Các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene

Năm 2010, giải Nobel vật lý 1 được trao cho Novoselov và Geim cho việc phát hiện và khảo sát các tính chất cơ bản của một loại hình thù hai chiều đặc biệt của carbon – vật liệu graphene [109]. Graphene được phát hiện năm 2004 với các tính chất điện tử đặc biệt rất thích hợp cho những đòi hỏi công nghệ hiện thời trong lĩnh vực điện tử và do đó đã được tập trung nghiên cứu hết sức sôi động. Nhiều hi ểu biết về các tính chất của graphene đã được ghi nhận nhanh chóng. Mặc dù có cấu trúc hai chiều rất ổn định và khả năng dẫn điện và dẫn nhiệt rất tốt (độ linh động của điện tử rất cao ở nhiệt độ phòng, lên đến cỡ 210cm/Vs [104], cao gấp hai bậc so với các vật liệu làm từ silicon, gấp 20 lần so với GaAs) việc không tồn tại một khe năng lượng trong cấu trúc điện tử đã cản trở việc sử 52 dụng graphene làm kênh dẫn điện trong các cấu trúc linh kiện MOSFET (do khả năng điều khiển dòng điện chạy trong các kênh dẫn graphene trở nên kém hiệu quả). Mặc dù vậy, người ta lại thấy r ằng các tính chất cơ bản của graphene lại rất phù hợp với các đòi hỏi trong các lĩnh vực như quang điện tử (optoelectronics), quang tử (photonics), và đặc biệt là nhánh nano-plasmonics [56, 77, 87, 94]. So với các kim loại, graphene được chứng tỏ là có những tính chất ưu việt, chẳng hạn tương tác rất mạnh với ánh sáng, độ hấp thụ của graphene (nghĩa là chỉ với một lớp nguyên tử) được xác định vào khoảng 2.3% [106]; quãng đường truyền plasmon (đại lượng tỉ lệ nghịch với tốc độ phân rã [97]) cao hơn so với việc truyền plasmon trong các vật liệu kim loại [78]. Vùng tần số plasmon của graphene nằm trong vùng terahertz (THz) và hồng ngoại, trong khi đó plasmon trong các kim loại, thường ở vùng ánh sáng nhìn thấy hoặc tử ngoại, vì vậy graphene mở ra khả năng chế tạo các linh kiện quang điện tử hoạt động trong vùng THz [44, 46, 68, 102, 103, 140]. Đặc biệt, các đặc trưng plasmon của graphene có thể được điều khiển bởi sự thay đổi nồng độ electron bằng phương pháp phân cực tĩnh điện, điều này không thể thực hiện được đối với các kim loại [5, 28, 44, 58, 149]. Ngoài ra, các hệ lai tạo giữa graphene với kim loại, hệ chứa các dải graphene, đĩa graphene, … cũng có những tính chất plasmon ưu việt và hứa hẹn được ứng dụng trong tương lai gần [43, 70, 148, 161, 162].

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

HỒ SỸ TÁ

CÁC ĐẶC TRƯNG PLASMON VÀ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ ĐIỆN TỬ TRONG

GRAPHENE

Chuyên ngành : Vật lý kỹ thuật

Mã số : 62520401

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

2 PGS TS LÊ TUẤN

Hà Nội – 2017

và dẫn nhiệt rất tốt (độ linh động của điện tử rất cao ở nhiệt độ phòng, lên đến cỡ

5 2

2 10 cm /Vs [104], cao gấp hai bậc so với các vật liệu làm từ silicon, gấp 20 lần so với GaAs) việc không tồn tại một khe năng lượng trong cấu trúc điện tử đã cản trở việc sử dụng graphene làm kênh dẫn điện trong các cấu trúc linh kiện MOSFET (do khả năng điều khiển dòng điện chạy trong các kênh dẫn graphene trở nên kém hiệu quả) Mặc dù vậy, người ta lại thấy rằng các tính chất cơ bản của graphene lại rất phù hợp với các đòi hỏi trong các lĩnh vực như quang điện tử (optoelectronics), quang tử (photonics), và đặc biệt là nhánh nano-plasmonics [56, 77, 87, 94] So với các kim loại, graphene được chứng tỏ là có những tính chất ưu việt, chẳng hạn tương tác rất mạnh với ánh sáng, độ hấp thụ của graphene (nghĩa là chỉ với một lớp nguyên tử) được xác định vào khoảng 2.3% [106]; quãng đường truyền plasmon (đại lượng tỉ lệ nghịch với tốc độ phân rã [97]) cao hơn so với việc truyền plasmon trong các vật liệu kim loại [78] Vùng tần số plasmon của graphene nằm trong vùng terahertz (THz) và hồng ngoại, trong khi đó plasmon trong các kim loại, thường ở vùng ánh sáng nhìn thấy hoặc tử ngoại, vì vậy graphene mở ra khả năng chế tạo các linh kiện quang điện tử hoạt động trong vùng THz [44, 46, 68, 102, 103, 140] Đặc biệt, các đặc trưng plasmon của graphene có thể được điều khiển bởi sự thay đổi nồng

độ electron bằng phương pháp phân cực tĩnh điện, điều này không thể thực hiện được đối với các kim loại [5, 28, 44, 58, 149] Ngoài ra, các hệ lai tạo giữa graphene với kim loại, hệ chứa các dải graphene, đĩa graphene, … cũng có những tính chất plasmon ưu việt và hứa hẹn được ứng dụng trong tương lai gần [43, 70, 148, 161, 162]

Cho tới hiện nay việc nghiên cứu về các đặc trưng cơ bản của plasmon trong graphene thường được thực hiện ở các giới hạn năng lượng thấp và năng lượng cao Trong giới hạn năng lượng thấp và bước sóng dài, các nghiên cứu lý thuyết dự trên mô hình Dirac cho hệ điện tử bên trong graphene cho thấy tồn tại một mode plasmon có quy luật tán sắc tỉ lệ thuận với căn bậc hai của số sóng [7, 65, 71, 142, 151, 157, 160] Mode plasmon này, mặc

dù có đặc trưng phổ quát của các hệ điện tử hai chiều, được gọi là mode Dirac plasmon với ngụ ý đây là trạng thái kích thích tập thể của hệ fermion không khối lượng và có đặc trưng tương đối tính Trong giới hạn năng lượng cao, các nghiên cứu thực nghiệm cũng đã chỉ ra

sự tồn tại các mode plasmon, gọi là pi-plasmons, mà chúng được xem như có nguồn gốc từ

sự kích thích các điện tử pi liên kết (nằm sâu trong vùng hoá trị) [75, 90] Về mặt lý thuyết,

mô hình Dirac không thể mô tả được các pi-plasmons do giới hạn làm việc của mô hình này chỉ trong khoảng năng lượng hẹp xung quanh điểm Dirac Hơn thế nữa, mô hình Dirac

mô tả các mặt năng lượng quanh điểm Dirac chỉ như các mặt nón tròn xoay lý tưởng Điều

