2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng
2.2.2.Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian
Định nghĩa 2.2.36. Cho hàmf :T → Rvà lấyt∈Tk. Khi đó ta định nghĩaf∆(t)
(nếu nó tồn tại) là số thực thoả mãn với mọi > 0 bất kỳ, tồn tại một lân cận U của t (hoặc tồn tại δ >0và U = (t−δ, t+δ)∩T) sao cho:
|f(σ(t))−f(s)−f∆(t)[σ(t)−s]|6|σ(t)−s|, với mọis ∈U.
Ta gọif∆(t)là đạo hàm Delta của f tại t trên Tk.
Hơn nữa ta nói rằng f là khả vi Delta (hoặc khả vi) trên Tk nếu f∆(t) tồn tại với mọi t∈Tk.
Ví dụ 2.2.13. Nếu f : T → R đ-ợc xác định bởi f(t) = t thì f∆(t) = 1 với mọi
t∈Tk.
Thật vậy với mọi >0,
|f(σ(t))−f(s)−1.[σ(t)−s]|=|σ(t)−s−[σ(t)−s]|= 0 6|σ(t)−s|,
với mọi s∈Tk.
Định lý 2.2.19. (xem [6]) Cho hàm g :T →R và t∈Tk. Khi đó i) Nếu g khả vi tại t thì g liên tục tại t.
ii) Nếu g liên tục tại t và t là tán xạ phải thì g khả vi tại t với g∆(t) = g(σ(t))−g(t)
à(t) iii) Nếu g khả vi tại t và t trù mật phải thì
g∆(t) = lim
s→t
g(t)−g(s) t−s iv) Nếu g khả vi tại t thì
g(σ(t)) =g(t) +à(t)g∆(t).
Từ đó ta có thể tính đạo hàm của tổng, tích, th-ơng của các hàm khả vi theo định lý sau:
Định lý 2.2.20. (xem [6]) Giả sử f, g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈Tk. Khi đó
i) Tổng của các hàm f và g: f +g :T →R là một hàm khả vi tại t với
(f+g)∆(t) =f∆(t) +g∆(t).
ii) Với hằng số α bất kỳ, αf :T →R là một hàm khả vi tại t với
(αf)∆(t) =αf∆(t).
iii) Tích của các hàm khả vi f g:T →R cũng là một hàm khả vi với
(f g)∆ =f∆(t)g(t) +f(σ(t))g∆(t) =f∆(t)g(σ(t)) +f(t)g∆(t). iv) Nếuf(t)f(σ(t))6= 0 , thì 1 f là một hàm khả vi với (1 f) ∆ (t) =− f∆(t) f(t)f(σ(t)).
v) Nếu g(t)g(σ(t))6= 0, thì f g là một hàm khả vi tại t với (f g) ∆ (t) = f ∆(t)g(t)−f(t)g∆(t) g(t)g(σ(t)) .
Định nghĩa 2.2.37. Một hàm f : T → R đ-ợc gọi là liên tục trù mật phải (rd- continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trên T và tồn tại giới hạn bên trái của f tại các điểm trù mật trái trên T.
Tập các hàm liên tục trù mật phải đ-ợc ký hiệu bởi Crd(T) =Crd1 (T) =Crd1 (T, R).
Định nghĩa 2.2.38. Nếu G∆(t) = g(t) thì tích phân Cauchy của g đ-ợc xác định
bởi Z t
a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
g(s)∆s=G(t)−G(a).
Ta có thể chỉ ra rằng nếu g ∈Crd(T) thì tích phân Cauchy
G(t) =
Z t t0
g(s)∆s
tồn tại với t0 ∈T và thoả mãn G∆(t) =g(t) với mọi t∈T.
Về cơ bản tích phân Cauchy trên thang thời gian cũng có các tính chất t-ơng tự nh- tích phân Rieman trên R (xem [6]). Chúng tôi xin phép không trình bày chi tiết ở đây.