Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu độc lập riêng tơi Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu, chưa công bố nghiên cứu khác Học viên Trần Thị Thanh Thảo LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình cao học viết luận văn này, tơi nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn để giúp hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xn Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, Phạm Thị Thu Thủy, q thầy tận tình dạy bảo mở mang cho nhiều kiến thức Toán học, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lí thuyết số Khóa 27 bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi ln nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 Trần Thị Thanh Thảo BẢNG KÍ HIỆU Spec  R  Tập tất iđêan nguyên tố R SuppR  M  Giá M AssR  M  Tập iđêan nguyên tố liên kết M AnnR  M  Linh hóa tử M H Ii  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i H Ii , J  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan ExtRi Tích mở rộng n  chiều R Tori R Tích xoắn n  chiều R I   Hàm tử I  xoắn I ,J   Hàm tử  I , J   xoắn MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị .5 1.1 Một số kiến thức 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  11 1.4 Bao nội xạ 14 1.5 Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck 14 Chương Môđun Lasker yếu môđun  I , J   Cofinite 18 2.1 Môđun Lasker yếu môđun  I , J   cofinite yếu .18   s 2.2 Sự hữu hạn tập Ass HomR R / I ; H I , J  M     .24  2.3 Sự hữu hạn tập AssR H Is, J  M  28 2.4 Tính cofinite yếu H Is, J  M  .31 Chương Phạm trù Serre 34 3.1 Định nghĩa 34 3.2 Tính chất H Ii , J  M  phạm trù Serre 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm vị trí quan trọng Đại số đại nói chung Đại số giao hốn Hình học đại số nói riêng, tiếp tục nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác Trong luận văn này, ta nghiên cứu hữu hạn tập   AssR  H Is, J  M   AssR Hom  R I , H Is, J  M   , vài tính chất môđun đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo quan điểm phạm trù Serre Trong toàn luận văn này, ta ln giả thiết R vành Noether giao hốn I , J iđêan vành R Trong [1], nhà toán học Takahashi, Yoshino Yoshizawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  , mở rộng định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Grothendieck Cho M  R  môđun, mơđun  I , J  M   x  M I n x  Jx, n  môđun  I , J   xoắn M Vì tồn hàm tử hiệp biến  I , J từ phạm trù R  mơđun vào Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan  I , J  , kí hiệu H Ii , J , hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I , J Nếu J  H Ii , J hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H Ii Grothendieck Trong [2], Grothendieck đưa giả thuyết: Với iđêan I vành R với R  môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom  R I , H Ii  M   hữu hạn sinh với i Một năm sau Hartshorne đưa phản ví dụ cho giả thuyết Grothendieck Ơng định nghĩa mơđun I  cofinite đặt câu hỏi: “Với vành R iđêan I mơđun H Ii  M  môđun I  cofinite với môđun hữu hạn sinh M ?” Vấn đề đặt tương tự cho cặp iđêan  I , J  , môđun H Ii , J  M  cho ta kết nào? Luận văn trình bày làm ba chương Chương trình bày mà không chứng minh số kiến thức đại số giao hoán đối đồng điều địa phương báo [1] Trọng tâm luận văn nằm chương hai chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] PGS TS Trần Tuấn Nam Nguyễn Minh Trí Trong chương hai giới thiệu