Một số tính chất của môđun đồng điều địa phương suy rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ NGỌC YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ NGỌC YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số ngành: 62460104 Phản Phản Phản Phản Phản biện biện biện biện biện 1: PGS TS Nguyễn Sum 2: TS Phạm Hữu Khánh 3: TS Bành Đức Dũng độc lập 1: GS TSKH Nguyễn Tự Cường độc lập 2: TS Phạm Hữu Khánh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TUẤN NAM TS NGUYỄN VIẾT ĐƠNG TP HỒ CHÍ MINH - 2021 Lời cam đoan Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Đại số Lý thuyết số, với đề tài "Một số tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng" cơng trình khoa học Tơi thực hướng dẫn PGS TS Trần Tuấn Nam TS Nguyễn Viết Đông Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bố nước Nghiên cứu sinh (Ký tên, ghi họ tên) Đỗ Ngọc Yến Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy tôi, PGS TS Trần Tuấn Nam, người tận tình hướng dẫn, bảo tơi năm học Thạc sĩ làm Nghiên cứu sinh Thầy đưa ý tưởng định hướng để tơi nghiên cứu từ tơi cịn sinh viên Thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi viết, chỉnh sửa hồn thiện báo khoa học đăng tạp chí ngồi nước Khơng giúp đỡ mặt nghiên cứu học thuật, thầy cịn hỗ trợ cho tơi có điều kiện tham gia hội nghị, hội thảo để có hội giao lưu, học hỏi chuyên gia lĩnh vực nghiên cứu đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Viết Đông Thầy nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình làm nghiên cứu sinh Luận án hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Trần Tuấn Nam TS Nguyễn Viết Đông Một lần nữa, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy xin hứa cố gắng phấn đấu học tập nghiên cứu để không phụ lịng tin u, dạy bảo thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Trong thời gian qua, Khoa tạo mơi trường thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc nghiên cứu tham gia hoạt động khoa học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn Viện nghiên cứu cao cấp Toán (VIASM) tạo điều kiện cho nghiên cứu học tập Viện Trong thời gian nghiên cứu viện tham gia chuyên đề gặp gỡ trao đổi với chuyên gia lĩnh vực nghiên cứu có công bố quốc tế thời gian làm việc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quỹ đổi sáng tạo Vingroup trao cho suất học bổng giúp ổn định sống, tồn tâm nghiên cứu học tập để tơi có luận án Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng sở thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Cơ đồng nghiệp môn Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thời gian làm nghiên cứu sinh Cảm ơn bạn nhóm seminar nhà thầy Trần Tuấn Nam Các bạn giúp tơi có thêm động lực để thúc đẩy tơi q trình học tập nghiên cứu Chính nhờ trao đổi, góp ý, động viên khuyến khích bạn mà tơi có thêm ý tưởng có q trình làm việc liên tục với nổ lực không ngừng Cuối cùng, tơi bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến người thân gia đình Mọi người hỗ trợ giúp đỡ để học làm việc ngày hôm Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến chồng tôi, người bên cạnh tơi, động viên tơi lúc khó khăn, để tơi tồn tâm học tập nghiên cứu Danh mục kí hiệu lim(M ) ←− : Giới hạn ngược hệ ngược môđun {Mt } lim(M ) −→ : Giới hạn thuận hệ thuận môđun {Mt } ΛI (M ) : Đầy đủ I−adic môđun M M : Đầy đủ m−adic môđun M R : Đầy đủ m−adic vành địa phương (R, m) (R, m) : Vành địa phương với iđêan tối đại m CoassR (M ) : Tập iđêan nguyên tố đối liên kết M AssR (M ) : Tập iđêan nguyên tố liên kết M Ndim(M ) : Chiều Noether M HiI (M ) : Môđun đồng điều địa phương thứ i M theo iđêan I HiI (M, N ) : Môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i M, N t t theo iđêan I CosuppR (M ) : Đối giá R-môđun M widthI (M ) : Độ rộng môđun M iđêan I V (I) : Tập iđêan nguyên tố vành chứa iđêan I Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Mơđun compact tuyến tính 13 1.1.1 Định nghĩa số tính chất 13 1.1.2 Đối ngẫu Macdonald 14 1.2 Môđun đồng điều địa phương 16 1.3 Môđun đồng điều địa phương suy rộng 17 1.4 Dãy phổ 18 Chương Tập iđêan nguyên tố đối liên kết môđun đồng điều địa phương suy rộng 23 2.1 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết 23 2.2 Áp dụng cho môđun đối đồng điều địa phương 34 Chương Đồng điều địa phương hình thức 41 3.1 Môđun đồng điều địa phương hình thức 41 3.2 Tính hữu hạn mơđun đồng điều địa phương hình thức 50 Kết luận 58 Danh mục công trình NCS 61 Tài liệu tham khảo 61 Chỉ mục 65 Mở đầu Năm 1960, A Grothendieck đưa lý thuyết đối đồng điều địa phương, từ nay, lý thuyết thực phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ quan trọng hình học đại số đại số giao hốn Nó thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà toán học giới Chính tầm quan trọng lý thuyết đối đồng điều địa phương, nhiều nhà tốn học tìm cách xây dựng lý thuyết khác xem đối ngẫu với lý thuyết Xét I iđêan vành giao hoán R, hàm tử I -xoắn ΓI hàm tử làm đầy I -adic ΛI xác định ΓI (M ) = lim(0 :M I t ), ΛI (M ) = lim M/I t M −→ ←− t t với R-môđun M ΓI ΛI hàm tử hiệp biến, cộng tính phạm trù môđun Tuy nhiên, hàm tử ΓI hàm tử khớp trái, hàm tử làm đầy ΛI không khớp trái không khớp phải Các hàm tử dẫn xuất phải ΓI , kí hiệu HIi , gọi hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I Một cách tự nhiên, người ta tìm cách nghiên cứu hàm tử dẫn xuất trái LIi hàm tử làm đầy I -adic Tuy nhiên hàm tử làm đầy khơng khớp phải nên nói chung LI0 = ΛI Do việc tính tốn hàm tử LIi gặp nhiều khó khăn Năm 1992, J P C Greenless J P May [9] sử dụng đối giới hạn đồng luân để định nghĩa nhóm đồng điều địa phương HiI (M ) môđun M theo công thức HiI (M ) = Hi (HomR (T elK • (xt ); M )) I iđêan sinh hệ hữu hạn phần tử x, T el đối giới hạn đồng luân phức K • (xt ) phức Koszul vành R theo dãy xt = (xt1 , , xtr ) Với số điều kiện I , họ chứng minh LIi (M ) ∼ = HiI (M ) Năm 2001, N T Cuong T T Nam [6] tiếp tục ý tưởng nghiên cứu hàm tử đồng điều địa phương, họ xây dựng nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết đồng điều địa phương với công cụ đại số giao hoán đại số đồng điều Họ đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương sau: t HiI (M ) = lim TorR i (R/I ; M ) ←− t họ chứng minh định nghĩa trùng với định nghĩa Greenless May lớp môđun Artin Đặc biệt, họ giới thiệu lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp môđun compact tuyến tính [5] Từ mở nhiều hướng nghiên cứu môđun đồng điều địa phương Năm 1970, J Herzog [11] giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, mở