Một số tính chất tôpô và đại số của trường số p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGƠ THỊ THANH HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƠ PƠ VÀ ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG SỐ P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH – 1995 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGƠ THỊ THANH HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔ PÔ VÀ ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG SỐ P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PTS MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH - 1995 Xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại học Sư phạm Đại học Tổng hợp tận tình giúp đỡ chúng tơi q trình học tập Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy Mỵ Vinh Quang người trực tiếp đề tài hướng dẫn chúng tơi suốt q trình hồn thành luận văn này./ LỜI NĨI ĐẦU Nhờ định lí Oxtropxki ta biết trường số hữu tỉ Q có hai loại chuẩn, giá trị tuyệt đối thông thường ( ) theo chuẩn p (với p số nguyên tố) Làm đầy đủ Q ta trường số p-adic Qp – Bộ mơn tốn nghiên cứu hàm với biến số p-adic gọi giải tích p-adic Mục tiêu luận văn nghiên cứu tính chất trường số padic Qp nói Luận văn gồm phần Trong phần I chúng tơi trình bày ngắn gọn đầu đủ cách xây dựng kết trường số p-adic Qp Các kết phần mặt giúp ta hình dung rõ trường Qp, mặt khác sở lí thuyết cho phần Phần thứ hai trình bày kết nghiên cứu trường số p-adic Cụ thể chúng tơi cố gắng khảo sát tính chất số học, đại số, tô pô trường số p-adic Qp – Trong suốt trình nghiên cứu luôn cố gắng so sánh, đối chiếu với trường số thực R Ta thấy trường số p-adic có tính chất giống với trường số thực R Ví dụ số lớp thặng dư (mệnh đề 1.2), biểu diễn p-adic số hữu tỉ (mệnh đề 2.1, mệnh đề 2.2) Tuy nhiên đặc thù chuẩn p trường Qpcu4ng có nhiều tính chấ khác lạ, khác với số thực: Ví dụ: Qp mở rộng bậc vô hạn Qp (mệnh đề 5.1), c mở rộng bậc R Một hình cầu có vơ số tâm, vơ số bán kính, Qp có số đếm hình cầu, mặt cầu…(mệnh đề 4.1)… Vì thời gian khả hạn chế, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót – Rất mong thầy cô bạn đồng nghiệp lượng thứ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC BÀI 1: CHUẨN TRÊN TRƯỜNG 1.1 Khái niệm: 1.2 Chuẩn phi Acsimet: 1.3 Chuẩn trường số hữu tỉ BÀI 2: XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC 15 2.1 Trường Qp 15 2.1.1 Tập hợp Qp 15 2.1.2 Các phép toán Qp 15 2.2 Chuẩn Qp 16 2.3 Tập số nguyên p-adic 17 2.4 Biểu diễn p-adic số a Qp 18 2.4.1 Dạng chuẩn số p-adic 18 BÀI 3: BỔ ĐỀ ZENGEN 25 3.1 Bổ đề Zengen: 25 BÀI 1: SỐ HỌC TRONG VÀNH Z p 26 1.1 Mệnh đề: 26 1.2 Mệnh đề: 28 1.3 Tiêu chuẩn Aidenstaiơ Z p : 29 BÀI 2: BIỂU DIỄN P-ADIC CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 31 2.1 Mệnh đề: 31 2.2 Mệnh đề: 32 BÀI 