Tính chất định tính của các hệ động lực chịu nhiễu

Tính chất định tính của các hệ động lực chịu nhiễu.

Mục lụcMở đầu iii1 Kiến thức chuẩn bị 11.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều . 11.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính vô hạn chiều . . 91.3 Tính điều khiển được của hệ có ràng buộc điều khiển . . 262 Kết quả 402.1 Bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miềntham số điều khiển bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới các nhiễucấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Kết luận 68Tài liệu tham khảo 71i Lời cảm ơnDìu dắt tôi trên con đường toán học, luôn tạo ra những thử thách giúptôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếpnhận từ người thầy đáng kính của tôi, GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn.Tôi xin gửi đến thầy lòng biết ơn sâu sắc nhất.Tôi xin gửi tới GS. TSKH Phạm Kỳ Anh, GS. TS Nguyễn Hữu Dư,Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tinhọc trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâusắc nhất, những người đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình tôi, đã giúp đỡ rấtnhiều để tôi đến được con đường toán học như bây giờ.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trongKhoa Toán - Tin Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, các thầycô trên Viện Toán học, những người luôn ủng hộ nhiệt tình và sẵn sànggiúp đỡ tôi trong thời gian này.Luận văn này được hoàn thành dưới sự động viên, chia sẻ, giúp đỡcủa người thân, các bạn cùng lớp K7 Cử nhân Khoa học Tài năng vàCao học 0709. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả.Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009Tác giảii Mở đầuLý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đâykhi sự thực hiện các điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phântích một cách toán học. Hiện nay lý thuyết điều khiển tiếp tục được pháttriển mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụngtrong thực tế.Một trong các khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển là tính điềukhiển được. Hệ điều khiển tuyến tính ˙x = Ax+Bu, A ∈ Kn×n, B ∈ Kn×mvới K = R hoặc C được gọi là điều khiển được nếu cho trạng thái tùy ýban đầu x(0) = x0và trạng thái mong muốn cuối cùng x1thì có tồn tạimột số T > 0 và một hàm điều khiển đo được u(t) ∈ Ω ⊂ Kmsao chox(T ) = x1. Khi đó chúng ta sẽ gọi cặp ma trận (A, B) ∈ Kn×n× Kn×mlà điều khiển được.Hiện nay, vấn đề đang được quan tâm là các hệ chịu ảnh hưởng củacác "nhiễu nhỏ". Sự bảo toàn các tính chất định tính của các hệ dướiảnh hưởng của nhiễu chẳng hạn như tính điều khiển được, tính ổn định .được gọi là sự bền vững. Một vấn đề được đặt ra là độ lớn của nhiễunhư thế nào thì các hệ vẫn bảo toàn được các tính chất định tính củanó. Khóa luận này sẽ trình bày và giải quyết vấn đề bảo toàn tính điềukhiển được khi xét các hệ chịu nhiễu.Trong chương 1, tôi trình bày vấn đề điều khiển được. Đầu tiên làiii tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều.Tiếp theo là tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gianvô hạn chiều và cuối cùng là tính điều khiển được của hệ với điều khiểncó ràng buộc.Trong chương 2, tôi trình bày các kết quả. Thứ nhất là kết quả về bánkính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiểnchịu nhiễu. Chúng tôi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa các nón đểtừ đó xây dựng nên công thức bán kính điều khiển được. Thứ hai