sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TRƯ KHOA SƯ PHẠM BỘ MƠN SP TỐN HỌC  LU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: SỰ Ự ĐẶT CHỈNH NGHIỆM CỦA BÀI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ẰNG VÀ V CÁC VẤN ĐỀ LIÊN ÊN QUAN Giáo viên hướng ớng dẫn TS Lâm Quốc Anh Sinh viên thực ực Phùng Thị Thùy Trang MSSV:: 1100073 Lớp: SP Toán học K36 Cần Thơ, 2014 Lời cảm ơn Trước hết xin tỏ lời biết ơn sâu sắc đến TS Lâm Quốc Anh người thầy tân tâm bảo, tận tình hướng dẫn cho tơi suốt thời gian tơi hồn thành luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trường Đại Học Cần Thơ trang bị cho tơi kiến thức tảng phong phú bổ ích Đó hai nguồn động viên vơ to lớn giúp tơi nhanh chóng nắm bắt vươn tới thành cơng q trình học tập nghiên cứu Cuối không phần quan trọng, xin gủi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè tơi, người ln sát cánh tôi, cổ vũ giúp đỡ tôi, tạo điều kiện tốt suốt trình học tập để luận văn tơi hồn thành tốt đẹp Cần Thơ, tháng năm 2014 Sinh viên thực Danh mục từ viết tắt kí hiệu Trong luận văn này, dùng từ viết tắt kí hiệu với ý nghĩa xác định sau đây: Tập hợp rỗng Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số hữu tỉ = ℝ\ℚ ℝ = ℝ ∪ {±∞} ⟶ Tập hợp số vô tỉ Tập số thực mở rộng Dãy {xn } hội tụ phần tử x0 d (x, y ) Khoảng cách điểm x điểm y d (x, M ) Khoảng cách điểm x tập M diam M Đường kính tập M : ⟶ Ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập L : ⟶2 Ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y grS Đồ thị S id Ánh xạ đồng thức R+ lsc Nửa liên tục usc Nửa liên tục (QEP) Bài toán tựa cân (QOP) Bài toán tựa tối ưu (EPEC) Bài toán cân với ràng buộc cân (OPEC) Bài toán tối ưu với ràng buộc cân PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Một hướng nghiên cứu phát triển mạnh có nhiều ứng dụng thực tế giai đoạn Tối ưu hoá Một toán trọng yếu lý thuyết tốn cân Mơ hình tốn cân đưa vào năm 1994 hai nhà toán học Blum Oettly, toán chứa nhiều toán quan trọng tối ưu hoá như, toán bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu, tốn bù, lý thuyết trị chơi, tốn cân mạng giao thơng,… Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn cân bằng, kết nghiên cứu tập trung vào chủ đề trọng điểm điều kiện tồn nghiệm, tính ổn định nghiệm, thuật tốn tìm nghiệm Sự đặt chỉnh nghiệm tốn chủ đề có mối liên hệ mật thiết với tính ổn định nghiệm thuật tốn giải nghiệm có định hướng ứng dụng cao Với mong muốn tìm hiểu lĩnh vực mẽ có nhiều khả phát triển thời gian tới, nên chọn đề tài “Sự đặt chỉnh nghiệm toán cân vấn đề liên quan”, với ming muốn tiền đề cho học tập tiếp nối thân giai đoạn Mục đích nghiên cứu + Thông qua việc nghiên cứu đề tài này, mong muốn giới thiệu phần sở lí