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG Q p 38 3.1 TRƯỜNG Q p VỚI P LÀ SỐ NGUYÊN TỐ LẺ 38 3.1.1 Mệnh đề (điều kiện cần đủ để a ∈ Qp số phương): 38 3.1.2 Mệnh đề: 40 3.2 ĐỐI VỚI Q 41 3.2.1 Mệnh đề: 41 3.2.2 Mệnh đề: 42 BÀI 4: TÍNH CHẤT TƠPƠ CỦA TRƯỜNG SỐ P-ADIC Q p 45 4.1 Mệnh đề: 45 4.2 Mệnh đề: 50 4.3 Mệnh đề: 51 BÀI 5: MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG Q p 54 5.2 Mệnh đề: 55 5.3 Mệnh đề: 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHẦN 1: XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC Trong phần chúng tơi trình báy cách xây dựng trường số p-dic Qp Vấn đề nhiều tác giả trình bày theo phương pháp khác với dụng ý khác Ở chúng tơi trình bày cách xây dựng Qp phương pháp giải tích N.KOBLITZ (xem[5]) Vì theo phương pháp xây dựng Qp cách “tự nhiên” Các kết trình bày phần trung thành với ([5]) Tuy nhiên hầu hết chứng minh chúng tơi khơng trình bày đây, phần để luận văn không dài, phần khác chứng minh tìm thấy ([5]) BÀI 1: CHUẨN TRÊN TRƯỜNG 1.1 Khái niệm: Chuẩn trường F ánh xạ (kí hiệu ) từ F vào tập hợp số không âm thỏa: i/ x =0 ⇔ x =0 2i / x y = x y 3i / x + y = x + y Ví dụ 1: Trị tuyệt đối thông thường ( ) trường số hữu tỉ Q chuẩn trường Q Ví dụ 2: Trên trường F định nghĩa ánh xạ: 1 x ≠ x = 0 x = Đây chuẩn trường F mà ta gọi chuẩn tầm thường Nhận xét khái niệm chuẩn trường mở rộng khái niệm trị tuyệt đối Q Giả sử hàm chuẩn trường F Khi hàm : d(x,y)= x-y metric F d(x,y) gọi metric tương ứng với chuẩn Hai chuẩn gọi tương đương chúng sinh metric tương đương (các tô pô sinh chúng nhau) 1.2 Chuẩn phi Acsimet: Giả sử chuẩn trường F Nếu chuẩn thỏa điều kiện mạnh hơn: 3i ' / x + y ≤ max( x , y ) Thì ta nói chuẩn phi Acsimet, mêtric gọi metric phi Acsimet nếu: d(x,y) ≤ max( d(x,z), d(z,y)) ∀ x,y,z ∈ F đặc biệt metric sinh chuẩn phi Acsimet phi Acsimet * ) Nguyên lí tam giác cân: Tính chất 3i/ chuẩn gọi bất đẳng thức tam giác Trong trường F với metric phi Acsimet ta có: x ± y ≤ max ( x , y ) Và x ≠ y dấu “=” xảy Tất tam giác cân Chứng minh Giả sử x ≠ y khơng tính tổng qt ta giả sử y > x , cạnh thứ tam giác: x – y có độ dài: x− y ≤ y (1) Nhưng y = x − ( x − y ) ≤ max ( x , x − y ) ⇒ y ≤ x − y Từ (1) (2) có y= (2) x− y Như hai “cạnh” x, y không “cạnh” lớn chúng phải “cạnh” thứ độ dài 1.3 Chuẩn trường số hữu tỉ ) Định nghĩa 1: Giả sử p={2, 3, 5, 7,…} tập tất số nguyên tố Với số * a≠0 ta gọi ord p a số nguyên không âm m lớn cho: a ≡ (modpm) Nếu a = ta viết ord p a = ∞ Ví dụ: ord 50 = 2; ord = 0,… ) Định nghĩa 2: Trên trường số hữu tỉ Q ta định nghĩa ánh xạ (kí hiệu *  ord p x ( ) xp = p 0  Hàm p p ): x≠0 x= định nghĩa chuẩn phi Acsimet trường Q Nhờ định lí Oxtropxki ta biết chuẩn Q mơ tả ) Định lí Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường trường số hữu tỉ Q * tương đương với chuẩn p (p