là kếtquả về bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúccủa toán tử. Để giải quyết vấn đề này chúng tôi cần sử dụng lý thuyếtcác toán tử tuyến tính đa trị.Trong chương 3, tôi trình bày phần kết luận, các công trình, báo cáoliên quan đến luận văn và tài liệu tham khảo.iv Chương 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tínhhữu hạn chiềuCác kiến thức trong mục này được lấy từ phần I, chương 1 trong cuốnsách "Mathematical Control Theory: An Introduction" của Jerzy Zabczyk[1].Bài toán điều khiển được xuất phát từ phương trình vi phândydt= Ay(t) + Bu(t),y(0) = x ∈ Rn, u(t) ∈ Rm,(1.1)với A : Rn→ Rn, B : Rm→ Rnlà các toán tử tuyến tính, u(t) là hàmkhả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L1[0, T ; Rm] với mọi T > 0. Ta đãbiết phương trình (1.1) có nghiệm duy nhấty(t) = S(t)x +t0S(t − s)Bu(s)ds,1 ở đây S(t) = eAt=∞n=0Ann!tnlà ma trận nghiệm cơ bản.Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái atrong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ]sao cho phương trình (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0.Định nghĩa 1.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a haytrạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trongthời gian T > 0 nào đó.Định nghĩa 1.1.3. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được trong thời gianT > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trongthời gian T.Định nghĩa 1.1.4. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được nếu b và a làhai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a.Xét ma trậnQT=T0S(r)BB∗S∗(r)dr,được gọi là ma trận điều khiển được. Dễ thấy QTlà ma trận đối xứngvà xác định không âm.Bổ đề 1.1.1. Giả sử với T > 0 nào đó ma trận QTkhông suy biến, khiđó với mọi a, b ∈ Rnđiều khiển u(s) = −B∗S∗(T −s)Q−1T(S(T )a−b), s ∈[0, T ] dịch chuyển từ a đến b trong thời gian T, tức là với điều khiển nhưtrên hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.2 Chứng minh. Ta cóy(t) = S(t)a +t0S(t − s)Bu(s)ds= S(t)a −t0S(t − s)BB∗S∗(t − s)Q−1T(S(T )a − b)ds.Dễ thấy y(0) = S(0)a = a.y(T ) = S(T )a −T0S(T − s)BB∗S∗(T − s)dsQ−1T(S(T )a − b)= S(T )a − QTQ−1T(S(T )a − b)= b.Bổ đề 1.1.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ Rnđều đạt được từ 0, khi đó matrận QTkhông suy biến với mọi T > 0.Chứng minh. XétLTu =T0S(r)Bu(T − r)dr.Suy ra LTu = yu(t) trong đó yu(t) là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãnyu(0) = 0. Đặt ET= LT(L1[0, T ; Rm]) là không gian véc tơ con của Rn.Vì mọi b ∈ Rnđều đạt được từ 0 nên ∪T >0ET= Rn. Nếu T < TthìET⊂ ET, từ đó suy ra tồn tại T0sao cho ET= Rn,∀T ≥ T0. Với mọiT > 0, v ∈ Rn, u ∈ L1[0, T ; Rm] ta cóQTv, v = T0S(r)BB∗S∗(r)drv, v=T0B∗S∗(r)v2drLTu, v =T0u(r), B∗S∗(T − r)vdr.Vì thế nếu QTv = 0 với v nào đó thuộc Rn, T > 0 thì hàm B∗S∗(r)vđồng nhất bằng 0 trong [0, T ] cho nên suy ra ETvuông góc với v. Do3 hàm f(r) = B∗S∗(r)v là hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗiTaylor vô hạn) và f(r) = 0 với mọi r ∈ [0, T ] cho nên f(r) phải bằng 0với mọi r ∈ R+. Từ công thức biểu diễn của QTsuy ra QTv = 0,∀T > 0,cụ thể QT0v = 0 cho nên v vuông góc với ET0= Rn. Suy ra v = 0. VậyQTlà không suy biến với mọi T > 0.Xét ánh xạln: Rm× Rm. . . × Rm→ Rn,ln(u0, . . . , un−1) =n−1j=0AjBuj, uj∈ Rm, j = 0, . . . , n− 1.Bổ đề 1.1.3. Im(LT) = Im(ln) với mọi T > 0.Chứng minh. ∀v ∈ Rn, u ∈ L1[0, T ; Rm], uj∈ Rm, j = 0, 1 . . . , n − 1 tacó:LTu, v =T0u(s), B∗S∗(T − s)vds,ln(u0, . . . , un−1) = u0, B∗v + . . . + un−1, B∗(A∗)n−1v.Xét v nào đó, giả sử ln(u0, . . . , un−1), v = 0,∀u0, . . . , un−1∈ Rm. SuyraB∗v = . . . = B∗(A∗)n−1v = 0.Theo Định lý Caley - Hamilton (A∗)n+ a1(A∗)n−1+ . . . + an= 0. Suy ra(A∗)n= −nk=1ak(A∗)n−k=n−1k=0ck(A∗)k.Bằng truy hồi thu được(A∗)n+l=n−1k=0cl,k(A∗)k, ∀l ≥ 0.4 Từ đó suy ra B∗(A∗)kv = 0,∀k ≥ 0. Do đóB∗S∗(t)v = B∗eA∗tv =∞k=0B∗(A∗)kvtkk!