thuyết nghiên cứu đặt chỉnh toán cân bằng, tốn tối ưu với mục đích giúp bạn sinh viên trình nghiên cứu học tập tốt + Qua để tạo tảng kiến thức để tơi học tập nghiêm cứu sau Nội dung nghiên cứu Luận văn xoay quanh nghiên cứu mơ hình ứng dụng toán cân bằng, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn trị, lí thuyết đặt chỉnh, nghiên cứu đặt chỉnh toán cân Bố cục luận văn chia làm chương + Chương 1: nêu số kiến thức bổ trợ không gian mêtric, không gian tôpô, ánh xạ đa trị, khái niệm đặt chỉnh, độ đo… để sử dụng nghiên cứu phần sau + Chương 2: nêu lên số khái niệm mơ hình tốn cân bằng, toán tối ưu số khái niệm liên quan đặt chỉnh nghiệm hai toán + Chương 3: nêu lên số khái niệm đặt chỉnh nghiệm toán cân hai mức: toán cân với ràng buộc cân toán tối ưu với ràng buộc cân Và số định nghĩa, nhận xét liên quan khác Đối tượng nghiên cứu + Giải tích đa trị, giải tích đơn trị + Mơ hình tốn cân dạng đặc biệt ứng dụng chúng + Sự đặt chỉnh vấn đề liên quan khác Phương pháp nghiên cứu + Sưu tầm, tổng hợp nguồn tài liệu liên quan + Nghiên cứu tổng hợp tài liệu theo hai cách: Tổng hợp hóa đặt biệt hóa tài liệu có + Phương pháp chuyên gia: Trao đổi với giáo viên hướng dẫn học hỏi thêm từ thầy cô, bạn bè người có nhiều hiểu biết vấn đề Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X   , ánh xạ : × ⟶ ℝ gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn với x , y , z  X : (i) d ( x , y )  0, d ( x , y )   x  y; (ii) d ( x, y )  d(y, x); (iii) d ( x , y )  d ( x , z )  d(z, y) Nếu X trang bị mêtric d ta gọi cặp ( X , d ) không gian mêtric Khi ấy, + Mỗi phần tử X gọi điểm không gian ( X , d ) + d ( x , y ) khoảng cách hai điểm x y 1.1.2 Khoảng cách điểm tập hợp, tập hợp tập hợp Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian mêtric ( , ), xét điểm x tập đó, khoảng cách từ x đến định nghĩa là: ( , ) = inf { ( , ): Đơi ta cịn ký hiệu khoảng cách từ x đến ∈ } dist(x, ) ⊂ Khi Định nghĩa 1.1.3 Với hai tập , không gian mêtric ( , ), khoảng cách hai tập hợp định nghĩa là: ( , ) = inf { ( , ): ∈ } ∈ , 1.1.3 Dãy hội tụ Xét không gian mêtric ( , ) Khi đó: Định nghĩa 1.1.4 phần tử ∈ Dãy phần tử { }⊂ gọi hội tụ (theo mêtric d ) lim → ( ) = , Hay ∀ > 0, ∃ Kí hiệu: lim = → ⟹ ( ∈ ℕ: ∀ ≥ ⟶ , )< * Các tính chất: + Giới hạn dãy hội tụ + Nếu dãy { } hội tụ dãy Định nghĩa 1.1.5 Dãy phần tử { lim , → }⊂ ( hội tụ gọi dãy Cauchy ) = , Nói cách khác, ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: ∀ , ⟹ ( ≥ , )< * Các tính chất: + Nếu dãy { } hội tụ dãy Cauchy + Nếu dãy { } dãy Cauchy có dãy hội tụ hội tụ { } 1.1.4 Khơng gian mêtric đầy đủ a) Định nghĩa: Không gian mêtric ( , ) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ b) Tính chất: - Tập đóng khơng