số nguyên tố đó) tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường Q Chứng minh Ta xét trường hợp: a)∃n ∈ N: n >1 Trong tất số n thỏa điều kiện (a) chọn số nhỏ kí hiệu n Vì n >1 nên n = n α0 với a số thực dương (a ∈ R+) Bây viết số n hệ đếm n : n=a +a1n +a n 02 + a k n 0k (n³ n 0k ) Với ≤ a < n ∀i = 0, 1, 2,…k Và a k ≠ Khi đó: 10 i/ Giả sử a∈Qp, r∈R+ xét hình cầu mở B(a, r) ={x ∈ Qp : x − a p < r} Hiển nhiên B(a,r) tập mở ta cần chứng minh B(a,r) tập đóng: Ta có B(a,r) đóng ⇔ Qp\B(a,r) mở Lấy b ∈ Qp \ B(a, r) ⇒ b − a p ≥ r (1) Khi ln tồn hình cầu mở S(b,r) nằm hồn tồn Qp\B(a,r) vì: ∀y ∈ S(b, r) ⇒ y − b p < r (2) Mà: y − a p = (y − b) + (b − a) Theo nguyên lí tam giác cân phải có: y−a p = b−a p ⇒ y−a p ≥ r ∀y Hay S(b,r) ⊂ Qp\B(a,r)⇒Qp\B(a,r) mở Tương tự vậy: B(a, r) ={x ∈ Qp : x − a p ≤ r} D(a, r) ={x ∈ Qp : x − a p =r} Cũng tập vừa mở vừa đóng Từ tính chất hiển nhiên ta thấy rằng: mặt cầu, mặt cầu Qp khơng có điểm biên 2i/ Xét hai hình cầu mở: 46 B1 (a, r) ={x ∈ Qp : x − a p < r} B2 (b,s) ={x ∈ Qp : x − b p < s} Giả sử B ∩B ≠ ta chứng minh chứng phải lồng Thật không tính tổng qt ta coi r ≤ s Khi ta chứng minh B ∩B : Do B1 ∩ B2 ≠ ⇒ ∃c ∈ B1 ∩ B2  c − a p < r ⇒  c − b p < s Bây với ∀y ∈ B1 (a, r) ⇒ y − a p < r ⇒ y − b p = (y − a) + (c − a) + (c − b) p ( ≤ Max y − a p , c − a p , c − b p ) < Max(r,r,s)=s ⇒ y ∈ B2 (b,s) ⇒ B1 (a, r) ⊂ B2 (a,s) Ngược lại s ≤ r ta có B ⊂ B Đối với hình cầu đóng việc chứng minh hồn tồn tương tự 3i/ Bây với a ∈ Qp, r ∈ R+ mặt cầu B(a,r) xét điểm b bất kì, b ≠ a Vì b ∈ B(a, r) ⇒ b − a p < r Hơn cịn có B(a,r)=B(b,r) vì: ∀x ∈ B(a, r) ⇒ x − a p < r đó: 47 x − b p = (x − a) − (b − a) p ( ) ≤ Max x − a p b − a p < r ⇒ x∈B(b,r) Ngược lại ∀y ∈ B(b,r) với cách chứng minh hồn tồn tương tự ta có y∈B(b,r) Vậy B(b,r)=B(b,r), với ∀b ∈B(b,r) ⇒B(a,r) có vơ số tâm Hoàn toàn tương tự B(a, r), D(a, r) có vơ số tâm Để chứng minh hình cầu có vơ số bán kính, ta lại xét: B(a, r) ={x ∈ Qp : x − a p < r, r ∈ R + , a ∈ Qp} Do hàm p nhận giá trị tập {p n }n∈Z ∪ {0} (1) Nên ∃n: pn < r ≤ pn+1 Mặt khác ta ln có: B(a,r)=B(a,pn+1) với pn < s ≤ pn+1 (2) Thật vậy: ∀x ∈ B(a,s) ⇒ x − a p < s ≤ p n +1 Với ⇒ x ∈ B(a, p n +1 ) ∀y ∈ B(a, p n +1 ) ⇒ y − a p < p n +1 Do (1) (2) ta phải có: y − a p ≤ pn ⇒ y−a p < s ⇒ y ∈ B(a,s) 48 Như hình cầu B(a,r) với r thỏa pn < r ≤ pn+1 ta có: B(a,r)=B(a,pn+1) Do ∀s∈(pn,pn+1) B(a,r)=B(a,s) Ta nói: hình cầu B(a,r) có vơ số bán kính Đối với hình cầu đóng: B(a, r) ={x ∈ Qp; x − a p ≤ r} ⇒ ∃n : p n ≤ r < p n +1 Khi ta có: ∀s:p n ≤ s < p n +1 = B(a,s) B(a, p n ) (4) Với ∀x ∈ B(a,s) : x − a p ≤ s Do (2) (4) ta có: x − a p ≤ p n ⇒ x ∈ B(a, p n ) ∀y ∈ B(a, p n ) : y − a p ≤ p n ≤ s ⇒ y ∈ B(a,s) Vậy B(a, = r) B(a,s) ∀s ∈ [p n , p n +1 ) Hay B(a, r) có vơ số bán kính 4i/ (3i) ta có điểm hình cầu, mặt cầu