Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được
lên toàn bộ không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị. Một kết quả khá thú vị đã đạt được trong phần này là: Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được khi và chỉ khi nó bị chặn. Các kết quả chính của phần này thuộc về các tác giả Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Thịnh và đã được công bố trong [15]. Mặc dù vậy, để thuận tiện cho việc liên hệ với phần sau khi kỹ thuật thác triển theo dãy ở phần này được mở rộng cho toán tử ngẫu nhiên bất kỳ, chúng tôi vẫn trình bày chi tiết chứng minh các kết quả mà hai tác giả trên đã đạt được; Phần thứ hai trình bày các kết quả thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong trường hợp X là không gian Banach có cơ sở Schauder. Các kết quả của phần này là mới và đã được công bố trong [1] (xem Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án).
2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triểnđược được
Nếu Φ là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thì miền tác động của nó là các phần tử tất định thuộc không gian X. Để thác triển miền tác động
của Φ lên các biến ngẫu nhiên X - giá trị thì ta có một cách tự nhiên, hay được dùng trong định nghĩa tích phân như sau:
Nếu u là một biến ngẫu nhiên đơn giản X - giá trị có dạng
u = n X i=1 1Eixi, Ei rời nhau thì ta định nghĩa ˜ Φu = n X i=1 1EiΦxi.
Nếu u là biến ngẫu nhiên X - giá trị bất kỳ thì tồn tại một dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (un) hội tụ theo xác suất đến u. Nếu Φ˜un cũng hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên nào đó và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy xấp xỉ un thì ta định nghĩa
˜
Φu = p-limnΦ˜un.
Định nghĩa 2.1.1. Một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào Y
được gọi là thác triển được nếu tồn tại một ánh xạΦ˜ từ LX0 (Ω) vào LY0(Ω) thoả mãn
1. Nếu u là một biến ngẫu nhiên đơn giản X - giá trị có dạng
u = n X i=1 1Eixi, Ei rời nhau thì ta có ˜ Φu = n X i=1 1EiΦxi.
2. Nếu (un) là dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản và p-limnun = u thì p-limnΦ˜un = ˜Φu.
Mệnh đề 2.1.2. ([15]) Nếu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ thác triển được thì thác triển đó là duy nhất và nếu Φ˜ là thác triển của Φ thì Φ˜ là toán tử tuyến tính, liên tục từ không gian LX0 (Ω) vào không gian LY0(Ω)
theo nghĩa sau:
• Với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω), α, β ∈ LR 0(Ω) ta có ˜ Φ(αu+βv) = αΦ˜u+βΦ˜v h.c.c. • Nếu p-limnun = u thì p-limnΦ˜un = ˜Φu.
Chứng minh. Tính duy nhất của thác triển là hiển nhiên. Giả sử (un) là dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên u nào đó. Vì tập hợp các biến ngẫu nhiên đơn giản trù mật trong không gian LX0 (Ω) nên với mỗi n ∈ N ta có thể chọn được một biến ngẫu nhiên đơn giản vn
sao cho kun −vnk0 < 1 n (2.1) và kΦ˜un −Φ˜vnk0 < 1 n. (2.2) Ta có ku−vnk0 ≤ ku−unk0 +kun−vnk0. Vì un →P u nên ku−unk0 → 0, kết hợp (2.1) suy ra ku−vnk0 → 0 do đó p-limnvn = u. Vì vn là dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản và Φ thác triển được nên theo định nghĩa tồn tại p-limΦ˜vn = ˜Φu. Ta có
kΦ˜u−Φ˜unk0 ≤ kΦ˜u−Φ˜vnk0 +kΦ˜vn−Φ˜unk0.
TừΦ˜vn →P Φ˜u kết hợp với (2.2) suy ra kΦ˜u−Φ˜unk0 → 0, hay p-limnΦ˜un = ˜
Ta chứng minh khẳng định 1. Chọn (αn), (βn) là các dãy biến ngẫu nhiên đơn giản giá trị thực và (un), (vn) là các dãy biến ngẫu nhiên đơn giản X - giá trị sao cho p-limnαn = α, p-limnβn = β, p-limnun = u và p-limnvn = v. Vì αn, βn, un, vn là các biến ngẫu nhiên đơn giản nên dễ dàng kiểm tra được
˜
Φ(αnun +βnvn) = αnΦ˜un +βnΦ˜vn h.c.c. (2.3) Chú ý rằng p-limnαnun = αu và Φ˜ liên tục nên trong phương trình (2.3) khi cho n → ∞ thì ta thu được Φ(˜ αu+βv) = αΦ˜u+ βΦ˜v h.c.c.
Định lý sau cho ta biết điều kiện cần và đủ để một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được.
Định lý 2.1.3. ([15]) Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào Y thác triển được khi và chỉ khi Φ bị chặn.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử Φ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Để chứng minh điều kiện đủ ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.4. Cho t > 0, r > 0 và u là biến ngẫu nhiên đơn giản X - giá trị, ta có
P(kΦ˜uk> t) ≤ P(kΦk > t/r) +P(kuk > r).