1 http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/

x

này không còn đúng trong vùng năng lượng kích thích cao hơn Chính vì thế, rất cần thiết phải có một đánh giá chặt chẽ về giới hạn hoạt động của mô hình Dirac trong việc mô tả các tính chất động lực học của hệ nói chung, và của các mode plasmon nói riêng Với cách đặt vấn đề như vậy chúng tôi sẽ chứng minh rằng việc tính đến các đặc điểm hình học của các mặt năng lượng của điện tử trong graphene một cách thích hợp sẽ cho thấy bản chất phân cực của các mode plasmon năng lượng thấp Hơn thế nữa, chúng tôi còn chỉ ra sự xuất hiện một mode plasmon mới bên cạnh mode Dirac plasmon trong giới hạn pha tạp mạnh graphene Sự hình thành mode plasmon mới này cũng như các đặc trưng cơ bản của các mode plasmon năng lượng thấp trong hai giới hạn graphene pha tạp thấp và pha tạp cao

là chủ đề nghiên cứu của chúng tôi và sẽ được trình bày chi tiết trong luận án này

Mục đích nghiên cứu của đề tài

Đề tài tập trung khảo sát các tính chất động lực học của hệ electron dẫn bên trong màng graphene dưới các điều kiện tác động khác nhau của trường ngoài và nghiên cứu các cơ chế hình thành và điều kiện duy trì các trạng thái kích thích tập thể (plasmon) của hệ electron, làm sáng tỏ tiềm năng sử dụng graphene trong lĩnh vực nano-plasmonics

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu là hệ electron hai chiều trong mạng tinh thể graphene thuần khiết

ở các chế độ pha tạp khác nhau Đề tài tập trung khảo sát các tính chất động lực học của hệ electron trong các điều kiện môi trường khác nhau (như nhiệt độ, nồng độ hạt tải, năng lượng kích thích) và xác định các đặc trưng của các trạng thái kích thích tập thể của hệ electron

Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được thực hiện theo phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với mô phỏng vật liệu Cụ thể, việc nghiên cứu hiệu ứng dao động tập thể của các electron trong vật liệu graphene được thực hiện theo hai cách tiếp cận lý thuyết từ vĩ mô đến vi mô và ngược lại Đối với cách thứ nhất, chúng tôi sử dụng hệ phương trình Maxwell [55] làm xuất phát điểm để nghiên cứu về khả năng vật liệu cho phép truyền các mode sóng điện từ Cách tiếp cận này được chứng minh là phù hợp với các sóng điện từ ở vùng bước sóng dài, tức là tần

số thấp Ở chiều ngược lại, ở vùng bước sóng ngắn, chúng tôi xuất phát từ các tính chất cơ bản của electron để khảo sát sự hình thành của các trạng thái kích thích tập thể của hệ electron Cơ sở lý thuyết được sử dụng là lý thuyết phản ứng tuyến tính (linear response theory) với trọng tâm tính toán các hàm tương quan hai thời gian của mật độ electron (two time-variable density-density correlation function) Đây là một lý thuyết lượng tử và việc tính đến các hiệu ứng tương tác hệ nhiều hạt được thực thi thông qua gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA)

Với cách tiếp cận vi mô, để xác định các tính chất điện tử của graphene chúng tôi sử dụng cách mô tả mô hình liên kết chặt với các cấp độ gần đúng khác nhau, liên kết lân cận gần nhất, liên kết lân cận kế tiếp, tính trực giao và không trực giao của bộ cơ sở hàm sóng nguyên tử Các phương pháp tính toán giải tích và tính số được chúng tôi sử dụng linh hoạt nhằm mục đích tính toán tận cùng được hàm điện môi như là hàm số của tần số và vector sóng Trong giới hạn bước sóng dài các electron bên trong graphene có thể được xử lý như các fermions tương đối tính thông qua mô hình Dirac Việc sử dụng phép gần đúng RPA trong giới hạn bước sóng dài được chứng minh là thích hợp, dẫn đến công thức Lindard cho hàm phân cực Trong trường hợp xem xét tới giới hạn bước sóng ngắn chúng tôi sử dụng công thức Lindard mở rộng được rút ra từ lý thuyết trường tự hợp áp cho hệ điện tử không đồng nhất để tính tới các hiệu ứng trường địa phương (local fields effect) [4, 158,

xi

159] Sự tồn tại và các đặc trưng của các trạng thái kích thích tập thể của hệ electron đã được chúng tôi khảo sát thông qua việc nghiên cứu đồng thời các không điểm của hàm điện môi và cấu trúc hàm phổ mất mát năng lượng của (electron energy loss spectrum –EELS)

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài giải quyết một bài toán vật lý cơ bản là nghiên cứu các tính chất động lực học của

hệ electron trong mạng tinh thể graphene hai chiều trong đó hiệu ứng tương tác nhiều hạt được tính đến trong gần đúng pha ngẫu nhiên Các kết quả mà đề tài thu được cho phép làm sáng tỏ và góp phần hoàn thiện bức tranh vật lý về các tính chất cơ bản của vật liệu graphene – tính chất điện tử và quang học Không chỉ vậy, các kết quả thu được còn cho phép chỉ ra tiềm năng ứng dụng của vật liệu graphene trong các lĩnh vực công nghệ cao như nano-electronics, nano-optoelectronics và nano-photonics qua việc xác định các mode điện từ mà graphene cho phép lan truyền trong các điều kiện khác nhau

Các kết quả mới

Kết quả nghiên cứu chính của đề tài được công bố trong hai bài báo ISI, một đăng năm

2014 trên tạp chí Physica E và một đăng đầu năm 2016 trên tạp chí Physica Status Solidi

B

Trong bài báo thứ nhất chúng tôi báo cáo nghiên cứu khảo sát hiệu ứng của một số tham

số như nhiệt độ và độ pha tạp lên sự hình thành và các đặc trưng của các trạng thái kích thích tập thể của electron trong màng graphene Đặc biệt chúng tôi chỉ ra đặc điểm phân cực của plasmon có nguồn gốc từ tính bất đẳng hướng của các mặt năng lượng của các dải

pi Theo đó, trong giới hạn pha tạp rất thấp, hệ điện tử trong graphene chỉ có thể có một mode dao động tập thể với đặc trưng tán sắc đẳng hướng Tuy nhiên, khi nâng cao mức độ pha tạp, mức năng lượng Fermi dịch chuyển lên miền năng lượng mà ở đó mặt năng lượng Fermi không còn đẳng hướng nữa Khi đó, các đóng góp của các trạng thái gần mức Fermi

sẽ nổi trội và dẫn đến kết quả là hệ thức tán sắc của plasmon trở nên bất đẳng hướng Trong bài báo thứ hai, chúng tôi công bố kết quả khảo sát sự hình thành các mode kích thích tập thể của electron trong màng graphene ở chế độ pha tạp mạnh với mục đích ban đầu là xem xét rõ hơn nữa hiệu ứng phân cực của plasmon Tuy nhiên, chúng tôi chỉ ra rằng, trong điều kiện pha tạp mạnh, màng graphene có thể cho phép hai mode điện từ truyền đi trên bề mặt, trong đó có một mode cũ đã được ghi nhận và một mode mới được

dự đoán trong tính toán của chúng tôi Mode plasmon mới có những đặc trưng hết sức đặc biệt và chúng tôi nhận thấy sự xuất hiện của mode này có nguồn gốc từ sự bất đẳng hướng của các mặt năng lượng trong nón Dirac và sự không tương đương giữa các trạng thái trong hai nón Dirac tồn tại độc lập trong vùng Brillouin

