Thác triển khai toán tử ngẫu nhiên trong không gian banach khả ly

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: HDC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HDP: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2011 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 12 Tính quy biểu diễn chuỗi toán tử 1.1 Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên ví dụ 1.2 Các tính chất quy 1.3 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên ngẫu nhiên 22 22 23 34 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển 2.2 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không gian có sở Schauder 2.2.1 Miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.2.2 Trường hợp ảnh sở biến ngẫu nhiên độc lập 40 40 Thác triển toán tử ngẫu nhiên 3.1 Phương pháp thác triển theo dãy 3.2 Phương pháp thác triển theo chuỗi 61 61 72 iii 48 49 55 MỤC LỤC Kết luận kiến nghị Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 86 86 86 87 Tài liệu tham khảo 88 Chỉ dẫn 91 iv Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực P Độ đo xác suất E Kỳ vọng LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị LX p (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] L2 [a, b] Không gian hàm bình phương khả tích [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → F(u) σ-trường sinh biến ngẫu nhiên u F(Φ) σ-trường sinh họ biến ngẫu nhiên {Φx, x ∈ X} h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y v Mở đầu Trong vài kỷ qua, với công lao đóng góp nhiều hệ nhà toán học, giải tích toán học trở thành lâu đài đồ sộ với nhà tráng lệ: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán tử tuyến tính, Nó cung cấp cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật công cụ đắc lực để xử lý tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, giới sống giới ngẫu nhiên Mọi phần tử giới bị tác động, can thiệp nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên hệ động lực trình ngẫu nhiên Thành thử, nhu cầu tất yếu đặt cần có mô hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đắn, sinh động Giải tích ngẫu nhiên đời từ nhu cầu Hầu hết mô hình ngẫu nhiên ngẫu nhiên hoá mô hình tất định biết Toán tử ngẫu nhiên không nằm quy luật Cho X, Y không gian Banach khả ly, (Ω, F, P) không gian xác suất sở Trong giải tích tất định, ta hiểu ánh xạ f từ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y Tuy nhiên, có tác động nhiễu ảnh x qua ánh xạ f chưa phần tử tất định f (x) ∈ Y mà giá trị Như vậy, thay xem f (x) phần tử tất định Y ta coi biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Khi đó, ánh xạ f gọi toán tử ngẫu nhiên (random operator) hay ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y Như ta trình bày trên, toán tử ngẫu nhiên Φ từ E ⊂ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử tất định x ∈ E biến ngẫu nhiên Y - giá trị Φx Tuy nhiên có nhiều toán dẫn đến nhu cầu mở rộng miền tác động toán tử ngẫu nhiên như: • Khi có nhiễu đầu vào đầu vào phần tử tất định mà biến ngẫu nhiên E - giá trị Khi đó, ta cần định nghĩa Mở đầu tác động Φ lên phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E • Khi ta muốn định nghĩa hợp toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ từ X vào X theo cách (Ψ ◦ Φ)(x) = Ψ(Φ(x)) ta cần định nghĩa ảnh biến ngẫu nhiên Φ(x) qua toán tử ngẫu nhiên Ψ • Một toán mà ta quen thuộc toán mở rộng tích phân ngẫu nhiên Wiener x(t)dW (ω, t) thành tích phân ngẫu nhiên x(t, ω)dW (ω, t) mà hàm lấy tích phân hàm ngẫu nhiên x(t, ω) thay hàm tất định x(t) Tích phân ngẫu nhiên Ito dạng mở rộng Vậy mục tiêu ta thác triển toán tử ngẫu nhiên miền tác động rộng tốt giữ số tính chất tốt ánh xạ Φ Có thể có nhiều cách định nghĩa ảnh Φu biến ngẫu nhiên E - giá trị u qua toán tử ngẫu nhiên Φ trước hết cần thoả mãn điều kiện sau: • Φu(ω) biến ngẫu nhiên Y - giá trị • Nếu toán tử ngẫu nhiên Ψ toán tử ngẫu nhiên Φ Φu(ω) = Ψu(ω) h.c.c Dường ta định nghĩa Φu phép trực tiếp Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) Tuy nhiên, ví dụ sau cho thấy lúc ta làm việc trực tiếp vi phạm điều kiện vừa nêu Ví dụ 0.0.1 Lấy Ω = X, F = B(X) P độ đo xác suất không atom Cho a, b hai phần tử khác Y D tập không Borel X Xét toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y xác định   a ω = x ∈ D, Φ(ω, x) =  b ngược lại Khi đó, với u ∈ LX (Ω) xác định u(ω) = ω ta có {ω : Φ(ω, u(ω)) = a} = {ω : Φ(ω, ω) = a} = D ∈ / F Mở đầu Vậy Φu(ω) không đo hay nói khác Φu không biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Trong ví dụ điều kiện thứ không thoả mãn, tức Φu không biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Ví dụ sau cho thấy Φu biến ngẫu nhiên Y - giá trị lại phụ thuộc vào việc chọn Φ Ví dụ 0.0.2 Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ) µ độ đo Lebesgue X = Y = R Ta xác định hai toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ R sau   x.ω x = ω, Φ(ω, x) =  1 x = ω Ψ(ω, x) = xω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X Rõ ràng Φ Ψ Xét biến ngẫu nhiên u(ω) cho u(ω) = ω ∀ω ∈ Ω Ta có Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) = 1; Ψu(ω) = Ψ (ω, u(ω)) = ω Do Φu(ω) = Ψu(ω) ∀ω = Như vậy, phép trực tiếp ta định nghĩa Φu cách đắn Bài toán đặt cách định nghĩa tác động toán tử ngẫu nhiên Φ lên biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E cho Φ giữ số tính chất tốt Bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên tác giả Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Thịnh nghiên cứu đạt số kết cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính công bố [15] Trong luận án tính chất quy, biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên, trình bày chi tiết phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên (không thiết tuyến tính) Ngoài phần mở đầu phần kiến thức chuẩn bị (chương 0), luận án gồm ba chương Chương 1: Trình bày toán tử ngẫu nhiên, tính chất quy toán tử ngẫu nhiên, quan hệ tính chất quy Mở đầu số điều kiện cần, đủ để có tính chất quy Các kết Nguyễn Thịnh trình bày luận án tiến sĩ (xem [8]) Ngoài ra, chương trình bày biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên Các kết đăng báo [3] (xem Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 2: Trình bày số kết việc thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tức toán tử ngẫu nhiên có tính chất tuyến tính ngẫu nhiên liên tục ngẫu nhiên, từ X vào Y hai trường hợp Chương gồm hai phần: Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không gian có sở Schauder Các kết phần đầu tác giả Đặng Hùng Thắng Nguyễn Thịnh công bố [15] Trong phần thứ hai, xét toán ∞ tử ngẫu nhiên Φ có khai triển chuỗi dạng Φx = (x, e∗n )Φen n=1 e = (en ) sở Schauder X (e∗n ) sở liên hợp (en ) Khi định nghĩa biến ngẫu nhiên u nhận giá trị X thuộc ∞ miền tác động mở rộng Φ chuỗi (u, e∗n )Φen hội tụ LY0 (Ω) n=1 tổng tương ứng gọi ảnh u qua Φ Chúng tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động mở rộng Φ, điều kiện cần đủ để thác triển toán tử ngẫu nhiên Φ lên toàn không gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị X Ngoài đưa số kết trường hợp đặc biệt biến ngẫu nhiên Φei , i = 1, 2, độc lập Các kết phần công bố báo [1] (xem Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 3: Trình bày kết thác triển toán tử ngẫu nhiên Trong chương này, đưa hai thủ tục để thác triển toán tử ngẫu nhiên phương pháp thác triển theo dãy phương pháp thác triển theo chuỗi ngẫu nhiên Các kết công bố báo [2] (xem Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Theo phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo dãy, ta định nghĩa tác động Φ lên biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị E ⊂ X sau nhờ vào việc xấp xỉ biến ngẫu nhiên E-giá trị u dãy biến ngẫu nhiên rời rạc un ta định nghĩa ảnh u qua toán tử ngẫu nhiên Φ Phần mở rộng kết chương 2, mục 2.1 Theo cách này, tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động Φ theo kiểu thác triển dãy 10 Mở đầu tìm số điều kiện cần, đủ để thác triển ánh xạ Φ lên toàn không gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Với phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo chuỗi, ∞ xét toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi dạng Φx = αn fn x n=1 αn biến ngẫu nhiên thực (tương ứng biến ngẫu nhiên Y -giá trị) fn ánh xạ đo từ E ⊂ X vào Y (tương ứng đo từ E ⊂ X vào R) Như vậy, Φ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính X không gian Banach có sở Schauder Φ có khai triển chuỗi dạng Biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E thuộc miền tác động toán tử ngẫu nhiên ∞ Φ chuỗi αn fn u hội tụ LY0 (Ω) Chúng tìm n=1 số điều kiện đủ để u thuộc miền tác động mở rộng Φ số điều kiện cần, đủ để thác triển toán tử ngẫu nhiên Φ lên toàn không gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Đây mở rộng kết chương 2, phần 2.2 Trong số trường hợp đặc biệt, nghiên cứu mối quan hệ hai kiểu thác triển Hà Nội, ngày 31 tháng năm 2010 Nghiên cứu sinh Trần Mạnh Cường 11 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên L Từ suy tồn tập H ⊂ Ω có xác suất cho với ω ∈ H, x ∈ E ∞ S(ω)x = αn (ω)fn x n=1 Hệ là, với u ∈ LE (Ω) ta có ∞ Φ(ω, u(ω)) = S(ω)(u(ω)) = αn (ω)fn (u(ω)) n=1 ∞ αn (ω)fn u(ω) ∀ω ∈ D, = n=1 ˆ tức Φu(ω) = Φ(ω, u(ω)) h.c.c Ví dụ toán tử ngẫu nhiên Φ từ tập compact E ⊂ R vào R xác định dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập, đối xứng (αn ) dãy hàm liên tục (fn ) mà Φ không liên tục h.c.c ta thác triển lên toàn không gian biến ngẫu nhiên, tức D(Φ) = LE Ví dụ 3.2.6 Xét dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập (ξn ) xác định P(ξn = −n) = P(ξn = n) = 1 , P(ξ = 0) = − n 2n2 n2 Vậy (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, đối xứng với E(ξn ) = 0, E|ξn | = , E|ξn |2 = n Giả sử (an ) dãy số dương cho an = √ n log2 n Ta đặt αn = an ξn Khi đó, (αn ) dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, đối xứng với E(αn ) = 0, E|αn | = 77 an , E|αn |2 = a2n n Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Ký hiệu (fn ) dãy hàm liên tục fn : E = [0; 1] → R xác định fn (x) = cos 2πnx Ta có ∞ ∞ E|αn fn (x)| ≤ n=1 ∞ n=1 n2 ∞ n=1 an < ∞, ∞ n=1 αn fn (x) ∞ E|αn | = n=1 ∞ ln n=1 n ln2 n = n=1 an T (ω)ek = T (ω) k=1 > αn (ω)fn ek = n=1 < u(ω), e∗k > ek k=1 80 u(ω), e∗k = T (ω)(u(ω)) Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Điều chứng tỏ chuỗi ∞ n αn (ω)fn u(ω) hội tụ h.c.c Ký hiệu V = L(X, Y ) tập tất ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y Theo giả thiết Y không gian hữu hạn chiều nên V không gian Banach khả ly với chuẩn f V = sup f (x) x ≤1 Với cặp (x, y ∗ ) ∈ X × Y ∗ ánh xạ x ⊗ y ∗ : V → R xác định (x ⊗ y ∗ )(f ) = (f (x), y ∗ ) phần tử V ∗ Đặt Γ = {(x ⊗ y ∗ ), (x, y ∗ ) ∈ X × Y ∗ } Dễ dàng kiểm tra lại Γ tập tách V ∗ Do Φ bị chặn nên theo Định lý 1.2.8 tồn ánh xạ S:Ω→V cho với x ∈ X Φx(ω) = S(ω)x h.c.c Ta S đo tức S biến ngẫu nhiên V -giá trị Thật vậy, với (x ⊗ y ∗ ) ∈ Γ ánh xạ ω → (S(ω), x ⊗ y ∗ ) = (S(ω)x, y ∗ ) = (Φx(ω), y ∗ ) h.c.c đo Vì V khả ly Γ tập tách V ∗ nên theo Định lý 1.1 ([27]) S đo Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.5 ta với u ∈ LX (Ω) chuỗi ∞ n=1 αn (ω)fn u(ω) hội tụ h.c.c Định lý 3.2.8 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y xác định dãy (αn , fn ) cho E|αn |p < C với n, p > Ký hiệu Fn σ-trường sinh (α1 , , αn ) 81 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Điều kiện đủ để u ∈ LE (Ω) thuộc D(Φ) {E fn u q }1/q < ∞, (3.14) n q số liên hợp p (1/p + 1/q = 1) Nếu giả thiết thêm (αn ) độc lập, đối xứng Y không gian Banach p-trơn (1 < p ≤ 2) hai điều kiện a) fn u Fn−1 -đo với n > 1, p fn u b) < ∞ h.c.c (3.15) (3.16) n đủ cho u ∈ D(Φ) Chứng minh Đặt rk (q) = {E fk u q }1/q Áp dụng bất đẳng thức H¨older ta n n αk fk u ≤ E k=m E|αk | fk u k=m n {E|αk |p }1/p {E fk u q }1/q ≤ k=m n ≤C rk (q) → m, n → ∞ k=m ∞ Nên chuỗi αk fk u hội tụ LY1 hội tụ LY0 (Ω) k=1 Theo định lý ba chuỗi có điều kiện J.Szulga [19], ta cần kiểm 82 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên tra với số thực c > ba điều kiện sau thoả mãn ∞ P αn fn u > c Fn−1 < ∞ h.c.c (3.17) n=1 ∞ E αn fn uI{ αn fn u ≤c} Fn−1 = h.c.c (3.18) n=1 ∞ E αn fn uI{ αn fn u ≤c} p Fn−1 c} < ∞ n=1 Theo giả thiết fn u Fn−1 -đo nên ∞ P αn fn u > c Fn−1 = n=1 ∞ P {ω : αn (ω )fn u(ω) > c} < ∞ ∀ω ∈ Ω n=1 Điều chứng minh (3.17) Hơn nữa, giả thiết fn u Fn−1 -đo (αn ) độc lập, đối xứng nên ∞ E αn fn uI{ αn fn u ≤c} Fn−1 = fn u(ω) αn (ω )dP(ω ) = { αn fn u ≤c} n=1 Nên đẳng thức (3.18) Vì (αn ) độc lập E|αn |p < C, ∞ αn fn uI{ E αn fn u ≤c} p Fn−1 = n=1 ∞ fn u(ω) p E |αn |p I{ αn fn u ≤c} Fn−1 ≤ n=1 ∞ fn u(ω) p E |αn |p Fn−1 = n=1 ∞ ∞ p p fn u(ω) E|αn | ≤ C n=1 fn u(ω) p < ∞ h.c.c n=1 Do (3.19) Vậy điều kiện thoả mãn 83 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Ví dụ 3.2.9 Cho X = lp , Y = lt (αn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố r-ổn định chuẩn tắc với (1 < r < 2), ≤ p < r < t < 2p Gọi en = (0, , 0, 1, 0, ) fn : X → Y cho fn x = (x, gn )en , (x, gn ) toạ độ thứ n x Khi Với x ∈ X, chuỗi ∞ αn f n x (3.20) n=1 hội tụ h.c.c Y xác định toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y Điều kiện đủ để u ∈ LX (Ω) thuộc D(Φ) với n > toạ độ thứ n u Fn−1 -đo Với dãy c = (cn ) ∈ lp , chuỗi ∞ αn cn en n=1 hội tụ h.c.c X xác định biến ngẫu nhiên X-giá trị u Hơn nữa, u ∈ D(Φ) (cn ) ∈ lr/2 (Chú ý lr/2 ⊂ lp r < 2p.) Trước hết, ta cần đến bổ đề sau L.Schwarts, xem [39] Bổ đề 3.2.10 Cho (αn ) dãy biến ngẫu nhiên r-ổn định chuẩn tắc (1 < r < 2), (cn ) dãy số thực en = (0, , 0, 1, 0, ) Để chuỗi ∞ αn cn en n=1 hội tụ h.c.c lt , với ≤ t < ∞, t = r, điều kiện cần đủ • (cn ) ∈ lt if t < r, • (cn ) ∈ lr if t > r 84 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Sử dụng bổ đề ta chứng minh khẳng định Từ |(x, gn )|p < ∞ p < r suy |(x, gn )|r < ∞ Do t > r nên theo Bổ đề 3.2.10 ta khẳng định chuỗi (3.20) hội tụ h.c.c Y Vì p < r nên E|αn |p < ∞ Do p < t nên từ Y t-trơn kéo theo Y p-trơn Dễ dàng kiểm tra hai điều kiện (3.15) (3.16) thoả mãn Do p < r nên theo Bổ đề 3.2.10 chuỗi ∞ αn cn en n=1 hội tụ h.c.c X = lp xác định biến ngẫu nhiên X-giá trị u với (u, gn ) = αn cn Ta có ∞ ∞ αn2 cn en αn f n u = n=1 n=1 ∞ αn2t |cn |t < ∞ h.c.c Hay cách Cho nên, u ∈ D(Φ) n=1 tương đương, u ∈ D(Φ) chuỗi ∞ αn |cn |en n=1 hội tụ h.c.c l2t Vì 2t > r nên theo Bổ đề 3.2.10 ta kết luận u ∈ D(Φ) ( |cn |) ∈ lr ⇔ (cn ) ∈ lr/2 85 Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết qủa luận án • Tìm số điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi • Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trường hợp không gian X không gian Banach có sở Schauder: tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên X - giá trị u thuộc miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tìm điều kiện cần đủ để thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính lên toàn không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị Ngoài ra, tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên Φ trường hợp đặc biệt ảnh sở Schauder (en ) qua toán tử ngẫu nhiên Φ độc lập với • Đưa hai phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên Phương pháp thác triển theo dãy Phương pháp thác triển theo chuỗi Trong phương pháp tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E