Chứng minh bổ đề. Giả sử u là biến ngẫu nhiên đơn giản thì ta dễ dàng kiểm tra được kΦ˜uk ≤ kΦkkuk h.c.c. Ta có
P(kΦ˜uk > t) ≤ P(kΦ˜uk > t,kuk ≤ r) + P(kuk> r) ≤ P(kΦkk˜ uk> t,kuk ≤ r) +P(kuk > r) ≤ P(rkΦk > t) +P(kuk > r).
Giả sử (un) là dãy biến ngẫu nhiên đơn giản hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên u nào đó. Theo bổ đề trên ta có
P{kΦ˜un −Φ˜umk > t} = P{kΦ(˜ un −um)k > t} ≤ P{kΦk > t/r}+P{kun −umk > r}. (2.4) Do đó lim sup n,m P{kΦ˜un −Φ˜umk > t} ≤ P{kΦk > t/r}. Cho r → 0 ta nhận được lim sup n,m P{kΦ˜un −Φ˜umk > t} = 0, ∀t > 0. Do đó tồn tại p-limnΦ˜un.
Giả sử (vn) là một dãy biến ngẫu nhiên đơn giản khác hội tụ theo xác suất đếnu. Theo chứng minh trên tồn tại p-limnΦ˜un = ξ và p-limnΦ˜vn = η. Từ p-limn(un−vn) = 0 và lý luận tương tự như trên sử dụng (2.4) ta nhận được p-limnP(kΦ˜un−Φ˜vnk > t) = 0. Ta cóP{kξ−ηk > t} ≤ P{kξ−Φ˜unk> t/3}+P{kΦ˜un −Φ˜vnk > t/3}+ P{kΦ˜vn−ηk > t/3}. Cho n→ ∞ suy ra
ξ = η h.c.c. Vậy Φ˜ là thác triển của Φ.
Điều kiện cần: Giả sử Φ thác triển được ta sẽ chứng minh là Φ bị chặn. Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử Φ không bị chặn. Gọi (xn) là dãy con trù mật trong hình cầu đơn vị B của X.
Trước hết, ta chứng minh họ các biến ngẫu nhiên (Φxn, n ∈ N) không bị chặn h.c.c. Thật vậy, giả sửsupnkΦxnk = ξ(ω) < ∞h.c.c. Vớix ∈ B bất kỳ, tồn tại dãy con (yn) của (xn) sao cho yn → x. Vì Φ liên tục ngẫu nhiên nên p-limnΦyn = Φx. Khi đó tồn tại một dãy con của (yn), để đơn giản ta vẫn ký hiệu là (yn) thoả mãn Φyn → Φx h.c.c. Tồn tại tập con D của Ω với xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D thì Φyn(ω) ≤ ξ(ω) và Φyn(ω) → Φx(ω). Suy ra với mọi ω ∈ D thì kΦx(ω)k ≤ ξ(ω) hay kΦx(ω)k ≤ξ(ω) h.c.c. hay
Φ bị chặn (mâu thuẫn). Vậy họ các biến ngẫu nhiên (Φxn, n ∈ N) không bị chặn h.c.c. Do đó P(supnkΦxnk = ∞) > 0. Đặt D = {ω : sup n kΦxn(ω)k = ∞}. Với mỗi n ∈ N đặt ξn(ω) = max 1≤k≤nkΦxk(ω)k.
Khi đó, (ξn) là dãy không giảm và limnξn(ω) = ∞ với mọi ω ∈ D. Ta xác định dãy các biến ngẫu nhiên X - giá trị (un) như sau: đặt u1(ω) = x1 với mọi ω ∈ Ω và un(ω) = un−1(ω) nếu kΦxn(ω)k ≤ ξn−1(ω), xn nếu ngược lại.
Ta sẽ chỉ ra bằng quy nạp rằng
kΦ˜unk= ξn. (2.5)
Thật vậy, với n = 1 khẳng định (2.5) đúng. Giả sử kΦ˜un−1k = ξn−1. Nếu kΦxn(ω)k ≤ ξn−1(ω) thì ξn(ω) = ξn−1(ω), un(ω) =un−1(ω) nên kΦ˜un(ω)k= kΦ˜un−1(ω)k= ξn−1(ω) =ξ(ω). Nếu kΦxn(ω)k ≥ ξn−1(ω) thì ξn(ω) =kΦxn(ω)k, un(ω) =xn nên kΦ˜un(ω)k = kΦun(ω)k = ξn(ω). Với k cố định, đặt Dn = {ω ∈ D : ξn(ω) > k}. Vì Dn ⊂ Dn+1 và D = ∪nDn nên lim n P(Dn) =P(∪nDn) = P(D).
Suy ra tồn tại nk sao cho
P(ξnk > k) =P(Dnk) > P(D)
Xét biến ngẫu nhiên
gk = unk k .
Vìkunk ≤ 1 nên gk →0 h.c.c. Điều này dẫn đến p-limkΦ˜gk = 0. Mặt khác, với mọi k ta có
P(kΦ˜gkk > 1) = P(kΦ˜unkk > k) =P(ξnk > k) > P(D)
2 . Mâu thuẫn. Vậy Φ bị chặn.
