MỤC LỤC
Trước tiên chúng tôi điểm qua sơ lược lí thuyết họ toán tử nửa nhóm và áp dụng của nó vào hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều. A là một toán tử tuyến tính bị chặn, khi đó nó là toán tử sinh của họ toán tử nửa nhóm. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số định lý cần sử dụng để nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều.
Dễ chứng minh không gian thương [Y] với chuẩn như trên trở thành một không gian Banach. Sau đây, chúng tôi trình bày tính điều khiển được của hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều với miền tham số điều khiển không có ràng buộc. F−1 gọi là toán tử giả ngược của F, nó tuyến tính và đóng nhưng trong trường hợp tổng quát không liên tục.
Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày vấn đề mở rộng điều kiện hạng Kalman cho hệ điều khiển tuyến tính trong không gian Banach. Vậy phương trình tích phân dạng Volterra điều khiển được xấp xỉ khi và chỉ khi đa thức p(ξ) thỏa mãn p(0) 6= 0. Khi A là toán tử sinh ra họ toán tử nửa nhóm S(t) thì điều kiện hạng Kalman cũng được mở rộng ở dạng tương tự Định lý 1.2.10 bởi kết quả của R.
Điều kiện hạng Kalman còn được mở rộng cho tính điều khiển được chính xác trong không gian Banach bởi kết quả của V.I.
Chúng ta cần sử dụng định lí Krein-Rutman [33] để nghiên cứu tính điều khiển được địa phương. Để chứng minh 2, giả sử tồn tại f0 là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn. Kết hợp với f0 là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng thực λ0 dẫn đến điều mâu thuẫn với điều kiện 2.
Còn B là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach U vào không gian Banach X và miền tham số điều khiển Ω là tập con của U. Hệ (A, B,Ω) được gọi là điều khiển được địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0, và được gọi là điều khiển được xấp xỉ địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0. Định lý sau mở rộng tính điều khiển được địa phương trong không gian vô hạn chiều, xem [12].
Định lý về tính điều khiển được xấp xỉ địa phương sau chỉ còn đúng cho điều kiện đủ, xem [14]. Để chuẩn bị nghiên cứu tính điều khiển được xấp xỉ toàn cục, chúng tôi cần trình bày các kết quả bổ trợ. Khi đó, từ sự phân tích phổ của toán tử tuyến tính A (xem [5]), không gian X có thể phân tích thành tổng trực tiếp.
Trong đó Xα và Yα là các không gian con đóng của X, bất biến đối với họ nửa nhóm S(t) được sinh bởi A. Nhận xét: Nếu toán tử A thỏa mãn giả thiết A1 thì với mỗi α ∈ R, không gian trạng X thái có thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai không gian con Xα và Yα. Hơn nữa, có thể dễ dàng nhận thấy Xα có số chiều hữu hạn và nó có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của các không gian con riêng tổng quát ker(λI −A)kλ, ở đây kλ kí hiệu là bội của giá trị riêng λ.
Từ điều kiện 1 suy ra hệ không có ràng buộc (An, Bn, U) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục và do đó là điều khiển được toàn cục trong không gian hữu hạn chiều Xn. Nếu không gian trạng thái X là vô hạn chiều, miền tham số điều khiển Ω là tập bị chặn và toán tử A thỏa mãn giả thiết A1, thì hệ (A, B,Ω) là không điều khiển được xấp xỉ toàn cục. Vậy điều kiện để phương trình truyền nhiệt với điều khiển dương điều khiển được xấp xỉ toàn cục là.
Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn. Một vấn đề được đặt ra là khi nón P bị nhiễu thành nón Pe thì tính điều khiển được của hệ(2.1)được bảo toàn như thế nào. Do vậy để giải quyết vấn đề này chúng tôi phải đi xây dựng cách đo độ nhiễu nón và từ đó đưa ra định nghĩa và thiết lập công thức bán kính điều khiển được.
Kí hiệu hệ này là hệ (A, B, P) và giả sử miền tham số điều khiển chịu nhiễu dạng. Vậy yếu tố đo độ nhiễu nón ảnh hưởng đến tính điều khiển được là −→. Với mỗi 0 ≤ l ≤ 1, ta định nghĩa tập các nón lồi trong Rm thu được từ tập tham số điều khiển P với nhiễu cấp nhỏ hơn hoặc bằng l, bởi việc đặt.
Bây giờ chúng ta xét bài toán tính bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính (A, B, P) dưới giả thiết các ma trận A, B và tập tham số điều khiển P được cho nhiễu dạng.
Bây giờ chúng tôi đưa ra các kết quả mới để tính toán bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc. Chìa khóa của kĩ thuật là lý thuyết toán tử tuyến tính đa trị trong biểu diễn phương trình và ma trận được gắn kết trong tớnh toỏn. Để dễ theo dừi, chỳng tụi sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả đã được biết đến của các toán tử tuyến tính đa trị, có thể xem trong [6].
Dễ thấy F∗ và F−1 cũng là các toán tử đa trị tuyến tính và ta có. Giả sử hệ là điều khiển được và các ma trận A và B được cho nhiễu cấu trúc dưới dạng. Bất đẳng thức này đỳng cho bất kỡ ma trận ∆ ∈ Crìl nào phỏ vỡ tớnh điều khiển được, bởi vậy từ Định nghĩa 2.2.1 ta thu được.
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trường hợpsupλ∈CkEWλ−1Dk= 0 thì hiển nhiên đúng, xét supλ∈CkEWλ−1Dk> 0 và dãy {λn} thỏa mãn. Chú ý rằng nếu xét về mặt tính toán thì chuẩn của toán tử đa trịEWλ−1D trong công thức (2.10) không có một biểu diễn hiển. Vì vậy các hệ quả sau được đưa ra để việc tính toán được thực hiện tốt hơn trong những trường hợp cụ thể.
Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A, B) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được cho bởi công thức. Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A, B) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được cho bởi công thức. Tiếp theo chúng ta xét hệ (A, B) dưới nhiễu cấu trúc hạn chế chỉ trên A hoặc chỉ trên B dạng.
Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính (A, B) dưới nhiễu dạng (2.11) được cho bởi công thức.