rộng từ khái niệm đối đồng điều địa phương Grothendieck Bằng cách đối ngẫu, năm 2009, T T Nam [21] đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương suy rộng theo cặp môđun M, N t HiI (M, N ) = lim TorR i (M/I M, N ) ←− t Các vấn đề liên quan đến lớp môđun đề tài hấp dẫn thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Điển tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết Năm 1986, A Grothendieck đưa giả thuyết: "Với iđêan vành quy R R-mơđun hữu hạn sinh mơđun HomR (R/I, HIi (M )) hữu hạn sinh với i"[10], C Huneke đặt câu hỏi nhẹ sau: "Nếu M mơđun hữu hạn sinh vành quy tập iđêan ngun tố liên kết mơđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) có hữu hạn hay khơng?"[12] Hartshone đưa phản ví dụ cho giả thuyết Grothendieck [13] Singh đưa phản ví dụ cho câu hỏi Huneke (xem [28]) Như vậy, trường hợp tổng quát, giả thuyết câu hỏi đặt khơng Từ đó, vấn đề trở thành đề tài quan tâm nhiều nhà Toán học giới Cụ thể, năm 2000, Brodmann Faghani [2] đưa điều kiện môđun đối đồng điều dịa phương để tập iđêan nguyên tố liên kết hữu hạn Sau đó, Badmanpour Naghipour [3] mở rộng kết cho trường hợp môđun 52 R−môđun hữu hạn sinh với i Theo giả thiết, ta có I ⊆ : FIi (K) với i < s Vì IK = K, nên tồn phần tử x ∈ I thỏa xK = K theo [17, 2.8] Khi tồn số nguyên dương r thỏa xr FIi (K) = với i < s Từ dãy khớp xr ngắn −→ :K xr −→ K −→ K −→ cảm sinh dãy khớp dài mơđun đồng điều địa phương hình thức −→ FIi (K) −→ FIi−1 (0 :K xr ) −→ FIi−1 (K) −→ với i < s Từ suy I ⊆ : FIi−1 (0 :K xr ) với i < s Theo giả thiết quy nạp FIi−1 (0 :K xr ) R−môđun hữu hạn sinh với i < s Do FIi (K) R−mơđun hữu hạn sinh với i < s Định lí sau cho ta tính chất tương đương tính hữu hạn sinh FIi (M ) với i > s Định lí 3.2.3 Cho M R-môđun Artin s số nguyên khơng âm Khi phát biểu sau tương đương: i) FIi (M ) R−môđun hữu hạn sinh với i > s; ii) I ⊆ : FIi (M ) với i > s Chứng minh i) ⇒ ii) Chứng minh tương tự Định lí 3.2.2 ii) ⇒ i) Ta chứng minh quy nạp theo d = Ndim M Khi d = 0, ta có Ndim(0 :M I) = FIi (M ) = với i > Cho d > Vì M Artin nên tồn số nguyên dương m cho I t M = I m M với t ≥ m Đặt K = I m M, lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.2.2 ta cần chứng minh FIi (K) R−môđun hữu hạn sinh với i > s Theo giả thiết, ta có I ⊆ : FIi (K) với i > s Vì IK = K, tồn phần tử x ∈ I cho xK = K theo [17, 2.8] Khi tồn số nguyên dương r thỏa xr FIi (K) = với i > s Đặt y = xr , dãy khớp ngắn y −→ :K y −→ K −→ K −→ cảm sinh dãy khớp mơđun đồng điều địa phương hình thức −→ FIi (K) −→ FIi−1 (0 :K y) −→ FIi−1 (K) −→ 53 với i > s Từ suy I ⊆ : FIi−1 (0 :K y) với i > s Theo [5, 3.7] ta có Ndim(0 :K y) ≤ d − Từ giả thiết quy nạp FIi−1 (0 :K y) R−môđun hữu hạn sinh với i > s Do FIi (K) R−mơđun hữu hạn sinh với i > s Định lí 3.2.4 Cho I iđêan vành (R, m) M R-mơđun Artin Khi FIi (M )/I FIi (M ) R−môđun Noether với i Chứng minh Giả sử I sinh phần tử x Vì M Artin, nên tồn số nguyên dương m cho xt M = xm M với t ≥ m Đặt K = xm M, từ dãy khớp ngắn R-môđun Artin f g −→ K −→ M −→ M/K −→ cảm sinh dãy khớp dài δi+1 fi gi −→ FIi+1 (M/K) −→ FIi (K) −→ FIi (M ) −→ FIi (M/K) −→ Khi ta có dãy khớp ngắn −→ Imfi −→ FIi (M ) −→ Imgi −→ 0, −→ Imδi+1 −→ FIi (K) −→ Imfi −→ Những dãy khớp cảm sinh