Tính chính quy và sự biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên
1.3 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số điều kiện đủ để một toán tử ngẫu nhiên có biểu diễn chuỗi. Trước hết ta có định nghĩa sau về biểu diễn chuỗi của toán tử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.1. Cho (fn) là dãy ánh xạ tất định đo được từ E ⊂ X
vào Y và (αn) là dãy biến ngẫu nhiên thực. Giả sử rằng với mỗi phần tử
x ∈ E, chuỗi ngẫu nhiên
∞P P n=1 αnfnx hội tụ trong LY0 (Ω). Đặt Φx = ∞ X n=1 αnfnx. (1.9)
Khi đó, ánh xạ Φ : Ω×E →Y xác định bởi Φ(ω, x) = Φx(ω) là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y. Ta nói rằng toán tử ngẫu nhiên Φ được xác định bởi dãy(αn, fn)∞n=1. Nếu (αn) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thì ta nói rằng Φ có khai triển chuỗi độc lập.
Nhận xét 1.3.2. Ta cũng có thể xét toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi (1.9) trong đó (αn) là dãy biến ngẫu nhiên Y-giá trị còn (fn) là dãy ánh xạ tất định đo được từ E vào R.
Ví dụ 1.3.3. Xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào Y trong đó X
là không gian Banach có cơ sở Schauder e = (en)∞n=1 và e∗ = (e∗n)∞n=1 là cơ sở liên hợp của e = (en) . Khi đó với mỗi x ∈ X ta có
x =
∞
X
n=1
(x, e∗n)en.
Vì Φ tuyến tính ngẫu nhiên và liên tục ngẫu nhiên nên Φx =
∞
X
n=1
(x, e∗n)Φen,
trong đó chuỗi hội tụ theo xác suất. Như vậy, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ có khai triển chuỗi với αn = Φen và fn(x) = (x, e∗n).
Câu hỏi đặt ra là ngoài trường hợp đặc biệt trên thì những toán tử ngẫu nhiên nào có khai triển chuỗi. Các định lý sau cho ta một số điều kiện đủ để một toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi.
Định nghĩa 1.3.4. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên Gauss đối xứng nếu với mỗi k ∈ N và mỗi dãy hữu hạn (xi, yi∗)ki=1 của X × Y∗ thì biến ngẫu nhiên {(Φxi, yi∗)}ki=1 là biến ngẫu nhiên Rk-giá trị, Gauss, đối xứng.
Định lý 1.3.5. Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên Gauss, đối xứng, liên tục ngẫu nhiên. Khi đó Φ có khai triển chuỗi độc lập
Φx =
∞
X
n=1
αnfnx,
trong đó (αn) là dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập cùng phân bố Gauss
N(0,1) và fn : X → Y là ánh xạ liên tục (do đó đo được). Chứng minh. Ký hiệu [Φ] là không gian con đóng của LR
2(Ω) sinh bởi các biến ngẫu nhiên {(Φx, y∗), x ∈ X, y∗ ∈ Y∗}. Khi đó, [Φ] là không gian Hilbert khả ly và mỗi phần tử của [Φ] là một biến ngẫu nhiên Gauss đối
xứng. Gọi (αn) là cơ sở trực chuẩn của [Φ]. Do dãy (αn) trực giao, Gauss đối xứng nên nó là dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập cùng có phân bố Gauss chuẩn tắc. Với mỗi n ∈ N, ta xác định ánh xạ fn : X →Y như sau
fnx=
Z
Ω
αn(ω)Φx(ω)dP(ω). (1.10) Ở đây tích phân Bochner (1.10) tồn tại vì theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Z
Ω
kαn(ω)Φx(ω)kdP(ω) ≤ {EkΦxk2}1/2. (1.11) Cố định x ∈ X. Với mỗi y∗ ∈ Y∗ thì (Φx, y∗) ∈ [Φ] có khai triển theo cơ sở (αn) dạng (Φx, y∗) = ∞ X n=1 Z Ω (Φx, y∗)αndP(ω) αn = ∞ X n=1 Z Ω αnΦxdP(ω), y∗ αn = ∞ X n=1 (αnfnx, y∗)
trong đó chuỗi hội tụ trong L2(Ω) do đó hội tụ theo xác suất. Vì dãy (αnfnx) là dãy biến ngẫu nhiên Y-giá trị, độc lập, đối xứng nên theo định lý Ito-Nisio ta có Φx = ∞ X n=1 αnfnx h.c.c.
Cuối cùng, với mỗincố định ta cần chỉ ra rằng fn liên tục. Giả sử (xk) ⊂ X
sao cho limkxk = x. Từ phương trình (1.11) ta có kfnxk −fnxk2 ≤ EkΦxk −Φxk2.
Theo giả thiết p-limkΦxk = Φx và trong [Φ] hội tụ theo xác suất và hội tụ trong Lp(Ω),(p ≥ 0) tương đương nên lim
k EkΦxk −Φxk2 = 0. Do đó, limkfnxk = fnx.
Tiếp theo, ta mở rộng định lý này cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên ổn định, đối xứng. Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa của toán tử ngẫu nhiên ổn định, đối xứng.