Nhận xét 2.1.5. Xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ L2[0,1] vào R xác định bởi
Φx(t) =
Z 1 0
x(s)dW(s).
Nếu (en) là một cơ sở của L2[0,1] thì(Φen) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Gauss chuẩn tắc. Do đó
sup n
|Φen| = ∞.
Điều này dẫn đến Φ không bị chặn. Do đó theo định lý 2.1.3 thì bằng cách thác triển này ta không thể thác triển miền xác định của tích phân ngẫu nhiên Wiener R01x(s)dW(s) lên toàn bộ các hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo trong L2[0,1].
Hệ quả 2.1.6. Nếu Φ˜ là thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Φ thì
˜
Φu(ω) =T(ω)u(ω) h.c.c. (2.6)
trong đó T là ánh xạ từ Ω vào L(X, Y) sao cho Φx(ω) = T(ω)x h.c.c. Chứng minh. Nếu u là biến ngẫu nhiên đơn giản thì dễ dàng kiểm tra được rằng (2.6) đúng. Nếu u là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản un hội tụ đến u h.c.c. Vì T(ω)un(ω) → T(ω)u(ω) h.c.c. trong khi đó p-limnΦ˜un = ˜Φu, do đó khi cho n → ∞ ta nhận được (2.6).
Ở trên ta đã chỉ ra rằng giới hạn của một dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn chưa chắc đã là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Sử dụng định lý 2.1.3 ta có được một điều kiện đủ để giới hạn của một dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn cũng là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Định lý 2.1.7. ([8]) Cho (Φn) là một dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại p-limnΦnx = Φx. Nếu các biến ngẫu nhiên (kΦnk) bị chặn theo xác suất thì toán tử ngẫu nhiên tuyến tính giới hạn Φ cũng bị chặn.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng với mỗi biến ngẫu nhiên X - giá trị
u thì tồn tại p-limnΦ˜nu = ˜Φu. Thật vậy theo hệ quả 2.1.6 thì kΦ˜nuk ≤ kΦnkkuk, do đó
P{kΦ˜nuk > t} ≤ P{kΦnkkuk> t} ≤sup
n P{kΦnk > t/r}+P{kuk > r}.
Với mọi biến ngẫu nhiên đơn giản g ta có
P{kΦn˜ u−Φm˜ uk > t} ≤ P{kΦn(˜ u−g)k> t/3}+P{kΦm(˜ u−g)k > t/3} +P{kΦ˜ng −Φ˜mgk> t/3}
≤ 2 sup
n P{kΦnk> t/(3r)}+ 2P{ku−gk > r}
+P{kΦn˜ g −Φm˜ gk> t/3}. (2.7) Vì họ (kΦnk, n ∈ N) bị chặn theo xác suất nên ta có thể chọn r > 0 sao cho supnP{kΦnk > t/(3r)} < /3 và ta chọn biến ngẫu nhiên đơn giản g
sao cho P(ku−gk> r) < /3. Vì p-limnΦ˜ng tồn tại do g là biến ngẫu nhiên đơn giản do đó tồn tại n0 sao cho với mọi n, m > n0 thì
Kết hợp với 2.7 ta nhận được
P{kΦ˜nu−Φ˜muk > t} < ∀m, n > n0.
Vậy tồn tại p-limΦ˜nu = ˜Φu với mọi u ∈ LX0 (Ω). Tiếp theo, áp dụng định lý Banach-Steinhaus suy ra ánh xạ giới hạn Φ˜ của dãy toán tử tuyến tính liên tục (Φn) là toán tử tuyến tính liên tục từ LX0 (Ω) vào LY0 (Ω). Do đó Φ˜ là thác triển của Φ và theo định lý 2.1.3 thì Φ bị chặn.
Ví dụ sau chứng tỏ rằng điều kiện dãy (kΦnk, n ∈ N) bị chặn theo xác suất không là điều kiện cần.
Ví dụ 2.1.8. Giả sử (αk) là dãy biến ngẫu nhiên thực, độc lập, Gauss chuẩn tắc. Với mỗi n, toán tử ngẫu nhiên Φn từ l2 vào R xác định bởi
Φnx =
2n
X
k=n+1
αk(x, ek)
là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Với mỗi x ∈ X = l2 tồn tại lim n n P k=1 αk(x, ek) h.c.c., do đó limnΦnx = 0 h.c.c. Ta có kΦnk ≥ sup n+1≤k≤2n |Φnek| = sup n+1≤k≤2n |αk|. Nên P{kΦnk < t} ≤ P{ sup n+1≤k≤2n |αk| < t} = pn → 0
khin → ∞ trong đó p= P(|Z| < t) với Z ∼ N(0,1). Vậy họ các biến ngẫu nhiên (kΦnk, n∈ N) không bị chặn theo xác suất.
2.2 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến
tính trong không gian có cơ sở SchauderTrong phần này chúng ta xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào