Nghiên cứu về cấu trúc nghiệm của hệ điều khiển mô tả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÓM TẮT BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ NGHIÊN CỨU VỀ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN MÔ TẢ Mã số: B2017.DNA.09 Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Hải Trung Đà Nằng, 2021 TĨM TẮT BÁO CÁO TỎNG KÍ:ì nỉ TÀI KHOA HỤC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP Bộ NGHIÊN CỨU VỀ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN MÔ TẢ Mã sỗ: B2017.DNA.09 BAN KHCN & MT ƯỞNG BAN Chủ nhiêm dề tài (A'ý, họ tên) ĐẠIH TS.Tníơog Ivê Bích Trâm Dà Nống, 2021 Scanned with Fast Scan Muc luc Mở đầu KIẾN THỨC Bổ TRỢ 10 1.1 Dẫn nhập 10 1.2 Một số khái niệm 11 1.3 Nghiệm phương trình tuyến tính 12 NGHIỆM CỦA HỆ MÔ TẢ 14 2.1 Nghiệm đa thức hệ mô tả 14 2.2 Phương phấp phân tách phần cho nghiệm toán điều khiển đa điểm tuyến tính 18 2.3 Nghiệm toán điều khiển cho hệ động học với đạo hàm riêng 23 Kết luận 28 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm hệ điều khiển mô tả - Mã số: B2017.DNA.09 - Chủ nhiệm: TS Lê Hải Trung - Thành viên tham gia: PGS TSKH Svetlana Petropna Zubova, TS Phan Đức Tuấn, TS Phạm Quý Mười, TS Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Cẩm Nhung - Cơ quan chủ trì: Đại học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 24 tháng Mục tiêu: - Đưa số kết nghiệm hệ điều khiển mô tả, hệ điều khiển mô tả với yếu tố đạo hàm riêng; kết phải đăng tạp chí có uy tín chất lượng tốt nước quốc tế danh mục tạp chí ISI - p ph n n ng cao chất lượng nghiên cứu đào tạo Đại học Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nằng Tính sáng tạo: Thu số kết dạng nghiệm hệ điều khiển mơ tả Tóm tắt kết nghiên cứu: Xây dựng nghiệm dạng đa thức cho hệ điều khiển mô tả; Xây dựng hướng giải cho hệ điều khiển mô tả coa yếu tố đạo hàm riêng Tên sản phẩm liên quan đến đề tài: 03 Cơng trình khoa học đào tạo 02 học viên thạc sĩ - 01 công trình nhận đăng tạp chí SCOPUS: [1] S.P Zubova, E.V Raetskaya, Le Hai Trung, “Control problem for dynamical systems with partial derivatives” Journal of Mathematical Sciences, Vol 249, No 6, September, 2020(SCOPUS, SCImago, Q3) - 01 cơng trình nhận đăng tạp chí quốc tế: [2] Le Hai Trung, “The controllability function of polynomial for descriptor systems” Journal Euroasia, 2019 (link: https://euroasia-science.ru/pdf-arxiv/the- controllabilityfunction-of-polynomial-for-descriptor-systems-23-31/) - 01 cơng trình nhận đăng tạp chí nước: P] I e H.u lYung Polynomial solution of descriptor system ’, l ụp chi Khoa hoc Còng nghệ Dili học Dù nàng No 6( 1271.201R -02 học V icn thạc sì: -1 C lh| Càm Nhung, dè tài "Càu tnic nghiệm cua phương trinh VI phân tuyên tính xa ứng d\mg vật lý vù kinh lê" 2017 - Lè Dire Hà đế lỏi "IIỘ mò rời rục tmg dying", 2018 Iliệu qua phương thức chuyên