gian mêtric đầy đủ đầy đủ - Không gian đầy đủ không gian mêtric không gian đóng 1.1.5 Khơng gian mêtric compact * Các định nghĩa: Cho ( , ) không gian mêtric - Tập con {xn k gọi tập compact dãy {xn } } hội tụ đến điểm thuộc - Tập gọi tập bị chặn đường kính ( ) = sup{ ( , ): , - Tập điểm có dãy ∈ } < ∞ gọi tập hoàn toàn bị chặn , , …, ∈ ℎ ⊂⋃ > 0, tồn hữu hạn ( , ) 1.2 Không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa không gian tôpô Định nghĩa 1.2.1 Cho tập ≠ Ø Một họ tập gọi tôpô thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) ∈ à∅∈ ; b) Hợp tùy ý tập thuộc thuộc ; c) Giao hữu hạn tập thuộc thuộc Một tập trang bị tơpơ gọi khơng gian tơpơ, kí hiệu ( , ) Nếu ký hiệu khơng gian tơpơ tơpơ ta ngầm hiểu trang bị 1.2.2 Không gian tôpô compact * Các định nghĩa - Trên không gian tôpô , cho ⊂ { } ∈ họ tập Khi đó, { } ∈ gọi phủ ⋃ ∈ ⊃ Nếu Ga tập mở phủ gọi phủ mở gọi không gian compact phủ mở tồn phủ hữu hạn Tức với phủ mở { } ∈ tồn hữu - Không gian tôpô hạn số - Tập tôpô ( = 1,2, … , ) cho ⋃ ∈ gọi tập compact ⊃ với tôpô cảm sinh không gian compact - Không gian tôpô gọi compact địa phương điểm ∈ tồn lân cận compact * Các tính chất: - Tập đóng không gian compact tập compact - Tập compact khơng gian Hausdorff tập đóng 1.3 Đường kính tập Định nghĩa 1.3.1 Cho nghĩa sau: ⊂ , A ≠ ∅ Đường kính tập A kí hiệu định ( ) = ( ) = sup{ ( , )| , ∈ } tức cận khoảng cách điểm thuộc A * Các tính chất: Tính chất 1: Giả sử A tập không gian mêtric ( , ) Khi đó: ( )= ( ̅ ) Chứng minh: Vì ⊂ ̅, ta có ( )≤ ( ̅) > Khi đó, lấy Giả sử ∈ ̅ cho: , ( , , cho ( , ∈ ( ̅) − )≥ )< ( )< , Vì ta được: ( , )≤ ( , )+ ( , ( )≥ ( , Do đó: )+ ( )≥ ( , )− )+ ( ̅) − ≥ > , ta có: Vì điều với ( ̅ ) ( )≥ ( ̅ ) ( )= Vậy, )≤ ( , , Tính chất 2: Nếu ( , ) khơng gian mêtric compact X có đường kính hữu hạn Hơn nữa, ∃ , ∈ cho: ( )= ( , ) Chứng minh: Xét hàm : × ⟶ ℝ Ta chứng minh d liên tục điểm tùy ý ( , Chọn lân cận: (Với =( ( , )− , ( , = ( , )≤ ( , × ⊂ Với )+ ( , Suy ra: ( , ) − ( , ( , × ) + ) ( , ) > tùy ý) Chúng ta cần tìm tập mở Gọi )∈ × ∈ ∈ )+ ( , )< ( , , ta có: )+ )< )≤ ( , )+ ( , )+ ( , Suy ra: ( , cho ( ) ⊆ )− ( , )< )< ( , )+ Định nghĩa 3.1.1 Một dãy  yn  :={( )} ⊆ , × Λ gọi dãy xấp xỉ (EPEC) tồn  n   cho, (i) F  yn , y  +  n  , ∀ ∈ ( ) ∀ ∈ Λ ,trong (ii) xn  dãy xấp xỉ toán tham số Định nghĩa 3.1.2 Một dãy  yn  := {( , ≔( , ); (QEP) tương ứng đến { } )}  X  Z gọi dãy xấp xỉ (tối thiểu) (OPEC) tồn  n   cho, (i) g ( yn )  g ( y )   n , ∀ ∈ ( ) ∀ ∈ (ii) xn  dãy xấp xỉ ,trong ≔( , ); (QEP) tương ứng đến { } Định nghĩa 3.1.3 Bài toán (EPEC) (OPEC) gọi đặt chỉnh nếu, (i) Bài tốn có nghiệm; (ii) Mọi dãy xấp xỉ có dãy hội tụ đến nghiệm Bài tốn gọi đặt chỉnh có nghiệm dãy xấp xỉ hội tụ đến