2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng
2.1.6.Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous
Với ph-ơng trình vi phân, ph-ơng pháp hàm Liapunov đ-ợc sử dụng từ những năm 1892, trong khi với ph-ơng trình sai phân thì mới đ-ợc sử dụng gần đây. Xét hệ sai phân autonomous
u(k+ 1) =f(u(k)), u(0) =u0, k ∈N, (2.1.6) Ta giả sử rằng f(0) = 0 và f(u) 6= 0 với u 6= 0 trong lân cận của gốc sao cho (2.1.6) có nghiệm tầm th-ờng u(k) = u(k, a,0) = 0. Cho Ω∗ là một tập mở trong Rn và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô h-ớng xác định trên Ω∗, V ∈C[Ω∗, R] và V(0) = 0.
Định nghĩa 2.1.24. V(u) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trên Ω∗ nếu và chỉ nếu V(u)>0 với u6= 0, u∈Ω∗.
Định nghĩa 2.1.25. V(u) đ-ợc gọi là nửa xác định d-ơng trênΩ∗ nếuV(u)>0(dấu
bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định) với mọi u∈Ω∗.
Định nghĩa 2.1.26. V(u) đ-ợc gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trênΩ∗ nếu và chỉ nếu −V(u) là xác định d-ơng (nửa xác định d-ơng) trên Ω∗.
Định nghĩa 2.1.27. Hàm φ(r) đ-ợc gọi là thuộc vào lớp K nếu và chỉ nếu φ ∈
C[[0, ρ), R+], φ(0) = 0 vàφ(r) là tăng chặt theo r.
Vì V(u) liên tục, với r đủ nhỏ, 0< c 6r6d ta có
V(u)6maxkvk6rV(v), V(u)>minr6kvk6dV(v), (2.1.7) trong đó kuk = r. Trong (2.1.7) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể
-ớc l-ợng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm φ, ξ ∈K sao cho
φ(kuk)6V(u)6ξ(kuk). (2.1.8) Từ đó ta có thể định nghĩa cho hàm xác định d-ơng V(u) nh- sau:
Định nghĩa 2.1.28. V(u) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trên Ω∗ nếu và chỉ nếu V(0) = 0 và tồn tại một hàm φ(r)∈K sao cho φ(r)6V(u),kuk=r, u∈Ω∗.
Đặt Sρ là tập Sρ = {u ∈ Rn : kuk 6 ρ} và u(k) = u(k, a, u0) là một nghiệm bất kỳ của (2.1.6) sao cho ku(k)k < ρ,∀k ∈ N(a). Dọc theo nghiệm
u(k) =u(k,0, u0)của (2.1.6) ta xét số gia của hàm V(u) bởi∆V(u(k)) = V(u(k+ 1))−V(u(k)) =V(f(u(k)))−V(u(k)). Hàm V(u) đ-ợc gọi là hàm Lyapunov.
Định lý 2.1.9. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng V(u)∈C[Sρ, R+] sao cho ∆V(u(k,0, u0))60 với nghiệm bất kỳ u(k) =u(k,0, u0) của (2.1.6) thoả mãn
ku(kk< ρ thì nghiệm tầm th-ờng u(k,0,0) = 0 của (2.1.6) là ổn định.
Chứng minh. Do V(u) là xác định d-ơng, tồn tại một hàmφ∈K sao choφ(kuk)6
V(u) với mọiu∈Sρ. Với0< < ρ cho tr-ớc, vì V(u) liên tục và V(0) = 0, ta có thể chọn đ-ợc một sốδ=δ()>0sao choku0k< δthìV(u0)< φ(). Nếu nghiệm
tầm th-ờng của (2.1.6) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệmu(k) =u(k,0, u0) của (2.1.6) sao cho ku0k< δ thoả mãn 6ku(k1)k < ρ với k1 ∈N(1). Tuy nhiên do∆V(u(k))60 khiku(k)k< ρ, ta có V(u(k1))6V(u0) và do đó
φ()6φ(ku(k1)k)6V(u(k1))6V(u0)< φ(),
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ku0k < δ thì ku(k)k< ,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm th-ờng của (2.1.6) là ổn định.
