BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG

2 NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Mã số Xác nhận của trường Đại học Ngân hàng TPHCM Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Ngọc Giang TPHCM, 2020 3 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Ngọc Giang Thành viên 1 TS Nguyễn Minh Hải 2 Th S Nguyễn Huy Thao 4 PHẦN 1 MỞ ĐẦU 8 PHẦN 2 KIẾN THÚC CHUẨN BỊ 10 2 1 Không gian tô pô 10 2 2 Không gian mê.

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Mã số: Xác nhận trường Đại học Chủ nhiệm đề tài Ngân hàng TPHCM TS Nguyễn Ngọc Giang TPHCM, 2020 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Ngọc Giang Thành viên: TS Nguyễn Minh Hải Th.S Nguyễn Huy Thao PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….8 PHẦN KIẾN THÚC CHUẨN BỊ………………………………………….10 2.1 Không gian tô pô………………………………………….………… 10 2.2 Không gian mêtric……………………………………………………… 13 2.3 Khơng gian định chuẩn……………………………………………… 15 2.4 Tính liên tục ánh xạ………………………………………………….17 2.5 Tính liên tục ánh xạ đơn trị………………………………………….23 PHẦN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU…………………………………………24 3.1 Mô hình tốn cân hai mức………………………… ……… 24 3.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm……………………… 25 PHẦN KẾT LUẬN……………………………………………………….29 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 30 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU ( ) lân cận điểm ( ) hình cầu mở tâm ̅( ) hình cầu đóng tâm A X bán kính bán kính tập ánh xạ đa trị từ vào miền hiệu ánh xạ ngược đồ thị gr H-usc nửa liên tục theo nghĩa Hausdorff H-lsc nửa liên tục theo nghĩa Hausdorff lsc nửa liên tục usc nửa liên tục ‖ ‖ chuẩn không gian đối ngẫu tập hợp số thực tập hợp số thực không âm ( ) khoảng cách từ ( ) khoảng cách Hausdorff hai tập đến tập tập hợp rỗng diam đường kính tập hợp TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM Đơn vị: Bộ mơn Tốn Kinh tế THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: tính chất nghiệm toán cân ứng dụng - Mã số: - Chủ nhiệm: Nguyễn Ngọc Giang - Cơ quan: Bộ mơn Tốn Kinh tế, Đại học ngân Hàng - Thời gian thực hiện: 2020 - 2021 Mục tiêu: - Nghiên cứu mơ hình tốn cân toán liên quan nhằm áp dụng vào tốn thực tế - Nghiên cứu tính chất tập nghiệm tính liên tục, tính liên tục Holder/Lipschitz - Đóng góp kết cho chủ đề nghiên cứu kết công bố tạp chí nước Tính sáng tạo: Đề tài thu kết tính chất nghiệm tốn cân vấn đề liên quan, bao gồm tính nửa liên tục, tính liên tục Hưlder, liên tục Lipschitz Các kết thu đề tài phát triển kết có Kết nghiên cứu: Trong báo cáo này, cách sử dụng giả thiết tính mức đóng tính lồi tổng quát, thành công việc thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân hai mức, đáp ứng mục tiêu đặt Các kết đạt có ý nghĩa tốn học ứng dụng Bên cạnh kết báo cáo mở rộng nghiên cứu cho toán quan trọng tối ưu toán tựa cân bằng, toán cân đa trị,… Sản phẩm: - Một báo đăng Tạp chí nước Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: - Góp phần xây dựng, thúc đẩy tác phong học tập nâng cao trình độ giảng viên - Nâng cao lực nghiên cứu khoa học Trường Đại học Ngân hàng TPHCM so với trường khác khu vực - Kết nghiên cứu công bố tạp chí nước TPHCM, tháng năm 2020 Chủ nhiệm đề tài Xác nhận Trường Đại học Ngân hàng TPHCM (ký, họ tên, đóng dấu) Nguyễn Ngọc Giang PHẦN MỞ ĐẦU Bài tốn cân véc tơ mơ hình hợp nhiều toán quan trọng tối ưu hoá, toán tối ưu véc tơ, toán bất đẳng thức biến phân véc tơ, toán điểm bất động, tốn bù… (Giannessi, 2000) Chính vai trị quan trọng tốn mà hai thập kỷ qua, lớp toán nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà