Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH —————————————————— Đỗ Ngọc Yến TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TUẤN NAM TP Hồ Chí Minh - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi thực hướng dẫn PGS TS Trần Tuấn Nam Các kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các kết trích dẫn người khác ghi rõ nguồn gốc Học viên thực luận văn Đỗ Ngọc Yến Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam quan tâm hướng dẫn tận tình từ Thầy xuốt trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy Cơ Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức quý báu xuốt thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến anh Nguyễn Minh Trí, bạn Nguyễn Hồng Huy Tú bỏ thời gian đọc toàn luận văn cho nhận xét xác đáng Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, họ chỗ dựa vững để tơi trưởng thành vượt qua khó khăn sống MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù hàm tử 1.2 Hàm tử dẫn xuất trái 1.3 Giới hạn ngược 1.4 Đối ngẫu Matlis 1.5 Môđun đồng điều địa phương 10 1.5.1 Mơđun compact tuyến tính 10 1.5.2 Môđun đồng điều địa phương 12 1.6 Iđêan nguyên tố đối liên kết 13 1.7 Dãy phổ 14 1.7.1 Song phức 14 1.7.2 Lọc cặp khớp 18 1.7.3 Sự hội tụ 20 Chương MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 23 2.1 Một số tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng 23 2.1.1 Hàm tử dẫn xuất trái hàm tử đầy đủ I−adic suy rộng 23 2.1.2 Một số tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng 29 2.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết 37 Chương MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG TƯƠNG ỨNG VỚI MỘT CẶP IĐÊAN 42 3.1 Định nghĩa số tính chất 42 3.2 Tính triệt tiêu không triệt tiêu 49 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Năm 1970, Herzog đưa khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng luận án tiến sĩ ông [6] Cho I iđêan vành noether R M, N R−mơđun, HIi (M, N) = lim ExtiR (M/I t M, N) −−→ t gọi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng M, N tương ứng với iđêan I Khái niệm mở rộng từ khái niệm môđun đối đồng điều địa phương Grothendieck, M = R HIi (M, N) = HIi (N) mơđun đối đồng điều địa phương theo định nghĩa Grothendieck Một cách tự nhiên, số tính chất đối đồng điều địa phương tổng quát thành tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Sau đó, nhiều nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu mơđun này, điển hình như: N Suzuki, M H Bijan Zaded, S Yassemi, N Zamani Từ ý tưởng Herzorg môđun đối đồng địa phương suy rộng, vào năm 2010, [12], Trần Tuấn Nam đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương suy rộng HiI (M, N) = lim TorRi (M/I t M, N) ←−− t đối ngẫu từ khái niệm Herzog Tác giả thu nhiều kết quan trọng