dãy khớp sau Imfi /IImfi −→ FIi (M )/I FIi (M ) −→ Imgi /IImgi −→ 0, Imδi+1 /IImδi+1 −→ FIi (K)/I FIi (K) −→ Imfi /IImfi −→ Chú ý M/K I−tách Theo Hệ 3.1.9, FIi (M/K) R−môđun Noether Imgi /IImgi R−mơđun Noether với i Do đó, ta cần chứng minh FIi (K)/I FIi (K) R−mơđun Noether với i Vì xK = K, nên tồn dãy khớp ngắn x −→ :K x −→ K −→ K −→ Nó cảm sinh dãy khớp x −→ FIi (0 :K x) −→ FIi (K) −→ FIi (K) −→ FIi−1 (0 :K x) −→ 54 Chú ý :K x I−tách, FIi (0 :K x) R−mơđun Noether với i theo 3.1.9 Từ suy FIi (K)/xFIi (K) R−môđun Noether với i Do FIi (K)/I FIi (K) R−mơđun Noether với i Định lí sau cho ta điều kiện khác để R−môđun FIi (M )/I FIi (M ) Noether Định lí 3.2.5 Cho M R-mơđun Artin s số nguyên không âm Nếu FIi (M ) R−môđun Noether với i < s FIs (M )/I FIs (M ) R−môđun Noether Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo s Khi s = 0, từ chứng minh Định lí 3.2.2 suy FI0 (M ) mơđun thương M , Artin Theo [35, 2.3], CosuppRˆ (FI0 (M )/I FI0 (M )) = V (0 :Rˆ FI0 (M )/I FI0 (M )) ˆ + (0 : ˆ FI (M )) = V (I R R ˆ = V (I R) V (0 :Rˆ FI0 (M )) ˆ = V (I R) CosuppRˆ (FI0 (M )) ˆ R− ˆ mơđun Từ Bổ đề 3.2.1 ta có CosuppRˆ (FI0 (M )/I FI0 (M )) ⊆ V (mR) FI0 (M )/I FI0 (M ) có độ dài hữu hạn Cho s > Vì M Artin, nên tồn số nguyên dương m cho I t M = I m M với t ≥ m Đặt K = I m M, dãy khớp ngắn R-môđun Artin f g −→ K −→ M −→ M/K −→ cảm sinh dãy khớp dài δi+1 fi gi −→ FIi+1 (M/K) −→ FIi (K) −→ FIi (M ) −→ FIi (M/K) −→ Bằng cách lập luận tương tự Định lí 3.2.4 ta cần chứng minh FIs (K)/I FIs (K) R−môđun Noether Vì IK = K, tồn phần tử x ∈ I cho xK = K theo [17, 2.8] Dãy khớp ngắn x −→ :K x −→ K −→ K −→ cảm sinh dãy khớp dài x x .FIi (K) −→ FIi (K) −→ FIi−1 (0 :K x) −→ FIi−1 (K) −→ FIi−1 (K) 55 Từ Hệ 3.1.9 suy FIi (M/K) R−môđun Noether với i Từ dãy khớp ta FIi (K) R−môđun Noether với i < s theo giả thiết Khi FIi (0 :K x) R−môđun Noether với i < s − Từ giả thiết quy nạp ta có FIs−1 (0 :K x)/I FIs−1 (0 :K x) R−môđun Noether Từ dãy khớp cuối ta có dãy khớp sau −→ FIs (K)/xFIs (K) −→ FIs−1 (0 :K x) −→ :FIs−1 (K) x −→ Nó cảm sinh dãy khớp I I I I TorR (R/I, :FIs−1 (K) x) −→ Fs (K)/I Fs (K) −→ Fs−1 (0 :K x)/I Fs−1 (0 :K x) Vì :FIs−1 (K) x R−môđun Noether, TorR (R/I, :FIs−1 (K) x) R−mơđun Noether Từ suy FIs (K)/I FIs (K) R−môđun Noether Cho M R-môđun Artin Trong trường hợp tổng quát, môđun đồng điều địa phương hình thức FIi (M ) khơng R−mơđun Noether Tuy nhiên, i = Ndim M, ta có định lí sau Định lí 3.2.6 Cho M R-mơđun Artin với Ndim M = d Khi FId (M ) R−môđun Noether Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d = Ndim M Khi d = 0, M có độ dài hữu hạn Từ Mệnh đề 3.1.15 ta có FI0 (M ) ∼ = M Khi FI0 (M ) R−mơđun Noether Với d > Vì M Artin, tồn số nguyên dương m cho I t M = I m M với t ≥ m Đặt K = I m M, từ dãy khớp ngắn R-môđun Artin −→ K −→ M −→ M/K −→ cảm sinh dãy khớp dài theo Định lí 3.1.14 −→ FIi+1 (M/K) −→ FIi (K) −→ FIi (M ) −→ FIi (M/K) −→ Vì IK = K, tồn phần tử x ∈ I cho xK = K theo [17, 2.8] Bởi [5, 3.7] ta có Ndim(0 :K I) ≤ Ndim(0 :K x) ≤ d − Do FId (K) = theo Hệ 3.1.17 Suy ra, ta có dãy khớp −→ FId (M ) −→ FId (M/K) 56 Rõ ràng M/K I−tách, FIi (M/K) R−môđun Noether với i theo Hệ 3.1.9 Vậy, FId (M ) R−môđun Noether Định lí sau cho ta tính chất tương đương để FIi (M ) Artin với