toán học giới Cho đến nay, chủ đề điều kiện tồn nghiệm cho lớp tốn có nhiều kết hồn chỉnh đa dạng cách tiếp cận (Ansari, 2008; Chen et al., 2011) Chủ đề quan trọng tính ổn định nghiệm tốn cân bằng, chủ đề quan tâm năm gần có tốc độ phát triển nhanh Từ cơng trình cơng bố tính ổn định nghiệm toán cân bằng, cho thấy có hai hướng tiếp cận cho chủ đề này, tính ổn định định tính, dạng nửa liên tục/ liên tục theo nghĩa Berge Hausdorff, đặt chỉnh (Lignola and Morgan, 2006; Lâm Quốc Anh Nguyễn Văn Hưng, 2018; Lâm Quốc Anh et al., 2012), tính ổn định định lượng tính liên tục Lipschitz/H ̈ lder (Lâm Quốc Anh Phan Quốc Khánh, 2009; Lâm Quốc Anh et al., 2012; Li and Li, 2011…) Xuất phát từ việc đáp ứng tình thực tế lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, y học, xã hội,… mơ hình toán cân hai mức đề xuất nghiên cứu thời gian gần Trong công trình Bao et al (2007); Mordukhovich (2009), cách sử dụng công cụ đối đạo hàm, tác giả thiết lập điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc cân Về đặt chỉnh cho toán liên quan đến tối ưu với ràng buộc cân toán cân Nash hai mức, tốn tối ưu hóa với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, toán cân với ràng buộc cân đạt nhiều kết thú vị báo Lignola and Morgan (2006); Lâm Quốc Anh et al (2012), Lâm Quốc Anh Nguyễn Văn Hưng (2018)… Cho đến nay, chưa tìm thấy cơng trình dành cho việc khảo sát tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân với ràng buộc cân phụ thuộc tham số, với tham số nhiễu cho không gian tham số Từ quan sát trên, đề tài này, đưa mục tiêu khảo sát tốn cân với ràng buộc cân có liệu nhiễu tham số Bằng việc xem xét tập nghiệm toán ánh xạ (đa trị) cho không gian chứa tham số, báo khảo sát điều kiện ổn định định tính theo nghĩa nửa liên tục tính đóng ánh xạ nghiệm toán đề cập Từ việc sử dụng cơng cụ hữu hiệu giải tích đa trị giải tích lồi, bao gồm điều kiện liên tục giảm nhẹ tính lồi suy rộng, kết đạt đáp ứng mục tiêu đề xuất PHẦN KIẾN THÚC CHUẨN BỊ 2.1 Không gian tô pô Định nghĩa Cho tập hợp pô Họ tập hợp gọi tô nếu: (a) (b) * + ⋃ (c) Tập hợp hiệu ( gọi không gian tôpô Ký với tơ pơ ) Ví dụ + Cho ( * tập hợp tùy ý khác rỗng Họ + tôpô ) gọi không gian tôpô thô (hoặc không gian phản rời rạc) * + Họ + tôpô ( ) gọi không gian tôpô rời rạc + Cho tập hợp * vơ hạn Họ Khi tô pô Tập + với tô pô gọi không gian tô pô bù hữu hạn (hay không gian Darixki) + tùy ý * + tô pô Định nghĩa Cho ( ( ) không gian tô pô Tập gọi tập mở ) Nhận xét - tập hợp mở - Hợp họ tập mở tập mở - Giao hữu hạn tập mở tập mở Định nghĩa Cho gọi lân cận tập hợp 10 * + Nếu gọi lân cận điểm Nếu tập mở lân cận mở Định lý Tập lân cận điểm thuộc tập mở Định nghĩa gọi tập đóng Tập Nhận xét - đóng mở - Giao họ tập đóng tập đóng - Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Định nghĩa Cho không gian tôpô ( + ) gọi điểm (tức nhận làm lân cận) + gọi điểm + gọi điểm biên ( nếu ) + gọi điểm dính + gọi điểm giới hạn + gọi điểm cô lập nếu ( * + Định nghĩa Phần tập Ký hiệu: tập hợp tất điểm tập Định lý tập mở lớn chứa Hệ * a) b) + mở Định lý a) 11 * +) Khi ( ) đóng Thật vậy, với lân cận , khơng usc , với lân cận ( ) , tồn , ) ) Định lý 10 * + có giá trị compact Khi đó, Giả sử ánh xạ đa trị với lưới {( nửa liên tục { } hội tụ phần tử )} với có điểm tụ ( ), tức lưới * + có lưới ( ) Ta chứng minh giả thiết -khơng gian Định lý thay giả thiết compact giá trị hàm Hệ * + nửa liên tục có giá trị Nếu ánh xạ đa trị ánh xạ đóng compact Định lý 11 * + đóng compact địa phương (tức là, Nếu ánh xạ đa trị với , tồn lân cận cho ( ) tập compact ), ánh xạ nửa liên tục Định nghĩa 