Định nghĩa 1.3.6. Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y. Φ được gọi là toán tử ngẫu nhiên đối xứng, p-ổn định, 0 < p ≤ 2 (để cho gọn ta ký hiệup-ổn định, đối xứng là SpS) nếu quá trình ngẫu nhiên thực {(Φx, y∗)} xác định trên X ×Y∗ là đối xứng, p-ổn định. Trong trường hợp này, với mỗi x∈ X, Φx là biến ngẫu nhiên SpS Y-giá trị.
Ký hiệu [Φ] là không gian con đóng củaL0(Ω) sinh bởi các biến ngẫu nhiên {(Φx, y∗), x ∈ X, y∗ ∈ Y∗}. Nếu ξ ∈ [Φ] thì ξ là SpS nên hàm đặc trưng của ξ có dạng exp{−c|t|p}, trong đó c = c(ξ) là số không âm phụ thuộc vào ξ. Độ dài của ξ ký hiệu là kξk∗ được xác định bởi
kξk∗ = {c(ξ)}1/p.
Ta có bổ đề sau (xem [12]).
Bổ đề 1.3.7. 1. Tương ứng ξ 7→ kξk∗ là một F-chuẩn trên [Φ] và nó là một chuẩn nếu p≥ 1.
2. [Φ] là không gian con tuyến tính của Lr(Ω), 0 ≤ r < p và tô pô trên
Lr(Ω), 0≤ r < p trùng với tô pô sinh bởi kξk∗-chuẩn trên [Φ].
3. F-không gian [Φ] có thể nhúng đẳng cự vào một không gian Lp(S,A, µ)
nào đó.
Định lý 1.3.8. Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên SpS, liên tục ngẫu nhiên và giả sử rằng [Φ] đẳng cự với lp. Khi đó Φ có khai triển chuỗi độc lập
Φx =
∞
X
n=1
αnfnx,
trong đó (αn) là dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, cùng phân bố, SpS và
Chứng minh. Gọi I là đẳng cự từ [Φ] lên lp và J = I−1. Đặt
αn = J(en),
I ((Φx, y∗)) = B(x, y∗) ∈ lp,
trong đó (en) là cơ sở chuẩn tắc của lp. Trước hết, ta chỉ ra rằng (αn) là dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, cùng phân bố SpS. Thật vậy, hàm đặc trưng đồng thời f(t1, t2, ..., tn) của các biến ngẫu nhiên (α1, α2, ..., αn) là
f(t1, t2, ..., tn) =Eexp ( i n X k=1 tkαk ) = Eexp ( i n X k=1 tkJ(ek) ) = Eexp ( iJ n X k=1 tkek !) = exp ( − J n X k=1 tkek ! p ∗ ) = exp ( − n X k=1 tkek p) = exp ( − n X k=1 |tk|p )
Vậy (αn) là dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, cùng phân bố SpS. Với mỗi (x, y∗) ∈ X ×Y∗, ta có αn = J(en), I((Φx, y∗)) =B(x, y∗) ∈ lp, cho nên (Φx, y∗) = ∞ X n=1 αnbn(x, y∗), (1.12) trong đó bn(x, y∗) là toạ độ thứ n của B(x, y∗) ∈ lp và chuỗi (1.12) hội tụ theo chuẩn k.k∗ do đó hội tụ theo xác suất.
Cố định n. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại ánh xạ fn : X → Y sao cho với mỗi x∈ X, y∗ ∈ Y∗ thì
bn(x, y∗) = (fnx, y∗).
Cố định x ∈ X. Vì ánh xạ y∗ 7→ (Φx, y∗) là tuyến tính nên ánh xạ y∗ 7→
tuyến tính. Hơn nữa, hàm đặc trưng của Φx là τ(Y∗, Y)-liên tục trên Y∗, trong đó τ(Y∗, Y) là tô pô hội tụ đều trên các tập compact của Y, hàm đặc trưng này có dạng
Hx(y∗) = exp{−k(Φx, y∗)k∗p} = exp{−kB(x, y∗)kp}.
Hệ quả là, bx : Y∗ → R là tuyến tính và τ(Y∗, Y)-liên tục trên Y∗. Vì không gian đối ngẫu củaY∗ với tô pô τ(Y∗, Y) là Y nên ta có thể kết luận rằng tồn tại duy nhất một phần tử ký hiệu là fnx sao cho
bx(y∗) = (fnx, y∗) → bn(x, y∗) = (fnx, y∗). Khi đó, phương trình (1.12) trở thành (Φx, y∗) = ∞ X n=1 αnbn(x, y∗) = ∞ X n=1 (αnfnx, y∗).
Phần còn lại của chứng minh được chứng minh tương tự như chứng minh của định lý 1.3.5.
Cuối cùng, với n cố định ta còn phải chỉ ra rằng fn liên tục. Gọi (xk) là dãy của X sao cho lim
k xk = x. Theo giả thiết p-limkΦxk = Φx, ta có Φxk −Φx =
∞
X
j=1
αj(fjxk −fjx).
Do p < 2 (trường hợp p = 2 ta đã xét trong định lý trước) nên theo Hệ quả 7.3.6 trong [39], ta được
kfnxk −fnxkp ≤
∞
X
j=1
kfjxk−fjxkp ≤ C{EkΦxk−Φxkr}p/r,
với r < p và hằng số C > 0 chỉ phụ thuộc vào r, p. Từ khẳng định 2. của Bổ đề 1.3.7 ta có limk{EkΦxk −Φxkr}1/r = 0. Do đó limkfnxk = fnx hay