i > s Định lí 3.2.7 Cho M R-mơđun Artin s số ngun khơng âm Khi phát biểu sau tương đương: i) FIi (M ) Artin với i > s; ii) FIi (M ) = với i > s; iii) Ass(FIi (M )) ⊆ {m} với i > s Chứng minh i) ⇒ ii) Ta chứng minh quy nạp theo d = Ndim M Nếu d = Ndim(0 :M I) = Theo Hệ 3.1.17, FIi (M ) = với i > Với d > Vì M Artin, tồn số nguyên dương m cho mt M = mm M với t ≥ m Đặt K = mm M, từ dãy khớp ngắn R-môđun Artin −→ K −→ M −→ M/K −→ cảm sinh dãy khớp dài −→ FIi+1 (M/K) −→ FIi (K) −→ FIi (M ) −→ FIi (M/K) −→ Hơn M/K I−tách, nên FIi (M/K) ∼ = Him (M/K) theo Hệ 3.1.9 Ngoài ra, M/K m−tách, nên Him (M/K) = với i > theo [5, 3.8] Do FIi (K) ∼ = FIi (M ) với i > Do đó, ta cần chứng minh FIi (K) = với i > s Theo giả thiết, FIi (K) Artin với i > s Vì mK = K, tồn phần tử x ∈ m cho xK = K x theo [17, 2.8] Từ dãy khớp ngắn −→ :K x −→ K −→ K −→ cho ta dãy khớp dài x −→ FIi+1 (K) −→ FIi (0 :K x) −→ FIi (K) −→ FIi (K) −→ Theo [5, 4.7], ta có Ndim(0 :K x) ≤ d − Khi theo giả thiết quy nạp ta có FIi (0 :K x) = với i > s dãy khớp x −→ FIi (K) −→ FIi (K) 57 với i > s Từ suy :FIi (K) x = với i > s Vì FIi (K) Artin với i > s, nên FIi (K) = với i > s ii) ⇒ iii) hiển nhiên iii) ⇒ i) Chứng minh tương tự (i) ⇒ (ii) sử dụng tiêu chuẩn Artin [16, 1.3] 58 Kết luận Luận án nghiên cứu số tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng Đối với môđun đồng điều địa phương suy rộng theo cặp môđun, nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết thu số kết quan trọng sau: Các kết từ (1) đến (8), ta xét M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun compact tuyến tính nửa rời rạc Đưa điều kiện để tập Coass môđun đồng điều địa phương suy rộng hữu hạn (Định lí 2.1.3) Tổng quát kết Định lí 2.1.3 Xét G mơđun đóng HsI (M, N ) thỏa HsI (M, N )/G minimax, Coass(G) tập hữu hạn (Định lí 2.1.4) Bằng việc áp dụng dãy phổ Grothendieck, thu số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố đối liên kết: Nếu N HiI (N ) thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết với i < k CoassR (HkI (M, N )) hữu hạn (Định lí 2.1.7) Dựa vào điều kiện hữu hạn cho tập Coass, chúng tơi đưa kết tính hữu hạn tập Coass(HsI (M, N )) (Định lí 2.1.9) Thông qua đặc trưng độ rộng môđun, ta có kết sau: I (M, N )) tập Đặt t = widthI (N ) h = tor− (M, HtI (N )) CoassR (Hh+t hữu hạn (Định lí 2.1.12) 59 Bằng Định lí đối ngẫu, thu số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương suy rộng: Đưa kết tính hữu hạn tập Ass môđun đối đồng điều địa phương suy rộng (Định lí 2.2.6) Xét G mơđun đóng HIs (M, N ), chúng tơi đưa kết tổng quát tính hữu hạn tập Ass(HIs (M, N )/G) (Định lí 2.2.8) Nếu HIi (M, N )∗ thỏa điều kiện hữu hạn với i < s Ass(HIs (M, N )) tập hữu hạn (Định lí 2.2.11) Ngồi ra, luận án nghiên cứu môđun đồng điều địa phương hình thức, xem đối ngẫu với khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức P Schenzel [30], đạt số kết quan trọng sau: Định lí 3.1.3 đưa kết đồng điều mơđun đồng điều địa phương hình thức HIi (FIj,J (M )) ∼ =  0 i=0 FI (M ) i = j,J với số nguyên j 10 Kết cho ta mối liên hệ đồng điều đối đồng điều địa phương hình thức FIi (M ∗ ) ∼ = FiI (M )∗ , FiI (M ∗ ) ∼ = FIi (M )∗ với i (Định lí 3.1.11) 11 Định lí 3.1.14 cho ta dãy khớp dài mơđun đồng điều địa phương hình