22 không gian vectơ tôpô, Cho gọi nửa liên tục Hausdorff (H-usc) (a) lân cận gốc ( ) , với , tồn lân cận , với cho, lân cận gốc , tồn lân cận , với ( ) gọi nửa liên tục Hausdorff (H-lsc) (b) ( ) ánh xạ đa trị , với cho, ( ) (c) Nếu (a) (tương ứng (b)) thỏa mãn với ta nói H-usc (tương ứng H-lsc) (d) lsc gọi liên tục Hausdorff Nếu liên tục Hausdorff tục Hausdorff 21 , vừa H-usc vừa Hthì ta nói liên Các định lý sau cho thấy mối quan hệ khái niệm nửa liên tục nửa liên tục theo nghĩa Hausdorff Định lý 12 * + usc H-usc Nếu Nhận xét Các ví dụ sau cho thấy chiều ngược lại Định lý nói chung khơng Ví dụ , Cho - * + xác định ( ) { , , ) (( H-usc không usc Ta có )) * + khơng mở Các ví dụ sau cho thấy trường hợp ánh xạ đa trị có giá trị đóng bị chặn, ta khơng có chiều ngược lại Định lý Ví dụ 10 xác định Cho ( ) Khi đó, *( ) { {( ) + | | } { H-usc khơng usc ( ) khơng đóng / } đóng Ví dụ 11 Cho * + xác định ( ) Ta thấy H-usc ( ) (( )) * + nên không usc Định lý 13 * + H-lsc Nếu lsc Nhận xét Chiều ngược lại Định lý nói chung không Thật vậy, cho , - * + ( ) 22 *( ) + Khi đó, lsc ( ) khơng H-lsc với ( ) với lân cận Định lý 14 * + có giá trị compact Khi đó, Cho ánh xạ đa trị (i) Nếu H-usc (ii) Nếu lsc usc H-lsc 2.5 Tính liên tục ánh xạ đơn trị Định nghĩa 23 Cho không gian mêtric * ánh xạ đơn trị gọi nửa liên tục (viết tắt usc) (a) * + ( ) ( * + ( ) ( gọi liên tục (c) nếu với ) gọi nửa liên tục (viết tắt lsc) (b) + với ) nửa liên tục nửa liên tục Ví dụ 12 Xét hai hàm số Vì ( ) ( ) { ( ) { ( ) ( ) ( ) với lsc 23 nên hiển nhiên usc PHẦN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Mơ hình tốn cân hai mức Cho không gian véc tơ tô pô Hausdorff Cho tập compact lồi khác rỗng, là tập khác rỗng, nón lồi, rắn có đỉnh ánh xạ Các kí hiệu sau sử dụng cho quan hệ thứ tự theo nón * + không gian * + tương ứng Với , nói phần tơ pơ nón Các quan hệ định nghĩa cách tương tự , xét toán cân véc tơ với ràng buộc cân Với phụ thuộc tham số sau đây: (EPEC) Tìm ( ̅ ) ̅ ( ) Với ( ) tức là: ( ) ln có ( ) cho với Cho hàm ( ) * ( ) + kí hiệu tập nghiệm toán (EPEC) * ( ) ( ) ( )+ véc tơ , sử dụng kí hiệu sau để biểu thị tập mức hàm véc tơ * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( ) + Ví dụ 13 Cho xác định xét hàm ( ) ( ) ( ) 24 ( ) Khi , ( đó, ) , - , - ( - ) Định nghĩa 24 (Aubin and Frankowska, 1990, Định nghĩa 2.1.1, trang 56) Ánh xạ đa trị *( gọi đóng ) ( )+ tập đóng Định nghĩa 25 Cho ánh xạ (a) ( ) với ( -lõm ( ) ( ) ( ) ) ( ( , - thỏa ( ) thỏa với ( Trong trường hợp tập lồi Khi đó, -lõm ( ) (b) , ) ) ), hai khái niệm trùng 3.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm Phần thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục cho ánh xạ nghiệm tốn (EPEC) Trước nhất, ta có bổ đề sau trình bày kết tính nửa liên tục ánh xạ ràng buộc Bổ đề ( Nếu với ) tập đóng nửa liên tục có giá trị compact Hơn nữa, với ( ) tập lồi có giá trị lồi Chứng minh Xét tuỳ ý, cần chứng minh Giả sử ngược lại, không nửa liên tục ( ), lưới * + hội tụ Do tính compact ( ) tồn có ( ( ( ) ) , tức có lân cận nên giả sử ( Từ tính đóng Điều mâu thuẫn với ( điều khơng thể xảy 25 với ) ) Nếu ( Vì ( ( cho với , tồn cho ) nửa liên tục ) nên ) suy ) Do đó, với ( ) compact Vì Bây chứng minh ( ) đóng Lấy cần chứng minh có ( Khi đó, với ( đóng tập compact nên ) ta ( ) ( ) với ) Sử dụng tính , tức ( ) Vậy ( ) tập đóng , tập compact ( ) tập lồi Lấy Cuối cùng, chứng minh ( ) , - cần ta có ( Với ( Vì ( ) ) ( ( ( ) ( ), tức ) lồi nên ( ( ) Vậy , ) ) ) Điều có nghĩa ( ) tập lồi Các thí dụ sau minh họa cho tính cốt yếu giả thiết Bổ đề Ví dụ 14 (Tính đóng cốt