Ngoài hai bài báo này, trong quá trình thực hiện luận án, tác giả cũng đã có những đóng góp nhất định trong một công trình nghiên cứu khác của nhóm nghiên cứu Công trình này được đăng năm 2014 trên tạp chí Journal of Physics: Condensed Matters, trong đó chúng tôi khảo sát các tính chất điện tử và quang học của màng graphene dưới tác động của một

hệ các điện cực song song đặt trên bề mặt graphene thông qua tính toán độ dẫn quang Tuy nhiên, tác giả không xem đóng góp này như là một kết quả chính của luận án

Ngoài những kết quả đã công bố, việc phát triển mở rộng phương pháp tính toán bằng chương trình tính số hàm điện môi để có thể tính đến được các hiệu ứng trường địa phương, trong trường hợp bước sóng ngắn đã thu được kết quả bước đầu đã kiểm tra lại

xii

được một bài toán dự đoán lý thuyết giải tích đã có trước đó về mode inter valley plasmon, tương ứng với sự chuyển trạng thái giữa các điểm K

Kết cấu của luận án

Luận án được tổ chức thành bốn chương, trong đó các nội dung được trình bày theo cách thức như sau:

Chương 1 trình bày tổng quan về khái niệm plasmon xuất phát từ một cách tiếp cận vĩ

mô của việc lan truyền sóng điện từ trong môi trường vật liệu Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell chúng tôi trình bày tóm lược nhưng hệ thống về những đại lượng quang học đặc trưng là hàm điện môi và độ dẫn quang Về phương pháp tính toán các đại lượng quang học, chúng tôi hệ thống hoá lại nội dung của các phương pháp trường tự hợp (self-consistent field – SCF), gần đúng pha ngẫu nhiên (random phase approximation – RPA)

Để minh hoạ cho khái niệm plasmon chúng tôi sử dụng mô hình Lorentz trong đó kết hợp tới khái niệm hiệu ứng trường địa phương (local field effect) Do hệ điện tử được nghiên cứu trong luận án này là hệ electron hai chiều trong mạng tinh thể graphene, chúng tôi trình bày chi tiết cách thức mô tả và tính toán cấu trúc điện tử của loại vật liệu này sử dụng

mô hình liên kết chặt Đặc biệt chúng tôi dành một mục lớn để trình bày các tính toán khảo sát tính chất quang của mạng graphene cũng như của một cấu trúc graphene rất điển hình cho các ứng dụng quang điện tử là cấu trúc siêu mạng graphene, trong đó sử dụng một hệ thống các điện cực hình răng lược để tạo ra một hàm thế tuần hoàn tác động lên graphene Chương 2, chúng tôi trình bày các tính toán hàm điện môi và khảo sát hiệu ứng tác động của các yếu tố như nhiệt độ và mức độ pha tạp lên sự hình thành và đặc trưng của các mode plasmon bên trong graphene Các tính toán được thực hiện theo hai phương pháp Phương pháp giải tích áp dụng triệt để cho trường hợp nhiệt độ không tuyệt đối và mức độ pha tạp yếu Khi đó, chúng tôi sử dụng mô hình liên tục là phương trình Dirac hai chiều để

mô tả động lực học của hệ electron trong mạng tinh thể graphene Các tính toán được trình bày hệ thống và đủ chi tiết với kết quả là lặp lại được chính xác các dự đoán của các nhóm nghiên cứu khác Các kết quả tính toán giải tích là cơ sở để chúng tôi không những kiểm chứng tính đúng đắn của các tính toán số mà chúng tôi mở rộng, mà còn được sử dụng như những chỉ dẫn để phân tích vật lý của các kết quả tính số cho các điều kiện phức tạp, tổng quát hơn

Chương 3 được dành để trình bày một khảo sát tinh vi về sự hình thành các trạng thái kích thích tập thể của electron bên trong các màng graphene pha tạp ở mức độ cao Chúng tôi tập trung tái tạo tính bất đẳng hướng của các mặt năng lượng của electron trong các thung lũng, hay còn gọi là nón Dirac bằng cách sử dụng mô hình liên kết chặt nhưng tính đến gần đúng liên kết bậc kế tiếp (next-nearest-neighbors – NNN) Chúng tôi trình bày về

sự hình thành của mode plasmon đặc biệt với năng lượng thấp bên cạnh nhánh plasmon đặc trưng của hệ điện tử hai chiều Chúng tôi dành phần trọng tâm của chương trong việc chứng minh rằng tính bất đẳng hướng của các nón Dirac và sự không tương đương của các trạng thái trong hai thung lũng/nón Dirac trong vùng Brillouin tương ứng là điều kiện cần

và điều kiện đủ cho việc chi phối tới đặc trưng plasmon của graphene trong chế độ pha tạp mạnh

Chương 4 là một phần mở rộng trong đó chúng tôi trình bày một phát triển hướng nghiên cứu của đề tài theo cách thức: phát triển mở rộng phương pháp tính toán hàm điện môi để có thể tính đến được các hiệu ứng trường địa phương và từ đó khảo sát vai trò và tác động của các nhân tố gây ra tính không đồng nhất cho hệ điện tử trong mạng graphene Các tính toán được thực thi trong trường hợp đặc biệt khi mà vector sóng trao đổi đủ dài có

xiii

tác dụng làm chuyển electron giữa hai nón Dirac không tương đương Các kết quả tính toán số dự đoán một mode plasmon mới có đặc trưng tán sắc tuyến tính Tuy nhiên, đây mới chỉ là kết quả ban đầu nhằm kiểm chứng tính đúng đắn của chương trình tính toán mà chúng tôi thực hiện trên cơ sở mở rộng các tính toán trước đây

Ngoài các nội dung chính được trình bày trong 4 chương của luận án, chúng tôi trình bày bổ sung các tính toán giải tích chi tiết trong các phần phụ lục nhằm đảm bảo tính minh bạch và chi tiết của các nội dung luận án

1

Chương 1 Cơ sở lý thuyết nghiên cứu các tính chất động lực của hệ điện tử và các tính chất vật lý cơ bản của hệ điện tử hai chiều trong mạng graphene

Sự đổi mầu của các họa tiết trên chiếc chén Lycurgus2 nổi tiếng của người La Mã cổ đại

từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên khi được chiếu sáng từ phía trước hoặc phía sau đã được xem là một hiện tượng huyền diệu (magic) [23] Chỉ đến nửa đầu của thế kỷ 19 dưới ánh sáng của khoa học người ta mới bắt đầu hiểu được cơ chế của các hiện tượng như vậy Các khảo sát lý thuyết và thực nghiệm về các hệ vật liệu đã dần dần làm lộ rõ các yếu tố chi phối tới sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất Khái niệm plasma được dùng để chỉ tới các trạng thái dao động riêng của cả tập thể các hạt mang điện mà chúng đóng vai trò như những tác nhân cộng hưởng tương tác này [97]

