kiện bài toán
Định lý 2.4.1. Giả sử rằng:
a) f ∈ C[R0, En] với R0 = [J × B(u0, b)], B(u0, b) = [u ∈ En :
d[u, u0] ≤ b] và d[f(t, u),ˆ0] ≤ M0 trên R0;
b) g ∈ C[J ×[0,2b],R+],0≤ g(t, w) ≤ M1 trên J×C0[0,2b], g(t,0) = 0, g(t, w) là hàm không giảm trong w với mỗi t ∈ J và w(t) ≡ 0 là nghiệm duy nhất của (2.3.2) trên J;
c) d[f(t, u), f(t, v)] ≤ g(t, d[u, v]) trên R0. Khi đó phép xấp xỉ liên tiếp được định nghĩa
un+1(t) = u0 + t
Z
t0
f(s, un(s))ds, n = 0,1,2, . . . (2.4.1)
tồn tại trên [t0, t0+η] với η = min[a, b
M], M = max(M0, M1) là hàm liên tục và hội tụ đều tới nghiệm duy nhất u(t) của (2.2.1) trên [t0, t0 +η].
Chứng minh. Ta có d[un+1(t), u0] = d[u0 + t Z t0 f(s, un(s))ds, u0] = d[ t Z t0 f(s, un(s))ds,ˆ0] ≤ t Z t0 d[f(s, un(s)),ˆ0]ds ≤ M0(t−t0) ≤M0a ≤ b.
Do đó phép xấp xỉ liên tiếp {un(t)} được xác định rõ trên [t0, t0 +η]. Tiếp theo ta sẽ định nghĩa phép xấp xỉ liên tiếp của (2.3.2) như sau w0(t) = M(t−t0), wn+1(t) = t Z t0 g(s, wn(s))ds, t0 ≤ t ≤t0 +η, n= 0,1,2, . . . . (2.4.2) Chứng minh quy nạp dễ thấy rằng {wn(t)} được xác định rõ và
0≤ wn+1(t) ≤ wn(t), t ∈ [t0, t0 +η]. (2.4.3) Vì
|wn0(t)| ≤g(t, wn−1(t)) ≤ M1
ta kết luận từ Định lý Arzela- Ascoli và tính đơn điệu của dãy {wn(t)}, mà lim
n→∞wn(t) = w(t) đều trên [t0, t0 + η]. Nó cũng cho thấy rằng w(t)
thỏa mãn (2.3.2) nên theo điều kiện (b) w(t) ≥ 0, t0 ≤ t≤ t0 + η. Ta thấy rằng d[u1(t), u0] ≤ t Z t0 d[f(s, u0,ˆ0)])ds ≤ M0(t−t0) = w0(t).
Giả sử rằng
d[uk(t), uk−1(t)] ≤ wk−1(t), trên [t0, t0 +η] với k cho trước. Vì
d[uk+1(t), uk(t)] ≤
t
Z
t0
d[f(s, uk(s), f(s, uk−1(s))]ds
sử dụng điều kiện (c) và tính đơn điệu của g(t, w) trong w ta có: d[uk+1(t), uk(t)] ≤ t Z t0 g(s, d[uk(s), uk−1(s)])ds ≤ t Z t0 g(s, wk−1(s))ds = wk(t). Do đó bằng phép quy nạp ta dự đoán d[un+1(t), un(t)] ≤ wn(t), t0 ≤ t≤ t0 +η (2.4.4) là đúng với mọi n. Để cho v(t) = d[un+1(t), un(t)], t ∈ [t0, t0 + η] chứng minh Định lý 2.3.2 với t ∈ [t0, t0 +η] có D+v(t) ≤ g(t, d[un(t), un−1(t)]) ≤ g(t, wn−1(t)). Cho n ≤ m, ta có d[u0n(t), u0m(t)] = d[f(t, un−1(t)), f(t, um−1(t))] ≤ d[f(t, un(t)), f(t, un−1(t))] +d[f(t, un−1(t)), f(t, um−1(t))] +d[f(t, um(t)), f(t, um−1(t))] ≤ g(t, wn−1(t)) +g(t, wm−1(t)) +g(t, d[un(t), um(t)]).
Đặt v(t) = d[un(t), um(t)], chứng minh Định lý 2.3.2 cho thấy D+v(t) ≤ d[u0n(t), u0m(t)] ≤ g(t, v(t)) + 2g(t, wm−1(t)), t ∈ I. Theo tính chất tính đơn điệu của g(t, w) trong w và wm−1 ≤ wn−1 vì n≤
m và wn(t) là dãy giảm. Định lý so sánh 1.4.1 trong Lakahmikantham and Leela [12] cho ta
v(t) ≤ rn(t), t∈ I với rn(t) là nghiệm cực đại của
r0n = g(t, rn) + 2g(t, w(m−1)(t)), rn(t0) = 0 (2.4.5) với mỗi n. Vì n → ∞,2g(t, w(m −1)(t)) → 0 đều trên [t0, t0 + η], theo Bổ đề 1.3.1 trong Lakshmikantham and Leela [12], có rn(t) →0 đều trên (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[t0, t0+η]. Điều này có nghĩa từ (2.4.5) và định nghĩa của v(t) mà un(t)
hội tụ đều tới u(t) và dễ thấy rằng u(t) là một nghiệm của (2.2.1). Tính duy nhất, cho u0(t) là một nghiệm khác của (2.2.1). Ta đặt m(t) = d[u(t), u0(t)]và chú ý rằngm(t0) = 0,ta cóD+m(t) ≤ g(t, m(t)), t ∈
J và m(t) ≤ r(t, t0,0), t ∈ J theo Định lý 2.3.2. Do đó bằng giả thiết r(t, t0,0) ≡ 0 ta được u(t) = u0, t ∈ J, chứng minh xong tính duy nhất.