yếu) , Cho ( ) , - { ( ( ) Chúng ta tính tập nghiệm ( - Rõ ràng ( ) * + * + với ( không nửa liên tục Lý , ta có ( tập đóng Thật vậy, cho ( ) khơng ) ) ( Ví dụ 15 (Tính lồi , Cho ( )( , ( ) , - , liên tục có giá trị compact , ( tập lồi Lý - ( ) ) - với Chúng ta thấy - Tuy nhiên, ( ) không ) không tập lồi Thật vậy, lấy , ta có ( ( - ) Chúng ta tính ) cốt yếu) ) ( ( ) 26 ) , ( ) ( ) Bổ đề sau trình bày kết tính nửa liên tục ánh xạ ràng buộc Bổ đề Với giả sử tồn Giả sử thêm có ( ( cho ) tập đóng ) -lõm với với Khi đó, ta có nửa liên tục Chứng minh ( ) đặt Với chứng minh rằng có ( ) + Trước nửa liên tục tuỳ ý Giả sử * không nửa liên tục ( ) cho với lưới * Khi đó, tồn lưới * + ( ) khơng hội tụ ( ) , ̂ Lấy ̅ , ̂ Theo giả thiết phản chứng trên, tồn lưới ( * ̂ + với ̂ ̅ ) với Điều có nghĩa tồn (̂ cho ) ( ) compact nên giả sử tồn lưới * Do với ( - đặt ̂ + hội tụ ) + hội tụ Do tính đóng với (1), ta thu điều mâu thuẫn với ( ) Bây giờ, kiểm tra ( ) ( ) kí hiệu “clD” bao đóng tập ( ( ) ) ( thu ( ( ) Khi ) ( ) ( ) Với -lõm ta có ( ) ( ) Do đó, (2) Sử tức , được: ( ) Điều có nghĩa ( ) Lấy Sử dụng tính ) dụng tính nửa liên tục ( ) ( ) nửa liên tục tục 27 ( ) nửa liên Từ Bổ đề Bổ đề 2, có kết sau Định lí 15 Với ( ( , giả sử ) tập lồi đóng đóng Khi đó, ) -lõm Giả sử thêm rằng, , tập có giá trị lồi compact liên tục Bây giờ, phát biểu kết tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véc tơ với ràng buộc cân Định lí 16 Giả sử giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn đóng Khi tập đóng nửa liên tục Chứng minh Xét tuỳ ý, cần chứng minh Giả sử ngược lại, không nửa liên tục ( ) cho tồn lưới * ( ) nửa liên tục , tức có lân cận + hội tụ với Theo kết Bổ đề 1, lưới * + nửa liên tục ( ) tập compact Vì vậy, giả sử ( ) Nếu ( ) cho ( ) nửa liên tục ( ) tồn Từ kết Bổ đề 2, suy tồn lưới * + ( với ) thỏa mãn ( Do ( ) Kết hợp điều với tính đóng ( ) điều mâu thuẫn với ( ) , điều khơng thể xảy ( ) nên , ) Do với Với kỹ thuật chứng minh tương tự Bổ đề 1, thu tính compact giá trị đóng với ( ) Do nửa liên tục ( ) có sử dụng Bổ đề dễ dàng chứng minh đóng 28 PHẦN KẾT LUẬN Trong đề tài này, cách sử dụng giả thiết liên quan đến tính đóng giảm nhẹ dạng lồi suy rộng, tính nửa liên tục tính đóng ánh xạ nghiệm toán cân với ràng buộc cân phu thuộc vào tham số nghiên cứu thành cơng Do tốn cân dạng tổng quát nhiều toán quan trọng tối ưu hoá nên kết đạt báo áp dụng để thiết lập điều kiện ổn định cho toán tối ưu hai mức, tốn tối ưu có ràng buộc cân bằng, tốn bất đẳng thức biến phân hai mức,… Gần đây, việc nghiên cứu mơ hình tổng qt tốn cân toán bao hàm biến phân, toán quan hệ biến phân nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Do đó, cơng cụ cách tiếp cận đề xuất báo áp dụng việc nghiên cứu điều kiện ổn định cho lớp toán tổng quát vừa nêu 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, L.Q., Khanh, P.Q., 2009 H ̈ lder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems in metric Spaces Journal of Optimization Theory and Applications, 141(1): 37–54 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2012 On H ̈ lder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis, 75(4): 2293–2303 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M., 2012 Well-posedness under relaxed semicontinuity for bilevel equilibrium and optimization problems with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications, 153(1): 42–59 Anh, L.Q., Hung, N.V., 2018 Levitin–Polyak well-posedness for strong bilevel vector equilibrium problems and applications to traffic network problems with equilibrium constraints Positivity 22: 