Định lý 2.1.10. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơngV(u)∈C[Sρ, R+] sao cho ∆V(u(k,0, u0)) 6 −α(ku(k,0, u0k) trong đó α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,0, u0) của (2.1.6) thoả mãn ku(kk < ρ thì nghiệm tầm th-ờng u(k,0,0) = 0
của (2.1.6) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (2.1.11) đ-ợc thoả mãn nên nghiệm tầm th-ờng của (2.1.6) là ổn định. Do đó với 0 < < ρ cho tr-ớc, giả sử tồn tại
δ >0, λ >0 và một nghiệm u(k) =u(k,0, u0) của (2.1.6) thoả mãn
λ6ku(k)k< , k ∈N, ku0k< δ. (2.1.9) Do nghiệm này thoả mãn ku(k)k> λ >0,∀k ∈N nên tồn tại hằng số d > 0 sao choα(ku(k)k)>d,∀k ∈N. Nên ta có ∆V(u(k))6−d <0, k∈N. Điều này kéo theo V(u(k)) =V(u0) + k−1 X l=0 ∆V(u(l))6V(u0)−kd,
và với k đủ lớn vế phải sẽ trở thành âm, mâu thuẫn với V(u) xác định d-ơng. Do đó không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(k)) xác định d-ơng và là hàm giảm theo k nên lim
k→∞V(u(k)) = 0. Suy ra lim
k→∞
ku(kk= 0. Vậy nghiệm tầm th-ờngu(k,0,0) = 0 của (2.1.6) là ổn định tiệm cận. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 2.1.11. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng V(u) ∈ C[Sρ, R], V(0) = 0 sao cho
∆V(u(k,0, u0)) > α(ku(k,0, u0k) với α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k,0, u0)
của (2.1.6) thoả mãn ku(k)k < ρ, và nếu trong mọi lân cận H của gốc (H ⊂ Sρ) tồn tại một điểm u0 sao cho V(u0) > 0 thì nghiệm tầm th-ờng u(k,0,0) = 0 của (2.1.6) là không ổn định.
Chứng minh. Lấy r > 0 đủ nhỏ sao cho tập Sr = {u ∈ Rn : kuk 6 r} ⊂ Sρ. Đặt
M =maxkuk6rV(u) , M xác định vì V liên tục. Gọi r1 là số thoả mãn 0< r1 < r
thì theo giả thiết tồn tại một điểm u0 ∈ Rn sao cho 0<ku0k< r1 và V(u0)>0. Dọc theo nghiệm u(k) = u(k,0, u0), k ∈ N, ∆V(u(k))> 0 và do đó V(u(k)) là hàm tăng,V(u(0)) =V(u0)>0. Do đó nghiệm u(k) này không thể đi về gốc. Nên infk∈N ∆V(u(k)) =d > 0, suy ra V(u(k))> V(u0) +kd, k ∈N. Nh-ng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi k đủ lớn , thì u(k) sẽ v-ợt ra ngoài tập Sr nên nghiệm tầm th-ờng u(k,0,0) = 0 của (2.1.6) là không ổn định.
Ví dụ2.1.8. Xét hệ ph-ơng trình sai phân
u1(k+ 1) =u2(k)−cu1(k)(u21(k) +u22(k)) u2(k+ 1) =u1(k) +cu2(k)(u2 1(k) +u2 2(k)) (2.1.10)
trong đó c là hằng số, ta chọn hàm xác định d-ơng V(u1, u2) = u21 + u22 trên Ω∗ =R2. Khi đó ta tính đ-ợc ∆V(u1(k), u2(k)) =c2(u2
1(k) +u2
2(k))3. Do đó nếu
c= 0 thì ∆V(u1(k), u2(k)) = 0 nên nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.10) là ổn định. Tuy nhiên nếuc6= 0 thì nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.10) là không ổn định.
2.1.7. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous
Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ sai phân
u(k+ 1) =f(k, u(k)), u(a) =u0, k ∈N, (2.1.11) trong đó u và f là các vectơ (1ìn) thành phần ui và fi, 16i6n. Ta luôn giả
sử f(k,0) = 0 với mọi k∈N(a) để hệ (2.1.11) có nghiệm tầm th-ờng. Ta nhận xét rằng hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc cả vào k và u.
