Các kiến thức chuẩn bị
Giải tích lồi là một lĩnh vực quan trọng trong việc nghiên cứu và phát triển các thuật toán cho bài toán cân bằng Phần này sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về giải tích lồi, đồng thời đề cập đến các định lý chưa được chứng minh, có thể tham khảo trong tài liệu [4].
Kí hiệu R là tập số thực, R n là không gian Euclid n chiều. Định nghĩa 1.1.1 [4] Cho hai điểm a, b trong không gian Euclid n-chiều
Trong không gian R^n, đường thẳng đi qua hai điểm a và b được xác định bởi tập hợp các điểm x có dạng x = λa + (1−λ)b với ∀λ ∈ R Đoạn thẳng nối hai điểm a và b là tập hợp tất cả các điểm x có dạng x = λa + (1−λ)b = λ(a−b) + b, với điều kiện 0 ≤ λ ≤ 1 Theo định nghĩa 1.1.2, một tập A ⊆ R^n được gọi là tập lồi nếu nó chứa toàn bộ đoạn thẳng nối bất kỳ hai điểm thuộc tập đó.
Ví dụ 1.1.1 Hình 1.1 cho ta ví dụ đơn giản về tập lồi và tập không lồi
Tập lồi là một khái niệm quan trọng trong không gian R^n, với định lý cho biết rằng tập lồi là đóng với các phép toán như giao, hợp, cộng, nhân với một số và lấy tổ hợp tuyến tính Cụ thể, nếu A và B là hai tập lồi, thì giao của chúng A∩B và tổ hợp tuyến tính αA + βB cũng là các tập lồi Ngoài ra, một tập A ⊂ R^n được gọi là nón nếu với mọi x ∈ A và λ ≥ 0, thì λx cũng thuộc A.
Một nón luôn chứa điểm gốc 0∈ R n Tập A ⊂ R n được gọi là nón lồi nếu
A vừa là nón vừa là tập lồi, tức là λ 1 x+λ 2 y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ 1 , λ 2 ≥ 0. Định nghĩa 1.1.4 [4] Cho tập lồi A ⊂R n và điểm x 0 ∈ clA Tập
Trong không gian R^n, một nón lồi đóng hoặc nón pháp tuyến ngoài của tập lồi A tại điểm x₀ được định nghĩa là ≤ 0, ∀x∈ A Định nghĩa 1.1.5 chỉ ra rằng cho một tập lồi không rỗng A ⊆ R^n, một vectơ d khác không được gọi là phương lùi xa của A nếu với mọi x thuộc A, điều kiện nhất định phải được thỏa mãn.
Mọi nửa đường thẳng song song với một phương lùi xa xuất phát từ điểm bất kỳ trong tập A đều nằm hoàn toàn trong A Điều này cho thấy rằng tập A không bị chặn nếu và chỉ nếu A có một phương lùi xa.
Tập tất cả các phương lùi xa của tập lồi A ⊆ R n cùng với vector 0 tạo thành một nón lồi, được gọi là nón lùi xa của tập A và ký hiệu là recA.
Hai phương d1 và d2 được coi là khác biệt nếu d1 không tỷ lệ với d2, với α > 0 Phương lùi xa d của tập A được xác định là phương cực biên của A nếu không tồn tại các phương lùi xa khác biệt d1 và d2 sao cho d = λ1d1 + λ2d2, với λ1, λ2 > 0 Một tập hợp được gọi là tập lồi đa diện hay khúc lồi nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng Tập con B của khúc lồi A được gọi là một diện của A.
A nếu hễ B chứa một điểm trong của một đoạn thẳng nào đó của A thì B chứa cả đoạn thẳng đó của A Tức là,
Trong không gian R^n, nếu a, b ∈ A và x = λa + (1−λ)b ∈ B với 0 < λ < 1, thì a và b đều thuộc B Một diện có thứ nguyên bằng 0 được gọi là đỉnh hoặc điểm cực biên, trong khi cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1 Định lý 1.1.2 khẳng định rằng mọi tập lồi đa diện không chứa trọn một đường thẳng đều có ít nhất một đỉnh Tập lồi đa diện A có đỉnh được xác định là tập hợp các điểm x có dạng x = Σi∈I λi vi + Σj∈J βj dj, trong đó Σi∈I λi = 1, λi, βj ≥ 0 với mọi i, j, với vi là các đỉnh và dj là các phương của các cạnh vô hạn của A Định nghĩa 1.1.8 nêu rõ rằng nếu M, K là các tập lồi khác rỗng của R^n với M ⊆ K và f: K × K → R ∪ {+∞}, thì hàm f được coi là đơn điệu mạnh trên M với hằng số τ > 0 nếu với mọi cặp x, y ∈ M, có f(x, y) + f(y, x) ≤ -τ ||x - y||^2 Hàm f được gọi là đơn điệu chặt nếu f(x, y) + f(y, x) < 0, và đơn điệu nếu f(x, y) + f(y, x) ≤ 0 Cuối cùng, hàm f giả đơn điệu trên M nếu với mọi cặp x, y ∈ M, điều kiện f(x, y) ≥ 0 dẫn đến f(y, x) ≤ 0 Hàm f là hàm lồi xác định trên tập lồi X ⊆ R^n nếu f(λx + (1−λ)y).
≤ λf(x) + (1−λ)f(y), với bất kì x, y ∈ X và số thực λ ∈ [0,1]. b, Hàm f là hàm lồi chặt trên tập lồi X, nếu: f λx+ (1−λ)y
< λf(x) + (1−λ)f(y), với bất kì x, y ∈ X, x 6= y và λ ∈ (0,1). c, Hàm f là hàm lồi mạnh với hệ số β > 0trên tập lồi X nếu: f λx+ (1−λ)y
Hàm f(x) được gọi là hàm tựa lồi trên tập lồi X nếu tập mức dưới Lα(f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập lồi với mọi α ∈ R Theo Định lý 1.1.3, nếu f là hàm lồi trên tập lồi A và g là hàm lồi trên tập lồi B, thì các hàm λf + βg (với λ, β ≥ 0) và max(f, g) đều là hàm lồi trên tập lồi A ∩ B Tuy nhiên, định lý này không áp dụng cho hàm tựa lồi, vì một hàm lồi có thể không liên tục tại một điểm trên biên miền xác định Ngược lại, Định lý 1.1.4 khẳng định rằng một hàm lồi xác định trên tập lồi A sẽ liên tục tại mọi điểm trong của tập A Cuối cùng, Định lý 1.1.5 chỉ ra rằng nếu hàm f lồi và khả vi trên tập lồi A, thì với mọi x, y ∈ A, có f(y) - f(x) ≥ 0.
Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi A Khi đó với mọi x, y ∈ A và x 6= y ta cã: f(y)−f(x) >
Nếu f là lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi A Khi đó với mọi x, y ∈ A ta cã: f(y)−f(x) ≥
Định lý 1.1.6 chỉ ra rằng, đối với một hàm lồi f khả vi trên tập lồi đóng A, một điểm x∗ thuộc A sẽ là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi minx∈A f(x) nếu và chỉ nếu x∗ là điểm dừng của hàm f trên A.
Theo định lý 1.1.5 và 1.1.6, nếu hàm f là hàm lồi mạnh trên tập lồi đóng A, thì bài toán tối thiểu minx∈A f(x) sẽ có nghiệm duy nhất Định nghĩa 1.1.10 cho biết rằng, đối với hàm lồi f trên tập lồi A, một vector y* ∈ R^n được gọi là dưới vi phân của f tại x* ∈ A nếu thỏa mãn điều kiện f(x) ≥ f(x*) + y* , x - x*.
Tập hợp tất cả các điểm \( x^* \) thỏa mãn bất đẳng thức được ký hiệu là \( \partial f(x^*) \) Tập \( \partial f(x^*) \) thường chứa nhiều điểm, nhưng nếu nó chỉ chứa một điểm duy nhất, chúng ta nói rằng hàm \( f \) khả vi tại \( x^* \).