thuộc miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên Với số trường hợp đặc biệt, tìm điều kiện cần đủ để thác triển toán tử ngẫu nhiên lên toàn không gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị E Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu luận án nhiều toán mở sau đây: Biểu diễn tích phân toán tử ngẫu nhiên 86 Kết luận kiến nghị Tìm điều kiện cần đủ để thác triển theo chuỗi toán tử ngẫu nhiên lên toàn không gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị E trường hợp tổng quát Các phương pháp thác triển khác mối quan hệ phương pháp thác triển Tuy nhiên, điều kiện thời gian lực nên tác giả chưa giải vấn đề Tác giả hy vọng vấn đề sớm giải Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Các kết luận án báo cáo hội nghị Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học nhân kỷ niệm 50 năm thành lập, Hà Nội 10-2006, Advanced School and Conference on Statistics and Applied Probability, ICTP, Italy 12-2007, Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 7, Quy Nhơn, 8-2008, Progress in Stein’s method, Singapore 1-2009 Hội nghị Xác suất Thống kê toàn quốc lần thứ 4: Nghiên cứu, ứng dụng giảng dạy, Vinh 20-22/05/2010 Và công bố báo [1] Dang Hung Thang and Tran Manh Cuong, A method of extending random operators, Acta Mathematica Vietnamica, 34(2009), 201-212 [2] Dang Hung Thang and Tran Manh Cuong, Some procedures for extending random operators, Random operators and Stochastic equations, 17(2009), 359-380 [3] Dang Hung Thang and Tran Manh Cuong, Series representation of random mappings and their extension, VNU Journal of Science, MathematicsPhysics, 25(2009) 237-248 87 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2010), Xác suất nâng cao, Tài liệu lưu hành nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2000) Các mô hình xác suất ứng dụng phần I: Xích Markov ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mô hình xác suất ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001) Các mô hình xác suất ứng dụng phần II: Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [8] Nguyễn Thịnh (2006), Tích phân ngẫu nhiên Ito toán tử ngẫu nhiên không gian Banach, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [9] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [10] A.A Dorogovstev (1986), "On application of Gaussian random operator to random elements", Theor.veroyat.i.priment 30, 812-814 [11] A.V Skorokhod (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht [12] Bretagnolle, J., Dacunha - Castelle, D and Krivine, J L (1966) Lois stable et espace Lp , Ann Inst H Poincaré, B2, 231 - 259 [13] D.H Thang (1987), Random Operator in Banach space, Probab Math.Statist.8, 155-157 [14] D.H Thang (1995), The adjoint and the composition of random operators on a Hilbert space, Stochastic and Stochastic Reports, 54, 53-73 [15] D.H.Thang and N.Thinh (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J Math 58, 257-276 [16] J Diested, H Jorchov and A Tonge (1995),Absolutely Summing Operators, Cambridge University Press, Cambridge [17] J Hoffmann-Jorgensen (1977), Probability in Banach space, Lecture Notes in Math 598, 1-186 [18] J.P.Kahane (1985), Some random series of functions, Cambridge Univ Press [19] J Szulga (1977), Three series theorem for martingals in Banach spaces, Bul.Acad.Polon.Sc.Ser A 25, 175-180 [20] Kai Lai Chung (2001), A course in Probability Theory-third edition, Academic Press [21] K.Ito (1944), Stochastic integrals, Proc.Imp.Acad.Tokyo 20, 519-524 [22] K R Parthasarathy (1967), Probability measures on metric spaces, AMS Chelsea Publishing [23] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach Spaces, Springer, Berlin [24] M Loève (1977), Probability Theory I-4th ed., Springer-Verlag 