giao kết quà nghiên cứu khò áp dụng cua đề tài: - Lá sơ nen tảng cho việc giang dạy vá học lạp mơn tốn chun ngành Giảng V ièn dạy mịn tốn ưng dung trương kinh tê trương khoa học tyr nhiên, sinh X ìèn X học viên cao học khoa Tốn có thê sir dụng kêt qua nghiên cưu đè tham khao học lập Ngày2C tháng 02 nàm 2021 Scanned with Fast Scan INFORMATION ON RESEARCH RESULT General information: -Project title: Research structure of solve of the control description system -Code number: B2017.DNA.09 -Project Leader: Le Hai Trung -Coordinator: Svetlana Petropna Zubova, Phan Duc Tuan, Pham Quy Muoi, Luong Quoc Tuyen, Le Thi Cam Nhung -Implementing institution: The University of Da Nang -Duration: from 01/2017 to 12/2018 Objective(s): - Giving some new results on the solution of the descriptor control system, descriptor control system with partial differential - Contribute to improving quality in research of applied mathematics and training undergraduate and graduate students Creativeness and innovativeness: Obtained some new results of the solution form of descriptor control system Research results: Construct solutions in polynomial form for descriptor control systems; Construct a solution for the control system with partial differential Products: - International journal (SCOPUS): [1] S.P Zubova, E.V Raetskaya, Le Hai Trung, “Control problem for dynamical systems with partial derivatives” Journal of Mathematical Sciences, Vol 249, No.6, September, 2020(SCOPUS, SCImago, Q3) - International journal: [2] Le Hai Trung, “The controllability function of polynomial for descriptor systems” Journal Euroasia, 2019 (link: https://euroasia-science.ru/pdf- arxiv/the-controllabilityfunction-of-polynomial-for-descriptor-systems-23-31/) - National journal: [3] Le Hai Trung, “Polynomial solution of descriptor system” Journal of Science and Technology of Danang No 6(127).2018 Effects, transfer alternatives of research results and applicability: - The base for teaching and studying in research mathematics - Teachers who teach applied mathematics and students can use the results of research for references and studying Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu ngồi nước Ta biết hệ động học gọi điều khiển cách toàn vẹn tồn (ha.y xấc định được) tấc động điều chỉnh được, cho chuyển dịch hệ cho từ trạng t.hấi ban đầu đến trạng t.hấi kết thúc sau khoảng t.hời gian hữu hạn Ta tiến hành xem xét hệ động học tuyến tính, mơ tả hệ phưong trình vi phân sau đây: dx(t) /,x T-x /.X = Bx(t) + Du(t), (1) at B G L(R ,R ), D G L(R ,Rn) x(t) G Rn, u(t) G R t G [0,T] Hệ (1) gọi điều khiển cách toàn vẹn ta tồn hàm vector u(t) cho ta thay vào (1) ta nhận nghiệm x(t) thỏa mãn điều kiện biên sau đây: n n m x(0) = x0, (2) x(T) = xT, (3) x0, xT phần tử tùy ý Rn Với cách đặt vấn đề tốn (1) - (2) - (3) gọi toán điều khiển, hệ (1) gọi hệ điều khiển, hàm x(t) gọi hàm trạng thái hay quỹ đạo hệ, hàm u(t) gọi hàm điều khiển (điều chỉnh) Về cấc tính chất, điều khiển hệ động học tuyến tính thu hút quan tâm nghiên cứu cấc nhà toán học kỉ XX XXI, mà tiêu biểu phải kể đến như: Ailon A, Langholz G, Ba.racha.rt L, GrimmJ, Achim Ilchmann, Volker Mehrmann, Kraxopxki N.N, Chischiakop V.F, Seglopva A.A, Mixrikhanop M.S, Zubova S.P, Và khó cam đoan đến thời điểm lý thuyết cấc phương phấp xây dựng hàm trạng thái hàm điều khiển xây dựng cách đầy đủ Thật thế, hầu hết cấc tấc giả nêu cấc cơng trình xuất phất từ cơng thức Cauchy: x(t) = etBx0 + et sDu(s)ds, để mô tả hàm trạng thái hệ (1) hàm phụ thuộc trực tiếp vào hàm điều khiển Con đường giải này, nói, chưa phương ấn tối ưu để xây dựng cấc hàm cần phải tìm Trong cấc cơng trình cấc tấc giả gần Zubova s.p, Raieskaia E.v, hàm điều khiển biểu diễn dạng: u(t) = D*etB*( e-sBDD*e ) (e xT - x0) sB ds —1 * —TB cấc cơng trình cấc tấc giả mô tả phương phấp để xây dựng cấc hàm điều khiển trạng thái có sở chia nhỏ khơng gian, mà chất việc phân chia không gian ban đầu thành tổng trực tiếp cấc khơng gian sau sử dụng Bổ đề l(xem [?]) Kết phương trình ban đầu chuyển phương trình tương đương không gian “hẹp” Và kết cuối ta nhận hệ tương đương với hệ ban đầu (1) Cùng với đó, ma trận nhận cho hàm giả điều khiển ma trận không (hệ không điều khiển được) ma trận toàn ánh (hệ điều khiển được) Trong số cấc cơng trình gần đây, nhiều phương phấp khấc nhau, số tấc giả khấc (Ailon A, Langholz G ) xây dựng hàm điều khiển dạng đa thức với bậc nhỏ 2n, kết sau cịn phất biểu mạnh hơn: “hàm điều chỉnh hệ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sau khoảng thời gian hữu hạn biểu diễn dạng đa thức bậc M = 2r + r = n — rankB Đề tài tiến hành nghiên cứu cấu trúc nghiệm hệ điều khiển mơ tả, hay cịn gọi hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số có cấc dạng sau đây: A Hệ mơ tả điều khiển với ma trận hằng: Axz(t) = Bx(t) + Du(t) (4) với điều kiện: x(ti) = ai, ti E [0,T ], = to < ti i = k (2.17) q vấn đề 3.Hàm trạng thái xi(t) kha vi đến cấp si thoả mãn điều kiện: dx |t=ti = x0q, q = 0, si, i = k (2.18) Kí hiệu C(t) : Rv R , với t E [t0, tk] ta có khai triển: s Rv = coimC(t) ® ker C(t); Rs = cokerC(t) ® imC(t), coimC(t) phần bù trực tiếp ker C(t) R v, cokerC(t) phần bù trực tiếp imC(t) Rs G(t) ma trận co lên coimC(t) có ma trận nghịch đảo C (t) Tiếp theo ta đưa vào kí hiệu sau đây: — Q(C(t)) cokerC(t), P(C(t)) - phép chiếu lên kerC(t), C— (t) = (I — Q(t))C—1(t) Sử dụng bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1 Phương trình C(t)v(t) = w(t), v(t) G R v, w(t) G Rs tương đương với hệ sau: í Q(C)w(t) = v (t) = C—(t)w(t) + P (C )v(t), Pv(t) G ker C(t) Giả sử D(t) toàn ánh Vt E [t ,tk], Q(D) liên tục, ta viết lại hệ (2.15): D(t)u(t) = x (t) — B (t)x(t) — f (t), (2.19) f