Hàm số f(x) = kxk có tính khả vi tại mọi điểm x khác 0, với đạo hàm ∂f(x) = kxk - 1 x, nhưng không khả vi tại x = 0 do ∂f(x) = {y : kxk ≥ y, x, ∀y} Theo định nghĩa, một điểm x* ∈ D được xem là cực tiểu địa phương của hàm f trên miền D nếu tồn tại một lân cận mở U của x* sao cho f(x*) ≤ f(x) với mọi x ∈ D ∩ U Nếu f(x*) ≤ f(x) với mọi x ∈ D, x* sẽ được gọi là cực tiểu tuyệt đối Định lý cho biết rằng mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên tập lồi đều là điểm cực tiểu tuyệt đối, và nếu x* là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên tập lồi D với x* thuộc intD, thì điều này cũng được xác nhận.
0∈ ∂f(x ∗ ). Định lý 1.1.8 [1] Cực đại của một hàm lồi (nếu có ) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên.
Phương pháp chiếu và đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng 16 2.1 Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng
Phương pháp hàm đánh giá 40 3.1 Hàm đánh giá A.Auslender
Hàm đánh giá M.Fukushima
Trong nghiên cứu trước đây, Auslender đã phát triển một thuật toán hàm đánh giá để giải quyết bài toán cân bằng khi hàm f(x, ) có tính lồi mạnh Tuy nhiên, giả thiết về tính lồi mạnh không phải lúc nào cũng được thỏa mãn, ví dụ như trong trường hợp bài toán bất đẳng thức biến phân với hàm f(x, ) là hàm tuyến tính Để giải quyết vấn đề này, Fukushima đã chuyển đổi bài toán cân bằng thành bài toán cân bằng phụ và đề xuất một thuật toán hàm đánh giá mới Theo định lý 3.2.1, nếu f(x, ) là hàm lồi, khả vi với biến x, và đạo hàm riêng ∇ x f(., ) liên tục trên tập K, thì các điều kiện cần thiết cho việc áp dụng thuật toán sẽ được đảm bảo.
Cho L(., ) không âm, khả vi liên tục trên K ìK, lồi mạnh với biến y,
Khi đó, g(x) := max y∈K{−f(x, y)− L(x, y)} (3.11) là hàm đánh giá khả vi liên tục của bài toán cân bằng và đạo hàm của nó được cho bởi công thức:
Chứng minh Từ bổ đề 3.0.5và hệ quả 2.2.1(chương 2), ta suy ra bài toán cân bằng tương đương với bài toán cân bằng phụ sau: miny∈K{f(x ∗ , y) +L(x ∗ , y)}.
Lấy= 1và áp dụng mệnh đề3.1.1cho bài toán cân bằng phụ ta suy ra điều phải chứng minh
NhËn xÐt Khi f(x, y) :T(x), y−x th× g(x) := sup y∈K
Hàm đánh giá cho bài toán bất đẳng thức biến phân được biểu diễn bởi công thức {−f(x, y)− L(x, y)} Khi áp dụng thuật toán 3.1 cho bài toán cân bằng, chúng ta có thể phát triển một thuật toán cho bài toán cân bằng phụ.
Thuật toán 3.3 [9] Cho g(x) := max y∈K{−f(x, y)− L(x, y)}. Bước 1 Cho k = 0, x 0 ∈ K.
Bước 2 Cho x k+1 = x k +t k d k với k = 1,2, trong đó, d k = y(x k )−x k y(x k ) là nghiệm của bài toán tối ưu: miny∈K{f(x k , y) +L(x k , y)}, và tk là nghiệm của bài toán: miny∈K{g(x k + td k )}.
Bước 3 Nếu k x k+1 −x k k≤ à với à > 0 thì thuật toán dừng.
Trái lại, thay k bởi k + 1 và quay lại bước 2.
Trong thuật toán3.3thay thế giả thiết(3.6)của thuật toán3.1bởi điều kiện sau:
Nếu giả thiết ∇ x L(x, y) +∇ y L(x, y) = 0 cho mọi x, y thuộc K, thì điều này tương đương với giả thiết (3.6) Định lý 3.2.2 chỉ ra rằng dãy điểm sinh ra từ thuật toán 3.3 sẽ hội tụ Cụ thể, cho K là tập lồi và compact trong R n, với f(x, ) là hàm lồi khả vi với biến x và ∇ x f liên tục trên K Hàm L(., ) từ K đến R là không âm, khả vi liên tục trên K, và L(x, ) lồi chặt cho mọi x thuộc K, đồng thời thỏa mãn các điều kiện: L(x, x) = 0 cho mọi x thuộc K và ∇ y L(x, x) = 0 cho mọi x thuộc K.