Với việc áp dụng lý thuyết lượng tử vào giải quyết bài toán dao động plasma người ta đưa vào khái niệm plasmon tương tự như khái niệm phonon để chỉ tới sự lượng tử hoá của các dao động mạng tinh thể [22, 113] Về thực nghiệm, các đặc trưng của plasmon được khảo sát thông qua phép đo và phân tích phổ mất mát năng lượng (Electron Energy Loss Spectroscopy- EELS) của một chùm electron khi chiếu đến và bị tán xạ không đàn hồi qua khối vật liệu Nghiên cứu về vấn đề này được thực hiện đầu tiên bởi David Pines từ năm

1956 [121 -123]

Người ta phân biệt khái niệm plasmon trong hai ngữ cảnh: plasmon bề mặt (Surface Plasmons - SPs) để chỉ các dao động tập thể của mật độ điện tích trên bề mặt lớp vật liệu,

và plasmon khối với ngụ ý là các trạng thái dao động của mật độ điện tích khối trong toàn

bộ thể tích vật liệu Tần số dao động của plasmon bề mặt được xác định là nhỏ hơn lần tần số plasmon khối [21, 50, 76] Việc quan sát được các trạng thái plasmon đòi hỏi những

kỹ thuật kích thích thích hợp và được tiên phong bởi các nghiên cứu của Pines và của Heinz Raether trong những năm 1956 – 1968 Việc kích thích SPs không chỉ có thể được thực hiện bởi các electron mà còn có thể bằng ánh sáng thông qua các hệ quang học đặc biệt, dựa trên việc đo hệ số hấp thụ như ATR (Attenuated Total Reflection) [112], các hệ cách tử phản xạ [23, 131] Từ đó, vấn đề tương tác giữa sóng điện từ và dao động của electron được nghiên cứu, khái niệm SPPs (Surface Plasmon - Polaritons) xuất hiện để chỉ sóng điện từ trong sự liên kết với các dao động của khí electron lan truyền trên bề mặt vật dẫn [21]

Ngày nay, SPs được ứng dụng trong các linh kiện như ống dẫn sóng, bộ nhớ, bộ biến đổi quang học, các cảm biến sinh học [97, 111], Đặc biệt với khả năng tập trung ánh sáng

ở kích thước nhỏ hơn bước sóng ánh sáng, kết hợp với sự phát triển của khoa học vật liệu nano, SPs tạo nên khả năng thu nhỏ kích thước linh kiện cũng như tăng hiệu suất của chúng Ví dụ với các cấu trúc nano kim loại nhỏ hơn bước sóng ánh sáng nhiều lần có khả năng tăng cường tín hiệu trong kỹ thuật đo phổ tán xạ Raman cộng hưởng bề mặt (Surface Enhanced Raman Scattering – SERS), một kỹ thuật cho phép phân tích ở kích thước phân

tử [16, 23] Tuy nhiên, các đặc tính plasmon của kim loại có nhiều hạn chế cho các ứng dụng công nghệ cao, chủ yếu là do thời gian sống và quãng đường truyền ngắn Gần đây

2 http://en.wikipedia.org/wiki/Lycurgus_Cup

2

2

những khảo sát các đặc điểm plasmon trong hệ vật liệu graphene chỉ ra nhiều đặc trưng hấp dẫn, có thể vượt qua được các hạn chế của các hệ kim loại Đặc biệt là tính điều khiển được mật độ hạt tải điện thông qua hiệu ứng trường có thể cho phép điều chỉnh được các đặc trưng plasmon bên trong Chính vì những phát hiện như vậy đã khích lệ sự tập trung nghiên cứu graphene với hy vọng có thể ứng dụng được vật liệu này trong lĩnh vực nano-plasmonics Chương này tập trung trình bày những cơ sở lý thuyết cần thiết cho việc áp dụng khảo sát các đặc điểm plasmon trong hệ vật liệu graphene

1.1 Một số khái niệm cơ sở

1.1.1 Hệ phương trình Maxwell vĩ mô và một số đại lượng quang học đặc

trưng

Tương tác giữa vật chất và trường điện từ được mô tả một cách thống nhất thông qua hệ phương trình Maxwell (vi mô) Mặc dù hệ phương trình này được áp dụng cho mọi cấp độ kích thước, việc giải quyết cụ thể trong từng phạm cụ thể của hệ vật lý đòi hỏi những phương pháp và kỹ thuật khác nhau [97] Áp dụng lý thuyết Maxwell để mô tả tương tác

và sự lan truyền của trường điện từ trong những môi trường vật liệu dẫn đến việc phải giải quyết một hệ phương trình được gọi là hệ phương trình Maxwell vĩ mô có dạng tương tự như hệ phương trình vi mô nhưng tất cả các đại lượng có liên quan được hiểu là các giá trị trường trung bình trong những miền thể tích không gian lớn hơn nhiều lần ô mạng tinh thể

Hệ phương trình Maxwell vĩ mô là kết quả của việc trung bình hoá tương tác của trường điện từ với hệ phân bố rời rạc của các hạt mang điện

Hệ phương trình Maxwell vĩ mô gồm các phương trình như sau [36, 55]

ký hiệu là Jmag, khi đó, ta định nghĩa các đại lượng tổng cộng: tot ext và 

tot  ext ind mag

3

Mối liên hệ giữa các vector D và E cũng như giữa H và B được lý giải thông qua cách thức mà hệ vật lý (môi trường) phản ứng lại tác động của điện trường và từ trường Gọi P và M là các vector phân cực và vector độ từ hóa đặc trưng cho phản ứng của môi trường thì ta có:

Từ mối quan hệ tuyến tính giữa D và E, kết hợp với (1.5) ta có

ind 

Đại lượng hệ số này được gọi là độ dẫn điện Từ các phương trình (1.9) ta thấy tính chất điện từ của vật liệu có thể được mô tả thông qua một trong hai đại lượng là độ dẫn điện  (trong trường hợp không phụ thuộc tần số thì gọi là độ dẫn điện dc, trường hợp phụ thuộc

Các mối quan hệ như trên chỉ đúng cho môi trường tuyến tính và đồng nhất theo thời gian

và không gian Một cách tổng quát, ta có liên hệ giữa trường hoặc dòng tại một điểm với trường và dòng tại tất cả các điểm khác và tại các thời điểm trước đó [159]

 , ta sẽ thu được mối quan hệ giữa các đại lượng:

5

2 2 1

2

1 2 2

,

2 ,1

,

2 2.2

nn n

n n

Với n là hệ số suy giảm, xác định sự hấp thụ quang khi sóng điện từ truyền qua môi

trường, liên hệ với hệ số hấp thụ  của định luật Beer (khi sóng truyền qua môi trường thì cường độ sóng giảm theo định luật hàm mũ tắt dần I x I0ex) theo phương trình