thức −→ FIi (M ) −→ FIi (M ) −→ FIi (M ) −→ FIi−1 (M ) −→ Kết tính triệt tiêu: 60 12 Cho M R-mơđun compact tuyến tính nửa rời rạc khác khơng Khi (i) Ndim(0 :M I) = max{i | FIi (M ) = 0} ≤ Ndim(0 :M I) = 1; (ii) Ndim(0 :Γm (M ) I) = max i | FIi (M ) = Ndim(0 :Γm (M ) I) = (Định lí 3.1.16) Các kết tính hữu hạn: 13 Định lí 3.2.2 Định lí 3.2.3 cho ta kết tính hữu hạn sinh mơđun đồng điều địa phương hình thức vành R 14 Điều kiện tính hữu hạn sinh mơđun thương FIi (M )/I FIi (M ) vành R (Định lí 3.2.4 3.2.5) 15 Kết cuối bậc d = Ndim M FId (M ) R−mơđun Noether (Định lí 3.2.6) 61 Danh mục cơng trình NCS T T Nam and D N Yen (2015), “The finiteness of Coassociated primes of generalized local homology modules”, Mathematical Notes 97, 738-744 Yen Ngoc Do, Tri Minh Nguyen and Nam Tuan Tran (2020), “Some finiteness results for co-associated prime of generalized local homology modules and applications”, J Korean Math Soc 57, 1061-1078 Tran Tuan Nam, Do Ngoc Yen and Nguyen Minh Tri (2021), “Formal local homology”, Colloquium Mathematicum 163, 267-284 62 Tài liệu tham khảo [1] Asadollahi J., Khashyarmanesh K., Salarian Sh (2002), "On the finiteness properties of the generalized local cohomomlogy modules", Comm Algebra 30, 859-867 [2] Brodmann M P., Faghani A L (2000), "A finiteness result for associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc., 2851-2853 [3] Bahmanpour K., Naghipour R (2008), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 136, 2359-2363 [4] Chambless L (1981), "Coprimary decomposition, N-dimension and divisibility: application to Artinian modules", Comm Algebra 9, 1131-1146 [5] N T Cuong, T T Nam (2008), "A Local homology theory for linearly compact modules", J Algebra 319, 4712-4737 [6] N T Cuong, T T Nam (2001), "The I−adic completion and local homology for Artinian modules", Math Proc Camb Phil Soc 131, 61-72 [7] Divaani-Aazar K and Mafi A (2004), "Associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 133-3, 655-660 [8] Doustimehr M R., Naghipour R (2015), "Faltings’ local-global principle for the minimaxness of local cohomology modules", Comm Algebra 43, 400-411 [9] Greenlees J P C., May J P (1992), "Derived functors of I -adic completion and local homology", J Algebra 149, 438–453 63 [10] Grothendieck A (1986), Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2), North-Holland, Amsterdam [11] Herzog J (1970), Komplexe, Auflă osungen und dualită at in der localen Algebra, Habilitationschrift Univ Regensburg [12] Huneke C (1990), "Problems on local cohomology, in: Free Resolutions in Commutative Algebra and Algebraic Geometry", Research Notes in Mathematics 2, 93-108 [13] Hartshone R (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent Math 110, 145164 [14] Jensen C U (1972), Les Foncteurs Dérivés de lim et leurs Applications en ←− Théorie des Modules, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [15] Macdonald I.G (1962), "Duality over complete local rings", Topology 1, 213235 [16] Melkersson L (1990), "On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal", Math Proc Camb Phil Soc 107, 267271 [17] Macdonald I G (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica XI, 23–43 [18] Rotman J J (2009), An introduction to