tâm Dùng tính chất ta chứng minh Qp có số đếm hình cầu mặt cầu Lấy a ∈ Qp, r ∈ R+ 49 Ta có ∃n ∈ Z:B(a,r) = B(a,pn) (theo 3i) ⇒ M = {B(a,r): r ∈ R+} = {B(a,pn) : n ∈ Z} tập đếm Mặt khác hình cầu Qp chọn tâm số hữu tỉ Chẳng hạn hình cầu B(a,pn), n ∈ Z Do a ∈ Qp nên: = a a m p m + a m +1p m +1 + + a n p n + (n < m, m ∈ Z) Đặt = b a m p m + a m +1p m +1 + + a n p n ⇒ b∈Q Và b −= a p a n +1p n +1 + a n + p n + + < 1/ p n p Nên b ∈ B(a,pn) B(a,pn) = B(b,pn) hình cầu có dạng B(b,pn) b ∈ Q, n ∈ Z nên số hình cầu Qp tập đếm 4.2 Mệnh đề: Z p tập compăc, Qp tập compăc địa phương Chứng minh: *) Z p tập compăc: Giả sử {x i } i=1,…n dãy Z p và: x1 = {x11 , x12 , x1n } ≤ x in ≡ x in +1 x = {x12 , x 22 , , x n2 , } x1 = {x11 , x12 , , x1n , } 50 Với ≤ x in ≤ p n − x in ≡ x in +1 (modpi ) Xét tập {x1i} , ≤ x in ≤ p − ∀i Nên ∃ a ∈ {0,1,2,…,p-1} cho {x1i} có tập vơ hạn mà phần tử đầu dãy đại diện cho chúng a tập ta lại xét tập phần tử thứ hai dãy đại diện cho chúng lại thấy ∃a i ∈ {0,1,2,…p2-1} cho có tập dãy xét có hai phần tử đầu dãy đại diện a , a Cứ tiếp tục trình ta thu dãy {x ik } {x i } có dạng: {x ik } = {a , a1 , a k , x ikk +1 , x ikk + , } Khi Với x ∈ Z p , x = {a ,a ,…a k a k+1 ,…} Ta có lim x ik − x p lim (a , a1 , , a k , x ikk +1 , ) − (a= = , a , a k , a k +1 , ) k →∞ k →∞ p Nghĩa là: limx ik = x Vậy Z p tập compăc *) Qp tập compăc địa phương: Do Z p tập compăc nên với ∀a ∈ Qp ⇒ a + Z p lân cận conpăc a Qp Vậy Qp tập compăc địa phương Để kết thúc mục ta có mệnh đề sau: 4.3 Mệnh đề: Cho P={Tập tất số nguyên tố} P-p trù mật Z*p Chứng minh 51 Do mệnh đề 4.1 (3i) ta có: ∀a ∈ Z*p , r ∈ R+: B(a,r) = B(a,pn) ; n ∈ Z Mặt khác mệnh đề 4.1(2i) hình cầu Qp lồng rời nên để chứng minh  - p trù mật Z*p ta cần chứng minh: ∀a ∈ Z*p ∀m ∈ N B(a, p − m ) ∩ Z*p ≠ ∅ đủ Thật vậy: Vì a ∈ Z*p nên a p = , a có biểu diễn p-adic: a = a + a1p + a p + + a p3 + (a ≠ 0) Đặt b = a + a1p + a p + + a p3 Thì b ∈ Z*p , đồng thờ b∈N Và B(b,p-m) = B(a,p-m) (do chứng minh 4.1(3i)) Khi bp = ⇒ (b, p m +1 ) = Theo định lí Diricle (xem[4]), dãy b, b + pm+1, b + 2pm+1,…có vô số số nguyên tố Vậy: ∃k: q = b + kpm+1 số nguyên tố ⇒ qp = ⇒ q ∈ Z*p (1) Mà: 52 q − b= kp m +1 < p p ⇒ q ∈ B(b,p m ) pm (2) Từ (1) (2) ta có: q ∈ B(a, p − m ) ∩ Z*p Vậy  - p trù mật Z*p 53 BÀI 5: MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG Qp Ta biết R khơng phải trường đóng mặt đại số, R mở rộng bậc vô hạn Q đồng thời R tồn phần tử siêu việt Q Trong Qp tính chất hồn tồn tương tự Cụ thể ta có: Từ kết luận phần III/ ta thấy rằng: số Qp số phương, nói cách khác phương trình x2 = a với a ∈ Qp khơng phải lúc có nghiệm Do Qp khơng đóng mặt đại số Hơn ta cịn có mệnh đề sau: 5.1 Mệnh đề: Trong Qp tồn phần tử siêu việt Q, bậc mở rộng Qp Q bậc vô hạn Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Qp