Kết hợp các phương trình (1.2), (1.3) và (1.4) ta có phương trình sóng trong trường hợp không có kích thích dòng bên ngoài, Jext 0

  02t2



D E

1.1.2 Phản ứng của vật liệu đối với sóng điện từ phân cực dọc và phân cực

ngang

Trong mục này chúng ta xét tới các phương trình mô tả cách thức phản ứng của môi trường đối với tác động của các trường có đặc điểm phân cực dọc và phân cực ngang Sóng điện từ lan truyền trong môi trường chân không (không có điện tích) là sóng ngang Tuy nhiên khi truyền trong môi trường vật chất, do sự tương tác với môi trường dẫn đến xuất hiện những thành phần trường dọc Vectơ cường độ điện trường của sóng điện từ truyền trong môi trường có thể chia thành hai thành phần vuông góc với nhau,  T L

trong đó T

E gọi là thành phần ngang và thành phần dọc là L

E [36] Thành phần ngang có phương vuông góc với phương truyền sóng, trong khi đó thành phần dọc cùng phương với phương truyền sóng Các thành phần này thỏa mãn các tính chất sau:

là thích hợp nếu ta dùng các hàm thế để mô tả sự vận động của trường điện từ thay cho bản thân các vector trường Mối liên hệ giữa các vector trường và các hàm thế được xác định như sau:

7

L ind 0

1.1.3 Dao động tử Lorentz và khái niệm hiệu ứng trường địa phương

Trong mục này chúng ta cùng xem xét một môi trường vật chất được cấu thành từ các điện tích điểm – ví dụ hệ nguyên tử trong mạng tinh thể trong đó các lõi nguyên tử cố định tại các vị trí nút mạng và các electron hoá trị liên kết với lõi nguyên tử thông qua trường điều hoà Các electron hoá trị trong hệ vật liệu như vậy được gọi là những dao động tử Lorentz [159] Dao động được duy trì cưỡng bức bởi lực , trong đó là độ lớn điện tích electron và là điện trường địa phương tác động lên electron Phương trình chuyển động của electron có dạng:

 r là đại lượng

đặc trưng cho sự tắt dần, liên quan đến sự tắt dần của bức xạ của một nguyên tử tự do, do các cơ chế tán xạ trong vật rắn Đại lượng 2

0

m r đóng vai trò là lực kéo về theo định luật

Hooke Giả sử lời giải của (1.34) biến đổi theo thời gian theo quy luật e i t, ta có:

 2 loc2

0

/i

2 2 0

/i

trong đó  0  là độ phân cực nguyên tử của một electron là một đại lượng phụ thuộc tần

số dao động của nguyên tử:

e m

m

9

1.1.4 Phương pháp trường tự hợp và phép gần đúng pha ngẫu nhiên RPA

Phương pháp gần đúng trường tự hợp (self-consistent field – SCF) được áp dụng khá phổ biến để nghiên cứu phản ứng của electron với một nhiễu loạn bởi trường ngoài Ehrenreich và Cohen [40] đã sử dụng phương pháp này để nghiên cứu phản ứng của hệ electron trong mạng tinh thể dưới tác dụng của một mật độ điện tích ngoài Khi hệ bị tác động bởi một thế vô hướng, và phản ứng của hệ được đặc trưng bởi một hàm điện môi dọc Như ta đã biết, hàm điện môi ngang đặc trưng cho phản ứng của hệ dưới tác động của thế vector, việc thu nhận hàm điện môi dọc đơn giản hơn nhiều so với hàm điện môi ngang Ở giới hạn bước sóng dài, hàm điện môi dọc và ngang là như nhau, nên hàm điện môi dọc phù hợp cho việc nghiên cứu các tính chất quang học của vật liệu [159]

Từ các mối quan hệ (1.9) và (1.14), hàm điện môi được xác định qua các đại lượng vĩ

loc 0 0

0 HF

1.1.4.2 Gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA)

Trong phép gần đúng pha ngẫu nhiên người ta xem Eloc E Từ phương trình (1.40) suy ra:

10

Ta thấy số hạng đầu tiên của khai triển chính là biểu thức nghịch đảo hàm điện môi theo phép gần đúng HF, (1.42) Toàn bộ tổng vô hạn các phần tử bên vế phải của (1.44) xác định nghịch đảo của hàm điện môi theo phép gần đúng RPA Đây chính là kết quả của phương pháp gần đúng SCF, phương pháp nghiên cứu tương tác phụ thuộc thời gian của electron với trường tự hợp sinh ra từ trường nhiễu loạn ngoài và trường sinh ra bên trong môi trường đó [40] Hàm số điện môi cũng có thể được tính bằng phương pháp giản đồ Feynman và lý thuyết tán xạ phụ thuộc thời gian [96, 159] Mỗi số hạng trong tổng ở vế phải của phương trình (1.44) khi đó có ý nghĩa là một số hạng trong chuỗi của sơ đồ Feynman

1.1.4.3 Phép gần đúng RPA và hiệu ứng LFE

Sự phân bố vị trí của electron trong ô đơn vị thực tế là không đồng đều, điều này thể hiện rõ ở chất điện môi, các tinh thể hoặc các electron liên kết chặt với hạt nhân Khi đó, hiệu ứng màn chắn làm cho phân bố xác suất vị trí của electron thành từng đám và có tính chất địa phương trong ô đơn vị Trường tự hợp, bao gồm trường ngoài và trường sinh ra, bây giờ cũng có tính chất địa phương trong một ô mạng Có thể thấy rằng phép gần đúng hàm điện môi RPA tương đương với việc bỏ qua các hiệu ứng LFE Coi trường địa phương như là trường vĩ mô trung bình, khi đó ta chỉ xét các hiệu ứng trường tự hợp trong tương tác tầm xa, mà bỏ qua các tương tác tầm ngắn giữa các electron do hiệu ứng màn chắn

1.1.5 Hàm điện môi và tán sắc plasmon

Trong kỹ thuật đo phổ EELS, để xác định các đặc trưng plasmon của vật liệu, ngoài việc đếm số electron truyền qua hoặc phản xạ so với số electron chiếu tới hệ, người ta còn xác định sự thay đổi động năng của chùm electron Tần số plasmon p q được xác định tương ứng với vị trí đỉnh của hàm phổ định nghĩa như sau [17, 49, 96, 126, 139]

ta có điều kiện Re q,pi 0 [45] Tốc độ phân rã plasmon tỉ lệ nghịch với thời gian sống của nó, trong thực nghiệm, cũng tương tự như phổ hấp thụ quang, được xác định qua độ mở rộng của phổ [166]

vào các phản ứng hóa học Bốn electron chiếm các lớp ngoài theo mức năng lượng từ thấp đến cao thuộc các orbital 2s và 2p Vì các orbital 2p có năng lượng tương đối gần mức 2s, chỉ cao hơn cỡ 4 eV [137] nên khi các nguyên tử carbon được kích thích tham gia vào liên kết trong mạng graphene, một electron ở mức 2s nhảy lên mức 2p để hình thành các liên

kết hóa học đồng hóa trị với các nguyên tử khác (xem Hình 1.1(a))

kết  và  trong mạng tinh thể graphene [137]