Định nghĩa 2.1.29. Hàm vô h-ớng V(k, u) xác định trên N(a)ìSρ đ-ợc gọi là xác định d-ơng nếu và chỉ nếu V(k,0) = 0 với mọi k ∈N(a), và tồn tại một hàm
φ(r) ∈ K sao cho φ(r) 6 V(k, u),kuk= r,(k, u) ∈ N(a)ìSρ, và là xác định âm nếu V(k, u)6−φ(r) .
Định nghĩa 2.1.30. Hàm vô h-ớng V(k, u) xác định trên N(a)ìSρ đ-ợc gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếuV(k,0) = 0với mọi k ∈N(a), và tồn tại một hàm ξ(r)∈K sao cho V(k, u)6ξ(r),kuk=r,(k, u)∈N(a)ìSρ.
Đặt u(k) =u(k, a, u0) là nghiệm bất kỳ của (2.1.11) sao cho ku(k)k6 ρ
với mọi k ∈ N(a). Dọc theo nghiệm này ta sẽ xét số gia của hàm V(k, u) : ∆V(k, u(k)) =V(k+ 1, u(k+ 1))−V(k, u(k)) =V(k+ 1, f(k, u(k)))−V(k, u(k)). T-ơng tự nh- các kết quả trong tr-ờng hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.11).
Định lý 2.1.12. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng V(k, u)∈C[N(a)ì
Sρ, R+]sao cho∆V(k, u(k, a, u0))60trong đó nghiệm bất kỳu(k) =u(k, a, u0)của (2.1.11) thoả mãn ku(kk < ρ, thì nghiệm tầm th-ờng u(k, a,0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định.
Chứng minh. Do V(k,u) là xác định d-ơng, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho
φ(kuk) 6 V(k, u) với mọi u ∈ Sρ. Với 0 < < ρ cho tr-ớc, vì V(k, u) liên tục và V(k,0) = 0, ta có thể chọn đ-ợc một số δ = δ() > 0 sao cho ku0k < δ
thì V(a, u0) < φ(). Nếu nghiệm tầm th-ờng của (2.1.11) là không ổn định, khi
đó tồn tại nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.6) sao cho ku0k < δ thoả mãn 6
ku(k1)k< ρ với k1 ∈ N(1). Tuy nhiên do ∆V(k, u(k))6 0 khi ku(k)k< ρ, ta có V(k1) =V(k1, u(k1))6V(a, u0) và do đó
φ()6φ(ku(k1)k)6V(k1)6V(a, u0)< φ(),
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu ku0k < δ thì ku(k)k< ,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm th-ờng của (2.1.11) là ổn định. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 2.1.13. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng V(k, u)∈C[N(a)ì
Sρ, R+] sao cho ∆V(k, u(k, a, u0)) 6 −α(ku(k, a, u0k) trong đó α ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn ku(kk < ρ thì nghiệm tầm th-ờng u(k, a,0) = 0của hệ (2.1.11) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (2.1.12) đ-ợc thoả mãn nên nghiệm tầm th-ờng của (2.1.11) là ổn định. Do đó với 0 < < ρ cho tr-ớc, giả sử tồn tại
δ >0, λ >0 và một nghiệm u(k) =u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn
λ6ku(k)k< , k ∈N, ku0k< δ.
Do nghiệm này thoả mãn ku(k)k> λ >0,∀k ∈N nên tồn tại hằng số d > 0 sao choα(ku(k)k)> d,∀k ∈ N. Nên ta có∆V(k, u(k))6 −d < 0, k ∈ N. Điều này kéo theo V(k, u(k)) =V(a, u0) + k−1 X l=0 ∆V(l, u(l))6V(a, u0)−kd,
và với k đủ lớn vế phải sẽ trở thành âm, mâu thuẫn với V(k, u) xác định d-ơng. Do đó không tồn tại λ thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(k, u(k)) xác định d-ơng và là hàm giảm theo k nên lim
k→∞V(k, u(k)) = 0. Suy ra lim
k→∞
ku(kk= 0. Vậy nghiệm tầm th-ờngu(k, a,0) = 0 của (2.1.11) là ổn định tiệm cận.