lớp môđun này, điển tính triệt tiêu, khơng triệt tiêu tính noether Luận văn tiếp tục nghiên cứu môđun đồng điều địa phương suy rộng khía cạnh khác, tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết môđun đồng điều địa phương suy rộng đạt vài kết trình bày thơng qua Định lí 2.2.2, 2.2.4 2.2.6 Khơng dừng lại đó, luận văn tiếp tục nghiên cứu suy rộng khác môđun đồng điều địa phương Xuất phát từ ý tưởng môđun đối đồng địa phương theo cặp iđêan giới thiệu nhà toán học R Takahashi, Y Yoshino, T Yoshizawa vào năm 2009 ([23]), luận văn giới thiệu khái niệm môđun đồng điều địa phương theo cặp iđêan Cho I, J iđêan vành noether R M R−môđun Ta định nghĩa HiI,J (M) = lim Hia (M) ←−− a∈W(I,J) môđun đồng địa phương theo cặp iđêan (I, J) thu kết số tính chất lớp mơđun Bên cạnh đó, số kết tính triệt tiêu, không triệt tiêu nghiên cứu thơng qua Định lí 3.2.2, 3.2.5 Mệnh đề 3.2.1, 3.2.3 Luận văn gồm ba chương Chương tổng hợp số kiến thức liên quan đến nội dung luận văn, làm sở để người đọc tiện theo dõi làm cho luận văn mạch lạc, rõ ràng Chương giới thiệu môđun đồng điều địa phương suy rộng số tính chất Đồng thời, chương trình bày kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tối đối liên kết môđun đồng điều địa phương suy rộng đăng báo [14] Chương đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương theo cặp iđêan nghiên cứu số tính chất mơđun Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, không nói thêm, ta xem R vành giao hốn có đơn vị 1.1 Phạm trù hàm tử Định nghĩa 1.1.1 Một phạm trù C bao gồm lớp vật Ob(C ), hai vật A, B ∈ Ob(C ) xác định tập Mor(A, B) gọi tập cấu xạ từ A vào B, ba vật tùy ý A, B, C ∈ Ob(C ) xác định luật hợp thành ◦ : Mor(B, C) × Mor(A, B) → Mor(A, C) (g, f ) → g◦ f Đồng thời tiên đề sau thỏa mãn: • PT1: Nếu hai cặp vật khác (A, B) (A , B ) Mor(A, B) ∩ Mor(A , B ) = ∅ • PT2: Với A ∈ Ob(C ), tồn cấu xạ đồng idA ∈ Mor(A, A) cho idA ◦ β = β α ◦ idA = α α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, A) B ∈ Ob(C ) • PT3: Luật hợp thành có tính chất kết hợp, nghĩa với f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C) h ∈ Mor(C, D) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) với vật A, B, C, D thuộc Ob(C ) Ví dụ Phạm trù R−mơđun, kí hiệu R M, vật R−môđun, cấu xạ R−đồng cấu luật hợp thành luật hợp thành thông thường đồng cấu Định nghĩa 1.1.2 Cho C , C hai phạm trù Hàm tử hiệp biến F từ C vào C quy tắc biến tương ứng vật A thuộc Ob(C ) thành vật F(A) thuộc Ob(C ) cấu xạ f : A → B C ứng với cấu xạ F( f ) : F(A) → F(B) C cho điều kiện sau thỏa: • HT1: F(idA ) = idF(A) với vật A thuộc Ob(C ) • HT2: F(g ◦ f ) = F(g) ◦ F( f ), f : A → B g : B → C cấu xạ phạm trù C Cho S vành giao hoán thứ hai, khác R Định nghĩa 1.1.3 Hàm tử F : R M → S M gọi hàm tử