Vì vậy, ở trạng thái kích thích, electron có thể có bốn trạng thái lượng tử 2s , 2px ,

2py , 2pz Mỗi trạng thái 2s có thể chồng chập với hai trong ba trạng thái 2p , gọi

là sự lai hóa sp Ví dụ trạng thái 2s lai hóa với hai trạng thái 2p2 x và 2py , sinh ra ba trạng thái lai hóa như sau [137]

2 1

2 2

2 3

33

1.2.2 Phân tích cấu trúc mạng tinh thể của graphene

Hình 1.2(a) mô hình hoá cấu trúc nguyên tử của một số dạng hình thù điển hình của

carbon [52] Hình 1.2(b) minh hoạ cấu trúc nguyên tử cảu mạng tinh thể graphene với các

nguyên tử carbon được thể hiện là các quả cầu nhỏ phân biệt với nhau bằng màu sắc và tên gọi A và B Liên kết giữa các nguyên tử carbon được thể hiện bởi các thanh nối với độ dài được xác định là acc 0.145nm Trong mục này chúng ta sẽ đi xác định các yếu tố cơ bản xác định mạng tinh thể này

(b)

Hình 1.2 (a) Vật liệu graphene được coi là vật liệu mẹ của mọi thù hình khác của carbon Graphene 2D cuộn lại có thể tạo ra quả cầu carbon 0D, hay ống carbon 1D, hoặc ghép với nhau thành dạng graphite 3D [52] (b) Mạng tổ ong graphene được tạo thành từ hai mạng con hình tam giác của hai loại nguyên tử A và B [133]

Một cách chọn ô đơn vị nhỏ nhất được mô tả trên Hình 1.3(a), ô đơn vị có dạng hình

thoi, chứa trung bình hai nguyên tử A và B trong mỗi ô Các vectơ đơn vị mạng thực có tọa

13

 1

[35]

Từ các tính chất liên hệ giữa mạng đảo và mạng thực [ 10, 76, 113, 166], mạng đảo

được xác định như Hình 1.3(b) Vùng BZ có dạng hình lục giác với sáu đỉnh, trong đó có

hai điểm không tương đương được ký hiệu là K và K [74]

1.2.3 Cấu trúc điện tử của graphene trong mô tả gần đúng liên kết chặt

Phương pháp gần đúng liên kết chặt (TB – Tight Binding) là một cách tiếp cận để tính cấu trúc vùng điện tử trong trường hợp electron liên kết chặt chẽ với lõi nguyên tử, mặc dù

nó vẫn chịu tác dụng của thế của trường tinh thể Trong trường hợp này, trạng thái của electron gần với trạng thái trong nguyên tử hơn là trạng thái electron tự do Phương pháp này giải quyết được hạn chế của phương pháp gần đúng electron tự do là phải xét một tổ hợp rất nhiều hàm sóng phẳng, thay vào đó ta chỉ cần xét hàm sóng của electron như là sự chồng chập của một tổ hợp các hàm sóng nguyên tử riêng biệt tại vị trí nguyên tử đang xét

Vì vậy phương pháp TB còn được gọi là phương pháp LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals) [113]

Các tính chất điện tử của graphene ở năng lượng thấp được quyết định bởi các electron

pz, vì vậy, để đơn giản hóa bài toán, phương pháp TB được áp dụng cho chỉ một loại electron này Việc áp dụng phương pháp TB cho các electron pz trong graphene, thu được

14

cấu trúc vùng năng lượng của graphene gồm hai dải: dải hóa trị, ký hiệu là  , dải dẫn, ký hiệu là * được thực hiện bằng phép tính giải tích lên đến lân cận thứ ba được thực hiện bởi Reich và cộng sự [133] Các kết quả cũng được so sánh với tính toán theo nguyên lý đầu để tìm ra các thông số thích hợp Tuy nhiên, việc xác định dạng của hàm sóng mô tả trạng thái của electron pz lại chưa được thực hiện trong bài báo này Hàm sóng của electron là một đại lượng không có ý nghĩa vật lý, dạng của nó phụ thuộc vào việc chọn cơ

sở các hàm sóng nguyên tử Tuy nhiên, các giá trị kỳ vọng vật lý thu được từ hàm sóng phải như nhau trong các cách chọn cơ sở, điều này được chứng minh qua bài báo của Bena

và cộng sự [20]

Trong các phần sau của luận án này, việc tính toán yếu tố ma trận chồng chập trạng thái trong hàm phân cực liên quan đến biểu thức tường minh của hàm sóng, vì vậy trong phần này, phương pháp TB được áp dụng cho các electron pz của graphene để xác định cấu trúc vùng năng lượng gồm hai dải  và *, cũng như hàm sóng của electron được thực hiện

từ gần đúng lân cận gần nhất cho đến lân cận thứ hai

Xét một ô đơn vị trong mạng thực của graphene, với cách chọn ô đơn vị như trên Hình 1.3(a), trung bình trong mỗi ô có hai nguyên tử thuộc hai mạng con A và B Gọi N là số ô

cơ sở trong diện tích , số electron liên kết  trong diện tích  là 2N Hàm Bloch

được xây dựng là tổ hợp tuyến tính các hàm Bloch ứng với hai loại nguyên tử A và B [34],

ta dùng chỉ số s tương ứng với A hoặc B

i i

3

1e

s n

n n

l l

a C

b C

k

k k

Ma trận chồng chập đặc trưng cho tính không trực giao của các hàm sóng thử Các trị riêng

E k của phương trình Schrödinger thu được từ phương trình đặc trưng:

detH k E k l S k0 (1.60)Đây chính là điều kiện để phương trình (1.57) có nghiệm không tầm thường, nghĩa là 0

a k  và b k 0 Chỉ số l là chỉ số cho các vùng năng lượng khác nhau, trong trường hợp

có hai nguyên tử trong một ô đơn vị, sẽ có hai giá trị của l

Trong (1.58) ta có

i s

Với 0 s 0.1eV và t  2.67eV [133] Ta đưa vào chỉ số vùng năng lượng l  ứng

với dải dẫn và l  ứng với dải hóa trị, ta có

1

l

lt E

s s

k

Các trạng thái riêng của Hamiltonian này được viết dưới dạng các spinor

l l l

a b

   

k k k

l

l t f E

ls f





k k

k

(1.92)

Mối quan hệ tán sắc năng lượng này bao gồm hai dải năng lượng: dải dẫn ứng với

l  , ký hiệu là *, và dải hóa trị ứng với l  , ký hiệu là  Vì mỗi nguyên tử carbon đóng góp một electron pz và mỗi electron có thể có trạng thái spin  hoặc , nên ở trạng

20

thái cơ bản, các trạng thái ở dải dẫn được điền đầy hoàn toàn, trong khi các trạng thái ở dải hóa trị là hoàn toàn rỗng Do đó mức Fermi nằm tại các điểm tiếp xúc của dải dẫn và dải hóa trị Nếu s , biểu thức năng lượng (1.113) cho thấy sự đối xứng giữa dải dẫn và dải 0hóa trị, hay còn gọi là đối xứng electron – lỗ trống, nghĩa là E k  E k Quan hệ tán sắc

năng lượng trong trường hợp này được thể hiện trên Hình 1.4(a)

