MỤC LỤC
Các hàm g(t, u) là không giảm theo u và nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình.
Sai phân các cấp đều đ-ợc biểu diễn qua các giá trị của hàm số. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp. Trong đóun coi là sai phân cấp 0 của hàmun, cấp của ph-ơng trình sai phân chính là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k).
Ph-ơng trình sai phân tuyến tính của hàm unlà một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau. Nghiệm tổng quát un của ph-ơng trình sai phân tuyến tính (1): un=u∗+ ¯u, với u∗ là một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên và u¯ là nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2). Nếu (3) có nghiệm th-c λj bội s thì ngoài nghiệm λnj ta bổ sung thêm các vectơ.
Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ ph-ơng trình sai phân. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng. Các khái niệm về ổn định Xét hệ ph-ơng trình sai phân phi tuyến.
Nghiệm tầm th-ờng u(k) = 0 của hệ đ-ợc gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong các định nghĩa t-ơng ứng, số δ chọn đ-ợc không phụ thuộc vào a. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous Với ph-ơng trình vi phân, ph-ơng pháp hàm Liapunov đ-ợc sử dụng từ những năm 1892, trong khi với ph-ơng trình sai phân thì mới đ-ợc sử dụng gần. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ sai phân.
Trong ngữ cảnh quần thể sinh học, ui(k) biểu thị l-ợng cá thể của quần thể loài thứ i tại thời điểm k. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về ph-ơng pháp hàm Lyapunov - Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ ph-ơng trình sai phân dạng (2.1.11).
Một hàm f : T → R đ-ợc gọi là liên tục trù mật phải (rd- continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trên T và tồn tại giới hạn bên trái của f tại các điểm trù mật trái trên T. Về cơ bản tích phân Cauchy trên thang thời gian cũng có các tính chất t-ơng tự nh- tích phân Rieman trên R (xem [6]). Để thuận tiện ta sẽ quy -ớc rằng tất cả các khái niệm và ký hiệu về giải tích trên thang thời gian đ-ợc sử dụng giống nh- trong các tài liệu của M.Bohner và A.Peterson (xem [6]).
Các khái niệm liên quan đến hàm Lyapunov chúng ta sẽ sử dụng theo cách xây dựng của B.Kaymakcalan (xem [4]). Nếu các số δ và δ0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào t0 thì ta nói nghiệm tầm th-ờng x(t) = 0 là ổn định (t-ơng ứng là ổn định tiệm cận) đều. Trong thời gian gần đây việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ động lực trên thang thời gian đ-ợc rất nhiều ng-ời quan tâm.
Hầu hết các ph-ơng pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân theo Lyapunov. Chúng ta biết rằng trong mỗi một thang thời gian có thể có nhiều hàm b-ớc nhảy à(t) khác nhau thay đổi theo t. Do đó các phép tính của giải tích trên thang thời gian là phức tạp hơn nhiều do với giải tích cổ điển trên R.
Để khắc phục khó khăn này chúng tôi đã cố gắng dùng cách phối hợp các ph-ơng pháp khác nhau của Lyapunov để áp dụng cho từng bài toán cụ thể. Tuy nhiên để hỗ trợ cho phần tính toán tr-ớc các ví dụ chúng tôi đã chứng minh định lý về tính ổn định mũ của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian theo ph-ơng pháp hàm Lyapunov. Định lý này có thể xem là một hệ quả tiếp theo của tiêu chuẩn so sánh của Kaymakcalan (xem [4]).
Tất cả các định lý của mục 2.2.3 có thể xem nh- là sự tổng quát hoá cho ph-ơng trình động lực trên thang thời gian đối với hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính. Ngoài ra ta giả thiết thêm rằng các hàm p và f thoả mãn các điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy. Lập luận t-ơng tự các b-ớc chứng minh nh- trong chứng minh định lý 2.2.21, ta có điều phải chứng minh.
Sau đây chúng tôi sẽ chứng minh định lý về tính ổn định mũ của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Cùng với hệ (2.2.26), ta nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ tuyến tính thuần nhất t-ơng ứng.