1223–1239 Ansari, Q.H., 2008 Existence of solutions of systems of generalized implicit vector quasiequilibrium problems Journal of Mathematics Analysis and Applications, 341(2): 271–1283 Aubin, J.P., Frankowska, H., 1990 Set-Valued Analysis Birkhauser, Boston Bao, T.Q., Gupta, P., Mordukhovich, B.S., 2007 Necessary conditions in multiobjective optimization with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications, 135(2):179–203 Chen, J.W., Cho, Y.J., Kim, J.K., Li, J., 2011 Multiobjective optimization problems with modified objective functions and cone constraints and applications Journal of Global Optimization, 49(1): 137–147 Giannessi, F.: Ed., Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, vol 38 of Nonconvex Optimization and its Applications, Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, 2000 10 Hu, S and Papageorgiou, N., 1997 Handbook of Multivalued Analysis, Volume I: Theory Kluwer, Boston 11 Lignola, M.B., Morgan, J., 2006 -Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints Journal of Global Optimization, 36(3): 439–459 12 Li, S.J., Li, X.B., 2011 H ̈ lder continuity of solutions to parametric weak generalized Ky Fan inequality Journal of Optimization Theory and Applications, 149(3): 540–553 13 Mordukhovich, B.S., 2009 Characterizations of linear suboptimality for mathematical programs with equilibrium constraints Mathematical Programming, 120(1): 261–283 30 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 56, Số 5A (2020): 60-64 DOI:10.22144/ctu.jvn.2020.112 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Lâm Quốc Anh1*, Trần Ngọc Tâm2, Trần Thị Thùy Dương1, Lâm Văn Đầy3 Nguyễn Ngọc Giang4 Bộ mơn Tốn, Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Nam Cần Thơ Bộ mơn Tốn kinh tế, Trường Đại học Ngân hàng Tp HCM *Người chịu trách nhiệm viết: Lâm Quốc Anh (email: quocanh@ctu.edu.vn) Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 14/05/2020 Ngày nhận sửa: 12/06/2020 Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 The paper is to investigate vector equilibrium problems with equilibrium constraints in Hausdorff topological vector spaces ordered by cones By using relaxation of semicontinuity and generalized convexity properties of vector-valued maps, sufficient conditions for upper semicontinuity of solution maps to the reference problems are established, and many counterexamples are also provided to illustrate the essentialness of these conditions The approaches and results obtained in this paper are new even for the scalar problems Title: Upper semicontinuity of solution maps to equilibrium problems with equilibrium constraints Từ khóa: Bài tốn cân hai mức, tính đóng theo mức, tính nửa liên tục, tính lồi tổng quát Keywords: Bilevel equilibrium problem, generalized convexity, level closedness, semicontinuity TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu toán cân với ràng buộc cân không gian véc tơ tô pô Hausdorff thứ tự theo nón Bằng cách sử dụng tính nửa liên tục giảm nhẹ tính lồi suy rộng hàm giá trị véc tơ, điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán xét thiết lập, đồng thời phản thí dụ để minh hoạ cho tính thiết yếu điều kiện đưa Cách tiếp cận kết đạt báo mới, cho trường hợp tốn vơ hướng Trích dẫn: Lâm Quốc Anh, Trần Ngọc Tâm, Trần Thị Thùy Dương, Lâm Văn Đầy Nguyễn Ngọc Giang, 2020 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân với ràng buộc cân Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 56(5A): 60-64 \ trọng toán mà hai thập kỷ qua, lớp toán nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà toán học giới Cho đến nay, chủ đề điều kiện tồn nghiệm cho lớp tốn có nhiều kết hoàn chỉnh đa dạng cách tiếp cận (Ansari, 2008; Chen et al., 2011) Chủ đề quan trọng tính GIỚI THIỆU Bài tốn cân véc tơ mơ hình hợp nhiều toán quan trọng tối ưu hoá, toán tối ưu véc tơ, toán bất đẳng thức biến phân véc tơ, tốn điểm bất động, tốn bù… (Giannessi, 2000) Chính vai trị quan 60 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 56, Số 5A (2020): 60-64 ổn định nghiệm toán cân bằng, chủ đề quan tâm năm gần có tốc độ phát triển nhanh Từ cơng trình cơng bố tính ổn định nghiệm tốn cân bằng, cho thấy có hai hướng tiếp cận cho chủ đề này, tính ổn định định tính, dạng nửa liên tục/ liên tục theo nghĩa Berge Hausdorff, đặt chỉnh (Lignola and Morgan, 2006; Lâm Quốc Anh Nguyễn Văn Hưng, 2018; Lâm Quốc Anh et al., 2012), tính ổn định định lượng tính liên tục Lipschitz/Hö lder (Lâm Quốc Anh Phan Quốc Khánh, 2009; Lâm Quốc Anh et al., 2012; Li and Li, 2011) Xuất phát từ việc đáp ứng tình thực tế lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, y học, xã hội,… mơ hình tốn cân hai mức đề xuất nghiên cứu thời gian gần Trong cơng trình Bao et al (2007); Mordukhovich (2009), cách sử dụng công cụ đối đạo hàm, tác giả thiết lập điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc cân Về đặt chỉnh cho toán liên quan đến tối ưu với ràng buộc cân toán cân Nash hai mức, toán tối ưu hóa với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, toán cân với ràng buộc cân đạt nhiều kết thú vị báo Lignola and Morgan (2006); Lâm Quốc Anh et al (2012), Lâm Quốc Anh Nguyễn Văn Hưng (2018),… Cho đến nay, chưa tìm thấy cơng trình dành cho việc khảo sát tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân với ràng buộc cân phụ thuộc tham số, với tham số nhiễu cho khơng gian tham số Các kí hiệu sau sử dụng cho quan hệ thứ tự theo nón 𝛫 ∈ {𝐶, 𝐷} khơng gian 𝐸 ∈ {𝑌, 𝑍} tương ứng Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, nói 𝑥 ≥ 𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑥 > 𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 ∈ int𝐾, 𝑥 ≱ 𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 ∉ 𝐾, 𝑥 ≯ 𝑦 ⇔ 𝑥 − 𝑦 ∉ int𝐾, int𝐾 phần tơ pơ nón 𝐾 Các quan hệ ≤, 𝑏 -lõm Ω với 𝑥1 , 𝑥2 ∈ Ω 𝑡 ∈ (0,1) thỏa ℎ(𝑥1 ) ≥ 𝑏, ℎ(𝑥2 ) > 𝑏 ℎ(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 ) > 𝑏 Thí dụ 3.1 (Tính đóng lev≮𝑏 𝑓 cốt yếu) Cho 𝑋 = 𝑌 = 𝑅, Λ = [0,1], 𝐴 = [0,1], 𝐶 = 𝑅+ , Trong trường hợp 𝑌 = 𝐶 ∪ (−𝐶), hai khái niệm trùng 𝑥 − 𝑦, 𝜆 = 0, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) = { 𝑦 − 𝑥 , 𝜆 ∈ (0,1] TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA ÁNH XẠ Chúng ta tính tập nghiệm 𝑆1 (0) = {1} 𝑆1 (𝜆) = {0} với 𝜆 ∈ (0,1] Rõ ràng 𝑆1 không nửa liên tục Lý lev≮0 𝑓(⋅ ,1,⋅) khơng tập đóng Thật vậy, cho 𝑥𝑛 = 0, 𝜆𝑛 = , ta có 𝑛 𝑓(𝑥𝑛 , 1, 𝜆𝑛 ) = ≮ 𝑓(0,1,0) = −1 < Phần thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục cho ánh xạ nghiệm toán (EPEC) Bổ đề sau trình bày kết tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ ràng buộc 𝑆1 Thí dụ 3.2 (Tính lồi lev≮𝑏 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆0 ) cốt yếu) Cho 𝑋 = 𝑌 = 𝑅, Λ = [1,2], 𝐴 = [−1,2], 𝐶 = 𝑅+ , 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝜆(𝑦 + 2)(𝑥 − 𝑥) Bổ đề 3.1 Nếu với 𝑦 ∈ 𝐴, lev≮0 𝑓(⋅, 𝑦,⋅) tập đóng 𝐴 × Λ 𝑆1 nửa liên tục có giá trị compact Λ Hơn nữa, với 𝑦 ∈ 𝐴, 𝜆 ∈ Λ, lev≮0 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) tập lồi 𝑆1 có giá trị lồi Chúng ta tính 𝑆1 (𝜆) = [−1,0] ∪ [1,2 ] với 𝜆 ∈ Λ Chúng ta thấy 𝑆1 liên tục có giá trị compact [1,2] Tuy nhiên, 𝑆1 (𝜆) không tập lồi Lý lev≥0 