homological algebra, Springer Press [19] T T Nam (2012), "Generalized local homology for Artinian modules,"Algebra Colloquium 19, 1205-1212 [20] T T Nam (2010), "Left derived functors od the generalized I−adic completion and generalized local homology", Comm Algebra 38, 1-14 [21] T T Nam (2009), "A finiteness result for co-associated and associated primes of generalized local homology and cohomology modules", Comm Algebra 37, 1748-1757 64 [22] T T Nam (2008), "On the finiteness of co-associated primes of local homology modules",J Math Kyoto Univ (JMKYAZ) 48-3, 521-527 [23] T T Nam (2008), "Cosupport and coartinian modules, Algebra Colloquium 15, 83-96 [24] T T Nam (2015), "Minimax modules, local homology and local cohomology", Int J Math 26, 1550102 (16 pages) [25] Ooishi A (1976), "Matlis duality and the width of a module", Hiroshima Math J 6, 573-587 [26] Roberts R N (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart J Math Oxford 3, 269-273 [27] Saremi H (2009), "On minimax and Generalized local cohomology modules", Acta Mathematica Vietnamica 34, 269-273 [28] Singh A K (2000), "p-torsion elements in local cohomology modules", Math Res Lett 7, 165-176 [29] Strooker J (1990), Homological questions in local algebra, Cambridge University Press [30] Schenzel P (2007), "On formal local cohomology and connectedness", J Algebra 315, 894-923 [31] Suzuki N (1978), "On the generalized local cohomology and its duality", J Math Kyoto Univ (JAKYAZ) 18, 71-85 [32] Sharp R Y (1989), "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic behavior", Math Sciences Research Inst Publ 15, 443-465 [33] Takahashi R., Yoshino Y., Yoshizawa T (2009), "Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals", J Pure Appl Algebra 213, 582-600 65 [34] Weibel C A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge University Press [35] Yassemi S (1995), "Coassociated primes",Comm Algebra 23, 1473-1498 [36] D N Yen and T T Nam (2019), "Generalized local homology and duality,"Int J Algebra Comput 29, 581-601 [37] Zăoschinger H (1983), "Linear-Kompakte Moduln u ¨ber Noetherschen Ringen", Arch Math 41, 121-130 [38] Z¨oschinger H (1986), "Minimax-moduln", J Algebra 102, 1-32 66 Chỉ mục chiều Noether, 12 đối ngẫu Macdonald, 14 đối giá mơđun, 17 mơđun compact tuyến tình nửa rời rạc, 13 mơđun compact tuyến tính, 13 mơđun đồng điều địa phương, 16 môđun đồng điều địa phương suy rộng, 17 môđun minimax, 23 môđun I -coartin, 23 môđun Lasker yếu, 38 mơđun đồng điều địa phương hình thức, 41 thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết, 10 tập iđêan nguyên tối đối liên kết với môđun, 18 ... niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, mở rộng từ khái niệm đối đồng điều địa phương Grothendieck Bằng cách đối ngẫu, năm 2009, T T Nam [21] đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương suy rộng. .. hàm tử đồng điều địa phương, họ xây dựng nghiên cứu cách có hệ thống lý thuyết đồng điều địa phương với công cụ đại số giao hoán đại số đồng điều Họ đưa khái niệm môđun đồng điều địa phương sau:... lí đối ngẫu đưa kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Một hướng suy rộng khác mơđun đối đồng điều địa phương, mơđun đối đồng điều địa phương hình thức giới