Định lý 2.1.14. Giả sử các điều kiện của định lý 2.1.12 đ-ợc thoả mãn đối với hàm V(k,u), đồng thời V(k, u) là giảm dần. Khi đó nghiệm tầm th-ờngu(k, a,0) = 0của hệ (2.1.11) là ổn định đều.
Chứng minh. Do V(k, u) là hàm xác định d-ơng và giảm dần, tồn tại hàm φ, ξ ∈
K sao cho φ(kuk) 6 V(k, u) 6 ξ(kuk) với mọi (k, u) ∈ N(a)ì Sρ. Với mỗi
,0< < ρ, ta chọn đ-ợc δ=δ()>0 sao cho ξ(δ)< φ(). Ta chứng minh đ-ợc
rằng nghiệm tầm th-ờng u(k, a,0) = 0 của hệ (2.1.11) là ổn định đều. Thật vậy nếu k1 > a vàku(k1)k< δ thì ku(k)k< với mọi k >k1. Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tạik2 > k1 sao cho k1 >avàku(k1)k< δ mà6ku(k2)k< ρ.
Tuy nhiên do ∆V(k, u(k))6 0 nên V(k, u(k))6V(k1, u(k1)) với mọi k ∈ N(k1), do đó ta có
φ()6φ(ku(k2)k)6V(k2, u(k2)6V(k1, u(k1)6ξ(ku(k1)k)6ξ(δ)< φ().
Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh.
Định lý sau đây đ-a ra điều kiện đủ để nghiệm tầm th-ờng của hệ sai phân (2.1.11) là không ổn định.
Định lý 2.1.15. Giả sử tồn tại hàm vô h-ớng V(k, u)∈C[N(a)ìSρ, R] sao cho (i) kV(k, u)k6ξ(kuk) với mọi(k, u)∈N(a)ìSρ, trong đó ξ∈K;
(ii) Với mọiδ >0, tồn tại u0 với ku0k6δ sao cho V(a, u0)<0;
(iii) ∆V(k, u(k, a, u0)) 6 −φ(ku(k, a, u0)k) trong đó φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) =u(k, a, u0) của (2.1.11) thoả mãn ku(kk< ρ,
thì nghiệm tầm th-ờng u(k, a,0) = 0của hệ (2.1.11) là không ổn định.
Chứng minh. Giả sử ng-ợc lại nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.11) là ổn định. Khi đó với mọi >0 thoả mãn < ρ, tồn tại một sốδ=δ(, a)>0sao cho ku0k< δ,
ta cóku(k)k< .
Do đó từ giả thiết (i) ta có
kV(k, u(k))k6ξ(kuk)< ξ(),∀k∈N(a) (∗)
Từ giả thiết (iii) ta có V(k, u(k)) là hàm giảm, do đó với mọi k ∈ N(a), ta có
V(k, u(k))6 V(a, u0)< 0. Điều này kéo theo |V(k, u(k))| >|V(a, u0)|. Do đó từ giả thiết (i) ta có ku(k)k>ξ−1(|V(a, u0)|).
Lại theo giả thiết (iii) ta có∆V(k, u(k))6−φ(ku(k)k)và do đó lấy tổng từ a đến k-1 theo bất đẳng thức này ta đ-ợc V(k, u(k))6V(k, u0)− k−1 X l=a φ(ku(l)k) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tuy nhiên từ ku(k)k>ξ−1(|V(a, u0)|), suy ra φ(ku(k)k)>φ(ξ−1(|V(a, u0)|)). Do đó ta có
V(k, u(k))6V(k, u0)−(k−a)φ(ξ−1(|V(a, u0)|)). Điều này dẫn tới lim
k→∞V(k, u(k) = −∞, mâu thuẫn với (*). Vậy nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.11) là không ổn định.