nghiệm 3.2 Bài tốn cân với ràng buộc cân Nhận xét 3.2.1 Cho Q : X  Y ánh xạ đa trị hai không gian tôpô Nếu Q ( x ) compact, Q usc x với dãy  xn  hội tụ đến x với yn  Q ( xn ) , có dãy  yn k  hội tụ đến y  Q ( x ) Nếu thêm điều kiện, Q ( x )   y  đơn trị giới hạn điểm y phải y  yn  hội tụ đến y Như trên, ( ) biểu thị tập nghiệm (QEP ) Cho   , tập  -nghiệm (QEP ) định nghĩa bởi: S (  ,  )  {x  K1 ( x,  ) | f ( x , y ,  )    0,  y  K ( x ,  )} Với   0,   tương ứng tập nghiệm xấp xỉ (EPEC) xác định bởi: Γ( , ) = { = ( , ) ∈ ( , ) × | ( , ) + ≥ 0, ∀ ∈ g ( , , ) + ≥ 0, ∀ ∈ ( , )} 35 Định lí 3.2.1 Giả sử X compact × Λ, K1 đóng K2 lsc; (i) ( , Λ) × (ii) f 0-mức đóng tương ứng với id × Λ, ∀ ∈ (iii) F (., y ) 0-mức đóng tương ứng với id Khi (EPEC) đặt chỉnh Hơn nữa, : ( , Λ) × Λ × {0}; × Λ ⟶ Λ đơn trị (EPEC) nhận nghiệm x , (EPEC) đặt chỉnh Chứng minh: Cho { } ≔ {( } ⟶ ̅ )} dãy xấp xỉ (EPEC) Giả sử { + Trước tiên chứng minh S (.,.) usc ̅, , ̅, U cho với {( Giả thiết ngược lại, tồn tập mở tụ đến ̅, Λ × ℝ , có ∈ ( , )} hội ) cho xn  U với n , Từ X compact, giả sử  xn  hội tụ x0 , tính đóng , ̅ có K1 , cho ( ∈ , ∈ , ̅ Nếu ̅, = ∉ ̅ , ta có ∈ , ̅ , ̅ < Tính nửa liên tục K2 chứng tỏ tồn ) cho  yn   y0 Như ∈ ( , ) có ( , )+ , ≥ Bởi tính 0-mức đóng tương ứng với id f có , , ̅ ≥ (mâu ̅, ⊆ điều vơ lí, từ xn  U với n Do S thuẫn) Do đó, ∈ usc ̅, ̅ compact kiểm tra tính đóng + Bây thấy ̅ hội tụ đến x0 Nếu ̅ ta có Cho ∈ ∉ ∈ , ̅ cho , , ̅ < Theo quan niệm nửa liên tục K2 tồn cho  yn   y0 Với n, có Theo giả sử (ii) ta có ̅ compact , , , ̅ ≥ 0, ∈ , ̅ ≥ (điều vơ lí), ∈ , ̅ ̅ ∈ ̅ Theo Nhận xét 3.2.1 chứng tỏ tồn dãy biểu thị  xn  hội tụ đến ̅∈ ̅ Chúng ta kiểm tra ̅ ≔ ̅ , ̅ nghiệm (EPEC) Từ  xn  dãy xấp xỉ , tồn  n   cho F  xn , y    n  0, y  grS Từ tính 0- 36 mức đóng F thấy F ( x , y )  với y  grS , x nghiệm Do (EPEC) đặt chỉnh ̅ Để kiểm tra tính đặt chỉnh thêm vào điều kiện, cho  xn  dãy xấp xỉ (EPEC) Cùng lập luận phần trước đó, có dãy hội tụ đến x Nếu xn  không hội tụ đến x , có tập mở U chứa x cho dãy ngồi U Bởi lập luận trên, dãy có dãy hội tụ đến x , vơ lí Trong Định lí 3.2.1 tính nghiệm giả sử, không thảo luận điều kiện cho S . đơn trị đây, có nhiều thứ giúp cho chủ đề xảy Nghiệm (EPEC) lấy từ kết toán cân Giả thiết Định lí 3.2.1 khơng thể bỏ qua ví dụ bên Ví dụ 3.2.1 (Tính compact X bỏ) Cho = ℝ, Λ = [0,1], ( , ) = ( , ) = [ ,+∞), ( , , ) = ( ( , ), ( , ) =2 Thấy (iii) đúng, cho f F liên tục × × Λ, đóng K2 lsc (ii) × Λ (X × Λ) × (X × Λ) tương ứng, Hơn tập nghiệm (EPEC) grS Nhưng S  0  ( ) = ∈ (0,1] , g = {(0,0)} ∩ , +∞), = , đặt chỉnh Thật vậy, Cho = − 1) , + ∞) với ∈ (0,1] Do đó, (EPEC) khơng , =( , ) nghiệm (EPEC) Thấy  xn  khơng có dãy hội tụ nào, lí X khơng compact