hiệp biến cộng tính thỏa F(h + l) = F(h) + F(l) h, l : A → B R−đồng cấu Định nghĩa 1.1.4 Cho F hàm tử hiệp biến từ phạm trù R−mơđun đến phạm trù S −mơđun Khi đó: i) Hàm tử F gọi khớp bảo tồn tính khớp dãy khớp ngắn f g Nghĩa là, dãy → N → M → P → dãy khớp R−mơđun dãy F( f ) F(g) −→ F(N) −−−→ F(M) −−−→ F(P) −→ dãy khớp S −môđun ii) Hàm tử F gọi khớp trái với dãy khớp ngắn R−môđun f g F( f ) F(g) → N → M → P → dãy −→ F(N) −−−→ F(M) −−−→ F(P) dãy khớp S −môđun Định nghĩa 1.1.5 (Song hàm tử) Cho A, B , C phạm trù Một song hàm tử T : A × B → C quy tắc biến cặp vật (A, B), A ∈ Ob(A), B ∈ Ob(B ) thành vật T (A, B) C cặp xạ f : A → A A g : B → B B ứng với xạ T ( f, g) : T (A, B) → T (A , B ) C cho điều kiện sau thỏa: i) Cố định biến T hàm tử theo biến cịn lại Ví dụ: cố định A ∈ Ob(A) T A = T (A, −) : B → C hàm tử, T A (B) = T (A, B) T A (g) = T (1A , g) ii) Biểu đồ sau giao hoán T ( f,1B ) T (1A ,g) G T (A, B ) ❙❙❙ ❙❙T❙( f,g) ❙❙❙ T ( f,1B ) ❙❙❙ ❙A  G T (A , B ) T (1A ,g) T (A, B) ❙  T (A , B) 1.2 Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa 1.2.1 Cho A R−môđun Một phép giải xạ ảnh A dãy khớp R−môđun đồng cấu · · · → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 → A → Pi mơđun xạ ảnh Định lí 1.2.2 Mọi R−mơđun A có phép giải xạ ảnh Định lí 1.2.3 (Định lí so sánh) Cho biểu đồ G ··· X✤ d2 G ✤ X✤ ··· G d2 G ✤ d1 G  X0 G G A ✤ ✤ X1 G X✤ ✤ ✤ X2 d1 G  f G A dòng phức Nếu Xn dòng xạ ảnh dịng khớp tồn biến đổi dây chuyền f : XA → XA làm biểu đồ giao hoán Hơn nữa, có phép biến đổi dây chuyền khác g : XA → XA g f đồng luân Ta kí hiệu R M phạm trù R−mơđun đồng cấu Định nghĩa 1.2.4 Cho F : R M → S M hàm tử cộng tính hiệp biến Với số nguyên n, ta xây dựng hàm tử Ln F : R M → S M sau: Với R−môđun A, chọn phép giải xạ ảnh A dn dn−1 d1 (P• , A) : · · · → Pn −→ Pn−1 −−−→ · · · → P1 −→ P0 → A → 42 Chương MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG TƯƠNG ỨNG VỚI MỘT CẶP IĐÊAN Năm 2009, R Takahashi, Y Yoshino T Yoshizawa đưa khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (xem [23]), khái niệm suy rộng từ môđun đối đồng điều địa phương Grothendieck, đạt số kết quan trọng Bằng cách lấy đối ngẫu, giới thiệu môđun đồng điều địa phương theo cặp iđêan, đồng thời trình bày số tính chất mở rộng từ mơđun đồng điều địa phương theo iđêan vài kết đối ngẫu với kết [23] Trong chương này, khơng nói thêm, ta hiểu R vành noether giao hốn có đơn vị 3.1 Định nghĩa số tính chất Định nghĩa 3.1.1 Cho I, J iđêan vành R Đặt W(I, J) tập iđêan a R cho I n ⊆ a + J với n số nguyên dương ([23]) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự W(I, J) sau a ≤ b b ⊆ a với a, b ∈ W(I, J) Nhận xét 3.1.2 i) W(I, J) ∅ Thật vậy, I ⊆ I + J nên I ∈ W(I, J) ii) W(I, J) đóng với phép lấy nhân giao hữu hạn Nghĩa là, a, b ∈ W(I, J) ab ∈ W(I, J) a ∩ b ∈ W(I, J) Thậy vậy, giả sử a, b ∈ W(I, J), ta có I m ⊆ a + J I n ⊆ b + J (m, n 0) Suy I m+n ⊆ (a + J)(b + J) ⊆ ab + J ⊆ a ∩ b + J 43 Vậy ab ∈ W(I, J) a ∩ b ∈ W(I, J) iii) Nếu I = W(I, J) tập tất iđêan vành R √ √ iv) Nếu J = I = a với a ∈ W(I, J) a ≥ I Thật vậy, ta có √ √ I n ⊆ a + J = a ⊆ I với n Do I = a v) Nếu a ≤ b ta có đồng cấu TorRi (R/bt , M) −→ TorRi (R/at , M) với t > i ≥ Từ cảm sinh đồng cấu môđun đồng điều địa phương Hib (M) −→ Hia (M) Do ta có hệ ngược môđun {Hia (M)}a∈W(I,J) Định nghĩa 3.1.3 Cho I, J iđêan vành R M R−môđun Môđun đồng điều địa phương thứ i M tương ứng với cặp iđêan (I, J), kí hiệu HiI,J (M), định nghĩa sau HiI,J (M) = lim Hia (M) ←−− a∈W(I,J) i Khái niệm đối ngẫu với khái niệm môđun đối đồng điều địa phương HI,J (M) M tương ứng với cặp iđêan (I, J) ([23]) Định nghĩa 3.1.4 Đầy đủ (I, J)−adic R−mơđun M, kí hiệu ΛI,J (M), định nghĩa sau ΛI,J (M) = lim Λa (M) ←−− a∈W(I,J) Rõ ràng, J = ΛI,J (M) = ΛI (M) Thật vậy, theo Nhận xét 3.1.2(iv), √ √ a = I với a I, Λa (M) = ΛI (M) với a I Theo Định nghĩa 3.1.4 ΛI,J (M) = ΛI (M) Nhận xét 3.1.5 i) ΛI,J (−) hàm tử hiệp biến từ phạm từ phạm trù R−mơđun vào Nói chung, hàm tử ΛI,J (−) không khớp trái không khớp phải ii) Vì Hia (M) có cấu trúc tự nhiên môđun vành Λa (R) với iđêan a ∈ W(I, J) nên HiI,J (M) có cấu trúc tự nhiên môđun ΛI,J (R) = lim Λa (R) ←−− a∈W(I,J) 44 Mệnh đề 3.1.6 Cho I, J, I , J iđêan vành R M R−mơđun Khi đó: √ i) Nếu √ ii) Nếu I= J= √ I HiI,J (M) = HiI ,J (M); √ J HiI,J (M) = HiI,J (M); iii) Nếu J ⊆ J HiI+J ,J (M) = HiI,J (M) Chứng minh i) Ta chứng minh W(I, J) = W(I , J) Lấy a ∈ W(I, J), tồn √ √ n > cho I n ⊆ a + J Vì I = I vành noether nên tồn m > cho I m ⊆ I, suy I mn ⊆ I n ⊆ a + J Do a ∈ W(I , J) Chứng minh tương tự ta có W(I , J) ⊆ W(I, J) Vậy W(I, J) = W(I , J) nên HiI,J (M) = HiI ,J (M) ii) Dễ dàng kiểm tra W(I, J) = W(I, J ), HiI,J (M) = HiI,J (M) iii) Dễ thấy W(I, J) = W(I + J , J), HiI+J ,J (M) = HiI,J (M) Bổ đề 3.1.7 Cho M R−môđun Ta có: i) aM; lim aM = ←−− a∈W(I,J) a∈W(I,J) ii) Nếu M R−mơđun artin tồn b ∈ W(I, J) cho lim aM = bM ΛI,J (M) ←−− M/bM; a∈W(I,J) iii) Nếu M R−mơđun artin ΛI,J (M)/IΛI,J (M) M/I M Chứng minh i) Theo Nhận xét 3.1.2, a ∩ b ∈ W(I, J) Do theo Mệnh đề 1.3.4 aM ta có lim aM = ←−− a∈W(I,J) a∈W(I,J) ii) Đặt Γ = {aM|a ∈ W(I, J)}, hiển nhiên Γ ∅ I M ∈ Γ Hơn nữa, M R−mơđun artin nên Γ có phần tử tối tiểu bM Với a ∈ W(I, J), c = a ∩ b ∈ W(I, J) Ta có cM = (a ∩ b)M ⊆ bM Do cM = bM, cM ⊆ aM nên bM ⊆ aM Do bM = aM = lim aM ←−− a∈W(I,J) a∈W(I,J) 45 Tiếp theo ta chứng minh ΛI,J (M) M/bM Thật vậy, M artin nên ta có dãy khớp ngắn −→ an M −→ M −→ Λa (M) −→ với n đủ lớn Từ cảm sinh dãy khớp ngắn hệ ngược −→{an M}a∈W(I,J) −→{M}a∈W(I,J) −→{Λa (M)}a∈W(I,J) −→ Vì {an M} hệ ngược mơđun artin nên ta có dãy khớp ngắn −→ lim an M −→ M −→ ΛI,J (M) −→ ←−− a∈W(I,J) Ta có an ∈ W(I, J), từ chứng minh suy lim an M = bM ←−− Vậy ΛI,J (M) a∈W(I,J) M/bM iii) Theo (ii) ta có ΛI,J (M)/IΛI,J (M) (M/bM)/I(M/bM) M/(I M + bM) = M/I M Bổ đề 3.1.8 Nếu M R−mơđun artin Coass(M) Hơn nữa, ΛI,J (M) W(I, J) = Coass(ΛI,J (M)) Coass(M) W(I, J) ∅ Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.7(ii), tồn b ∈ W(I, J) cho bM = aM ΛI,J (M) M/bM a∈W(I,J) Suy Coass(ΛI,J (M)) = Coass(M/bM) = V(b) Coass(M) Với p ∈ V(b), ta có b ⊆ p Khi p ∈ W(I, J) b ∈ W(I, J) Do Coass(ΛI,J (M)) ⊆ Coass(M) W(I, J) 46 Bây giờ, lấy p ∈ Coass(M) W(I, J) Khi bM = aM ⊆ pM Do tồn a∈W(I,J) toàn cấu M/bM −→ M/pM Suy V(p) Coass(M) = Coass(M/pM) ⊆ Coass(M/bM) = Coass(ΛI,J (M)) W(I, J) = Coass(ΛI,J (M)) Cuối Vậy p ∈ Coass(ΛI,J (M)) Do Coass(M) cùng, ta có ΛI,J (M) Coass(M) W(I, J) ∅ theo Định lí 1.6.2 Mệnh đề 3.1.9 Cho M R−môđun artin Các phát biểu sau tương đương: i) M (I, J)−đầy đủ (nghĩa là, ΛI,J (M)) M); ii) MinCosupp(M) ⊆ W(I, J); iii) Coass(M) ⊆ W(I, J); iv) Cosupp(M) ⊆ W(I, J) Chứng minh iv) ⇒ iii) ⇒ ii) tầm thường ii) ⇒ iv) Lấy p ∈ Cosupp(M), tồn q ∈ MinCosupp(M) cho q ⊆ p Vì q ∈ W(I, J) nên I n ⊆ q + J ⊆ p + J với n Do p ∈ W(I, J) i) ⇒ iii) Ta có Coass(M) = Coass(ΛI,J (M)) ⊆ W(I, J) theo Bổ đề 3.1.8 iii) ⇒ i) Theo Bổ đề 3.1.7(ii), tồn b ∈ W(I, J) cho bM = aM a∈W(I,J) M/bM ΛI,J (M) Kết hợp giả thiết với Bổ đề 3.1.8 ta có Coass(M) V(b) = Coass(M) W(I, J) = Coass(M) Khi Coass(M) ⊆ V(b) Mặt khác, Ann(M) = p= p∈Cosupp(M) theo Định lí 1.6.6 Từ suy b ⊆ bn M = bM = Vậy M p p∈Coass(M) √ Ann(M) Do tồn số nguyên n cho ΛI,J (M) 47 Mệnh đề 3.1.10 Cho M R−mơđun Khi đó: bHiI,J (M) = 0; i) b∈W(I,J) ii) Nếu (R, m) vành địa phương HiI,J (D(M)) i D(HI,J (M)) với i ≥ Chứng minh i) Ta có lim bHiI,J (M) ←−− bHiI,J (M) b∈W(I,J) b∈W(I,J) = lim b lim Hia (M) ←−− ←−− b∈W(I,J) ⊆ lim ←−− a∈W(I,J) lim bHia (M) ←−− b∈W(I,J) a∈W(I,J) lim ←−− lim bHia (M) ←−− a∈W(I,J) b∈W(I,J) Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.4 lim bHia (M) = ←−− Do t>0 b∈W(I,J) b∈W(I,J) at Hia (M) = bHia (M) ⊆ bHiI,J (M) = b∈W(I,J) ii) Theo Mệnh đề 1.3.8 1.5.10 ta có HiI,J (D(M)) = lim Hia (D(M)) ←−− a∈W(I,J) lim D(Hai (M)) ←−− a∈W(I,J) D( lim Hai (M)) −−→ a∈W(I,J) i D(HI,J (M)) Nhận xét Nếu M mơđun artin vành địa phương (R, m) TorRi (R/I t , M) R−môđun artin với i ≥ t > Do TorRi (R/I t , M) có cấu 48 trúc tự nhiên môđun artin vành đầy đủ m−adic R R Như HiI (M) = lim TorRi (R/I t , M) có cấu trúc tự nhiên R−mơđun ←−− t HiI,J (M) xem R−môđun Bổ đề 3.1.11 Cho (R, m) vành địa phương M R−môđun artin Khi HiI,J (M) HiI R,J R (M) Chứng minh Lấy a ∈ W(I, J), ta có Hia (M) HiaR (M) với i ≥ theo Mệnh đề 1.5.11 Khi HiI,J (M) = lim Hia (M) ←−− a∈W(I,J) lim ←−− HiaR (M) aR∈W(I R,J R) = HiI R,J R (M) Mệnh đề 3.1.12 Cho (R, m) vành địa phương M R−môđun artin Nếu M đầy đủ J−adic (nghĩa là, Λ J (M) HiI,J (M) M) HiI (M) Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.11 Mệnh đề 1.5.11, HiI,J (M) HiI R,J R (M) HiI (M) HiI R (M) Do ta giả sử (R, m) vành đầy đủ Ta có M Suy Γ J (D(M)) Λ J (M) Λ J (DD(M)) D(Γ J (D(M))) D(M), nghĩa D(M) môđun J−xoắn Kết hợp Mệnh đề 3.1.10(ii) với [23, 2.5] ta HiI,J (M) HiI,J (DD(M)) i D(HI,J (D(M))) D(HIi (D(M))) HiI (DD(M))) mệnh đề chứng minh xong HiI (M) 49 3.2 Tính triệt tiêu không triệt tiêu Mệnh đề 3.2.1 Cho M R−mơđun compact tuyến tính cho Ndim M = d Khi HiI,J (M) = với i > d Chứng minh Theo Định lí 1.5.14, Hia (M) = với i > d a ∈ W(I, J) Do HiI,J (M) = lim Hia (M) = với i > d ←−− a∈W(I,J) Định lí 3.2.2 Cho I, J iđêan vành địa phương (R, m) M R−môđun artin với Ndim(0 : M J) = d Khi đó: i) HiI,J (M) = với i > d + 1; ii) Nếu J iii) Nếu M R HiI,J (M) = với i > d; I + J m−nguyên sơ HdI,J (M) HiI R,J R (M) Chứng minh i) Theo Bổ đề 3.1.11 [4, 4.7] ta có HiI,J (M) NdimR (0 : M J) = NdimRˆ (0 : M J), ta cần chứng minh định lí trường hợp (R, m) vành địa phương đầy đủ Nhắc lại với R−mơđun artin M, D(M) R−môđun hữu hạn sinh theo Mệnh đề 1.4.5 Coass(M) = Ass(D(M)) theo [25, 3.1(a)], dim D(M) = Ndim M Theo Mệnh đề 3.1.10, HiI,J (M) i D(HI,J (D(M))) Hơn nữa, theo [23, 4.7(ii)], i HI,J (D(M)) = với i > dim D(M)/JD(M) + Do HiI,J (M) = với i > dim D(M)/JD(M) + Mặt khác, theo [22, 2.4], D(M)/JD(M) D(0 : M J) nên dim D(M)/JD(M) = dim D(0 : M J) = Ndim(0 : M J) = d Do HiI,J (M) = với i > d + ii) Lập luận tương tự (i) ta có HiI,J (M) i D(HI,J (D(M))) Hơn nữa, J R nên i theo [23, 4.3], HI,J (D(M)) = với i > dim D(M)/JD(M) Do HiI,J (M) = với i > dim D(M)/JD(M) theo chứng minh (i) dim D(M)/JD(M) = d Ta có điều phải chứng minh iii) Theo lập luận phần (i) ta giả sử (R, m) vành địa phương đầy đủ Khi D(M) R−mơđun hữu hạn sinh Hơn nữa, HdI,J (M)) d mà HI,J (D(M)) theo [23, 4.5] Do HdI,J (M) d D(HI,J (D(M))), 50 Mệnh đề 3.2.3 Cho (R, m) vành địa phương, J R M R−mơđun artin với Ndim M/JM = d Khi HiI,J (M) = với i > d Chứng minh HiI R,J R (M) NdimR M/JM = Theo Bổ đề 3.1.11 [4, 4.7] ta có HiI,J (M) NdimR M/JM Do ta giả sử R vành địa phương đầy đủ Theo Mệnh đề 1.4.5, D(M) hữu hạn sinh DD(M) HiI,J (M) M Do HiI,J (DD(M)) i D(HI,J (D(M))) Mặt khác, theo [17, 1.6], Ann D(M) = Ann M Kết hợp với [4, 4.7] ta có dim D(M)/JD(M) = dim R/(J + Ann D(M)) = dim R/(J + Ann M) = dim M/JM = Ndim M/JM = d i Theo [23, 4.3], HI,J (D(M)) = với i > d, nên HiI,J (M) = với i > d Bổ đề 3.2.4 Cho (R, m) vành noether địa phương M R−mơđun compact tuyến tính nửa rời rạc Khi HiI,J (M) HiI,J (Γm (M)) với i > dãy sau khớp → ΛI,J (Γm (M)) → ΛI,J (M) → ΛI,J (M/Γm (M)) → Chứng minh Theo [2, 