= 0, ∀t ≥ 0.Suy raLTu, v =T0u(s), B∗S∗(T − s)vds = 0,∀u ∈ L1[0, T ; Rm], ∀T > 0.Ngược lại, giả sử LTu, v = 0,∀u ∈ L1[0, T, Rm]. Suy ra B∗S∗(t)v = 0với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f(t) = B∗S∗(t)v. Suy ra f(n)(0) = 0,∀n ∈ N. Suyra B∗(A∗)kv = 0,∀k ≥ 0. Do đóln(u0, . . . , un−1), v = 0, ∀u0, . . . , un−1∈ Rm.Vậy Im(LT)⊥= Im(ln)⊥, điều này tương đương với Im(LT) = Im(ln).Cho ma trận A ∈ Rn×nvà B ∈ Rn×m. Kí hiệu[A|B] = [B, AB, . . . , An−1B].Định lý sau đưa ra các điều kiện tương đương cho một hệ là điều khiểnđược.Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương.1. Mọi trạng thái b ∈ Rnđạt được từ 0.2. Hệ (1.1) là điều khiển được.3. Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó.4. Ma trận QTlà không suy biến ở T > 0 nào đó.5. Ma trận QTkhông suy biến với mọi T > 0.5 6. rank[A|B] = n.Điều kiện 6 được gọi là điều kiện hạng Kalman.Chứng minh. Ta có1 → 5: Áp dụng Bổ đề 1.1.2.5 → 4: Hiển nhiên.4 → 3: QTkhông suy biến ở thời gian T > 0 nào đó. Áp dụng Bổ đề1.1.1 suy ra hệ (1) là điều khiển được trong thời gian T.3 → 2: Hiển nhiên.2 → 1: Do hệ là điều khiển được nên mọi b ∈ Rnđều đạt được từ 0.3 → 6: Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T>0 nào đó. Suy ra LTlà toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra lnlà toàn ánh. Do đó rank[A|B] = n.6 → 1: rank[A|B] = n. Suy ra lnlà toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra LTlà toàn ánh với mọi T > 0. Do đó ∀b ∈ Rnđạt được từ 0.Nhận xét: Định lý trên vẫn đúng khi xét hệ trong không gian phức,tức là các ma trận A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×mvà điều khiển u ∈ Cm.Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình vi phân:dndtnz + a1dn−1dtn−1z + . . . + anz = u,với điều kiện ban đầu z(0) = ξ0,dzdt(0) = ξ1, . . . ,dn−1zdtn−1(0) = ξn−1.Đặt y1= z, y2=dzdt, yn=dn−1zdtn−1, y = (y1, . . . , yn)T. Khi đó phương trìnhvi phân trên được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một:˙y = Ay + Bu,6 [...]... mỗi nghiệm yếu là giới hạn đều của các nghiệm mạnh Do đó chúng ta chỉ cần xét tính điều khiển được trên nghiệm yếu 11 Phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số định lý cần sử dụng để nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều Cho X, Y, Z là các không gian Bannach, F : X → Z, G : Y → Z là các toán tử tuyến tính bị chặn Định lý 1.2.2 Hai điều kiện sau... Chứng minh của định lý được suy ra từ Bổ đề 1.2.1, Bổ đề 1.2.2 và Định lý 1.2.4 Sau đây, chúng tôi trình bày tính điều khiển được của hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều với miền tham số điều khiển không có ràng buộc Cho X, Z là các không gian Hilbert, F : X → Z là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó X0 = ker(F ) là không gian con đóng của X Kí hiệu X1 là phần bù trực giao của X0... tương tự Định lý 1.2.10 bởi kết quả của R Triggiani [11] Điều kiện hạng Kalman còn được mở rộng cho tính điều khiển được chính xác trong không gian Banach bởi kết quả của V.I Korobov và R Rabah [35] sau 25 Định lý 1.2.11 Hệ (1.5) là điều khiển được chính xác