Hơn ý S . không usc không lsc 0, giả thiết K1 , K , f liên tục Ví dụ 3.2.2 (Tính đóng cần thiết) ( , ) = (− ,1], Cho = [−1,1], Λ = [0,1], ( , , ) = ( − ) compact, K2 lsc ( , ), ( , ( , ) = [0,1], ) = Khơng khó để thấy X × Λ (ii) (iii) thỏa mãn ( tính liên tục f F ) Chúng ta thấy tập nghiệm (EPEC) grS Nhưng S    1 ( ) = {0,1} với ∈ (0,1], g = (1,0) ∪ {( , )| = 0,1 ; 37 ∈ (0,1]} Do = 0, đó, (EPEC) khơng đặt chỉnh Thật vậy, Cho = =( , ) nghiệm (EPEC)  xn  hội tụ đến x   0,1 Nhưng x không thuộc tập nghiệm (EPEC) Do K1 khơng đóng =− ( ∈ , )= − ( , ) = [0,1], = = ,1 thấy zn  hội tụ  K1  0,0 Ví dụ 3.2.3 (Tính nửa liên tục = [0,1], × Λ Thật vậy, cho = [−1,1], bỏ quả) Cho ( , , )= + ( , ), ( , ) =2 {−1,0,1}, =0 {0,1} ≠ Thấy X compact, K1 đóng X  Z (ii) (iii) thỏa Hơn tập ( , )= nghiệm (EPEC) grS Nhưng S    1 ( ) = {0,1} với = (1,0) ∪ {( , )| = 0,1; g ∈ (0,1], ∈ (0,1]} Cùng lập luận Ví dụ 3.2.2, (EPEC) khơng đặt chỉnh Do K2 không lsc X  Z Ví dụ 3.2.4 ((ii) khơng thể bỏ) ( , )= Cho = [0,1], = [0,1], ( , ), ( , ( , ) = [0,1], ( , , ) = ( − ) ) = ( , , )= − , − , =0 ≠ Thì điều giả thiết (ii) (iii) thỏa mãn tập nghiệm (EPEC) grS Chúng ta thấy S  0  1 ( ) = {0} với ∈ (0,1] đó, g = (1,0) ∪ {(0, )| ∈ (0,1]} Bởi lập luận tương tự Ví dụ 3.2.2 có (EPEC) khơng đặt chỉnh Vì lí giả thiết (ii) bị vi phạm Thật vậy, lấy = 0, ( , = 1, , )+ = =  n  , có {( 0,1, , , , )} ⟶ (0,1,0,0) = > f  0,1,0   1  Ví dụ 3.2.5 ((iii) cần thiết) Cho [0,1], ( , , ) = = [0,1], 38 = [0,1], ( , )= ( , )= ( , ), ( , − , − , ) = =0 ≠ giả thiết (i) (ii) thỏa mãn tập nghiệm (QEP) với X Dễ dàng thấy tập nghiệm (EPEC) = (0,1) ∪ {(0, )| ∈ (0,1]} tập grS Cùng lí lẽ Ví dụ 3.2.2, thấy (EPEC) khơng đặt chỉnh Tương tự Ví dụ 3.2.4 kiểm tra giả thiết (iii) bị vi phạm Định lí 3.2.2 Cho X Λ không gian mêtric (i) Nếu (EPEC) đặt chỉnh ̅, diam   ,    với  ,     0,0 (ii) Ngược lại, X Λ đầy điều kiện bên (a) Trong × Λ, K1 đóng K2 lsc; (b) f 0-mức đóng tương ứng với id ( , Λ) × ( , Λ) × Λ × {0}; (c) F ., y  0-mức đóng tương ứng với id × Λ, ∀ ∈ × Λ Khi (EPEC) đặt chỉnh ̅ , với điều kiện diam   ,    với  ,     0,0 Chứng minh: (i) Giả sử (EPEC) đặt chỉnh nhất, giả thiết ngược lại, tồn  n ,  n    0,  , ∈ ℝ r  cho, với n  n0 , diam   n ,  n   r Do đó, tồn ( , ), ( , ) ∈ Γ( , ) cho ( , ), ( , ) > Từ {( , )} {( , )} dãy xấp xỉ, chúng hội tụ đến nghiệm thu điều mâu thuẫn (ii) Giả sử { Khi =( , } ≔ {( ) ∈ Γ( , )} dãy xấp xỉ (EPEC) , )  xn  dãy Cauchy hội tụ đến ̅ = ̅ , ̅ Bởi tính đóng K1 ̅ , ̅ 39 ∈ ( , ), nên ta có ̅ ∈ ̅, ̅ Sử dụng lập luận Định lí 3.2.1 thấy x nghiệm (EPEC) Chúng ta cịn chứng minh (EPEC) có nghiệm Nếu khơng có hai nghiệm phân biệt ̅ , ̅ ̅ , ̅ thuộc   ,   , với  ,   Thì có điều mâu thuẫn sau: ̅ , ̅ , 0< ̅ , ̅ Γ(ζ, ε) ≤ Định lí 3.2.3 Cho X Λ không gian mêtric Cho    , , (i) Nếu (EPEC) đặt chỉnh     ,     với  ,     0,0 (ii) Ngược lại, X Λ đầy điều kiện sau đúng: × Λ, K1 đóng K2 lsc; (a) Trong (b) f b-mức đóng ( , Λ) × (c) F ., y  c-mức đóng ( , Λ) × Λ, ∀ < 0; × Λ, ∀y ∈ × Λ, c  ; Khi (EPEC) đặt chỉnh, điều kiện     Z ,  ,     ,  ,     0,0  Chứng minh: Bởi hệ thức (i) chứng minh tương tự cho ba độ đo khơng có tính compact đề cập Nên đề cập trường hợp    , độ đo Kuratowski (i) Giả sử (EPEC) đặt chỉnh Tập nghiệm S (EPEC) thỏa mãn hệ thức S    ,   Do đó,     ,   , S   H *    ,   , S  Cho { } = {( , )} nằm S Từ  xn  dãy xấp xỉ, có dãy hội tụ đến điểm S Do S compact n Giả sử S   M k với diam M k   , với k  1, , n k 1 Đặt ={ ∈ | ( , )≤ n (Γ( , ), )}, dễ dàng thấy   ,     N k k 1 diam N k    H    ,   , S  Do đó,     ,     H    ,   , S     S   H    ,   , S  Chúng ta kiểm tra H    ,   ,S   với  ,     0,0 Thật vậy, giả thiết ngược lại tồn   0,  n ,  n    0,  xn    n ,  n  cho với 40 ∈ ℕ, d  xn , S    Từ  xn  dãy xấp xỉ, nên có dãy hội tụ đến điểm S , điều vơ lí Giả sử     ,     ,  ,     0,0 Đầu tiên chứng tỏ (iii)   ,   đóng với  ,   Cho { }⟶ =( ) ∈ Γ( , ) với , ≔ ( , ) Khi đó, với y  grS ( , ) + ≥ 0, K1 đóng ( , ) ta có ∈ ( , , ∈ )+ ( , ), ≥ ( , ) Bởi tính  -mức đóng F ., y  Chúng ta thu được, F  x, y     với y  grS Tiếp theo chứng tỏ ngược lại ( , , ) + ≥ 0, ∀ ∈ ( , ) Giả sử tồn ∈ ( , ) cho ( , , ) + < Từ K2 lsc ( , ) , ta có ∈ ( , ) cho  yn   y Bởi tính ( ,  -mức đóng f ( , , ) , có ∈ ℕ cho ) < − , với n  n0 , mâu thuẫn Kết thu x    ,   tập , đóng Hơn nửa ý S    0, 0   ,       ,     ,  ,     0,0 Từ tính chất  thấy S compact H    ,   , S   ,  ,     0,0  Cho { }: = {( y  grS )} dãy xấp xỉ,  n ,  n    0,  cho, với , ( ∈ , ), ( Do đó, ( , ( , , , ) + ≥ 0, ) ∈ Γ( , ) Chúng ta thấy )+ ≥ d  xn , S   H     n ,  n  , S   Bởi tính compact S , có dãy  xn  hội tụ đến điểm S Do đó, (EPEC) đặt chỉnh Các ví dụ sau cho thấy tất giả thiết Định lí 3.2.3 cần thiết: Ví dụ 3.2.6 (Tính đóng cần thiết) ( , ) = (− ,1], Cho = [−1,1], Λ = [0,1], f  x, y,    x  x  y  × ( , ), ( , ) =2 ( , ) = [0,1] , Khi đó, X đầy K2 lsc × Λ Giả thiết (ii)(b) (ii)(c) thỏa mãn f F liên tục × Λ ( × Λ) × ( × Λ) tương ứng Hơn nửa,   ,     1,1   0,1 41     ,       1,1   0,1  Dễ thấy tập nghiệm (EPEC) trùng với ( ) = {0,1} với    0,1 , g grS Nhưng S  0  1 {( , )| = 0,1; = (1,0) ∪ ∈ (0,1]} Cùng lập luận Ví dụ 3.2.2 (EPEC) khơng đặt chỉnh Do K1 khơng đóng  0,0 bỏ) Cho X Λ Ví Ví dụ 3.2.7 (Tính nửa liên tục ( , ) = [0,1], dụ 3.2.6 , ( , , )= ( , + , {−1,0,1}, {0,1} ( , )= ), ( , ) = =0 ≠ × Λ (ii)(b) (ii)(c) thỏa   ,    0,1   0,1 Khi đó, X đầy K1 đóng     ,     Hơn nửa, tập nghiệm (EPEC) grS Nhưng S  0  1 ( ) = {0,1} với ∈ (0,1] Do đó, (EPEC) khơng đặt chỉnh, K2 khơng lsc × Λ Ví dụ 3.2.8 ((ii)b bỏ qua) Cho , Λ, K1 Ví dụ 3.2.7 , ( , ) = { , + }, ( , , )= X Khi đó, −1 + + =1 ≠1 đầy, (ii)(a) (ii)(c) thỏa mãn,     ,     Nhưng S  0   0,1 ( ) = [0,1] với ∈ (0,1] Nghĩa g = (0,1) × {0} ∪ {[0,1] × { }| ∈ (0,1]} Do đó, (EPEC) không đặt chỉnh Ta thấy rằng, xn   0,   n nghiệm (EPEC) Chúng ta thấy xn hội tụ đến x   0,0  , x không thuộc tập nghiệm (EPEC) Vì lý giả thiết (ii)(b) bị vi phạm Thật vậy, Cho ( , , )= ,1 − , , thấy ( {( , , , , )=1≥− 2 )} ⟶ (0,1,0) f  0,1,0   1   Ví dụ 3.2.9 ((ii)c thiết yếu) Cho , Λ, , 42 Ví dụ 3.8, ( , , ) = ( , ), ( , ) = −1, 1, + ườ = 1, = ℎợ ò Chúng ta thấy X đầy, (ii)(a) (ii)(b) thỏa     ,     ( ) = [0,1] với ∈ [0,1], dễ thấy tập nghiệm (EPEC) tập : = (0,1) × {0} ∪ {[0,1] × { }| ∈ (0, 1]} Lập luận tương tự Ví dụ 3.2.8 ta thấy (EPEC) khơng đặt chỉnh, giả thiết (ii)(c) bị vi phạm 3.3 Bài toán tối ưu với ràng buộc cân (OPEC) Định lí 3.3.1 Giả sử X compact × Λ, K1 đóng K2 lsc; (i) (ii) f 0-mức đóng tương ứng với id ( , Λ) × ( , Λ) × Λ × {0}; × Λ Khi (OPEC) đặt chỉnh Hơn nửa, ( ) đơn trị, với (OPEC) có nghiệm nhất, tốn đặt chỉnh g tựa nửa liên tục (iii) ∈ Λ, Chứng minh: ( , Đặt ), ( , ) = g( , ) − g( , ) Để áp dụng Định lí 3.2.1, cần kiểm tra F ., y  0-mức đóng tương ứng với id ∈ {( , , ×Λ =( Cho , )∈ × Λ ∈  n     × Λ với cho , ̅, )} ⟶ F  xn , y    n  giả sử g( , ) < g , ̅ Từ g tựa nửa liên tục g( , ) < lim inf g( Vì vậy, tồn ∈ ℝ , , ̅ , ta có ) ∈ ℕ cho, với n  n0 , g( , ) − g( , ) ≤ g( , ) − < điều vơ lí, từ g( , ) − g( , ) + ≥ 0, ∀ Những khẳng định tính đặt chỉnh dễ dàng chứng minh Nhận xét 3.3.1 (i) Trong trường hợp đặt biệt ( , )≡ 43 ( , ) = , dễ thấy (ii) ta thay f “ f ., y,. , y  X ” Nên tính đặt chỉnh Định lí 3.3.1 cải tiến thành Định lí 3.3.5 Tính nửa liên tục f  x,.,. với tính đơn điệu ( , , ) kéo theo điều kiện (ii) Định lí 3.3.1 Thật vậy, kiểm tra giả thiết (ii) Định lí 3.3.1 từ tính đơn điệu , , ̅ tính nửa liên tục f  x,.,. thấy thỏa mãn Nếu {( , )} ⟶ , ̅  n  hội tụ cho tính đơn điệu, có bất đẳng thức , , ̅ ≤ lim inf , , ̅ ≤ lim inf ( , , ̅ ) ≤ lim inf , , + ≥0 =0 , , ̅ ≥ Tính nửa liên tục g địi hỏi kéo theo Định lí 3.3.5 hạn chế giả thiết (iii) Hơn nửa, bỏ qua tính nửa liên tục ( , , ) tính lồi f  x,.,. g Hơn nửa ý tính tựa nửa liên tục g Định lí 3.3.1 chặt chẽ yếu tính nửa liên tục yêu cầu Định lí 3.3.5 (ii) Bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân trường hợp đặt biệt (OPEC), nghiên cứu với X không gian Banach phản xạ Tính đặt chỉnh đặt chỉnh thiết lập giả thiết định nghĩa tốn tham số ràng buộc tính đặt chỉnh tham số, tính đặt chỉnh tham số Trong kết đây, giả thiết điều kiện rõ ràng liệu toán Tuy nhiên, khơng khó