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [25] M Loève (1978), Probability Theory II-4th ed., Springer-Verlag [26] Nualart, D and Pardoux, E (1988), Stochastic calculus with anticipating integrands, Probability Theory and Related Fields, 78, 535-581 [27] N.N Vakhania, V.I Tarieladze and S.A Chobanian (1987), Probability Distribution on Banach spaces, D.Reidel Publishing Company, Dordrecht [28] N.Z Tien (1979), Sur le theorem des trois series de Kolmogorov, Theor.veroyat.i.priment 24, 495-517 [29] Schaefer, Helmut H (1971), Topological vector spaces, Springer-Verlag [30] Sobolev, V I (2001), Bochner Integral in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 [31] Stanislaw Kwapien, Wojbor A Woyczynski (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhauser [32] T.P Hill (1982), Conditional generalization of strong law which conclude the partial sums converges almost surely, Ann.Probab.10, 828830 [33] Valentin V Petrov (1995), Limit Theorems of Probability Theory, Clarendon Press - Oxford [34] V V Petrov (1975), Sums of Independent Random Variables, SpringerVerlag [35] Walter Rudin (1973), Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company [36] William Feller (1967), An introduction to Probability Theory and Its Applications-Vol I, Wiley Series in Probability and Statistics [37] William Feller (1970), An introduction to Probability Theory and Its Applications-Vol II, Wiley Series in Probability and Statistics [38] W.A.Woyczynski (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II., Advances in Probab 4, 267- 517 [39] W.Linde (1983), Infinitely divisible and stable measures on Banach spaces, Leipzig 90 Chỉ dẫn D = D(Φ), 62 ˜ 62 Φu, k-Lipschitz, 67 k-Lipschitz theo xác suất, 64 p-trơn, 82 độc lập, 70 đo được, 25 thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, 40 toán tử ngẫu nhiên, 23, 25 toán tử ngẫu nhiên mở rộng, 62, 68 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, 24, 68 tuyến tính ngẫu nhiên, 24 bị chặn, 25 bị chặn ngẫu nhiên, 25 sao, 23 đo được, 26 biến ngẫu nhiên r-ổn định chuẩn tắc, 84 biến ngẫu nhiên rời rạc, 61 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên, 34 tính chất quy, 23 có liên tục, 24, 62, 68 chuỗi ngẫu nhiên, 23 liên tục, 25 liên tục ngẫu nhiên, 25, 70 liên tục ngẫu nhiên, 25 miền xác định mở rộng, 72 tích phân ngẫu nhiên, 23 tính quy, 23 thác triển theo dãy, 61 Thác triển toán tử ngẫu nhiên bất kỳ, 61 91 [...]... theo tính liên tục ngẫu nhiên 2 Tính liên tục đều ngẫu nhiên kéo theo tính liên tục ngẫu nhiên 3 Toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì bị chặn ngẫu nhiên Điều ngược lại trong khẳng định 1 không đúng Dưới đây là một ví dụ về một toán tử ngẫu nhiên gián đoạn h.c.c nhưng liên tục ngẫu nhiên Ví dụ 1.2.4 Xét quá trình Poisson Φ = {Φt , t ∈ [0, ∞)} với cường độ λ > 0 (được xem như toán tử ngẫu nhiên Φ từ [0, ∞)... , i = 1, 2 • Φ liên tục ngẫu nhiên 5 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y được gọi là bị chặn ngẫu nhiên nếu 24 Chương 1 Tính chính quy và sự biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên Y - giá trị {Φx, x ∈ B} bị chặn ngẫu nhiên tức là lim sup P{ Φx > t} = 0, t→∞ x∈B trong đó B = {x ∈ X : x ≤ 1} 6 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên thực k(ω) sao cho... chứng minh các định lý trong phần này được bỏ qua, bạn đọc quan tâm đến chứng minh có thể xem trong [8] 1.1 Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên và các ví dụ Ta có định nghĩa sau về toán tử ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y là các không gian Banach khả ly, E ⊂ X Ánh xạ Φ : Ω × E → Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ E thì Φ(ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y - giá trị 22 Chương... Như vậy, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ có khai triển chuỗi với αn = Φen và fn (x) = (x, e∗n ) Câu hỏi đặt ra là ngoài trường hợp đặc biệt trên thì những toán tử ngẫu nhiên nào có khai triển chuỗi Các định lý sau cho ta một số điều kiện đủ để một toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi Định nghĩa 1.3.4 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên Gauss đối xứng nếu với mỗi k ∈ N và... Φ : Ω × E → Y xác định bởi Φ(ω, x) = Φx(ω) là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y Ta nói rằng toán tử ngẫu nhiên Φ được xác định bởi dãy(αn , fn )∞ n=1 Nếu (αn ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thì ta nói rằng Φ có khai triển chuỗi độc lập Nhận xét 1.3.2 Ta cũng có thể xét toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi (1.9) trong đó (αn ) là dãy biến ngẫu nhiên Y -giá trị còn (fn ) là dãy ánh xạ tất định đo... diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên Ví dụ 1.3.3 Xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào Y trong đó X ∗ ∗ ∞ là không gian Banach có cơ sở Schauder e = (en )∞ n=1 và e = (en )n=1 là cơ sở liên hợp của e = (en ) Khi đó với mỗi x ∈ X ta có ∞ (x, e∗n )en x= n=1 Vì Φ tuyến tính ngẫu nhiên và liên tục ngẫu nhiên nên ∞ (x, e∗n )Φen , Φx = n=1 trong đó chuỗi hội tụ theo xác suất Như vậy, toán tử ngẫu nhiên tuyến... tử tuyến tính ngẫu nhiên thì tính liên tục ngẫu nhiên tương đương với tính bị chặn ngẫu nhiên Ở trên ta đã khẳng định rằng nếu một toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì bị chặn ngẫu nhiên Dưới đây ta chỉ ra toán tử ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên nhưng không bị chặn Ví dụ 1.2.7 Ta xác định toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ngẫu nhiên từ L2 [0, 1] vào L2 [0, 1] như sau: t Φx(t) = x(s)dW (s) 0 Trước hết, ta chứng... ([8]) Nếu Φ là toán tử ngẫu nhiên liên tục ngẫu nhiên thì Φ có bản sao đo được Đối với ánh xạ tuyến tính tất định, tính liên tục tương đương với tính bị chặn Định lý sau đây cho thấy điều này vẫn đúng cho toán tử tuyến tính ngẫu nhiên 26 Chương 1 Tính chính quy và sự biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên Định lý 1.2.6 ([15]) Đối với một toán tử tuyến tính ngẫu nhiên thì tính liên tục ngẫu nhiên tương đương... n→∞ Như vậy, nếu ánh xạ Φ : E → LY0 (Ω) liên tục thì ta nói rằng Φ liên tục ngẫu nhiên Chú ý rằng nếu không giải thích gì thêm thì sự hội tụ trong LY0 (Ω) là sự hội tụ theo xác suất Tương tự , nếu Φ : E → LY0 (Ω) liên tục đều thì ta nói rằng Φ liên tục ngẫu nhiên đều 4 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu • Φ tuyến tính ngẫu nhiên tức là với mỗi x1 , x2 ∈ X,... xác định một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φx từ B vào R như sau Φx y = (Φx, y) Dễ thấy Φx là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Ta sẽ chứng minh rằng họ các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn (Φx , x ∈ I) bị chặn điểm nhưng không bị chặn đều Trước hết, ta chứng minh rằng với mỗi y ∈ H họ các biến ngẫu nhiên (Φx y, x ∈ I) bị chặn h.c.c Vì ánh xạ x → Φx y = (Φx , y) là một toán tử ngẫu nhiên tuyến ... Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương trình bày kết thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, gồm hai phần: Phần thứ trình bày Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển tức toán tử ngẫu. .. biệt toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi Các định lý sau cho ta số điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi Định nghĩa 1.3.4 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y gọi toán tử ngẫu nhiên. .. Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Mệnh đề 2.1.2 ([15]) Nếu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ thác triển ˜ thác triển Φ Φ ˜ thác triển Φ Y toán tử tuyến tính, liên tục từ không gian