2.1.8. Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể
Các mô hình chúng ta đề cập ở đây có dạng (2.1.11) trong đó với mỗi i, 16i 6n, ui(k) là không âm với mọi k ∈N và fi là các hàm không âm của
u1, ..., un. Trong ngữ cảnh quần thể sinh học, ui(k) biểu thị l-ợng cá thể của quần thể loài thứ i tại thời điểm k. Để nghiên cứu tính ổn định của các điểm
tới hạn của các hệ này, chúng ta có thể sử dụng kết quả đã đ-ợc chứng minh ở phần tr-ớc.
Định nghĩa 2.1.31. Cho Ω+ là tập con bất kỳ của Rn. Hàm vô h-ớng V(u) xác định trênΩ+ đ-ợc gọi là hàm Lyapunov của hệ (2.1.11) nếu
(i) V(u) là liên tục và
(ii) ∆V(u) =V(f(u))−V(u)60 với mọi u∈Ω+.
Định lý 2.1.16. Giả sử u= ¯u là một điểm tới hạn của hệ sai phân (2.1.11) và tồn tại hàm Lyapunov V(u) của (2.1.11) trên Rn+ có giá trị nhỏ nhất tại u,¯ V(u)→ ∞
khi kuk → ∞ và ui → 0+ với mọi i,1 6i6 n,∆V(u)<0 với mọi u∈ Rn+, u6= ¯u thìu¯ là ổn định tiệm cận toàn cục.
Ví dụ2.1.9. Xét mô hình đ-ợc cho bởi ph-ơng trình
u(k+ 1) =λu(k)/(1 +αu(k))β, k ∈N, (2.1.12) trong đó u(k) và u(k +1) là các quần thể thuộc thế hệ liên tiếp ,λ là tỉ lệ tăng của quần thể, α, β là các hằng số xác định sự phụ thuộc mật độ loài. Điểm tới hạn d-ơng của mô hình là u¯= (1−θ)/(αθ), trong đó θ =λ−1/β (0< β <1). Ta thực hiện phép đổi biến v=u/¯u, ph-ơng trình trên trở thành
v(k+ 1) =v(k)/(θ+ (1−θ)v(k))β. (2.1.13) ChọnV(v) = (lnv)2, ta có ∆V(v) = [lnv−βln(θ+ (1−θ)v)]2−[lnv]2 =−βln(θ+ (1−θ)v)[2lnv−βln(θ+ (1−θ)v)].
Hàm ln(θ + (1−θ)v) là âm với v ∈ (0,1) và d-ơng với v ∈ (1,∞). Xét hàm
h(v) = 2lnv −βln(θ+ (1 −θ)v), ta có h(1) = 0, h(v) < 0 khi v → 0+, h(v) ∼
ln(v2−β/(1−θ)β) khi v → ∞ và h0(v) = [2θ+v(1−θ)(2−β)]/[v(θ+ (1−θ)v)].
Nếu ta hạn chếβ sao cho0< β62 thìh(v)>0 khiv→ ∞ và h0(v)>0 với mọi
v >0.
Do đóh(v)<0với v∈(0,1) vàh(v)>0với v∈(1,∞). Hay ∆V(v)<0với mọi
v > 0 và v 6= 1. Do đó theo định lý 2.1.16 điểm tới hạn v¯ = 1 của (2.1.13) ( hoặc t-ơng đ-ơng với u¯= (1−θ)/(αθ) của (2.1.12) ) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu
β ∈(0.2].
