MỤC LỤC
Nếu dimR > 0thì tồn tại iđêanI của của một vành Noether R sao cho phạm trù con Serre các R-môđun có độ dài hữu hạn không thoả mãn điều kiện (CI). Chú ý rằng phạm trù Serre cácR-môđun Noether xét trong Ví dụ 1.2.5 và phạm trù con Serre các R-môđun có độ dài hữu hạn xét trong Ví dụ 1.2.6 đều không đóng với phép lấy bao nội xạ. Cụ thể là với m là iđêan cực đại của R sao cho htm > 0 thì R/m là môđun có độ dài hữu hạn và tất nhiên cũng là môđun Noether, nhưng bao nội xạ của nó không là môđun Noether và vì thế nó có độ dài vô hạn.
Môđun dẫn suất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với N được gọi là môđun. Khi đó HIn(N) = Keru∗n/Imu∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của N. Cụ thể, để chỉ ra một tính chất trên môđun HIi(M) khiM là hữu hạn sinh và M không có phần tử chính quy trong I, người ta áp dụng mệnh đề này để chuyển về tính toán trên môđunHIi(M).
Khi đó mỗi dãy chính quy của M trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy tối đại, và các dãy chính quy tối đại củaM trong I có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I, M). Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Hơn nữa, nếuM là hữu hạn sinh và (R,m) là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m thì. Trong suốt chương này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M, N là các R-môđun.
Vì thếL0 là một môđun thương củaL.Suy raL0 ∈ S.Sử dụng giả thiết quy nạp cho dãy gồmn−1phần tử ứng với môđunM0 ta suy rax2,. Quay lại các phạm trù con Serre S như trong Ví dụ 1.2.4 ta thu lại các khái niệm quen biết về dãy chính quy, dãy lọc chính quy,. [LT] đã chỉ ra rằng nếu dimM/IM > 0 thì mỗi M-dãy lọc chính quy có thể mở rộng thành một M-dãy lọc chính quy tối đại, và các M-dãy lọc chính quy tối đại đều có chung độ dài.
Độ dài chung này được gọi là độ sõu lọc của M trong I và được kớ hiệu là f-depth(I, M). Cũng tương tự như Mệnh đề 1.3.7 đặc trưng độ sâu depth(I, M) của M trong một iđêan I thông qua tính không triệt tiêu của đối đồng điều địa phương, độ sâu lọc cũng được đặc trưng thông qua tính Artin của môđun. Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy suy rộng đối vớiM nếua /∈ pvới mọip ∈ AssM.
, an của R được gọi là M-dãy chính quy suy rộng nếu ai là phần tử chính quy suy rộng của M/(a1,. Chú ý rằng nếu dimM/IM > 1thì mỗiM-dãy chính quy suy rộng có thể mở rộng thành một M-dãy chính quy suy rộng tối đại, và các M-dãy chính quy suy rộng tối đại đều có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu suy rộng của M trong I và được kí hiệu là gdepth(I, M).
Trong trường hợp vành cơ sở(R,m) là địa phương thì độ sâu suy rộng còn được đặc trưng thông qua tính hữu hạn của giá của môđun đối đồng. Trong trường hợp này, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì SuppM là tập hữu hạn khi và chỉ khi dimM 6 1. Chú ý rằng nếu dimM/IM > s thì mỗi M-dãy chính quy theo chiều > s có thể mở rộng thành một M-dãy chính quy theo chiều > s tối đại, và cácM-dãy chính quy theo chiều> s tối đại đều có chung độ dài.
Độ dài chung này được gọi là độ sâu theo chiều > s của M trongI và được kí hiệu là depth>s(I, M). , xk là S-dãy chính quy đối với M nếu và chỉ nếu nó là M-dãy chính quy theo chiều > s. Sử dụng Định lí tránh nguyên tố ta dễ thấy rằng với mỗi số tự nhiên k, luôn tồn tạiI−dãy lọc chính quy của M có độ dài k.
Ngược lại, giả sử với mỗi n luôn tồn tại một S-dãy chính quy trong I độ dài n đối với M. Theo (i), mỗi S-dãy chính quy trong I đều mở rộng được thành một S-dãy chính quy tối đại và các S-dãy chính quy tối đại trong I có chung độ dài. Khi đó độ dài của một S-dãy chính quy tối đại trong I đối vớiM được gọi là S-độ sâu của M trongI và được kí hiệu là S-depthI(M).
Bây giờ chúng ta đưa ra một số ví dụ về S-độ sâu tương ứng với các phạm trù con Serre đã xét ở Chương I. Gọi S là phạm trù Serre gồm các R-môđun có giá hữu hạn (có Supp hữu hạn). Chúng ta kết thúc luận văn này bằng việc đưa ra một số đặc trưng của S-độ sâu.
Nó được thể hiện trong định lí sau đây - là một trong hai kết quả chính của luận văn. Cho S là phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun thỏa mãn điều kiện (CI). Do đó dãy tăng này phải dừng, tức là sau một số hữu hạn bước ta có lọc như yêu cầu.
ChoS là một phạm trù con Serre của phạm trù cácR-môđun và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó Z là đóng với phép đặc biệt hóa và các phát biểu sau là tương đương.