Trong phần này ta sẽ xem xét sự phụ thuộc liên tục nghiệm của (2.2.1) đối với giá trị ban đầu.
Định lý 2.4.2. Giả sử giả thiết của Định lý 2.4.1 vẫn đúng. Cũng thêm rằng nghiệm w(t, t0, w0) của (2.3.2) qua mọi điểm (t0, w0) là liên tục với (t0, w0). Thì nghiệm u(t, t0, u0) của (2.2.1) là liên tục tương đối tại
Chúng ta cần kết quả sau trước khi chứng minh Định lý 2.4.2. Bổ đề 2.4.1. Cho f ∈ C[J ×En, En] và
G(t, r) = max
d[u,u0]≤rd[f(t, u),ˆ0]. Giả sử rằng r∗(t, t0,0) là nghiệm cực đại của
w0 = G(t, w), w(t0) = 0
trên J. Cho u(t, t0, u0) là nghiệm của (2.2.1). thì
d[u(t, t0, u0), u0] ≤ r∗(t, t0,0), t ∈ J.
Chứng minh. Kí hiệu m(t) = d[u(t, t0, u0)] với t ∈ J. Theo Hệ quả 2.3.1 ta thấy
D+m(t) ≤ d[u0(t, t0, u0),ˆ0] = d[f(t, u(t, t0, u0)),ˆ0]
và max d[u,u0]
d[f(t, u),0] =ˆ G(t, m(t)). Điều này có nghĩa bởi theo Định lý 1.4.1 trong Lakshmikantham and Leela [12] có
m(t) =d[u(t, t0, u0), u0]≤ r∗(t, t0,0), t ∈ J. Chứng minh xong bổ đề.
Chứng minh Định lý 2.4.2. Cho u(t) = u(t, t0, u0), v(t) =v(t, t0, v0) là hai nghiệm của (2.2.1). Định nghĩa m(t) = d[u(t), v(t)], từ Định lý 2.3.2 ta dự đoán
d[u(t), v(t)] ≤ r(t, t0, d[u0, v0]), t∈ J. Vì
lim
đều trên J và theo giả thiết v(t, t0,0) ≡ 0, ta có lim
u0→v0u(t, t0, u0) đều nên tính liên tục tương đối của u(t, t0, u0) tại u0 được chứng minh.
Để chứng minh tính liên tục tương đối tạit0,chou(t) =u(t, t0, u0), v(t) =
v(t, τ0, v0) là hai nghiệm của (2.2.1) và τ0 ≥ t0. Đặt m(t) = d[u(t), v(t)]
và chú ý rằng m(τ0) = d[u(τ0, t0)], từ Bổ đề 2.3.1 ta có m(τ0) ≤ r∗(τ0, t0,0).
Do đó theo Định lý 2.3.2 ta đi đến
m(t) ≤r˜(t), t ≥ τ0.
Ở đây r˜(t) = ˜r(t, τ0, r∗(τ0, t0,0)) là nghiệm cực đại của (2.3.2) mặc dù
(τ0, r∗(τ0, t0,0)). Vì r∗(t0, t0,0) = 0, ta có
lim
τ0→t0r˜(t, τ0, r∗(τ0, t0,0)) = ˜r(t, τ0,0) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đều trên J. Theo giả thiết r˜(t, τ0,0) = 0 suy ra tính liên tục tương đối của u(t, t0, u0) tại t0, hoàn thành chứng minh Định lý 2.4.2. Chúng ta chú ý rằng g(t, w) = Lw, L > 0 thỏa mãn Định lý 2.4.1 và 2.4.2.
2.5. Sự tồn tại nghiệm toàn cục Chúng ta xét phương trình vi phân mờ
u0 = f(t, u), u(t0) = u0 (2.5.1) ở đây f ∈ C[R+×En, En]. Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm với t ≥ t0. Giả sử sự tồn tại địa phương, ta sẽ chứng minh kết quả tồn tại toàn diện.