mơđun Lasker yếu môđun  I , J   cofinite yếu, từ rút số kết quan trọng đặc biệt tập iđêan nguyên tố liên kết H Is, J  M  HomR  R I , H Is, J  M   , với s số nguyên không âm cho trước Chương ba giới thiệu phạm trù Serre, cung cấp cho ta nhìn khác mơđun H Ii , J  M  tính chất môđun phạm trù xét Cụ thể sau: Phần (2.1.1) (2.1.2), ta tìm hiểu định nghĩa tính chất mơđun Lasker yếu dựa kết hai tác giả K Divaani- Aazar A Mafi báo [4] Dựa vào định nghĩa môđun  I , J   cofinite (2.1.3) mà A Tehranian A Pour Eshmanan Talemi đề cập đến báo [5], kết hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu K Divaani- Aazar A Mafi báo [6], ta định nghĩa hoàn chỉnh số tính chất mơđun  I , J   cofinite yếu (2.1.4) (2.1.5) Tiếp đến phần (2.1.6) (2.1.7), ta thu kết tính Lasker yếu môđun ExtRi  R I , M  với i  s , s số nguyên không âm cho trước Bằng việc chứng minh quy nạp sử dụng dãy phổ Grothendieck [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) tính Lasker yếu HomR  R I , H Is, J  M   từ dễ dàng suy hữu hạn   tập AssR Hom  R I , H Is, J  M   Hệ 2.2.2 2.2.3 Trong Định lý 2.3, từ tính Lasker yếu H Ii , J  M  ta suy tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn Ta nghiên cứu tính cofinite yếu mơđun H Is, J  M  Định lý 2.4.1 từ ta hai Hệ 2.4.2 2.4.3 Tiếp đến phần 3.1 chương ba, ta trình bày hai cách định nghĩa tương đương phạm trù Serre Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định H Ii , J  M   ExtRi  R I , M   với i  s với i  s Bổ đề 3.2.2 sử dụng kết M Asgharzadeh M Tousi [8], cho ta Định lý 3.2.3 HomR  R m , H Is, J  M   thuộc phạm trù Serre Cuối cùng, ta nhận thấy lớp R  môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin báo [9] C Huneke vành địa phương  R, m  cho ta khẳng định HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn Hệ 3.2.5 Mặc dù có nhiều cố gắng việc hoàn thành luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên chắn luận văn cịn có sai sót khơng mong muốn Rất mong nhận đánh giá, nhận xét phản hồi từ quý thầy cô bạn 28 Từ dãy khớp ngắn  N  H Is, J  M   H Is, J  M  N  cảm sinh dãy khớp HomR  R I , H Is, J  M    HomR  R I , H Is, J  M  N   Ext1R  R I , N  Theo Bổ đề 2.1.2.b, ta có Ext1R  R I , N  Lasker yếu Hơn nữa, H Ii , J  M  môđun  I , J   xoắn nên Supp  H Ii , J  M    W  I , J  Theo Hệ 2.1.5, H Ii , J  M  Lasker yếu nên  I , J   cofinite yếu, dẫn đến HomR  R I , H Is, J  M   Lasker yếu (theo Định lý 2.2.1) Vì HomR  R I , H Is, J  M  N   Lasker yếu tập  AssR HomR  R I , H Is, J  M  N  hữu hạn Lưu ý từ Mệnh đề 1.1.14 Mệnh đề 1.1.16, mơđun hữu hạn sinh mơđun có giá hữu hạn Lasker yếu Vì ta có kết sau Hệ 2.2.3 Cho M R  môđun hữu hạn sinh s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M  hữu hạn sinh SuppR  H Ii , J  M   hữu hạn với   i  s AssR HomR  R I , H Is, J  M   hữu hạn 2.3 Sự hữu hạn tập AssR  H Is, J  M   Định lý 2.3 Cho M R  môđun Lasker yếu s số nguyên không âm Giả sử có iđêan a R thỏa :M a  :I , J  M  a W  I , J   V  a  29 Nếu H Ii , J  M  môđun Lasker yếu với i  s tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn Chứng minh: Ta đặt hàm tử F  HomR  R / a,   G   I , J    Khi FG  HomR  R a ,  I , J     Từ giả thiết :M a  : I , J  M  a , tồn đẳng cấu HomR  R a ,  I , J  M    HomR  R a , M  Ta có dãy phổ Grothendieck E2p ,q  ExtRp  R a , H Iq, J  M    Ext Rpq  R a, M  p  k , s  k 1 s s Ek0,s  Ekk ,s 1k Khi đồng cấu dãy phổ Ek k ,s k 1  0, s Vì Ek k ,s k 1  với k  , Ker sk0,s  