www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ KIM NGỌC NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HĨA TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn1 www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ KIM NGỌC NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HĨA TRONG BÀI TỐN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2 www.VNMATH.com ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ▼ë ➤➬✉ ✷ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✹ ✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✶✻ ✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✷✺ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✹✵ ✸✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✸✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶ http://www.Lrc-tnu.edu.vn3 www.VNMATH.com ▼ë ➤➬✉ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❦Ü t❤✉❐t ✈➭ ➤ê✐ sè♥❣ ♥❤➢✿ ✈❐t ❧Ý ✭➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝➡ ❤ä❝✮✱ ❤♦➳ ❤ä❝✱ s✐♥❤ ❤ä❝✱ q✉➞♥ sù✱ ♥➠♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❦✐♥❤ tÕ✱ ✈✐Ơ♥ t❤➠♥❣✳✳✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tỉ♥❣ q✉➳t✱ ♥ã ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ♥❤➢✿ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ s tr trò ợ t ó ứ ụ t❤ù❝ tÕ ré♥❣ r➲✐ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ q✉② ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ◆❣➭② ♥❛② ✈í✐ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♥❤❛♥❤ ❝❤ã♥❣ ❝đ❛ ❦Ü t❤✉❐t t✐♥ ❤ä❝ ♥➟♥ ♣❤➵♠ ✈✐ ✈➭ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♥❣➭② ❝➭♥❣ ♠ë ré♥❣✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ♠ô❝ ❧ô❝✱ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✱ ♣❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr➢í❝ ❤Õt ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ sÏ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ë ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ ♥ã✳ P❤➬♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝♦✐ ❧➭ ❝➡ së ❧Ý t❤✉②Õt ❝❤♦ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sÏ ❞ï♥❣ ➤Õ♥ ë ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ➤ã ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❤❛✐ ❧♦➵✐ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ❈➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ❧♦➵✐ ợ trì tết tr ❝❤➢➡♥❣ ✸✳ ➜Ó ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ ●❙✳❚❙❑❍✳ ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tỏ ò ết s s ế t ủ ì ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭② ❝➠ tr♦♥❣ ❇é ♠➠♥ t♦➳♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝ï♥❣ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ t♦➳♥ ❑✶ ➤➲ ❧✉➠♥ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤Ý❝❤ ❧Ư ➤Ĩ ❧✉❐♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✷ http://www.Lrc-tnu.edu.vn4 www.VNMATH.com ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳ ▼➷❝ ❞ï t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤ã tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sót ế ợ ữ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➭② ❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ✶✵✴✷✵✵✾ ❍ä❝ ✈✐➟♥ ❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ❑✐♠ ◆❣ä❝ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✸ http://www.Lrc-tnu.edu.vn5 www.VNMATH.com ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ ♥ã✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ❦❤➳✐ q✉➳t ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ sÏ ❞ï♥❣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ị tí ó trò q trọ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ✈➭ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➬♥ ♥➭② ❧➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ề tí ị ý ợ ứ ♠✐♥❤ ❝ã t❤Ĩ ①❡♠ tr♦♥❣ ❑Ý ❤✐Ư✉ [4]✳ R ❧➭ t❐♣ sè t❤ù❝✱ Rn ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐Ò✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❬✹❪ ❈❤♦ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ a, b tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n✲❝❤✐Ò✉ Rn ✳ ➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ a, b ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ x tr♦♥❣ Rn ❝ã ❞➵♥❣✿ x = λa + (1 − λ)b, ∀λ ∈ R ➜♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥è✐ a, b ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ x tr♦♥❣ Rn ❝ã ❞➵♥❣✿ x = λa + (1 − λ)b = λ(a − b) + b, ≤ λ ≤ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❬✹❪ ❚❐♣ A ⊆ Rn ❣ä✐ ❧➭ ✱ ♥Õ✉ ♥ã ❝❤ø❛ trä♥ ➤♦➵♥ t❐♣ ❧å✐ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦× t❤✉é❝ ♥ã✳ ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✶✳ ❍×♥❤ 1.1 ❝❤♦ t❛ ✈Ý ❞ơ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✈Ị t❐♣ ❧å✐ ✈➭ t❐♣ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹ http://www.Lrc-tnu.edu.vn6 www.VNMATH.com ✭❜✮ ✭❛✮ ❍×♥❤ ✭❝✮ ✭❞✮ 1.1 (a), (c)✲ ❚❐♣ ❧å✐❀ (b), (d)✲ ❚❐♣ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳ ❬✶❪ ❚❐♣ ❧å✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❣✐❛♦✱ ♣❤Ð♣ ❤ỵ♣✱ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣✱ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ✈í✐ ♠ét sè ✈➭ ♣❤Ð♣ ❧✃② tỉ ❤ỵ♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚ø❝ ❧➭✱ ♥Õ✉ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ Rn A ✈➭ B ❧➭ ❤❛✐ t❤× ❝➳❝ t❐♣ s❛✉ ❝ị♥❣ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✿ a, A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B}, b, αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B} ị ĩ A Rn ợ ọ ❧➭ ♥ã♥ ♥Õ✉✿ x ∈ A, λ ≥ ⇒ λx ∈ A ▼ét ♥ã♥ ❧✉➠♥ ❝❤ø❛ ➤✐Ó♠ ❣è❝ ∈ Rn ✳ ❚❐♣ A ⊂ Rn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ♥Õ✉ A ✈õ❛ ❧➭ ♥ã♥ ✈õ❛ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ tø❝ ❧➭ λ1 x + λ2 y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ1 , λ2 ≥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳ ❬✹❪ ❈❤♦ t❐♣ ❧å✐ NC (x0 ) = ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ A ⊂ Rn ✈➭ ➤✐Ó♠ x0 ∈ clA✳ ❚❐♣ t ∈ Rn : t, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ A ❤❛② ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ♥❣♦➭✐ ❝ñ❛ A t➵✐ x0 ✳ A ⊆ Rn ✳ ❱❡❝t♦ d = ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ù ủ A ế ỗ x A ó ị ĩ t rỗ {x + λd | λ ≥ 0} ⊂ A ◆❤❐♥ ①Ðt ❬✸❪ ▼ä✐ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ❧ï✐ ①❛ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦× ❝đ❛ d ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét A ➤Ò✉ ♥➺♠ trä♥ tr♦♥❣ A✳ ❘â r➭♥❣✱ t❐♣ A ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺ http://www.Lrc-tnu.edu.vn7 www.VNMATH.com ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ A ❝ã ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ❧ï✐ ①❛✳ A ⊆ Rn ❝ï♥❣ ✈❡❝t♦ t➵♦ t❤➭♥❤ ♥ã♥ ❧å✐✳ ◆ã♥ ❧å✐ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛ t❐♣ A ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ recA✳ ❚❛ ♥ã✐ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ d1 ✈➭ d2 ❧➭ ❦❤➳❝ ❜✐Öt ♥Õ✉ d1 = αd2 , α > 0✳ P❤➢➡♥❣ ❧ï✐ ①❛ d ❝ñ❛ t❐♣ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝đ❛ A ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ♣❤➢➡♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❦❤➳❝ ❜✐Ưt d1 ✈➭ d2 ❝đ❛ A s❛♦ ❝❤♦ d ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳ ột t ợ ủ ột số ữ ó ợ ọ ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳ ❬✶❪ = λ1 d1 +λ2 d2 , λ1 , λ2 > 0✳ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥ ❚❐♣ ❝♦♥ ❤❛② ❣ä✐ ❧➭ ✳ ❦❤ó❝ ❧å✐ B ❝đ❛ ❦❤ó❝ ❧å✐ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞✐Ư♥ ❝đ❛ A ♥Õ✉ ❤Ơ B ❝❤ø❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❝đ❛ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ A t❤× B ❝❤ø❛ ❝➯ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ➤ã ❝ñ❛ A✳ ❚ø❝ ❧➭✱ ∀a, b ∈ A ♥Õ✉ x = λa + (1 − λ)b ∈ B, < λ < ⇒ a, b ∈ B ✳ ▼ét ❞✐Ư♥ ❝ã t❤ø ♥❣✉②➟♥ ❜➺♥❣ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤Ø♥❤ ❤❛② ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✳ ❈➵♥❤ ❧➭ ❞✐Ư♥ ❝ã t❤ø ♥❣✉②➟♥ ❜➺♥❣ 1✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✳ ❬✶❪ ❛✱ ▼ä✐ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ trä♥ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤Ò✉ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ➤Ø♥❤✳ ❜✱ ▼ä✐ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ư♥ A ❝ã ➤Ø♥❤ ❜➺♥❣ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ x ❝ã ❞➵♥❣✿ λi v i + x= i∈I tr♦♥❣ ➤ã✱ λi = 1, λi , βj ≥ βj dj j∈J ✈í✐ ♠ä✐ i∈I ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ ❝➵♥❤ ✈➠ ❤➵♥ ❝đ❛ i, j ❝ß♥ vi ❧➭ ❝➳❝ ➤Ø♥❤✱ dj ❧➭ ❝➳❝ A✳ M, K ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ rỗ ủ Rn M K f : K × K → R ∪ {+∞}✳ ❑❤✐ ➤ã✿ a, ❍➭♠ f ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ M ✈í✐ ❤➺♥❣ số > ế ỗ ị ĩ ✶✳✶✳✽✳ ❬✺❪ ❈❤♦ x, y ∈ M t❛ ❝ã✿ f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ b, ❍➭♠ f ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t tr➟♥ x−y M ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ M t❛ ❝ã✿ f (x, y) + f (y, x) < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✻ http://www.Lrc-tnu.edu.vn8 www.VNMATH.com c, ❍➭♠ f tr➟♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ M ♥Õ✉ ỗ x, y M t ó f (x, y) + f (y, x) ≤ d, ❍➭♠ f tr ệ M ế ỗ x, y ∈ M t❤×✿ f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✾✳ ❬✹❪ ❛✱ ❍➭♠ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ X ⊆ Rn ✱ ♥Õ✉✿ f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ✈í✐ ❜✃t ❦× x, y ∈ X ✈➭ sè t❤ù❝ λ ∈ [0, 1]✳ ❜✱ ❍➭♠ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ X ✱ ♥Õ✉✿ f λx + (1 − λ)y < λf (x) + (1 − λ)f (y), ✈í✐ ❜✃t ❦× x, y ∈ X, x = y ✈➭ λ ∈ (0, 1)✳ ❝✱ ❍➭♠ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ❤Ư sè β > tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ X ♥Õ✉✿ f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − β(1 − λ)λ ✈í✐ ❜✃t ❦× x−y , x, y ∈ X ✈➭ λ ∈ (0, 1)✳ ❞✱ ❍➭♠ f ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ X ✱ ♥Õ✉ ✈í✐ ∀α ∈ R✱ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ Lα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ A ✈➭ g ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ B ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ❤➭♠ s❛✉ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A ∩ B ✿ a, λf + βg, ∀λ, β ≥ 0, ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ b, max(f, g) ị í 1.1.3 ì ú ❝❤♦ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ▼ét ❤➭♠ ❧å✐ ❝ã t❤Ó ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ t➵✐ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ♥ã✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♥ã ❧➵✐ ❧✐➟♥ tơ❝ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✹✳ ❬✶❪ ▼ét ❤➭♠ ❧å✐ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❝đ❛ t❐♣ A t❤× ❧✐➟♥ tơ❝ t➵✐ ♠ä✐ A✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✼ http://www.Lrc-tnu.edu.vn9 www.VNMATH.com ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ❬✹❪ ❈❤♦ ❤➭♠ f ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ A ❝ã✿ f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x ◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ A ✈➭ x = y t❛ ❝ã✿ f (y) − f (x) > ∇f (x), y − x f ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ x, y ∈ A t❛ ❝ã✿ ◆Õ✉ ✈í✐ ❤Ö sè β > 0✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x + β ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f A✳ y−x ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A✳ ▼ét ➤✐Ó♠ x∗ ∈ A ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ tè✐ ➢✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✿ f (x) x∈A ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ ❝đ❛ f tr➟♥ A✱ tø❝ ❧➭✿ ∇f (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ A ❚õ ➤Þ♥❤ ❧Ý 1.1.5 ✈➭ 1.1.6 ❝ã✿ ♥Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A t❤× ❜➭✐ t♦➳♥✿ f (x) x∈A ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t✳ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ▼ét ✈❡❝t♦ y ∗ ∈ Rn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ f t➵✐ x∗ ∈ A ♥Õ✉✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f (x) ≥ f (x∗ ) + y ∗ , x − x∗ , ∀x ∈ A ❚❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ y ∗ t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ∂f (x∗ )✳ ∂f (x∗ ) ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ t❤➢ê♥❣ ❝❤ø❛ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ĩ♠✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ∂f (x∗ ) ❝❤Ø ❝❤ø❛ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f ❦❤➯ ✈✐ t➵✐ x∗ ✳ ❚❐♣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✽ http://www.Lrc-tnu.edu.vn10 www.VNMATH.com ❈❤➢➡♥❣ ✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ▼ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝➡ ❜➯♥ ➤Ó ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✳ ❚ø❝ ❧➭✱ t❛ q✉② ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ✳ ❈➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ t❤❡♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ➳♣ ❞ơ♥❣ ré♥❣ r➲✐ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❧Ý t❤✉②Õt ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝ñ❛ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❋✉❦✉s❤✐♠❛✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ [2], [9]✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✈➱♥ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✿ ❚×♠ tr♦♥❣ ➤ã✱ x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K, (1.1) f : K × K → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ t❤♦➯ ♠➲♥ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ◆❤➢ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ✭❝❤➢➡♥❣ ✶✮✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➳❝ ♥❤➢✿ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï✱✳✳✳ ❇ỉ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ❞➵♥❣ ♠✐♥✐♠❛① ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✵✳✹✳ ❬✷❪ ❈❤♦ f : K×K → R ✈í✐ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ a, ∃x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K b, sup − f (x, y) = x∈K ∗ y∈K c, x ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿ f (x∗ , y) y∈K ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭❛ ⇒ ❜✮ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ⇒ inf f (x, y) ≤ 0, ∀x ∈ K y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✵ http://www.Lrc-tnu.edu.vn42 www.VNMATH.com ⇒ sup { inf f (x, y)} ≤ y∈K x∈K ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❝ã x∗ ∈ K ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ ➤➢ỵ❝ sup { inf f (x, y)} ≥ inf f (x∗ , y) x∈K ∗ ❚❤❡♦ ♣❤➬♥ y∈K y∈K ∗ a, t❛ ❧➵✐ ❝ã f (x , y) ≥ 0, ∀y ∈ K ⇒ inf f (x , y) ≥ y∈K ∗ ⇒ ≤ inf f (x , y) ≤ sup { inf f (x, y)} y∈K x∈K y∈K ⇒ max { inf f (x, y)} = sup { inf f (x, y)} = x∈K ❱❐② ✭❜ y∈K x∈K y∈K {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K ⇒ ❛✮ ❉♦ {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K ∗ ⇒ ∃x ∈ K : sup[−f (x∗ , y)] = {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K y∈K ∗ ⇒ −f (x , y) ≤ 0, ∀y ∈ K ⇒ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K ✭❝ ⇔ ❛✮ ❉♦ x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ f (x∗ , y) y∈K ∗ ∗ ∗ ⇔ f (x , y) ≥ f (x , x ) = ✭❞♦ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ✮✱ ∀y ∈ K ⇔ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K ◆❤❐♥ ①Ðt ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥ t❤× x∗ ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✿ sup − f (x, y x∈K ✭✸✳✶✮ y∈K ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ♥❤❐♥ ①Ðt tr➟♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✈➭ ❤➢í♥❣ tí✐ ✈✐Ư❝ ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ị ĩ ợ ọ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ K ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ Rn ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤➭♠ g : K → R ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉✿ a, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ✱ b, x∗ ∈ K, g(x∗ ) = ⇔ x∗ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ 3.0.2 t❛ t❤✃② ❤➭♠✿ g(x) := sup[−f (x, y)] ✭✸✳✷✮ y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✶ http://www.Lrc-tnu.edu.vn43 www.VNMATH.com ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳ ➜è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ t❛ ❝ã ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✿ g(x) := sup − T (x), y − x y∈K ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✭✸✳✸✮ = sup T (x), x − y y∈K (3.3) ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ❬✻❪✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥➭② ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐✳ ❱✃♥ ➤Ò ①➞② ❞ù♥❣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➯ ✈✐✱ ❧✐➟♥ tô❝ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤Ị ①✉✃t ➤➬✉ t✐➟♥ ❜ë✐ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ❬✽❪ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❜ë✐ ❉✳▲✳❩❤✉ ✈➭ P✳▼❛r❝♦tt❡✳ ❉✳▲✳❩❤✉ ✈➭ P✳▼❛r❝♦tt❡ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣✿ g(x) := max y∈K ✭✸✳✹✮ T (x), x − y − L(x, y) ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➯ ✈✐✱ ❧✐➟♥ tô❝ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ L : K × K → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ K t❤❡♦ ❜✐Õ♥ y ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥✿ a, L(x, x) = 0, ∀x ∈ K ✱ b, ∇y L(x, x) = 0, ∀y ∈ K ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Öt✱ L(x, y) := x − y, M (x − y) ✈í✐ M ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ị n tì ó í ➤➳♥❤ ❣✐➳ ➤➢ỵ❝ ❝❤Ø r❛ ❜ë✐ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ❬✾❪✳ ✸✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ◆❤×♥ ❝❤✉♥❣✱ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✉s❧❡♥❞❡r t❤➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ❬✾❪✳ ❉♦ ➤ã✱ ➤Ó ❝ã t❤Ó ➳♣ ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ t❛ ❝➬♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ♠ét ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② sÏ ➤➢❛ r❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ♠ét ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝ã ❞➵♥❣ (3.2) ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❝❤♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ t➢ê♥❣ ♠✐♥❤ ➤Ĩ tÝ♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ♥ã✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun ✹✷ http://www.Lrc-tnu.edu.vn44 www.VNMATH.com ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✶✳ ❬✷❪ ●✐➯ sö r➺♥❣ f (x, ) : K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ∀x ∈ K ✱ ❦❤➯ ✈✐ ✈í✐ ❜✐Õ♥ x ✈➭ ∇x f (., ) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ K × K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ g(x) := sup{−f (x, y)} y∈K ❧➭ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ♥ã ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ ✭✸✳✺✮ ∇g(x) := ∇x f (x, y(x)), tr♦♥❣ ➤ã✱ y(x) := argminy∈K f (x, y)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t✐Ó✉ ❉♦ f (., ) ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ❜✐Õ♥ y ✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ y(x) ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿ f (x, y) y∈K ị í 4.3.3 ủ t s r ợ y(x) ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ t➵✐ x t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇❡r❣❡ ✈➭ ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ trÞ t➵✐ y(x)✳ ❉♦ ➤ã s✉② r❛ y(x) ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ x✳ ▲➵✐ ❞♦ ∇x f (., ) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ K × K ✱ tõ ➤Þ♥❤ ❧Ý 1.7 ❝❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❆✉s❧❡♥❞❡r ❬✻❪ t❛ ❝ã✿ ∇g(x) := −∇x f (x, y(x)) ❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ ∇x f (., ) ✈➭ y(x) ♥➟♥ ∇g(x) ❧✐➟♥ tơ❝ t➵✐ x✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ s❛✉ ➤➞② ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❞ù❛ ✈➭♦ ✈✐Ư❝ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝❤♦ ë ❞➵♥❣ (3.2)✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❈❤♦ 3.1 ❬✾❪ g(x) := sup{−f (x, y)}✳ y∈K k = 0, x ∈ K ✳ k+1 ❇➢í❝ ✷ ❈❤♦ x = xk + tk dk ✈í✐ k = 1, 2, tr♦♥❣ ➤ã✿ ❇➢í❝ ✶ ❈❤♦ dk := y(xk ) − xk y(xk ) ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✸ http://www.Lrc-tnu.edu.vn45 g www.VNMATH.com f (xk , y) y∈K ✈➭ tk ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿ min{g(xk + tdk )} y∈K ❇➢í❝ ✸ xk+1 − xk ≤ µ ✈í✐ µ > t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ◆Õ✉ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ t❤❛② k ❜ë✐ k + ✈➭ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ • ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣✱ dk ❧➭ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g t➵✐ xk ♥Õ✉✿ ∇g(xk ), dk < ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ dk = y(xk ) − xk ❧➭ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g t➵✐ xk ✳ ➜Ĩ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ➤✐Ị✉ ➤ã t❛ ❝➬♥ ❣✐➯ t❤✐Õt t❤➟♠✿ x ●✐➯ t❤✐Õt f (x, y) + y f (x, y), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ K ✭✸✳✻✮ (3.6) t❤♦➯ ♠➲♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✿ f (x, y) = T (x), y − x ♥Õ✉ ∇T (x) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ K ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✷✳ ❬✶✶❪ ❣✐➯ t❤✐Õt ●✐➯ sư r➺♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ♠Ư♥❤ ➤Ị 3.1.1 ❧➭ ➤ó♥❣ ✈➭ (3.6) t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ d(x) := y(x) − x ❧➭ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g t➵✐ x ∈ K ✱ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ y(x) = x✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣ x∗ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ▼➷t ❦❤➳❝ y(x∗ ) = x∗ ✳ y(x) ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿ min{f (x, y)} y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✹ http://www.Lrc-tnu.edu.vn46 www.VNMATH.com ✈➭ f (x, ) ❧å✐ ♠➵♥❤ ♥➟♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣✿ ✭✸✳✼✮ ∇y f (x, y(x)), z − y(x) > 0, ∀z ∈ K, z = y(x) ➜➷t z := x t❛ ❝ã✿ ∇y f (x, y(x)), x − y(x) > ➤✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿ ∇y f (x, y(x)), y(x) − x < ❑Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ (3.6) t❛ ❝ã✿ > ∇y f (x, y(x)), y(x) − x − ∇x f (x, y(x)), y(x) − x ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤➵♦ ❤➭♠ t❛ ❝ã✿ ∇g(x) = −∇x f (x, y(x)), t❛ s✉② r❛ ➤➢ỵ❝✿ ∇g(y), y − x < ❚ø❝ ❧➭✱ d(x) = y(x) − x ❧➭ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ ❝đ❛ g t➵✐ x✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ tÝ♥❤ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ➤✐Ĩ♠ ➤➢ỵ❝ s✐♥❤ tõ t❤✉❐t t♦➳♥ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✶✳ ❬✾❪ ❈❤♦ K Rn ✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ f (x, ) ❜✐Õ♥ x ✈➭ ∇x f ❧✐➟♥ tô❝ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ y ✮ ∀x ∈ K ✱ ❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ tr K ì K ữ tết (3.6) t❤♦➯ ♠➲♥✳ k ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ∀x ∈ K {x }kN ợ tì từ tt ❧å✐ ❝❤➷t ✭✈í✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ tơ ❝đ❛ ❞➲② 3.1✳ {xk }k∈N t♦➳♥ 3.1 ❧➭ t❤✉é❝ K ➤Ò✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ≤ tk ≤ 1✱ ♥➟♥ {xk }k∈N ⊂ K ✳ ❍➭♠ d(x) = y(x) − x ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K ❞♦ y(x) ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❱× ❚❛ ❧➵✐ ❝ã ➳♥❤ ①➵✿ U (x, d) = y : y = x + tk d, g(x + tk d) = g(x + td) t∈[0,1] ❧➭ ➤ã♥❣ ❦❤✐ ❤➭♠ ❉♦ ➤ã✱ ❞➲② g ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝✳ {xk }k∈N ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❜ë✐ xk+1 = U (xk , d(xk )) ❧➭ ➤ã♥❣ ❬✶✵❪✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✺ http://www.Lrc-tnu.edu.vn47 www.VNMATH.com ❚❤❡♦ ị í ộ tụ ủ s r t ì ể tụ ủ ợ tì từ tt t ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✸✳ ❬✾❪ 3.1 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ ∇x f (x, y) + ∇y f (x, y), y − x ≥ µ t❤♦➯ ♠➲♥ ✈í✐ {xk }k∈N x−y d(x) Rn ✳ ●✐➯ sö✿ , ∀x, y ∈ K ✭✸✳✽✮ µ > 0✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ∇g(x), d(x) ≤ −µ tr♦♥❣ ➤ã✱ d(x) := y(x) − x ◆❤❐♥ ①Ðt ❚r♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.1✱ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥✿ g(xk + tdk ) y∈K ➤Ĩ t×♠ tk ➤➠✐ ❦❤✐ r✃t ♣❤ø❝ t➵♣✳ ➜Ĩ ❦❤➽❝ ♣❤ơ❝ ♥❤➢ỵ❝ ➤✐Ĩ♠ ♥➭② t❛ ➤➢❛ r❛ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.2 ➤Ó ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ (3.2) ✈➭ ❤➭♠ f t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ö♥ (3.8)✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✸✳✷ ❈❤♦ ❬✾❪ g(x) := sup{−f (x, y)}✳ y∈K k = 0, x ∈ K ✳ k ∗ k ❇➢í❝ ✷ ◆Õ✉ g(x ) = 0✱ t❤× ❧✃② x = x ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ❇➢í❝ ✶ ❈❤♦ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ t❛ t✐Õ♣ tơ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❜➢í❝ ✸✳ ❇➢í❝ ✸ ❈❤♦ xk+1 = xk + tk dk ✈í✐ k = 1, 2, tr♦♥❣ ➤ã✿ dk := y(xk ) − xk ❈❤ä♥ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ m ♥❤á ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿ g(xk ) − g(xk + αm dk ) ≥ tαm dk αm = tk ❀ t, α ∈ [0, 1]✳ ❇➢í❝ ✹ ◆Õ✉ xk+1 − xk ≤ µ ✈í✐ µ > t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ✈í✐ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ t❤❛② k ❜ë✐ k + ✈➭ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✻ http://www.Lrc-tnu.edu.vn48 www.VNMATH.com ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ➤➞② ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ➤✐Ĩ♠ ➤➢ỵ❝ s✐♥❤ tõ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.2✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✷✳ ❬✾❪ ❈❤♦ {xk }k∈N ❧➭ ❞➲② ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ tõ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.2✳ ●✐➯ sư K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ Rn ✱ f (x, ) ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ∀x ∈ K ✈➭ ❣✐➯ sư (3.8) t❤♦➯ ♠➲♥ ✈í✐ µ > ✈➭ t < µ/2✳ k ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ K ✱ ❞➲② {x }k∈N ⊂ K ✈➭ ❤é✐ tô ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❉♦ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ t❐♣ K ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ tk ∈ [0, 1] ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ {xk }k∈N ⊂ K ✳ ▲➵✐ ❞♦ tÝ♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ t❐♣ K ♥➟♥ tõ ❞➲② {xk }k∈N t❛ ❝ã t❤Ĩ trÝ❝❤ r❛ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ {xkn }kn ∈N ✱ ❞➲② ♥➭② ❤é✐ tô ➤Õ♥ ➤✐Ó♠ x∗ ✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ y(x∗ ) = x∗ ✈× t❤Õ ♥➟♥ x∗ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤♦ d(x) := y(x)−x✱ ✈× y(x) ❧✐➟♥ tơ❝ ✭①❡♠ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ♠Ư♥❤ ➤Ị 3.1.1✮ ♥➟♥ s✉② r❛ d(x) tụ ì t ó tể ị d(xkn ) → d(x∗ ) := d∗ ✈➭ g(xkn ) → g(x∗ ) := g ∗ ✳ ❚❛ ❝ã✿ g(xk ) − g(xk+1 ) ≥ tαk dk , ❉♦ ➤ã✱ αkn d(xkn ) → 0, ✈❐② {αkn } ⊆ {αk }✳ ◆Õ✉ αkn > γ > 0, γ ∈ R, ∀k ∈ R t❤× d(xkn ) → ♥➟♥ y(x∗ ) = x∗ ✳ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö tå♥ t➵✐ ❞➲② {αkp } ⊆ {αkn }, αkp → 0✳ ❚❛ ❝ã✱ g(xkp ) − g(xkp + αkp d(xkp ) t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ t❤❛② k ❜ë✐ k + ✈➭ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ ❇➢í❝ ✸ ◆Õ✉ ❚r♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.3 t❤❛② t❤Õ ❣✐➯ t❤✐Õt (3.6) ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.1 ❜ë✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ∇x f (x, y) + ∇x L(x, y) + ∇y f (x, y) + ∇y L(x, y), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ K ✭✸✳✶✸✮ ❉Ô t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ∇x L(x, y) + ∇y L(x, y) = 0, ∀x, y ∈ K t❤× ❣✐➯ t❤✐Õt (3.13) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❣✐➯ t❤✐Õt (3.6)✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ❝❤Ø r❛ tÝ♥❤ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ➤✐Ĩ♠ ➤➢ỵ❝ s✐♥❤ ❜ë✐ t❤✉❐t t♦➳♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✾ 3.3✳ http://www.Lrc-tnu.edu.vn51 www.VNMATH.com ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳✷✳ ❬✷❪ ❈❤♦ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ t❐♣ Rn ✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ f (x, ) ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ∀x ∈ K ✱ ❦❤➯ ✈✐ ✈í✐ ❜✐Õ♥ x ✈➭ ∇x f ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ K × K ✳ ❈❤♦ L(., ) : K × K → R ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ K × K ✱ L(x, ) ❧å✐ ❝❤➷t ✈í✐ ∀x ∈ K ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥✿ a, L(x, x) = 0, ∀x ∈ K ✱ b, ∇y L(x, x) = 0, ∀x ∈ K ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❣✐➯ sư ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (3.13) t❤♦➯ ♠➲♥✳ k ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ x ∈ K ✱ ❞➲② {x }kN ợ tì tộ K ộ tụ tớ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♣❤ơ✳ ▲✃② tõ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.3 ❧➭ 3.0.5✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ = ✈➭ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧Ý 3.2.1 ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♣❤ơ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ❈❤ó♥❣ t❛ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❝ñ❛ ❤➭♠ f (x, ) tr➟♥ K tr♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ 3.2 ❧➭♠ ❤➵♥ ❝❤Õ ♣❤➵♠ ✈✐ ø♥❣ ❞ô♥❣✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ ❜á ➤➢ỵ❝ ♥Õ✉ t❛ t❤❛② t❤Õ ❣✐➯ t❤✐Õt (3.8) ❜ë✐ ❣✐➯ t❤✐Õt s❛✉ ❬✶✶❪✿ ∇x f (x, y) + ∇x L(x, y) + ∇y f (x, y) + ∇y L(x, y), y − x ≥ µ x−y ✭✸✳✶✹✮ ❚❤✉❐t t♦➳♥ sÏ tr×♥❤ ❜➭② s❛✉ ➤➞② ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♥❣❛② ❝➯ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ f (x, ) ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❬✾❪✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ g(x) := max{−f (x, y) − L(x, y)}✳ y∈K k = 0, x ∈ K ✳ k ❇➢í❝ ✷ ◆Õ✉ g(x ) = t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ❇➢í❝ ✶ ❈❤♦ ❈❤♦ 3.4 ❬✾❪ ❚r➳✐ ❧➵✐ t❛ t✐Õ♣ tơ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❜➢í❝ ✸✳ ❇➢í❝ ✸ ❈❤♦ xk+1 = xk + tk dk ✈í✐ k = 1, 2, tr♦♥❣ ➤ã✿ dk := y(xk ) − xk ❈❤ä♥ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ m ♥❤á ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✵ http://www.Lrc-tnu.edu.vn52 www.VNMATH.com g(xk ) − g(xk + αm dk ) ≥ tαm dk αm = tk ❀ t, α ∈ [0, 1]✳ ❇➢í❝ ✹ ◆Õ✉ xk+1 − xk ≤ µ ✈í✐ µ > t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ ❞õ♥❣✳ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ t❤❛② k ❜ë✐ k + ✈➭ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷✳ ✈í✐ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ➤✐Ĩ♠ ➤➢ỵ❝ s từ tt t q ủ ị í 3.4 ợ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❤Ư 3.1.2✮ s❛✉✿ {xk } ❧➭ ❞➲② ợ tì từ tt t 3.4 sử r K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ Rn ✈➭ ❣✐➯ t❤✐Õt (3.14) t❤♦➯ ♠➲♥ ✈í✐ µ > ✈➭ t < µ/2✳ k ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ K ❞➲② {x } ⊂ K ✈➭ ❤é✐ tơ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❍Ư q✉➯ ✸✳✷✳✶✳ ❬✾❪ ❈❤♦ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯♠ ♥❤Đ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✈Ị tÝ♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ❝đ❛ t❐♣ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ K tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤➭♠ f ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✈➭ ∇x L ❧✐➟♥ tơ❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➟♥ K ❬✶✶❪✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ t❛ ➤➳♥❤ ❣✐➳ s❛✐ sè t♦➭♥ ❝ô❝ ❦❤✐ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ t❤❡♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ f ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✶✳ ❬✾❪ ❈❤♦ f ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ g(x) ≥ b ✈í✐ x∗ x − x∗ K ✈í✐ ❤Ư sè , ∀x ∈ K b✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✭✸✳✶✺✮ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❱× ✈í✐ ∀y ∈ K t❛ ❝ã g(x) ≥ −f (x, y)✳ ❑❤✐ ➤ã ❞ù❛ ✈➭♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ị tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ❤Ư sè tÝ♥❤ ❝❤✃t b ❝đ❛ ❤➭♠ f ✈➭ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K t❛ ❝ã✿ g(x) ≥ −f (x∗ , x) − f (x, x∗ ) + f (x, x∗ ) ≥b x − x∗ +f (x, x∗ ) ≥b x − x∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✶ http://www.Lrc-tnu.edu.vn53 www.VNMATH.com ❚❛ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➟✉ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị 3.2.1 ➤è✐ ✈í✐ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ g := maxy∈K − f (x, y) − L(x, y) ✈➭ ❝➬♥ ①Ðt t❤➟♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✈Ị tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝❤♦ ❤➭♠ ∇y L(x, y)✳ K ✈í✐ ❤Ư sè b✱ L(x, ) ✈➭ ∇y L(x, ) ❧✐➟♥ tơ❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈í✐ ❤Ư sè L < 2b✱ ∀x ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✷✳ ❬✶✶❪ ❈❤♦ f ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ g(x) ≥ (b − L/2) ✈í✐ x∗ x − x∗ , ∀x ∈ K ❧å✐ ✭✸✳✶✻✮ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❱í✐ ∀x, y ∈ K ❝ã g(x) ≥ −f (x, y) − G(x, y) ❉♦ ➤ã✱ ✈í✐ x∗ = y ❝ã g(x) ≥ −f (x∗ , x) − L(x∗ , x) − f (x, x∗ ) + f (x, x∗ ) x − x∗ ≥b +f (x, x∗ ) − L(x∗ , x) ❈ã x − x∗ g(x) ≥ b ❉♦ − G(x∗ , x) ✭✸✳✶✼✮ ∇y L(x, ) ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➟♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤ó♥❣ L(x∗ , x) = L(x∗ , x) − L(x, x) ✭ L(x, x) = 0) x∗ − x ≤ (L/2) ❑Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ , ∀x ∈ K (3.17) ❝ã g(x) ≥ (b − L/2) x − x∗ , ∀x ∈ K ❑Õt ❧✉❐♥ ❝❤➢➡♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❧Ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❉ù❛ ✈➭♦ ❧Ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳✱ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✈➭ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ t❤➠♥❣ q✉❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✷ http://www.Lrc-tnu.edu.vn54 www.VNMATH.com ❑Õt ❧✉❐♥ ◆❤➢ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ë tr➟♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1) ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tỉ♥❣ q✉➳t ✈× ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❡♥ t❤✉é❝ ♥❤➢✿ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤✱✳✳✳ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t✐Õ♣ ❝❐♥ t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣r❛❞✐❡♥t t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ộ í ợ trì tr ❣å♠✿ • ❉➵♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ô♥❣ q✉❡♥ t❤✉é❝ ♠➭ ó tể ể ề t ã rì ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ t ã rì ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ sö ❞ơ♥❣ ❧Ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ➤Ĩ ➤➢❛ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈Ị ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♠ét ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➢í♥❣ ❣✐➯♠ tr➟♥ t❐♣ r➭♥❣ ❜✉é❝✳ ❚r♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ tí✐✱ t➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❝ã t❤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ s➞✉ ❤➡♥ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤Ĩ ❝ã t❤Ĩ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ r✐➟♥❣ ✈Ò ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥➭②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ❝❤Ø ❞➱♥ ❝➳❝ t❤➭② ❝➠ ❣✐➳♦ ❝ï♥❣ ❝➳❝ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ➤Ĩ t ợ ữ ết q ể tr ❝ø✉ ♥➭②✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✸ http://www.Lrc-tnu.edu.vn55 www.VNMATH.com ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ▲➟ ❉ò♥❣ ▼➢✉ ✭✶✾✾✽✮✱ ✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ◆❤❐♣ ♠➠♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tè✐ ➢✉ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❑ü t❤✉❐t✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✷❪ ◆❣✉②❡♥ ❱❛♥ ❍✐❡♥ ✭✷✵✵✷✮✱ ✱ ◆❛✲ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ♦♥ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s ♠✉r✱ ❇❡❧❣✐✉♠✳ ❬✸❪ ◆❣✉②Ô♥ ị trì P ố ➢✉ ▲ý ✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❇➳❝❤ ❑❤♦❛ ✲❍➭ ◆é✐✳ tết t t P ỗ P●❙✳❚❙ P❤❛♥ ❍✉② ❑❤➯✐ ✭✷✵✵✵✮✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❑ü t❤✉❐t✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✺❪ ❉✳◗✉♦❝ ❚r❛♥✱ ▼✳▲❡ ❉✉♥❣✱ ❱❛♥ ❍✐❡♥ ◆❣✉②❡♥ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❊①tr❛❣r❛❞✐❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❊①t❡♥❞❡❞ t♦ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ❬✻❪ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ✭✶✾✼✻✮✱ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥✲▼Ðt❤♦❞❡s ✳ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✱ ♥✉♠Ðr✐q✉❡s ▼❛ss♦♥✱ P❛r✐s✳ ❬✼❪ ❊✳❇❧✉♠ ❛♥❞ ❲✳❖❡tt❧✐ ✭✶✾✾✹✮✱ ✧❋r♦♠ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥ t♦ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥q✉❛❧✲ ✐t✐❡s t♦ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ❚❤❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❙t✉❞❡♥t ✻✸ ✱ ♣♣✳✶✸✹✲✶✹✺✳ ❬✽❪ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✭✶✾✾✷✮✱ ✧❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜✲ ❧❡♠s ❛♥❞ ❉❡s❝❡♥t ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❆s②♠♠❡tr✐❝ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧■♥q✉❛❧✐t② Pr♦❜✲ ❧❡♠s✧✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ✺✸ ✱ ♣♣✳ ✾✾✲✶✶✵✳ ❬✾❪ ●✳▼❛str♦❡♥✐ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧●❛♣ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ●❧♦❛❧ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✷✼ ✱ ♣♣✳ ✹✶✶✲✹✷✻✳ ❬✶✵❪ ❉✳▲✳❩❤✉ ❛♥❞ P✳▼❛r❝♦tt❡ ✭✶✾✾✹✮✱ ✧❆♥ ❊①t❡♥❞❡❞ ❉❡s❝❡♥t ❋r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐✲ ✱ ♣♣✳ ✸✹✾✲✸✻✻✳ ❝❛t✐♦♥s ✽✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✺✹ http://www.Lrc-tnu.edu.vn56 ... NGỌC NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HĨA TRONG BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa. .. ➤➳♥❤ ❣✐➳ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶ http://www.Lrc-tnu.edu.vn3 www.VNMATH.com ▼ë ➤➬✉... ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ t♦➳♥ ❑✶ ➤➲ ❧✉➠♥ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤Ý❝❤ ❧Ư ➤Ĩ ❧✉❐♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun ✷ http://www.Lrc-tnu.edu.vn4 www.VNMATH.com ✈➝♥ ➤➢ỵ❝