Định lý 2.5.1. Giả sử f ∈ C[R+ ×En, En] và
d[f(t, u),ˆ0] ≤g(t, d[u,ˆ0]),(t, u) ∈ R+×En
ở đây g ∈ C[R2+×R+], g(t, w) là không giảm trong w với mỗi t ∈ R+ và nghiệm cực đại r(t, τ0, w0) của (2.3.2) tồn tại trên [t0,∞). Giả sử thêm rằng f đủ trơn để đảm bảo sự tồn tại địa phương của nghiệm trong phương trình (2.2.1) với bất kì (t0, u0) ∈ R+×En. Khi đó khoảng lớn nhất của sự tồn tại nghiệm u(t, t0, u0) bất kì của (2.5.1) sao cho d[u0,ˆ0] ≤ w0 là
[t0,∞).
Chứng minh. Cho u(t) = u(t, t0, u0) là nghiệm bất kỳ của (2.5.1) với d[u0,ˆ0] ≤ w0, tồn tại trên [t0, β), t0 < β < ∞ và giá trị của β không tăng.
Định nghĩa m(t) = d[u(t),ˆ0]. Theo Hệ quả 2.3.1 có
m(t) ≤r(t, t0, d[u,ˆ0]), t0 < β < ∞. (2.5.2) Với t1, t2 bất kì sao cho t0 < t1 < β ta có
d[u(t1), u(t2)] = d[u0 + t1 Z t0 f(s, u(s))ds, u0 + t2 Z t0 f(s, u(s))ds] = d[ t2 Z t1 f(s, u(s))ds,ˆ0] = t2 Z t1 d[f(s, u(s)),ˆ0]ds ≤ t2 Z t1 g(s, d[u(s),ˆ0])ds.
Theo biểu thức (2.5.2) và tính chất không giảm của g(t, w) cho thấy d[u(t1), u(t2)] ≤ t2 Z t1 g(s, r(s, t0, w0))ds (2.5.3) = r(t2, t0, w0)−r(t2, t0, w0). Vì lim
t→β−r(t, t0, w0) tồn tại và hữu hạn theo giả thiết, lấy giới hạn khi t1, t2 →β− và sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, từ 2.5.3 mà lim
t→β−u(t, t0, u0)
tồn tại. Sau đó chúng tôi định nghĩa u(β, t0, w0) = lim
t→β−u(t, t0, u0) và xét bài toán về giá trị ban đầu.
u0 = f(t, u), u(β) = u(β, t0, u0).
Giả sử tồn tại địa phương ta thấyu(t, t0, u0) vẫn có thể liên tục vượt quá β, mâu thuẫn với giả thiết không được vượt quá β. Do đó mọi nghiệm u(t, t0, u0) của 2.5.1 thỏa mãn d[u0,0]ˆ ≤ w0 tồn tại trên [t0,∞) và định lý được chứng minh.
Kết luận
Luận văn trình bày các lý thuyết của tập mờ, các phép toán của hàm giá trị mờ và sự tồn tại duy nhất của nghiệm của phương trình vi phân mờ. Các kết quả chính của luận văn là:
• Trình bày các kiến thức cơ sở về tập mờ và hàm giá trị mờ. Đây là vấn đề mới được nghiên cứu, do vậy luận văn đã tập trung trình bày một số lý thuyết của tập mờ, các ví dụ và một số tính chất định tính của hàm giá trị mờ trước khi nghiên cứu phương trình vi phân mờ.
• Chứng minh tính giải được duy nhất cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ với vế phải Lipschitz và bị chặn. Các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục các nghiệm vào các dữ kiện của bài toán đã được thiết lập. Hơn nữa, sự tồn tại của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cũng đã được chứng minh. Đây là sự khởi đầu tốt cho một loạt các nghiên cứu về sau cho lý thuyết ổn định của phương trình vi phân mờ.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả
Tài liệu tham khảo
[A] Tiếng Việt
[1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[B] Tiếng Anh
[3] J.J Buckley and Feuring (2000), Fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems 110, No. 1, pp 43-54.
[4] N. Bobyle, A posibilistic argument for irreversibility(1990),Fuzzy Sets and Systems 34, 73 - 80. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[5] C. Castaing.and M. Valadier, (1977), Conver Analysis and Measur- able Mutifunction, Springer - Verlag, Berlin.
[6] Debreu (1967), Integration of correspondences, California Fress, Berkeley, CA.
[7] P. Diamond and P. Kloeden, (1994), Metric Spaces of Fuzzy Sets, World Scientific, Singapore.
[8] N. D. Phu, T. T Tung (2006), Existence of solutions of fuzzy control diferential equations, J. Science and Technology Development, 9(2) 5- 10.
[9] V. Novak (1989), Fuzzy sets and their applications, Translated from the Czech. Adam Hilger, Ltd, Bristol.
[10] M.L. Puri and D.A. Ralescu, (1986), Fuzzy random variables, JMAA144
[11] H.K. Royden (1968), Real Analysis, Macmillan, London.
[12] V. Lakshmikantham and S. Leela (1996), Differential and Integral Inequalities, Vol. I, Academic Press, New York
[13] V. Lakshmikantham and R.N. Mohapatra (2003), Theory of Fuzzy Differential equations and Inclusions, Taylor & Francis Publishers, London.