tập hợp có lực lượng lớn đếm Thật ta cần tập Z*p Qp tập có lực lượng lớn đếm được, tức ánh xạ từ tập số tự nhiên N tới Z*p tồn ánh Giả sử có ánh xạ: f : N → Z*p → a= a 00 + a 01p + a 0n p n + → a= a10 + a11p + a1n p n + n → a= a n + a n1p + a nn p n + n Lấy số p-adic a ∈ Qp thỏa: α= b + b1p + b p + + b n p n + Trong b ≠ 0; ≤ b i ≤ p-1 b i ≠ a ii ∀i 54 Khi ta có: α ∈ Z*p a ≠ a n = f(n) với ∀n ∈ N Tức a ∉ f(n) ⇒ f khơng tồn ánh Như ta chứng minh Qp tập có lực lượng lớn đếm Mặt khác tập đại số ln tập có lực lượng đếm Do Qp tồn phần tử siêu việt Q nói hầu khắp Qp số siêu việt Từ chứng minh ta có ngay: Qp mở rộng vơ hạn chiều Q Qp mở rộng hữu hạn chiều Q Qp phải mở rộng đại số Q(vơ lí) Mở rộng bao đóng R (tức trường số phức C) R ln ln bậc hai Đối với Qp tình hình hồn tồn khác hẳn Cụ thể ta có mệnh đề sau: 5.2 Mệnh đề: Mở rộng bao đóng Qp Qp vô hạn chiều Hơn nữa: cho trước số tự nhiên n tồn mở rộng bậc n Qp Chứng minh Đầu tiên ta rằng: cho trước số tự nhiên n có đa thức bất khả qui n Qp Thật vậy: Áp dụng kết phần II/§1 ta có hàm p n (x) = xn + p thỏa tất điều kiện tiêu chuẩn Aidenstaine trpng Z p p n (x) đa thức bất khả qui n Qp Xét mở rộng E Qp p n (x) có nghiệm Gọi a ∈ E nghiệm p n (x) thì: p n (x) =irr(a,Qp,x) a phần tử đại số Qp Vậy 55 [Q p (a):Q p ] = degp n (x) = n Và Q p (a) mở rộng n chiều Q p Do n nên bậc mở rộng Qp Q bậc vơ hạn Ngồi tính chất ta cịn có số tính chất đẳng cấu Qp 5.3 Mệnh đề: i/ Qp không đẳng cấu với R 2i/ Qp không đẳng cấu với Qq p ≠ q Chứng minh i/ Q p ≅/ R Ta xét hai trường hợp a/ Trường Q p với p số nguyên tố lẻ Trước hết nhận xét có đẳng cấu f: Qp → R Thì f(1) = vì: f(1) = f(12) = f(1.1) = f2(1) ⇒ f2(1) = f(1) ⇒ f (1) = f (1) = ⇒ f(1) = (t/c đẳng cấu trường)  Mặt khác ta có: – p số phương Q p Vì: Biểu diễn p-adic – p là: – p = + (-p) = + (p - 1).p + (p - 1).p2+… Mà 56 + (p -1).p + (p - 1) +…≡ 12 (modp) ⇒ – p phương Q p (theo mệnh đề 3.1) Nhưng a = – p < khơng phương R Theo nhận xét giả sử có đẳng cấu f: Qp → R thì: f(1) = ⇒ f(1 - p) = – p Hơn – p phương Qp Nên ∃ b ∈ Qp : b2 = – p ⇒ f(b2) = (f(b))2 = – p ⇒ – p phương R (vơ lí) ⇒ Qp ≅/ R b/ Bây ta chứng minh Q ≅/ R Giả sử có đẳng cấu f: Q → R nhận xét f(1) = Do -7 ≡ (mod8) Nên -7 số phương Q (theo mệnh đề 3.3) Nhưng -7 < nên -7 không phương R Mặt khác 57 -7 phương Q nên ∃a : a2 = -7 Mà f(1) = ⇒ f(-7) = -7 ⇒ f(-7) = f(a2) = (f(a))2 = -7 ⇒ -7 phương R (vơ lí) ⇒ Q ≅/ R Vậy khơng tồn đẳng cấu từ Qp đến R, hay Qp ≅/ R với ∀p 2i/ Qp ≅/ Qq với p ≠ q Ta xét hai trường hợp a/ Qp ≅/ Qq với p, q số nguyên tố lẻ Nếu tồn đẳng cấu f: Qq → Qp Hồn tồn tương tự i/ ta có f(1) = Giả sử q < p ∃ m: < m < q cho pm phương Qq Thật vậy: *) Nếu p phương Q p ta chọn m = **) Nếu p khơng phương Qq ta chọn m số khơng phương Qq mệnh đề 3.1 có pm phương Qq Do f(1) ⇒ f(pm) = pm Mà m