ấp dụng Bổ đề 2.2.1 với D(t) = C(t), hệ (2.19) biểu diễn thành phương trình tương ứng không gian cokerD(t) imD(t) là: Q(D)(x'(t) — B(t)x(t) — f(t)) = 0, t G [to,tk] (2.20) u(t) = D—(t)(xz(t) — B(t)x(t) — f (t)) + z(t), z(t) G ker D(t) (2.21) Quan hệ mô tả (2.20) cho phép ta xác định x(t) thoả mãn điều kiện cần, cịn phương trình (2.21) sử dụng để giải toán điều khiển u(t) Ta viết lại (2.20): Q(D)x'(t) = Q(D)B (t)x(t) + Q(D)f (t)) (2.22) Ta có: Q(D)B (t)x(t) = Q(D)B (t)[(I — Q(D))]x(t) + Q(D)x(t)] Ta đưa vào cấc kí hiệu sau đây: Q (D)x(í) = xi(t) yi(t) = (I — Q(D))x(t), fi(t) = Q(D)f(t), Bi(t) = Q(D)B(t)Q(D), Di(t) = Q(D)B (t)[I — Q(D)], (2.23) phương trình (2.22) viết lại dạng: xz1(t) = Bi(t)x1(t) + Di(t)y1(t) + f 1(t) (2.24) Như bước thứ nhất, hàm trạng thái x(t) phương trình (2.15) thay bởi: x(t) = xi(t)+ yi(t) (2.25) Hệ (2.24) xem hệ điều khiển với cấc hàm tựa trạng thái tựa điều khiển bước thứ trình phân tách, tương ứng x1(t) yi(t) Từ phương trình hệ (2.15) có chứa thành phần u(t), cách sử dụng Bổ đề ta chuyển hệ ban đầu hệ (2.21) (biểu diễn u(t) qua x(t) x'(t)) mà ^hông cần phải xây dựng ma trận D —(t) Điều có nghĩa ta thiết lập mối quan hệ u(t) thành phần lại hệ (2.15) Bằng phép biến đổi mô tả cấc thành phần x(t), ta chuyển phương trình (2.20) dạng: L(t)x'(t) = H (t)x(t) + f 1(t) (2.26) với L(t) H(t) ma trận, f 1(t) hàm vector Ta có hệ: L(t)x(t) = x1(.d G(t)x(t) = y1(t) G(t) ma trận cho hệ (2.27) giải theo x(t) Trong mối quan hệ u(t) thơng qua x(t) x'(t) (2.21) L(t) = Q(D), G(t) = I — Q(D) Việc biểu diễn nghiệm x(t) phương trình (2.26) thơng qua thành phần x (t) y1(t) từ hệ (2.27) để sau nhận phương trình (2.24): xz1(t) = Bi(t)x1(t) + Di(t)y1(t) + f 1(t) (2.28) Tại bước phân tách ta có cấc trường hợp sau Di(t): a) D1(t) = b) D1 (t) ma trận toàn ánh, hay Q(D1) = c) D1 (t) ma trận khơng tồn ánh Vt E [t ,tk] Tính chất ma trận tồn ánh khơng tồn ánh thiết lập theo cách sau đây, ví dụ, xét phưong trình D1(t)v(t) = w(t): phuong trình cho giải đuọc theo v(t) với w(t) E imD1(t) D1(t) tồn ánh Nếu Q(D^ liên tục tính chất tồn ánh khơng tồn ánh D1(t) đuọc bảo toàn với t E [t ,tk] Trong trường hợp thứ (trường hợp (a)) D 1(t) = hệ (2.15) khơng điều khiển đuọc cách đầy đủ, nghiệm x1(t) phuong trình (2.28): 0 x'1 (t) = Bi(t)x1(t) + f 1(t) không thoả mãn điều kiện x1(ti) = L(ti)x(ti) = L(ti)x00 (2.29) từ (2.27) (2.16) k = 1, hay nói cách khác truờng họp điều kiện đầu điều kiện cuối đua cách tuỳ ý Trong trường hợp thứ hai (trường hợp (b)) mà khơng có cokerD (t), (Q(D1) = 0) ta cần thực buớc để giải toán: +Thiết lập thêm điều kiện xz1(t) cách sử dụng quan hệ (2.27) (2.28): xz1(ti) = B1(ti)L(ti)x00 + D1 (ti)G(ti)x00 + f1(ti) (2.30) +Các điều kiện xuất hàm vector x1(t) thông qua phuong trình (2.29) - (2.30) đuợc kí hiệu bởi: x1(ti) = x10, xz1(ti) = x11 (2.31) x1(t) đuọc cấu trúc tổ họp tuyến tính hàm độc lập tuyến tính vơ huớng ^>(t) với hệ số vector đuọc xác định từ điều kiện (2.31) +Từ phuong trình (2.28) ta xấc định đuợc y1(t): y1(t) = D-(x1 - B1(t)x1(t) - f 1(t)) + z1(t) (t) phân tử ker D1 thoả mãn điều kiện: (2-32) với z 1(t) = P(Di)y z 1(ti) = P (Di (ti))G(ti)x00 (2.33) nhận từ (2.27) Việc xác định hàm trạng thái x(t) thông qua (2.27) , hàm điều khiển u(t) xác định phương trình (2.15) Trong trường hợp thứ ba (trường hợp (c)) Di(t) khơng tồn ánh, điều dẫn đến việc ta phải đến cấc bước để xấc định cấc hàm tựa trạng thái x1(t) tựa điều khiển y1(t) cách liên kết phương trình (2.28) với điều kiện (2.31) Lúc hệ (2.28) đồng dạng (tương tự) hệ (2.15) Cấc trình trình bày lặp lại phương trình (2.28) bước thứ p (p E N) ta nhận được: L p—i(t)xP (t = xP(t) Gp—1(t)xp—1(t) = y (t) —1 p x/p(t) = Bp( ;).x.p(t) + Dp(t)y (t) + fp(t), (2.35) p Dp(t) ma trận tồn ánh Nếu Dp(t) = ta kết luận hệ (2.15) không điều khiển Trong điều kiện D p(t) tồn ánh ta thực phép biến đổi đại số điều kiện tựa (2.31) để bước thư p ta nhận điều kiện bổ sung đến đạo hàm cấp k cho hàm tựa điều khiển xp(t): djxp(t) pj dp( |t=ti = xpj, j p,/i ỉ = k (2- Tại y (t) xác định bởi: p yp(t) = D (x (t) - Bp(t)x (t) - f (t)) + zp(t), - p p p (2.37) zp(t) = P(Dp)y (t) phân tử ker Dp thoả mãn điều kiện: p z (ti) = P(Dp(ti))Gp—i(ti)x (ti), ỉ = 0,k p p—1 (2.38) Các hàm x (t) vầ y (t) xây dựng bước thứ p sử dụng để xác định hàm x (t) y (t) cách hoán đổi p — p, tiếp tục ta xác định x (t), y (t) Cuối cùng, hệ (2.27) ta xác định x(t) u(t) xác định thông qua (2.21) Đối với hàm z j (t) = P(Dj'ỴyJ (t) cần điều kiện trơn thoả mãn điều kiện: p p p—1 p—1 p—2 p—2 zj (ti) = P (Dj )Gj-i(ti)xj-1(ti) 2.3 Nghiệm toán điều khiển cho hệ động học với đạo hàm riêng Xét hệ mô tả biểu diễn dạng hệ phương trình đạo hàm riêng sau đây: d = BdX + Du(t,x)),x E [0,T], x E [0, Xk] (2.39) n m với y = y(t, x) E R , u = u(t, x) E R , B, D ma trận với cỡ tương ứng Hệ (2.39) gọi điều khiển hoàn toàn tồn hàm điều khiển y(t, x) mà tác động hệ (2.39) từ trạng thái ban đầu tuỳ ý: y(0, x) = a(x) E Rn (2.40) chuyển trạng thái cuối y(T,x) = £(x) E Rn (2.41) sau khoảng thời gian T, VT' > Để giải cấc toán đặt hệ điều khiển với đạo hàm riêng ta sử dụng phương phấp phân tách (phân rã) Phương phấp phân tách dựa sở biểu diễn không gian thành cấc không gian Trong trình thực hành ta cần đưa vào cấc kí hiệu q trình đổi biến Ta xem xét thơng qua ví dụ sau đây: Giả sử tốn tử G : R R , ta có biểu diễn: m n 2 R = coimG ® ker G; Rn = cokerG ® imG, m (2.42) coimG phần bù trực tiếp ker G R m, cokerG phần bù trực tiếp imG Rn G ma trận co lên coimG có ma trận nghịch đảo G—1 Tiếp theo ta đưa vào kí hiệu sau đây: Q(G) - phép chiếu lên cokerG, P(G) - phép chiếu lên ker Q, G— = (I — Q(G))G—1 ma trận bán nghịch đảo G, I gọi tốn tử đồng khơng gian tưong ứng Trong