trong [0, T ] khi và chỉ khi tồn tại n ≥ 0 sao cho span{BU, ABU, , An BU } = X 1.3 Tính điều khiển được của hệ có ràng buộc điều khiển Các kiến... đạt được từ 0 trong thời gian hữu hạn Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được địa phương trong [0, T ] nếu 0 là điểm trong của ZT , hoặc 0 ∈ int(ZT ) Định nghĩa 1.3.2 Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được địa phương nếu 0 là điểm trong của Z, hoặc 0 ∈ int(Z) Chúng ta cần sử dụng định lí Krein-Rutman [33] để nghiên cứu tính điều khiển được địa phương Định lý 1.3.1 (Krein-Rutman) Cho C ⊂... chế F1 của F trên X1 là đơn ánh Hơn nữa Im(F1 ) = Im(F ) Từ đó ta định nghĩa toán tử −1 F −1 : Im(F ) −→ Y, F −1 (z) = F1 (z), ∀z ∈ Im(F ) F −1 gọi là toán tử giả ngược của F , nó tuyến tính và đóng nhưng trong trường hợp tổng quát không liên tục Xét hệ điều khiển tuyến tính vô hạn chiều   y = Ay + Bu, ˙ (1.3)  y(0) = x ∈ E, u ∈ U Trong đó E và U là các không gian Hilbert, A là toán tử sinh của họ... X là các toán tử tuyến tính bị chặn, X và U là các không gian Bannach, u ≡ u(t) là điều khiển thuộc L1 [0, T ; U ], ∀T > 0 Nếu X = Rn , U = Rm thì điều kiện hạng Kalman để hệ (1.5) điều khiển được là rank[A|B] = rank[B, AB, , An−1 B] = n, hoặc tương đương với span{BU, ABU, , An−1 BU } = X Trong trường hợp tổng quát, X và U là các không gian Banach, chúng ta có định lý sau Định lý 1.2.10 Hệ (1.5)... + ABCm + + An BCm = Cn Do vậy rank[A|B] = n cho nên hệ (1.1) là điều khiển được     0 1 1 ,B =   Ví dụ 1.1.2 Xét hệ điều khiển x = Ax+Bu với A =  ˙ 1 0 0   −λ 1 1  = 2 với mọi λ ∈ C Vậy bởi Ta có rank[A − λI, B] = rank  1 −λ 0 điều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được 8 1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính vô hạn chiều Các kiến thức trong mục này được lấy từ phần IV, chương... Introduction" của Jerzy Zabczyk [1] và bài báo "Controllability and observability in Banach space with bounded operators" của Roberto Triggiani [10] Trước tiên chúng tôi điểm qua sơ lược lí thuyết họ toán tử nửa nhóm và áp dụng của nó vào hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều Cho E là một không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 Họ toán tử nửa nhóm là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn... int(Z) hay hệ (1.6) là điều khiển được địa phương Hệ quả 1.3.1 Cho Ω ⊂ Rn thỏa mãn 0 ∈ int(Ω) Khi đó, hệ (1.6) là điều khiển được địa phương khi và chỉ khi rank[A|B] = n Tiếp theo chúng ta xét đến tính điều khiển được toàn cục Định nghĩa 1.3.3 Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu Z = Rn Định lý 1.3.3 Cho Ω là một nón lồi trong Rm với đỉnh ở 0 có phần trong khác rỗng Khi đó hệ (1.6) là... ta suy ra điều phải chứng minh 30 Tiếp theo, một cách tổng quát, chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tính vô hạn chiều   x = Ax + Bu, ˙ (1.7)  x(0) = x0 ∈ X, u ∈ Ω Trong đó A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm họ các toán tử tuyến tính bị chặn S(t) Do vậy A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật trong không gian Banach X Còn B là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach U vào không gian . tâm là các hệ chịu ảnh hưởng củacác " ;nhiễu nhỏ". Sự bảo toàn các tính chất định tính của các hệ dướiảnh hưởng của nhiễu chẳng hạn như tính điều. được, tính ổn định. ..được gọi là sự bền vững. Một vấn đề được đặt ra là độ lớn của nhiễunhư thế nào thì các hệ vẫn bảo toàn được các tính chất định tính củanó.