4.5] ta có Hia (M) Hia (Γm (M)) với a ∈ W(I, J) Suy HiI,J (M) = lim Hia (M) ←−− a∈W(I,J) lim Hia (Γm (M)) = HiI,J (Γm (M) ←−− a∈W(I,J) Với a ∈ W(I, J), theo [2, 4.5] ta có dãy khớp → Λa (Γm (M)) → Λa (M) → Λa (M/Γm (M)) → 51 Vì Γm (M) artin nên Γm (M) compact tuyến tính Do {Λa (Γm (M))} hệ ngược mơđun compact tuyến tính Từ đó, ta có dãy khớp → ΛI,J (Γm (M)) → ΛI,J (M) → ΛI,J (M/Γm (M)) → Định lí 3.2.5 Cho (R, m) vành địa phương, M R−môđun compact tuyến tính nửa rời rạc I + J m−nguyên sơ Khi đó, Γm (M) Ndim(0 :Γm (M) J) = sup{i|HiI,J (M) 0} Chứng minh Vì Γm (M) R−mơđun artin, nên từ Định lí 3.2.2 ta có Ndim(0 :Γm (M) J) = sup{i|HiI,J (Γm (M)) Định lí suy từ Bổ đề 3.2.4 0} 52 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu môđun đồng điều địa phương suy rộng trình bày số tính chất Đặc biệt, luận văn nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết môđun đồng điều địa phương suy rông đạt số kết sau: • Cho M R−mơđun hữu hạn sinh N R−mơđun compact tuyến tính Nếu N HiI (N) thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết với i < k CoassR (HkI (M, N)) hữu hạn • Cho M R−môđun hữu hạn sinh N R−mơđun compact tuyến tính Nếu HiI (N) = với i t TorRj (M, HtI (N)) = với j < h TorRh (M, HtI (N)) I Hh+t (M, N) Hơn nữa, N thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết I Coass(Hh+t (M, N)) hữu hạn • Cho M R−mơđun hữu hạn sinh N R−mơđun compact tuyến tính nửa rời rạc cho (0 :N I) Nếu t = WidthI (N), h = tor− (M, HtI (N)) HiI (N) = với i > t WidthI+Ann(M) (N) = t + h I Đặc biệt, Coass(Hh+t (M, N)) tập hữu hạn Bên cạnh đó, luận văn cịn nghiên cứu mơđun đồng điều địa phương theo cặp iđêan thu số kết tính triệt tiêu khơng triệt tiêu: 53 • Cho M R−mơđun compact tuyến tính với Ndim M = d Khi HiI,J (M) = với i > d • Cho I, J iđêan vành địa phương (R, m) M R−môđun artin với Ndim(0 : M J) = d Khi đó: i) HiI,J (M) = với i > d + 1; ii) Nếu J iii) Nếu M R HiI,J (M) = với i > d; I + J m−nguyên sơ HdI,J (M) • Cho (R, m) vành địa phương, J R M R−môđun artin với Ndim M/JM = d Khi HiI,J (M) = với i > d 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M F and Macdonald I G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley N T Cuong, T T Nam (2008), "A Local homology theory for linearly compact modules", J Algebra, 319, 4712-4737 N T Cuong, T T Nam (2001), "The I-adic completion and local homology for Artinian modules", Math Proc Camb Phil Soc., 131, 61-72 N T Cuong, L T Nhan (2002), "On the noetherian dimension of artinian modules", Vietnam Journal of Mathematics, 121-130 Herzog J., Zamani N (2003), "Duality and vanishing of generalized local cohomology", Arch Math 81, 512-519 Herzog J (1970), Komplexe, Auflosungen ă und dualităat in der localen algebra, Habilitationschrift Univ Regensburg