trường họp riêng G—G = I — P(G), GG— = I — Q(G) P(G), Q(G) tốn tử G— viết ởdưới dạng khác phụ thuộc vào tính phụ thuộc lựa chọn co sở ker G cokerG tính phụ thuộc vào việc đánh số cấc phần tử co sở Tiếp theo ta sử dụng kết sau đây: Bổ đề 2.3.1 Phuong trình: Gv = w, v G R , w G Rn (2.43) Q(G)w = v = G—w + P (G)v, (2.44) m tương đương với hệ sau: P(G)v E ker G Như cách sử dụng bổ đề hệ (2.39) tương đương với: Q(D) I = QÍDÍBI (2.45) u(x, t) = D— (dy — pịx) + P (D)z(t, x), (2.46) P(D)z(t,x) E ker D Phương trình (2.46) cơng thức để ta xác định hàm điều khiển u(t, x), để sau từ phương trình (2.45) ta xác định hàm y(t, x) thoả mãn điều kiện (2.40) (2.41) D = D", B = B", Q(D) = Qo, P(D = P", D - = D-, y(t,x) = yo, u(t,x) = u o Sử dụng tính chất phép chiếu Qo = Q2, (I — Qo) = (I — Q")2 phương trình (2.45): Qo y'y = Q"B"ydX' í2'47) dt dx chuyển dạng: d Qty" = QoBoQodQXy" + Q"B"(I — Qo)d(I aQ )y" (2-48) Ta đưa vào cấc kí hiệu sau đây: o Q oyo =yb (I — Qo)yo = ui, phương trình (2.48) có dạng: Q oBoQo = Bb Q0B0(I dy1 = B dyi + Ddui dt dx + dx - Q ) o = Db (2.49) (2.50) Phương trình cuối phân biệt với phương trình ban đầu, thứ đạo hàm hàm tựa điều khiển ui = Ui(t,x), thứ hai phương trình nhận chứa khơng gian cokerD với số lượng phương trình giảm xuống so với hệ ban đầu.và thứ ba, y (t, x) ui(t, x) bắt buộc phải thoả mãn cấc điều kiện (2.40), (2.41) (2.49): i yi(0,x) = Qoa(x), yi(T,x) = Qo(5(x), ui(0,x) = (ĩ - Qo)a(x), ui(T, x) — (I - Qo)^(x) Cấc điều kiện với (2.49) chuyển thành: yi(0,x) = Qoa(x) := aịýx'), yi(T,x) = Qo(5(x) := ^o(x) (2.51) ( y d t\t=o = QoBo := ai(x), >|t=T = QoBo := ^ỉ(x) (2-52) dt dx dt dx số bên tương ứng với cấp đạo hàm Như ta nhận đươc: Bổ đề 2.3.2 Hệ (2.39) với cấc điều kiện (2.40), (2.41) tương đương với hệ cấu trúc từ đẳng thức (2.46), hệ (2.50) với cấc điều kiện (2.51) (2.52) Bổ đề 2.3.3 Tồn số p G N hệ (2.39) tương đương với hệ tạo thành từ (2.46) cấc hệ thức sau đây: y(t,x) — yi(t,x) + ui(t,x) d t,x) j = D (dyj(t’x) - Bjdyj(t:x)) + PjZj(t,x) j dx dt dx Vị(t, x) = yj+i(t, x) + uj+i(t x) j = 1, ,p - 1, - d (2.53) (2.54) (2-55) yp(t,x) = B dyp(t,x) , D dup(t,x) , B + Dp , dt - dt dx với Pj Zj (t,x) E ker Dj, ỗ đẫy ho ặc Dp — {0} hoặ c Dp toàn án h (Qp — {0}) p bước thứ hai phép biến đổi điều kiện cho y (t, x) xây dựng theo cách sau đây, từ (2.51): y2|t=0 = Qiyi\t=0 = Qiaj(x) := a2(x),y2|t=T = Qiyi\t=T = Qi fij(x) := fij(x) (2.57) t lt=0 = Q1B1 dx |t=0 = Q1B1 ■ Q fi I ị|t=T = Q1B1 ^\t=T = 1B1 ^\t=T := 2(x) := «2(x), ( •} Từ đẳng thức (2.58) ta có được: y=Q‘Ịdfdỉ2 ™ từ (2.52) (2,6^ Ệ2 l t=0 = Q1B1 11=0 := a2(x), ỹ?l t=T = Q1B1 l t=T := m xx (2.60) Tại bước biến đổi thứ j ta nhận điều kiện sau đây: Vj\t=0 = Qj-iyj-i\t=0 = Qj-ia0-i(x) := aj(x), y\t=T = Q-iyj-i\t=T = Q-ifi0-i(x) := $(x), \í=T = Qi-iBị-1 j = Qj-1Bj 13j-1(x) = jx), d = Q ,B , _d_(d ryj-i)I „ = ts I