Hình 1.4 (a) Cấu trúc vùng năng lượng ba chiều của graphene theo phương trình (1.92) với

0

s cho thấy dải năng lượng dẫn và dải hóa trị đối xứng và tiếp xúc với nhau tại sáu điểm trong vùng BZ (b) Cấu trúc vùng năng lượng bất đối xứng electron – lỗ trống, theo đơn vị t tương ứng với giá trị hữu hạn của t , với t  2.7eV, s0 và t  0.2t [25]

1.2.3.3 Gần đúng TB lân cận thứ hai

Khi tính đến các liên kết với các vị trí lân cận thứ hai, các yếu tố ma trận Hamiltonian cần được đưa vào các số hạng bổ sung Ta định nghĩa biên độ chuyển giữa hai nguyên tử cùng loại gần nhau nhất, hay chính là ở lân cận thứ hai:

Với ij  i j,i j, tất cả có 6 lân cận gần nhất cùng loại của một nguyên tử Các yếu

tố ma trận Hamiltonian trên đường chéo bây giờ có dạng được cộng thêm số hạng

f k  , nghĩa là tọa độ các điểm K vẫn như trong trường hợp có đối xứng electron – lỗ trống Giá trị so sánh với thực nghiệm cho t cỡ 0.1eV[25], trong khi các tính toán từ nguyên lý đầu cho thấy 0.02t t   0.2t, và thông số s có giá trị cỡ nhỏ hơn 0.1eV [133]

Hình 1.4(b) thể hiện sự bất đối xứng này với giá trị với t 2.7eV và t 0.2t, tuy nhiên

sự đối xứng trong không gian động lượng, E k l Ek l luôn được thỏa mãn, là hệ quả của phép đối xứng đảo thời gian

Trong trường hợp tổng quát, t và 0 s , từ (1.102) ta có thể thấy nếu ta chọn gốc 0năng lượng E2p 3ts thì năng lượng cũng bằng 0 khi k 0 Vì vậy ta có thể kết luận rằng, ở gần đúng TB lân cận bậc hai, có tính đến thông số chồng chập orbital, hai dải năng lượng của electron pz trong graphene tinh khiết ở nhiệt độ không tuyệt đối vẫn tiếp xúc với nhau tại vị trí các điểm K như trong trường hợp có đối xứng electron – lỗ trống, và

ta có thể chọn được gốc năng lượng để mức Fermi đi qua các điểm này

Vị trí các điểm tiếp xúc, hay còn gọi là các điểm Dirac được xác định từ điều kiện

Dl 0

E k  , hay f D 0

k , từ đó ta tính được tọa độ các điểm Dirac Sáu điểm Dirac tại sáu góc của vùng BZ xác định từ hai điểm không tương đương là K và K, các điểm K khác đều có thể xác định qua hai điểm này thông qua phép tịnh tiến với các vectơ mạng đảo Ta chọn hai giá trị độc lập của kD là

1.2.3.4 Trạng thái bị kích thích năng lượng thấp, mô hình Dirac

Để mô tả các trạng thái kích thích năng lượng thấp, nghĩa là các kích thích điện tử có

đặc trưng năng lượng nhỏ hơn nhiều so với năng lượng chuyển t , đây chính là những kích

thích tại lân cận mức Fermi, ứng với các trạng thái kích thích lượng tử nằm lân cận các điểm Dirac Ta có thể khai triển mối quan hệ tán sắc năng lượng xung quanh K và K,

  0 3 i 1

20

q q

t a t

k

Ta định nghĩa vận tốc Fermi là đại lượng

24

cc F

32

Đưa vào các ma trận Pauli

mối quan hệ tán sắc này cho thấy, lân cận điểm Dirac, mặt năng lượng có dạng hình nón

tròn xoay, kết quả thể hiện ở phần phóng to trong Hình 1.4 Hình 1.7(a) biểu diễn các đường đẳng mức năng lượng xung quanh các điểm đối xứng, và Hình 1.7(b) biểu diễn tán sắc năng lượng theo các phương đặc biệt được chỉ ra ở Hình 1.7(a)

25

1.2.3.5 Phương pháp lượng tử hóa lần hai

Trong mục này chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lượng tử hoá lần thứ hai để diễn tả các tính toán với mô hình liên kết chặt Với việc sử dụng khái niệm các toán tử sinh-huỷ nhiều tính toán phức tạp trở nên rất trong sáng và trực quan về mặt ý nghĩa vật lý Cụ thể, ta định nghĩa các toán tử sinh hạt electron ở các mạng con A và B tại các vị trí nguyên tử xác định bởi A

b Tương ứng ta có các toán tử hủy hạt là a và i b j

Hamiltonian trong phép gần đúng TB ở lân cận gần nhất, bỏ qua ảnh hưởng của spin có dạng [35]

trong đó H.c ký hiệu của phần liên hợp phức (Hermitic conjugate) của phần trước đó, tổng

theo ,i j hoặc i j, có nghĩa là lấy theo mọi i j, ở lân cận gần nhất hoặc lân cận thứ hai Vì tính chất có đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể nên ta có thể thực hiện khai triển Fourier các toán tử như sau

1.2.3.6 Chọn ô cơ sở hình chữ nhật cho graphene

Trong việc tính toán cấu trúc vùng năng lượng của graphene, ô nguyên thủy hình thoi chứa hai nguyên tử carbon được chọn để thu được biểu diễn tối giản cho các trạng thái điện

tử Do đó, vùng BZ có dạng hình lục giác, và các điểm Dirac nằm tại sáu góc của vùng BZ, mỗi loại điểm Dirac chỉ đóng góp một phần ba lân cận vào vùng BZ Từ đó, để có một

26

cách nhìn trực quan sự tồn tại đầy đủ của hai loại điểm Dirac trong vùng BZ, và đặc biệt là

sự không tương đương giữa chúng, chúng tôi thực hiện chọn ô đơn vị hình chữ nhật với

bốn nguyên tử bên trong như mô tả trong Hình 1.6(a)

Hình 1.6 (a) Mạng tinh thể graphene với ô cơ sở được chọn có dạng hình chữ nhật chứa 4 nguyên tử, và (b) vùng BZ tương ứng với vùng hình chữ nhật giới hạn bởi đường đứt nét, sáu điểm

K trong cách chọn vùng BZ theo ô cơ sở hình thoi bây giờ được “gấp” lại thành hai điểm không tương đương là K và K

Các nút mạng trong một ô cơ sở như Hình 1.6(a) được ký hiệu lần lượt là a b c d, , , Vị trí của ô theo trục hoành x được xác định qua chỉ số i, chỉ số m xác định vị trí ô theo trục tung y Tọa độ các nút được xác định như sau

trong đó tcc  2.67 eVlà năng lượng nhảy của các electron giữa hai orbital p lân cận gần z

nhất Thực hiện phép khai triển Fourier các toán tử từ không gian mạng thực sang không gian động lượng theo các phép biến đổi sau