Hơn nữa, giả sử điều kiện (3.13) thoả mãn.
Khi đó, với mọi điểm x 0 ∈ K, dãy {x k } k∈ N được tìm từ thuật toán 3.3 là thuộc K và hội tụ tới nghiệm của bài toán cân bằng.
Theo mệnh đề 3.0.5, bài toán cân bằng được chứng minh tương đương với bài toán cân bằng phụ Bằng cách lấy = 1 và áp dụng định lý 3.2.1 cho bài toán cân bằng phụ, chúng ta có thể suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét Chúng ta nhận thấy rằng điều kiện lồi mạnh của hàm f(x, ) trên
K trong thuật toán 3.2 làm hạn chế phạm vi ứng dụng Điều kiện này có thể bỏ được nếu ta thay thế giả thiết (3.8) bởi giả thiết sau [11]:
(3.14) Thuật toán sẽ trình bày sau đây có thể áp dụng ngay cả trong trường hợp f(x, ) là hàm lồi, nhưng không nhất thiết là lồi mạnh [9].
Thuật toán 3.4 [9] Cho g(x) := max y∈K{−f(x, y)− L(x, y)}. Bước 1 Cho k = 0, x 0 ∈ K.
Bước 2 Nếu g(x k ) = 0 thì thuật toán dừng.
Trái lại ta tiếp tục thực hiện bước 3.
Bước 3 Cho x k+1 = x k +t k d k với k = 1,2, trong đó: d k := y(x k )−x k Chọn số nguyên không âm m nhỏ nhất thoả mãn: g(x k )−g(x k +α m d k ) ≥ tα m k d k k 2 víi α m = t k ; t, α ∈ [0,1].
Bước 4 Nếu k x k+1 −x k k≤ à với à > 0 thì thuật toán dừng.
Trái lại, thay k bởi k + 1 và quay lại bước 2.
Sự hội tụ của dãy điểm được sinh từ thuật toán 3.4được khẳng định bởi hệ quả (của định lí 3.1.2) sau:
Hệ quả 3.2.1 [9] Cho {x k } là dãy được tìm từ thuật toán3.4 Giả sử rằng
K là tập lồi và compact của R n và giả thiết(3.14) thoả mãn với à > 0 và t < à/2.
Khi đó, với mọi x 0 ∈ K dãy {x k } ⊂ K và hội tụ tới nghiệm của bài toán cân bằng.
Nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể nới lỏng yêu cầu về tính compact của tập chấp nhận K khi hàm là đơn điệu mạnh và ∇ x L liên tục Lipschitz trên K.
Mệnh đề sau cho phép ta đánh giá sai số toàn cục khi giải bài toán cân bằng theo hàm đánh giá g trong trường hợp f đơn điệu mạnh.
Mệnh đề 3.2.1 [9] Cho f đơn điệu mạnh trên K với hệ số b Khi đó, g(x) ≥ b k x−x ∗ k 2 , ∀x ∈ K (3.15) với x ∗ là nghiệm của bài toán cân bằng.
Chứng minh Vì với ∀y ∈ K ta có g(x) ≥ −f(x, y).
Khi đó dựa vào giả thiết về tính đơn điệu mạnh theo hệ số b của hàm f và tÝnh chÊt f(x, x) = 0, ∀x ∈ K ta cã: g(x) ≥ −f(x ∗ , x)−f(x, x ∗ ) + f(x, x ∗ )
Ta có thể mở rộng kết quả nêu trong mệnh đề 3.2.1 đối với hàm đánh giá g := max y∈K
−f(x, y)− L(x, y) và cần xét thêm điều kiện về tính liên tục Lipschitz cho hàm ∇ y L(x, y).
Mệnh đề 3.2.2 [11] Cho f đơn điệu mạnh trên K với hệ số b, L(x, ) lồi và ∇ y L(x, ) liên tục Lipschitz với hệ số L