để cải biến Định lí 3.3.1 để bổ sung cách đắn (iii) Chúng ta không tìm kết nghiệm (OPEC) Chúng ta quan sát g( , ) ≠ g( , ) với địa phương nghiệm tối ưu x w (OPEC) khơng đổi, (OPEC) có nghiệm Lấy  ,   , tập nghiệm xấp xỉ (OPEC) xác định ( , )= ( , )∈ ( , ) × Λ| g( , ) ≤ inf g ( , , )+ ≥ 0, ∀ ∈ , ̅ + ( , )} Định lí 3.3.2 Cho X Λ khơng gian mêtric Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) Nếu (OPEC) đặt chỉnh nhất, diam M  ,    với  ,     0,0 (ii) Định lí đảo, giả sử X Λ đầy điều kiện sau đúng: 44 (a) × Λ, đóng K2 lsc; (b) f 0-mức đóng tương ứng id ( , Λ) × ( , Λ) × Λ × {0}; × Λ (c) g tựa nửa liên tục Khi (OPEC) đặt chỉnh nhất, điều kiện diam M  ,    với  ,     0,0 Chứng minh: (i) Giả sử (QPEC) đặt chỉnh nhất, lập luận đến chỗ vơ lí tồn  n ,  n    0 , 0  , ∈ ℝ r  cho, với n  n0 , diam M  n ,  n   r Khi đó, tồn ( , ), ( )∈ , ( , ) cho ( ), ( , , ) > Từ {( , )} {( , )} dãy xấp xỉ, chúng hội tụ đến nghiệm thu điều mâu thuẫn ( lim → (ii) Giả sử {  n } ≔ {( ), ( ) =0 , )} dãy xấp xỉ (OPEC) Khi đó, tồn , ,  n    0,  cho g( ( Nghĩa ̅= , =( , )∈ ) ≤ inf g , )+ , , ( , , + ≥ 0, ∀ ∈ , ( ) , )  xn  dãy Cauchy hội tụ đến ̅ , ̅ Bởi tính đóng K1 ̅ , ̅ ∈ ( , ), ta có ̅ ∈ ̅, ̅ Sử dụng lập luận Định lí 3.2.1 thấy x nghiệm (OPEC) Còn lại chứng minh (OPEC) có nghiệm Nếu (OPEC) có hai nghiệm phân biệt ̅ , ̅ ̅ , ̅ , chúng phải thuộc M  ,   , với  ,   Thì có điều mâu thuẫn sau: 0< ̅ , ̅ , ̅ , ̅ 45 ≤ ( , ) Định lí 3.3.3 Nếu (OPEC) đặt chỉnh,   M  ,     ,  ,     0,0  , (i)    , , Ngược lại, Nếu X Λ đầy điều kiện sau đúng: (ii) (a) Trong × Λ, K1 đóng K2 lsc; (b) f ( , Λ) × b-mức đóng ( , Λ) × Λ, ∀ < 0; (c) g lsc × Λ Khi (OPEC) đặt chỉnh, điều kiện M    ,     ,  ,     0,0 Chứng minh: Ta xét trường hợp độ đo Hausdorff    (sử dụng (1) ta có kết tương ứng cho trường hợp    , ) (i) Giả sử (OPEC) đặt chỉnh Với  ,   , tập nghiệm S (OPEC) hiển nhiên thỏa S  M  ,   Do đó, H  M  ,   , S   H *  M  ,   , S  Với dãy  xn  S dãy xấp xỉ (OPEC) tồn dãy hội tụ đến điểm S Nên S compact ( , ) Thì Cho ⊆ ⋃ ( , )⊆ ( , ) + ( ( , ), ) Do đó,   M   ,     H  M   ,   , S     S   H  M  ,   , S  Chứng minh H  M  ,   , S   ,  ,     0,0 phản chứng, giả sử tồn   0,  n ,  n    0,0  xn  M  n ,  n  cho ( , ) ≥ , ∀ ∈ ℕ  xn  dãy xấp xỉ (OPEC) có dãy hội tụ đến điểm S, điều vơ lí (ii) Giả sử   M  ,     ,  ,     0,0 Đầu tiên kiểm tra M  ,   đóng với  ,   Cho { }→ ≔( ≔ ( , ) Do đó, 46 , )∈ ( , ) với g( ( , ) ≤ inf g , + , , , ) + ≥ 0, ∀ ∈ ( , ) ∈ ( , ) Bởi tính nửa liên tục g ( , ), ta có Từ K1 đóng ( , ), g( , ) ≤ lim inf g( , ) ≤ inf g , + Hơn nửa, thấy ( , , ) + ≥ 0, ∀ ∈ ( , ) Thật vậy, tồn ∈ ( , ) cho ( , , ) + < , tồn ∈ ( , ) cho yn  y , K2 lsc ( , ) Bởi tính  -mức đóng f ( , , ) , có ∈ ℕ cho ( , , )