Hartshorne R (1977), Algebraic geometry, Springer-Verlag Jensen C U (1972), Les Foncteurs Dérivés de lim et leurs Applications en ←−− Théorie des Modules, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York Macdonald I G (1962), "Duality over complete local rings", Topology 1, 213-235 10 Matsumura H (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press 55 11 Melkersson L (1995), "Some applications of a criterion for Artinianness of module", J Pure Appl Algebra 101(3), 291-303 12 T T Nam (2012), "Generalized local homology for artinian modules", Algebra Colloquium 19, 1205-1212 13 T T Nam (2009), "Generalized local homology", Proceedings of the 4th Japan-Vietnam Joint Seminar, Meiji University, Japan, 217-235 14 T T Nam, D N Yen (2015), "The Finiteness of Coassociated Primes of Generalized Local Homology Modules", Mathematical Notes, 97, 738-744 15 T T Nam (2008), "On the finiteness of co-associated primes of local homology modules", J Math Kyoto Univ (JMKYAZ) 48(3), 521-527 16 T T Nam (2010), "Left-derived functors of the generalized I−adic completion and generalized local homology", Communications in Algebra, 38, 440453 17 Ooishi A (1976), "Matlis duality and the width of a module", Hiroshima Math J 6, 573-587 18 Rotman J J (2009), An introduction to homological algebra, Springer, New York 19 Roberts R N (1975), "Krull dimension for artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart J Math Oxford, 26, 269-273 20 Simon A M (1992), "Adic-completion and some dual homological results", Publications Matemtiques 36, 965-979 21 Simon A M (1990), "Some homological properties of complete modules", Math Proc Cambr Phil Soc 108, 231-246 22 Sharp R Y (1989), "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic behavior", Commutative Algebra, 15, 443-465 56 23 Takahashi R., Yoshino Y., Yoshizawa T (2009), "Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals", J Pure Appl Algebra, 213, 582-600 24 Weibel C A (1994), An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press 25 Yassemi S (1995), "Coassociated primes", Comm Algebra 23, 1473-1498 ... Chương MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Chương giới thiệu môđun đồng điều địa phương suy rộng số kết đăng báo [16], làm sở để đưa vài kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết môđun đồng. .. Chương giới thiệu môđun đồng điều địa phương suy rộng số tính chất Đồng thời, chương trình bày kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tối đối liên kết môđun đồng điều địa phương suy rộng đăng báo [14]... R? ?môđun M gọi thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết tập iđêan nguyên tố đối liên kết mơđun M hữu hạn Nhận xét 1.6.8 ([15]) i) Nếu M R−mơđun artin M thỏa điều kiện hữu hạn