Ek0,s1 , tồn dãy khớp s   Ek0,s1   Ek0,s  Ekk ,s 1k 0, s Vì AssR  Ek0,s   AssR  Ek0,s1   AssR  Ekk ,s 1k  Với k  2, , s  1, ta có: AssR  E20,s   AssR  E30,s   AssR  E22,s1  AssR  E30,s   AssR  E40,s   AssR  E33,s2  AssR  Es0,s1   AssR  Es0,s2   AssR  Ess11,0  30 Khi AssR  E20,s   AssR  E30,s   AssR  E22,s1   AssR  E40,s   AssR  E33,s2   AssR  E22,s 1    s 1    AssR  Ekk ,s 1k    AssR  Es0,s2   k 2   s 1 0, s k , s 1 k  Ass E  Nên    AssR  Es0,s2  Mà Es0,s2  Es0,s3   E0,s R   AssR  Ek  k 2   s 1  Vì AssR  E    AssR  Ekk ,s 1k    AssR  E0,s   k 2  0, s Với k  2, , s  s   k 0; ; s  1 nên H Is,J1k  M  R  môđun Lasker yếu nên E2k ,s1k  ExtRk  R a , H Is,J1k  M   Lasker yếu Vì Ekk ,s1k mơđun thương E2k ,s1k , nên từ Bổ đề 2.1.2.a, cho ta Ekk ,s1k mơđun Lasker yếu Do s 1 k 2 AssR  Ekk ,s 1k  tập hữu hạn Ta cần tập AssR  E0,s  hữu hạn Thật vậy, tồn lọc hữu hạn  H pq  ExtRpq  R a, M  thỏa:   pq1H pq   pq H pq   1H pq   H pq  ExtRpq  R a , M  Ek , pqk   k H pq  k 1H pq với  k  p  q Dẫn đến Ep ,q R  mơđun Lasker yếu, AssR  Ep,q  hữu hạn với p, q nên AssR  E0,s  hữu hạn Mà H Ii , J  M  môđun  I , J   xoắn nên ta có AssR  H Is, J  M    W  I , J  (do Định lý 1.3.6), đó: 31    AssR  E20,s   AssR Ext R0  R a , H Is, J  M    AssR HomR  R a, H Is, J  M     V a   AssR  H Is, J  M    W  I , J   AssR  H Is, J  M    AssR  H Is, J  M   Vậy AssR  H Is, J  M    AssR  E20,s  hữu hạn 2.4 Tính cofinite yếu H Is, J  M  Định lý 2.4.1 Cho M R  môđun thỏa ExtRi  R I , M  Lasker yếu với i s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  s , H Is, J  M   I , J   cofinite yếu Chứng minh: Ta quy nạp theo s Với s  , đặt M  M  I , J  M  ta có dãy khớp ngắn:   I ,J  M   M  M  cảm sinh dãy khớp dài    Ext Ri  R I ,  I , J  M    Ext Ri  R I , M   Ext Ri R I , M    Ta có H Ii , J M  H Ii , J  M  với i  (do Mệnh đề 1.3.14)      R I , M  môđun Lasker yếu với i  Kết hợp với giả H I0, J M  nên H Ii , J M  I , J   cofinite yếu với i  Theo Mệnh đề 2.1.7 , Ext Ri thiết ExtRi  R I , M  Lasker yếu với i , nên từ dãy khớp dài cho 32 ta ExtRi  R I ,  I , J  M   môđun Lasker yếu Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có SuppR   I , J  M    W  I , J  nên  I , J  M   I , J   cofinite yếu Vì H I0, J  M    I , J  M  môđun  I , J   cofinite yếu Vậy mệnh đề với s    Khi s  , với E M bao nội xạ M , ta có   M   Ext  R I , M  H  E  M   i  Vì H Ii , J  M    i I ,J M  H Ii , J1 M , với  I , J   cofinite yếu với i  s nên i 1 R ExtRi R I , E M   H Ii , J1 M  H Ii , J1  M   I , J   cofinite yếu với i  s     M   I , J   cofinite yếu với i  s 1 Nên H Ii , J E M  Mà Ext Ri R I , M  Lasker yếu với i    M    M nên ExtRi R I , E M Lasker yếu với i  Theo giả thiết qui nạp, H Is,J1 E M  I , J   cofinite yếu, H Is, J  M   I , J   cofinite yếu Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b Định lý 2.4.1 ta kết sau Bổ đề 2.4.2 Cho M R  môđun Lasker yếu s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  s , H Is, J  M  I, J   cofinite yếu Bổ đề 2.4.3 Cho I iđêan vành R M mơđun Lasker yếu Khi H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  Chứng minh: 33 Từ [1, 4.11] ta có H Ii , J  M   với i  Hơn nữa, H I0, J  M  R  mơđun Lasker yếu, H I0, J  M  môđun M Điều có nghĩa H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần chứng minh 34 Chương Phạm trù Serre 3.1 Định nghĩa Ta nhắc lại định nghĩa phạm trù Serre sau Định nghĩa 3.1.1 Một lớp không rỗng R  môđun gọi phạm trù Serre