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) không tập lồi Thật vậy, lấy 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑦 = −1, 𝜆 = 1, ta có 𝑓(𝑥1 , −1,1) = 0, 𝑓(𝑥2 , −1,1) = 0, Chứng minh Xét 𝜆0 ∈ Λ tuỳ ý, cần chứng minh 𝑆1 nửa liên tục 𝜆0 Giả sử ngược lại, 𝑆1 không nửa liên tục 𝜆0 , tức có lân cận 𝑈 𝑆1 (𝜆0 ), lưới {𝜆𝛼 } hội tụ 𝜆0 cho với 𝛼, tồn 𝑥𝛼 ∈ 𝑆1 (𝜆𝛼 ) ∖ 𝑈 Do tính compact 𝐴 nên giả sử 𝑥𝛼 → 𝑥0 với 𝑥0 ∈ 𝐴 Nếu 𝑥0 ∉ 𝑆1 (𝜆0 ) tồn 𝑦 ∈ 𝐴 cho 1 1 𝑓( 𝑥1 + 𝑥2 , −1,1) = 𝑓( , −1,1) = − 2 1 ≱ 𝑓(𝑥1 , −1,1) + 𝑓(𝑥2 , −1,1) 2 = 62 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 56, Số 5A (2020): 60-64 Định lí 3.2 Giả sử giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn lev≮0 𝑔 tập đóng 𝐴 × 𝐴 × Λ Khi 𝑆2 đóng nửa liên tục Λ Bổ đề 3.2 Với 𝜆 ∈ 𝛬, giả sử tồn 𝑥 ∈ 𝐴 cho 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) ≰ với 𝑦 ∈ 𝐴 Giả sử thêm lev≤0 𝑓 tập đóng 𝐴 × 𝐴 × Λ với 𝑦 ∈ 𝐴, có 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) lev≤0 -lõm 𝐴 Khi đó, ta có 𝑆1 nửa liên tục Λ Chứng minh Chứng minh Xét 𝜆0 ∈ Λ tuỳ ý, cần chứng minh 𝑆2 nửa liên tục 𝜆0 Giả sử ngược lại, 𝑆2 không nửa liên tục 𝜆0 , tức có lân cận 𝑈 𝑆2 (𝜆0 ) cho tồn lưới {𝜆𝛼 } hội tụ 𝜆0 lưới {𝑥𝛼 }, 𝑥𝛼 ∈ 𝑆2 (𝜆𝛼 ) ∖ 𝑈 với 𝛼 Theo kết Bổ đề 3.1, 𝑆1 nửa liên tục 𝜆0 𝑆1 (𝜆0 ) tập compact Vì vậy, giả sử 𝑥𝛼 → 𝑥0 với 𝑥0 ∈ 𝑆1 (𝜆0 ) Nếu 𝑥0 ∉ 𝑆2 (𝜆0 ) tồn 𝑦0 ∈ 𝑆1 (𝜆0 ) cho 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) < Từ kết Bổ đề 3.2, suy 𝑆1 nửa liên tục 𝜆0 , tồn lưới {𝑦𝛼 }, 𝑦𝛼 ∈ 𝑆1 (𝜆𝛼 ) thỏa mãn 𝑦𝛼 → 𝑦0 Do 𝑥𝛼 ∈ 𝑆2 (𝜆𝛼 ) nên 𝑔(𝑥𝛼 , 𝑦𝛼 , 𝜆𝛼 ) ≮ Kết hợp điều với tính đóng lev≮0 𝑔, 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) ≮ 0, điều mâu thuẫn với 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) < Do 𝑥0 ∈ 𝑆2 (𝜆0 ) ⊂ 𝑈, điều khơng thể xảy 𝑥𝛼 ∉ 𝑈 với 𝛼 Với 𝜆 ∈ 𝛬, đặt 𝑆0 (𝜆) ≔ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) ≰ 0, ∀𝑦 ∈ 𝐴} Trước chứng minh 𝑆0 nửa liên tục 𝜆0 ∈ Λ tuỳ ý Giả sử có 𝑆0 không nửa liên tục 𝜆0 Khi đó, tồn lưới {𝜆𝛼 } hội tụ 𝜆0 𝑥0 ∈ 𝑆0 (𝜆0 ) cho với lưới {𝑥𝛼 }, 𝑥𝛼 ∈ 𝑆0 (𝜆𝛼 ) không hội tụ 𝑥0 Lấy 𝑥̅ ∈ 𝐴, 𝑡𝛼 ∈ [0,1] đặt 𝑥̂𝛼 ≔ 𝑡𝛼 𝑥̅ + (1 − 𝑡𝛼 )𝑥0 , 𝑥̂𝛼 ∈ 𝐴 𝑥̂𝛼 → 𝑥0 𝑡𝛼 → 0+ Theo giả thiết phản chứng trên, tồn lưới {𝑥̂𝛽 } với 𝑥̂𝛽 ∉ 𝑆0𝑤 (𝜆𝛽 ) với 𝛽 Điều có nghĩa tồn 𝑦𝛽 ∈ 𝐴, cho 𝑓(𝑥̂𝛽 , 𝑦𝛽 , 𝜆𝛽 ) ≤ (1) Do A compact nên giả sử tồn lưới {𝑦𝛽 } hội tụ 𝑦0 với 𝑦0 ∈ 𝐴 Do tính đóng lev≤0 𝑓 với (1), ta thu 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) ≤ 0, điều mâu thuẫn với 𝑥0 ∈ 𝑆0 (𝜆0 ) Với kỹ thuật chứng minh tương tự Bổ đề 3.1, thu tính compact 𝑆2 (𝜆0 ) Do 𝑆2 nửa liên tục 𝛬 𝑆2 (𝜆) có giá trị đóng với 𝜆 ∈ Λ, sử dụng Bổ đề 2.2 dễ dàng chứng minh 𝑆2 đóng Bây giờ, kiểm tra 𝑆1 (𝜆0 ) ⊂ cl𝑆0 (𝜆0 ), (2) kí hiệu “clD” bao đóng tập 𝐷 Lấy 𝑥1 ∈ 𝑆1 (𝜆0 ), 𝑥0 ∈ 𝑆0 (𝜆0 ), 𝑡 ∈ (0,1) 𝑥𝑡 ≔ (1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥0 Khi 𝑡 → 𝑥𝑡 → 𝑥1 Với 𝑦 ∈ 𝐴, ta có 𝑓(𝑥0 , 𝑦, 𝜆0 ) ≰ 𝑓(𝑥1 , 𝑦, 𝜆0 ) ≮ Sử dụng tính lev≰0 -lõm 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆0 ), thu 𝑓(𝑥𝑡 , 𝑦, 𝜆0 ) ≰ 0, tức 𝑥𝑡 ∈ 𝑆0 (𝜆0 ) Do đó, (2) Sử dụng tính nửa liên tục 𝑆0 𝜆0 , được: KẾT LUẬN Trong báo này, cách sử dụng giả thiết liên quan đến tính đóng giảm nhẹ dạng lồi suy rộng, tính nửa liên tục tính đóng ánh xạ nghiệm toán cân với ràng buộc cân phu thuộc vào tham số nghiên cứu thành công Do toán cân dạng tổng quát nhiều toán quan trọng tối ưu hoá đề cập Mục 1, nên kết đạt báo áp dụng để thiết lập điều kiện ổn định cho toán tối ưu hai mức, tốn tối ưu có ràng buộc cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân hai mức,… Gần đây, việc nghiên cứu mơ hình tổng quát toán cân toán bao hàm biến phân, toán