ∫ ∫ ( ) ( ( ) 56 ) - ( ) ( ) ( ∫ ) ( ) ( ∫ ) ( ( ) )( ) ) ∫ | ( ) ( ( ( ) )( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ) ( 57 ) ) ( ) ( ( ∫ ) )( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ∫ ( ∫ ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ) ( ( ) ) ∫ 58 ( ) ( ) ( ) , - ∫( ) ( ∫( ( ) ) ) í ( đƣợ ( ∫ ( ) ( ) ) ) ( ( ( )( ) 59 ) ) ( ) ∫ / ( ( ) ( ) ( ) ( )( ( )( ) ( ( ) ) 60 ) ) ( ( ( ( ) ) )( )( ( ) ) )( ) ( ) √ ớ 61 ố ( ã ì ổ ( ã ì )( ) đ )( ) đ √ √ ã ( ) đ ã ( ) đ í ì để ố ủ ã ( ) đ ã ( ) đ đề ệ ủ ã ( ) đ ã đô ộ ì ì ứ ã để ã ố ô ó ô ố ố ị ặ ố í 62 ê ∑ ( ) ( ( ) ủ ã ) ( ) ( ) ( ( ƣớ ) ã ô ự ứ ằ ( ô ứ ô √ ã ( ổ ) ố ( ) đ ố ự ê để √ √ ( ì ) ( √ ) ) ) ( ) đ để ( ) ã ố ê 63 KẾT LUẬN Bản luận văn nêu đƣợc phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến tính số dạng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa đƣợc Từ kiến thức nêu đƣợc ứng dụng phƣơng trình sai phân việc giải toán trƣờng trung học phổ thông Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta cách giải độc đáo khác cho toán có dạng đặc th Tuy nhiên với toán lên quan đến phƣơng trình sai phân khai thác phƣơng pháp tổng quát xây dựng đƣợc để giải Đây thành công mặt định hƣớng cho phƣơng pháp giải toán Với thời gian nghiên cứu khả có hạn, hy vọng luận văn giúp ích phần cho thầy, cô giáo em học sinh nhà trƣờng phổ thông việc học tập môn toán Luận văn hy vọng đóng góp phần nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng phƣơng trình sai phân việc rèn luyện học sinh giỏi toán trung học phổ thông Cuối tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ban lãnh đạo, thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt hƣớng dẫn bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc đầy kinh nghiệm Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên nhà trƣờng giúp tác giả hoàn thành luận văn 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Đình Định – Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục 2011 Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục 2001 Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định – Các phương pháp sai phân, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội - 2005 65