phạm trù R  mơđun đóng với mơđun con, mơđun thương mở rộng môđun Dựa vào dãy khớp, ta có định nghĩa tương đương Định nghĩa 3.1.2 Một lớp không rỗng R  môđun gọi phạm trù Serre phạm trù R  môđun với dãy khớp R  môđun  M1  M  M  M  M1 , M  3.2 Tính chất H Ii , J  M  phạm trù Serre Định lý 3.2.1 Cho M R  môđun s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   với i  s ExtRi  R I , M   với i  s Chứng minh: Ta kí hiệu hàm tử F  HomR  R I ,   G   I , J    Dễ thấy FG  HomR  R I ,  I , J      HomR  R I ,   Khi ta có dãy phổ Grothendieck: E2p ,q  ExtRp  R I , H Iq, J  M    Ext Rp q  R I , M  p Vì H Ii , J  M   với i  s , E2p ,q  với p  ,  q  s 35 Ta có dãy đồng cấu dãy phổ với p  0,0  k  s i  2, p  i , k  i 1 di di Eip i ,k i 1   Eip ,k   Eip i ,k i 1 p ,k Ta có Eip,k  Ker dip1,k / Im dip1i1,k i 2 Eip ,l  với l  Suy Kerdkp,k2 p  Ekp,k2 p   Ep,k  p với  p  k Khi ta có lọc  H k  ExtRk  R I , M  thỏa   k 1H k   k H k   1H k   H k  ExtRk  R I , M  Ei ,k i   i H k  i 1H k với  i  k Khi có dãy khớp ngắn   i1H k   i H k  Ei ,k i  Theo chứng minh ta có Ei ,k i  Eki ,k2i  Kerdki ,k2i môđun thương E2i ,k i E2i ,k i  với  i  k Dẫn tới Ei ,k i  Bằng quy nạp theo i ta có  i H k  với  i  k với  i  k Cuối ExtRk  R I , M   với k  s Bổ đề 3.2.2 Cho  R, m  vành địa phương Nếu có độ dài hữu hạn  lớp R  môđun Chứng minh:Tham khảo [8, 2.11] Định lý 3.2.3 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R, m  s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   HomR  R / m , H Is, J  M    Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo s với i  s ta có 36 Khi s  , M hữu hạn sinh, H I0, J  M  hữu hạn sinh Vì HomR  R m , H I0, J  M   có độ dài hữu hạn nên HomR  R m , H I0, J  M    , (do Bổ đề 3.2.2) Với s  , ta có H Ii , J  M   H Ii , J  M  I , J  M   với i  Bằng cách thay M M  I , J  M  , ta giả sử, M  I , J   xoắn tự Vì  I  M    I , J  M   , theo M I  xoắn tự Vì vậy, tồn phần tử x  I không ước M Đặt M  M xM , dãy khớp ngắn x  M M  M  cảm sinh dãy khớp   f x g x H Is,J1  M   H Is,J1  M   H Is,J1 M  H Is, J  M   H Is, J  M    Vì H Ii , J  M    với i  s , H Ii , J M     HomR R m , H Is,J1 M với i  s  Vì theo giả thiết quy nạp Tác động hàm tử HomR  R m ,   vào dãy khớp ngắn    Im f  H Is,J1 M  Im g  ta có dãy khớp dài     Hom  HomR  R m ,Im f   HomR R m , H Is,J1 M R R m ,Im g   Ext1R  R m ,Im f   Vì Ext1R  R m ,Im f   , HomR  R m ,Im g   Bây từ dãy khớp  Im g  H s I ,J x  M   H Is,J  M  37 ta có dãy khớp  HomR  R m ,Im g   HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m , H Is, J  M   x   Dễ thấy Im HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m , H Is, J  M    x Vì HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m ,Im g   Mệnh đề 3.2.4 Lớp R  môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre phạm trù R  môđun Chứng minh: Thật từ dãy khớp  M1  M  M M1  Nếu M mơđun hữu hạn sinh M1 M M môđun hữu hạn sinh Mặt khác từ dãy khớp  M1  M  M  với M , M mơđun hữu hạn sinh Khi M mở rộng M nhờ M1 M hữu hạn sinh Như vậy, lớp R  môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre phạm trù R  môđun Từ Mệnh đề 1.1.17, ta thấy , M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R m  với SuppR  M   m M Artin Sau kết Định lý 3.2.3 Hệ 3.2.5 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R, m  s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M  hữu hạn sinh với i  s , HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn 38 Chứng minh: Theo Định lý 3.2.3 ta có HomR  R m , H Is, J  M   hữu hạn sinh Hơn nữa,    SuppR HomR  R m, H Is, J  M    m Vì vậy, HomR R m , H Is, J  M  Artin có độ dài hữu hạn  39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  , cụ thể sau: Trình bày lại định nghĩa môđun Lasker yếu môđun cofinite yếu nghiên cứu tính Lasker yếu cofinite yếu môđun ExtRi  R I , M  môđun H Ii , J  M    Với s số nguyên không âm, tập Ass HomR  R / I ; H Is, J  M   hữu hạn M R  môđun Lasker yếu H Ii , J  M  môđun  I , J   cofinite yếu với i  s Tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn H Ii , J  M  môđun Lasker yếu với i  s , với s số nguyên không âm, M R  mơđun Lasker yếu thỏa :M a  : I , J  M  a W  I , J   V a  , với a iđêan vành R Bên cạnh ta ExtRi  R I , M  , HomR  R m, H Is, J  M   thuộc phạm trù Serre dựa vào tính chất môđun H Ii , J  M   với i  s Ngồi ta có hệ độ dài hữu hạn HomR  R m, H Is, J  M   trường hợp  R, m  vành địa phương H Ii , J  M  hữu hạn sinh Như vậy, tính Lasker yếu cofinite yếu môđun Đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan mang lại cho ta số kết hay 40   hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết Ass HomR  R / I ; H Is, J  M   AssR  H Is, J  M   Ngoài ra, đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo cặp iđêan giữ vai trò quan trọng để ta nghiên cứu số tính chất theo quan điểm phạm trù Serre 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Takahashi, Y Yoshino and T Yoshizawa, “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J Pure Appl Algebra, vol 213, no 4, pp 582–600, 2009 http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.008 [2] A Grothendieck, “Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2)”, North-Holland, Amsterdam, vol 2, 1968 [3] T T Nam and N M Tri, “Some Results on Local Cohomology Modules with Respect to a Pair of Ideals”, Taiwanese J Math, vol 20, no 4, pp 743–753, 2016 doi:10.11650/tjm.20.2016.5805 https://projecteuclid.org/euclid.twjm/1498874488 [4] K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology modules”, Proc Amer Math Soc, vol 133, no.3, pp 655–660, 2005 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07728-7 [5] A Tehranian and A Pour Eshmanan Talemi, “Cofiniteness of local cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals”, Bull Iranian Math Soc, vol 36, no 2, pp 145–155, 2010 [6] K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules,” Commun Algebr., vol 34, no 2, pp 681–690, 2006 http://dx.doi.org/10.1080/00927870500387945 [7] J J Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, Second edition, Universitext,Springer, New York, 2009 http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68324-9 [8] M Asgharzadeh and M Tousi, “A Unified Approach to Local Cohomology Modules Using Serre Classes”, Canad Math Bull, vol 53, 42 no 4, pp 577-586, 2010 http://dx.doi.org/10.4153/cmb-2010-064-0 [9] C Huneke, “Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990),” Res Notes Math 2, Boston, MA, Jones Bartlett Publ, pp 93–108, 1994 ... THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... Kiến thức chuẩn bị .5 1.1 Một số kiến thức 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  11 1.4 Bao nội... H Ii , J gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan  I , J  Với R  mơđun M , ta có H Ii , J  M  môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M theo cặp iđêan  I , J  M 