Ví dụ2.1.10. Xét mô hình t-ơng tranh giữa hai loài đ-ợc cho bởi ph-ơng trình
u1(k+ 1) =λ1u1(k)[1 +α1(u1(k) +γ1u2(k))]−β1, u2(k+ 1) =λ2u2(k)[1 +α2(u2(k) +γ2u1(k))]−β2, k ∈N, (2.1.14)
trong đó λ1, λ2 là tỉ lệ tăng của hai loài, γ1, γ2 là các hằng số cạnh tranh và
α1, α2, β1, β2 là các hằng số xác định sự phụ thuộc mật độ loài. Nếu đánh giá quần thể theo sức chứa của chúng ri = (1/θi −1)/αi, trong đó θi = λ−1/βi
i ,0 < θi <
1, i= 1,2,, ta có thể viết lại hệ ph-ơng trình d-ới dạng
v1(k+ 1) =v1(k)[θ1+ (1−θ1)(v1(k) +d1v2(k))]−β1, v2(k+ 1) =v2(k)[θ2+ (1−θ2)(v2(k) +d2v1(k))]−β2, (2.1.15) trong đó d1 =γ1r2/r1 và d2=γ2r1/r2. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điểm tới hạn d-ơng của mô hình làv¯1 = (1−d1)/(1−d1d2),v¯2 = (1−d2)/(1−d1d2), trong đó di ∈(0,1). Ta sẽ chỉ ra hệ là ổn định tiệm cận toàn cục nếu θ1 =θ2 =θ
vàβi ∈(0,1], i= 1,2. Ta cần sử dụng các bất đẳng thức sau:
ln(1−t)6−t (a), với mọi t∈(−∞,1), dấu bằng xảy ra khit = 0. (1−t)−p−16pt(1−t)−1 (b), với mọi t∈(−∞,1) và p∈(0,1]. Đặt Vi(v) =vi/¯vi−1−ln(vi/¯vi), i= 1,2, ta có
∆V1(v) = (v1/¯v1)([θ+ (1−θ)(v1+d1v2)]−β1 −1) +β1ln[θ+ (1−θ)(v1+d1v2)]. Theo các bất đẳng thức (a) và (b) vớit = (1−θ)(1−v1−d1v2) và p=β1, ta có
∆V1(v)6 β1(v1/¯v1)(1−θ)(1−v1−d1v2) θ+ (1−θ)(v1+d1v2) −β1(1−θ)(1−v1 −d1v2) = β1(1−θ)(1−v1−d1v2) θ+ (1−θ)(v1+d1v2) [ d1 ¯ v1 (v1v¯2−v2v¯1)−θ(1−v1−d1v2)]. Từ (1−¯v1)/d1 = ¯v2, ta có ∆V1(v)6−β1θ(1−θ)(1−v1−d1v2)2 θ+ (1−θ)(v1 +d1v2) + β1d1(1−θ)(1−v1−d1v2)(v1v¯2−v2v¯1) ¯ v1[θ+ (1−θ)(v1+d1v2)] , với β1 ∈(0,1], dấu bằng xảy ra khiv= ¯v. T-ơng tự ta có với β2 ∈(0,1] thì
∆V2(v)6−β2θ(1−θ)(1−v2−d2v1)2 θ+ (1−θ)(v2 +d2v1) + β2d2(1−θ)(1−v2−d2v1)(v2v¯1−v1v¯2) ¯ v2[θ+ (1−θ)(v2+d2v1)] . Do đó nếu V(v) = c1V1(v) +c2V2(v) , thì ta có ∆V(v)6−c1β1θ(1−θ)(1−v1−d1v2)2 θ+ (1−θ)(v1+d1v2) − c2β2θ(1−θ)(1−v2−d2v1)2 θ+ (1−θ)(v2+d2v1) − R(1−θ)(1−d1d2)(v2v¯1−v1¯v2)2 ¯ v1v¯2[θ+ (1−θ)(v1+d1v2)][θ+ (1−θ)(v2+d2v1)],
trong đó c1β1d1v¯2 =c2β2d2v¯1 = R. Do đó ∆V 6 0 với mọi v > 0, dấu bằng xảy ra khi v= ¯v. Do đó theo định lý 2.1.16 điểm tới hạnv¯của (2.1.15) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu θ1 =θ2 và β1, β2 ∈(0,1].
2.1.9. Tiêu chuẩn so sánh
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về ph-ơng pháp hàm Lyapunov - Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ ph-ơng trình sai phân dạng (2.1.11)
u(k+ 1) =f(k, u(k)), k∈N,
trong đó u và f là các vectơ (1ìn) thành phần ui và fi, 16i6n. Ta luôn giả
sử f(k,0) = 0 với mọi k ∈N.