quan hệ biến phân nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Do đó, công cụ cách tiếp cận đề xuất báo áp dụng việc nghiên cứu điều kiện ổn định cho lớp toán tổng quát vừa nêu 𝑆1 (𝜆0 ) ⊂ cl𝑆0 (𝜆0 ) ⊂ lim inf 𝑆0 (𝜆𝛼 ) ⊂ lim inf 𝑆1 (𝜆𝛼 ) Điều có nghĩa 𝑆1 nửa liên tục 𝜆0 , nửa liên tục Λ Từ Bổ đề 3.1 Bổ đề 3.2, có kết sau Định lí 3.1 Với 𝑦 ∈ 𝐴, 𝜆 ∈ Λ, giả sử 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) lev≰0 -lõm 𝐴, lev≮0 𝑓(⋅, 𝑦,⋅) tập lồi đóng 𝐴 × Λ Giả sử thêm rằng, lev≤0 𝑓 tập đóng 𝐴 × 𝐴 × Λ, Khi đó, 𝑆1 có giá trị lồi compact liên tục Λ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bây giờ, phát biểu kết tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véc tơ với ràng buộc cân Anh, L.Q., Khanh, P.Q., 2009 Hö lder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems 63 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 56, Số 5A (2020): 60-64 in metric Spaces Journal of Optimization Theory and Applications, 141(1): 37–54 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., 2012 On Hö lder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis, 75(4): 2293–2303 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M., 2012 Wellposedness under relaxed semicontinuity for bilevel equilibrium and optimization problems with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications, 153(1): 42–59 Anh, L.Q., Hung, N.V., 2018 Levitin–Polyak wellposedness for strong bilevel vector equilibrium problems and applications to traffic network problems with equilibrium constraints Positivity 22: 1223–1239 Ansari, Q.H., 2008 Existence of solutions of systems of generalized implicit vector quasiequilibrium problems Journal of Mathematics Analysis and Applications, 341(2): 271–1283 Aubin, J.P., Frankowska, H., 1990 Set-Valued Analysis Birkhäuser Boston, 474 pages Bao, T.Q., Gupta, P., Mordukhovich, B.S., 2007 Necessary conditions in multiobjective optimization with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications, 135(2):179–203 Chen, J.W., Cho, Y.J., Kim, J.K., Li, J., 2011 Multiobjective optimization problems with modified objective functions and cone constraints and applications Journal of Global Optimization, 49(1): 137–147 Giannessi, F.: Ed., Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, vol 38 of Nonconvex Optimization and its Applications, Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, 2000 Hu, S and Papageorgiou, N., 1997 Handbook of Multivalued Analysis, Volume I: Theory Kluwer, Boston Lignola, M.B., Morgan, J., 2006 𝛼-Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints Journal of Global Optimization, 36(3): 439–459 Li, S.J., Li, X.B., 2011 Hö lder continuity of solutions to parametric weak generalized Ky Fan inequality Journal of Optimization Theory and Applications, 149(3): 540–553 Mordukhovich, B.S., 2009 Characterizations of linear suboptimality for mathematical programs with equilibrium constraints Mathematical Programming, 120(1): 261–283 64 ... ánh xạ nghiệm toán cân hai mức, đáp ứng mục tiêu đặt Các kết đạt có ý nghĩa tốn học ứng dụng Bên cạnh kết báo cáo mở rộng nghiên cứu cho toán quan trọng tối ưu toán tựa cân bằng, toán cân đa... Holder/Lipschitz - Đóng góp kết cho chủ đề nghiên cứu kết công bố tạp chí nước Tính sáng tạo: Đề tài thu kết tính chất nghiệm tốn cân vấn đề liên quan, bao gồm tính nửa liên tục, tính liên tục Hưlder,... Lipschitz Các kết thu đề tài phát triển kết có Kết nghiên cứu: Trong báo cáo này, cách sử dụng giả thiết tính mức đóng tính lồi tổng qt, chúng tơi thành cơng việc thiết lập điều kiện đủ cho tính liên