27

,

i ,

cell

12

,

cell

12

với n1, 2, ,Ncell Tập hợp các điểm k như thế này tạo thành vùng BZ thứ nhất, các

điểm này thỏa mãn điều kiện

Cấu trúc vùng năng lượng trong trường hợp chọn ô cơ sở hình chữ nhật gồm bốn

nguyên tử được biểu diễn trên Hình 1.7

Hình 1.7Cấu trúc vùng năng lượng của graphene với ô cơ sở hình chữ nhật gồm bốn nguyên tử, gồm 4 dải năng lượng Hình bên trái là các dải 2, 3 tiếp xúc với nhau tại hai điểm K, hình bên phải

là các dải 1 và 4

Hình 1.10(b) cho thấy vùng năng lượng bây giờ có bốn dải con, dải dẫn thấp nhất và dải hóa trị cao nhất tiếp xúc với nhau tại hai điểm K Tại lân cận các điểm K này, gần đúng tuyến tính vẫn được thỏa mãn tốt

29

Hình 1.8Cấu trúc vùng năng lượng của graphene với ô cơ sở hình chữ nhật gồm bốn nguyên tử, gồm 4 dải năng lượng Hình bên trái là toàn bộ 4 dải như đã tách ra trên Hình 1.7, hình bên phải

vẽ đường năng lượng theo một phương k y

Từ (1.126) ta tìm được vị trí hai điểm tiếp xúc giữa dải dẫn thấp nhất và dải hóa trị cao nhất,

Vị trí hai điểm K này được biểu diễn trên Hình 1.6(b) Vùng BZ bây giờ cũng có dạng

hình chữ nhật, có diện tích bằng một nửa diện tích vùng BZ lục giác trong cách chọn ô hình thoi Hình chữ nhật này có thể thu được bằng cách gấp hình lục giác theo các đường

đứt nét trên Hình 1.6(b) và vị trí sáu điểm K bây giờ được thu lại thành hai điểm K, thể

hiện bởi các mũi tên trên hình vẽ

1.2.4 Độ dẫn quang của graphene

Tính chất quang của graphene thường được nghiên cứu qua độ dẫn quang của nó Độ dẫn quang của graphene được đóng góp bởi hai số hạng: (i) một số hạng mô tả các quá trình chuyển ngoại dải (inter-band) I, và (ii) đóng góp Drude, mô tả các quá trình chuyển nội dải (intra-band) D Tại nhiệt độ không tuyệt đối độ dẫn quang có biểu thức đại số đơn giản [1, 25, 42, 119, 120, 144]

Đóng góp ngoại dải có dạng  I IiI, với

F

21ln

E E

30

trong đó 2  

0 e / 2h

  là độ dẫn quang phổ quát của graphene [25, 57, 69, 153, 165], 

là tốc độ nghỉ, đặc trưng cho sự tắt dần, tỉ lệ nghịch với thời gian nghỉ của hạt,   1 / , E F

là vị trí của mức năng lượng Fermi so với vị trí điểm Dirac

Khi graphene được đặt trong một từ trường ngoài, phản ứng của hệ điện tử hai chiều với một trường ngoài phụ thuộc thời gian được mô tả bởi tensor độ dẫn quang – từ  , với , x y,

  là các kí hiệu các tọa độ trong mặt phẳng Đây chính là kết quả của lực Lorentz khi có mặt từ trường, là nguồn gốc của các dòng điện ngang và dòng điện dọc

Hình 1.9 Độ dẫn quang của graphene ở 0 K: đóng góp Drude (trái) và inter-band (phải) Với

F 0.45eV

E  và   2.6meV Đường liền màu xanh (hoặc màu đỏ) biểu diễn phần thực (hoặc phần ảo) của độ dẫn quang Trong hình FEF/. Đóng góp Drude chủ yếu ở vùng tần số thấp, trong khi đóng góp ngoại dải ở miền tần số cao [21]

Độ dẫn quang tổng quát của graphene được trình bày trong phần sau khi xét graphene như là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát hơn, bài toán siêu mạng graphene

Hình 1.10(a) Một cấu trúc siêu mạng graphene, và (b) dạng thế tĩnh điện tuần hoàn gây ra bởi các điện cực và phần phóng to chỉ ra các cách sắp xếp các nguyên tử trong ô mạng cơ sở theo hai cấu hình A-GSL và Z-GSL (c) Vùng BZ của cấu hình A-GSL với hai điểm K [9]

Hình 1.10(a) mô tả một cấu trúc linh kiện có chứa GSL Cấu trúc bao gồm một lớp graphene đặt trên một chuỗi các điện cực kim loại xen kẽ trên một lớp đế cách điện

Trường thế tuần hoàn sinh ra do các điện cực này được mô tả trên Hình 1.10(b), tùy vào

chiều biến thiên của thế, hai cấu hình siêu mạng armchair (A-GSL) và zigzag (Z-GSL) tương ứng trong cách chọn ô cở sở, được mô tả trong phần phóng to Thế tĩnh điện được

32

đặc trưng bởi chu kì L W gLs, trong đó Wg là bề rộng của một điện cực và L là khoảng s

cách giữa hai điện cực Rào thế được đặc trưng bởi độ cao U , có thể được sinh ra bởi một b

điện thế bên ngoài

1.2.5.2 Tính toán TB cho GSL

Tương ứng với hai loại cấu hình GSL, vùng BZ thu được có các đặc trưng khác nhau, tuy nhiên cách áp dụng tính toán TB cho các cấu hình là như nhau Trong phần này, chỉ có cấu hình A-GSL được trình bày cụ thể

Hamiltonian tổng cộng cho các electron pz bao gồm hai thành phần: số hạng động năng

mô tả năng lượng chuyển các electron pz giữa hai vị trí nguyên tử carbon lân cận gần nhất

H và thế năng tĩnh điện gây ra bởi các điện cực U Bằng ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai,

ta đưa ra các toán tử sinh và hủy hạt tương ứng với các loại vị trí nguyên tử Phần động năng được tính theo phương pháp TB ở lân cận gần nhất được xác định thông qua các toán

tử sinh và hủy hạt như sau

, , , , , 1, , , 1 , , , , , 1, , , 2

, , , , , 1, , , 1 , , , , , 1, , , , , , , , 1, , , , , , , 1, ,1 , 1,

N

i m j i m j i m j i m j i m j i m j i m j i m j j

1

.2

Trong đó N là số ô đơn vị của A-GSL, đưa vào như là một hệ số chuẩn hóa Vì điều cell

kiện biên tuần hoàn của hệ tinh thể, vectơ sóng kk k x, y có các thành phần thỏa mãn tính chất

34

cc3

tập hợp các điểm k thỏa mãn điều kiện trên tạo thành vùng BZ của A-GSL

Xét biểu thức thế năng (1.134), giá trị V i m j, , , a b c d, , ,  là như nhau theo các chỉ số

X k  a k b k c k d k là vectơ cột, và H k là một ma trận vuông bao gồm các khối tuần hoàn, kích thước 4N4N, có dạng

a j

b j

j

d j