Nếu tồn tại hàm ω:N ìR+ →R+ thoả mãn
∆V(k, u(k))6ω(k, V(k, u(k))) thì ta có
V(k+ 1, u(k+ 1))6V(k, u(k)) +ω(k, V(k, u(k)))≡g(k, V(k, u(k))) (2.1.16) Việc so sánh mối quan hệ giữa tính ổn định nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.11) với ph-ơng trình sai phân
y(k+ 1) =g(k, y(k)≡y(k) +ω(k, y(k)) (2.1.17) th-ờng dẫn đến các định lý sau đây
Định lý 2.1.17. Giả sử tồn tại hai hàm V(k, x) và g(k, u) thoả mãn các điều kiện sau
(i) g :N ìR+→R, g(k,0) = 0, g(k, u) là không giảm theo u;
(ii) V(k, u) ∈ C[N(a)ìSρ, R+], V(k,0) = 0 và V(k, u) là liên tục theo biến u và xác định d-ơng;
(iii) g thoả mãn bất ph-ơng trình (2.1.16), khi đó
a) Tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định của nghiệm tầm th-ờngu = 0 của (2.1.11).
b) Tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm th-ờng y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm th-ờng u= 0 của (2.1.11).
Chứng minh. Theo định lý 1.9.1 (xem [3]), vớiV(k0, u0)6y0 ta cóV(k, u(k))6yk, với mọi n∈N.
Theo giả thiết V(k, u) xác định d-ơng nên tồn tại hàmφ∈ K sao cho
Nếu nghiệm tầm th-ờng của (2.1.17) là ổn định thì với y0 < ξ(, k0), ta cóy(k)< φ(). Do đó
φ(ku(k)k6V(k, u(k))6φ().
Ta sẽ chỉ ra ku(k)k< (∗).
Từ V(k0, u0) 6 y0 6 η(, k0), theo giả thiết V(k, u) liên tục theo u, ta có thể tìm đ-ợc một sốδ(, k0)sao choku0k< δ(, k0) thìV(k, u0)6y0. Ta cần chứng minh (*) thoả mãn với mọik>k0. Giả sử điều này không đúng. Khi đó tồn tại một số
k1 thoả mãnu(k1)> vàu(k)< với mọik 6k1. Do đó ta có V(k, u(k1))>φ()
và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
φ()6V(k, u(k1))< y(k1)< φ()
dẫn tới mâu thuẫn.
Tr-ờng hợp ổn định tiệm cận, do
φ(ku(k)k)6V(k, u(k))6y(k)
Nên ta có lim
k→∞φ(ku(k)k) = 0, do đó lim
k→∞u(k) = 0.
Hệ quả 2.1.2. Giả sử tồn tại hàm xác định d-ơng V(k, u)∈C[N(a)ìSρ, R+], ∆V(k, u(k))60, khi đó nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.11) là ổn định.
Chứng minh. Tr-ờng hợp nàyω(k, u) = 0 và ph-ơng trình (2.1.17) trở thànhy(k+ 1) =y(k)nên nghiệm tầm th-ờng là ổn định.
Định lý 2.1.18. Giả sử tồn tại hai hàm V(k, x) và ω(k, u) thoả mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của định lý 2.1.17 và giả sử V là giảm dần (decresent) . Khi đó a) Tính ổn định đều của nghiệm tầm th-ờng y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định đều của nghiệm tầm th-ờngu= 0 của (2.1.11).
b) Tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm th-ờng y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm th-ờng u= 0 của (2.1.11).
Chứng minh. Do các giả thiết của định lý 2.1.17 đ-ợc thoả mãn nên tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng y = 0 của (2.1.17) kéo theo tính ổn định t-ơng ứng của nghiệm tầm th-ờngu= 0 của (2.1.11). Ngoài ra ta cần chỉ ra rằng số δ(, k0)chọn đ-ợc không phụ thuộc vàok0. Theo giả thiết V là giảm dần, tồn tại hàm à ∈K
sao choV(k, u(k))6à(ku(k)k. Ta có vớiV(k0, u(k0))6y0 6η() thì
Nếu ta chọn à(ku0k) < η() hay ku0k < δ() = à−1(η()) thì ku(k)k< với mọi
k> k0.