1 Lời cam đoan Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu đã có những ý kiến đóng góp sữa chữa luận[.]
1 Lời cam đoan Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu có ý kiến đóng góp sữa chữa luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Phạm Gia Hưng Lời cám ơn Luận án hoàn thành Trường Đại học Đà Lạt Viện Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu có ý kiến đóng góp giúp tác giả sữa chữa luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng, hội nghị seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ có ý kiến đóng góp q báu Thầy Cơ Trường Đại học Đà Lạt Viện Toán học Tác giả xin chân thành cám ơn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào tạo Đại học Sau đại học, Khoa Sau đại học - Trường Đại học Đà Lạt; Ban lãnh đạo Viện Toán học; Ban lãnh đạo Trường Đại học Nha Trang, Khoa Khoa học bản, Khoa Công nghệ thông tin - Trường Đại học Nha Trang; tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin cám ơn anh chị em nhóm nghiên cứu, bạn bè đồng nghiệp gần xa trao đổi, động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả xin kính tặng người thân u gia đình niềm vinh hạnh to lớn Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Một số kiến thức bổ trợ 16 1.1 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert 16 1.2 Phép chiếu lên tập lồi đóng - Các định lý tách tập lồi 18 1.3 Tính liên tục hàm lồi 19 1.4 Đạo hàm vi phân hàm lồi 22 1.5 Cực trị hàm lồi 23 1.6 Tính liên tục ánh xạ đa trị 24 1.7 Kết luận 27 Sự tồn nghiệm số cách tiếp cận giải toán cân 28 2.1 Bài toán cân (BTCB) trường hợp riêng 28 2.2 Sự tồn nghiệm số tính chất BTCB 36 2.3 Một số cách tiếp cận giải BTCB 44 2.4 Kết luận 46 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn cân khơng gian Euclide 48 3.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 49 3.2 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB đơn điệu 53 3.3 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB giả đơn điệu 58 3.4 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 66 3.5 Kết luận 68 4 Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề xấp xỉ cho tốn cân khơng gian Hilbert 69 4.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ 70 4.2 Phương pháp điểm gần kề xấp xỉ 77 4.3 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 83 4.4 Giải BTCB giả đơn điệu theo cách tiếp cận giải toán tối ưu hai cấp 85 4.5 Tính ổn định 87 4.6 Kết luận 91 Kết luận chung 92 Các hướng nghiên cứu 94 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án cơng bố 95 Tài liệu tham khảo 96 Một số ký hiệu chữ viết tắt N tập số nguyên dương R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều Rn+ góc khơng âm Rn H khơng gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu không gian X hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y p kxk := hx, xi chuẩn vectơ x I ánh xạ đồng f −1 ánh xạ ngược ánh xạ f f −1 (V ) nghịch ảnh tập V qua ánh xạ f domf miền hữu hiệu ánh xạ f rgef miền ảnh ánh xạ f gphf đồ thị ánh xạ f epif đồ thị ánh xạ f f (x) hay ∇f (x) đạo hàm f điểm x f (x, d) đạo hàm theo phương d f điểm x ∂f (x) vi phân f điểm x min{f (x) : x ∈ D} giá trị cực tiểu f tập D max{f (x) : x ∈ D} giá trị cực đại f tập D argmin{f (x) : x ∈ D} tập điểm cực tiểu f tập D argmax{f (x) : x ∈ D} tập điểm cực đại f tập D clD bao đóng tập D intD phần tập D riD phần tương đối tập D dD (x) khoảng cách từ điểm x đến tập D pD (x) hình chiếu điểm x tập D ND (x) nón pháp tuyến tập D điểm x diamD := sup kx − yk đường kính của tập D x,y∈D B(a, r) cầu đóng tâm a bán kính r B(a, r) cầu mở tâm a bán kính r S(a, r) mặt cầu tâm a bán kính r xk → x dãy xk hội tụ mạnh tới điểm x xk * x dãy xk hội tụ yếu tới điểm x lim := lim sup giới hạn lim := lim inf giới hạn E(K, f ) toán cân N E(K, f ) toán cân Nash V I(K, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) M V I(K, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị O(K, f ) toán tối ưu (BO) toán tối ưu hai cấp Pd toán đối ngẫu toán P SP tập nghiệm toán P SPδ tập δ − nghiệm toán P Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực, K ⊆ H tập lồi đóng khác rỗng f : K × K → R song hàm cân bằng, tức f thỏa mãn f (x, x) = với x ∈ K Xét toán E(K, f ) : Tìm x ∈ K cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K Bài toán lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda [44] nhằm tổng quát hóa tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác vào năm 1972, xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan [20], người có nhiều đóng góp quan trọng cho toán nên toán gọi Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan Inequality) Bài toán E(K, f ) thường sử dụng để thiết lập điểm cân Lý thuyết trò chơi (Games Theory), cịn có tên gọi khác Bài toán cân (Equilibrium Problem) theo cách gọi tác giả L.D Muu, W Oettli [40] năm 1992 E Blum,W Oettli [10] năm 1994 Bài toán cân (viết tắt BTCB) đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân Nash, v.v [8, 23, 40]; hợp tốn theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Nhiều kết tốn nói mở rộng cho BTCB tổng quát với điều chỉnh phù hợp thu nhiều ứng dụng rộng lớn [10, 26, 27, 36, 37, 49] John Forbes Nash Jr (13/06/1928) nhà toán học người Mỹ chuyên nghiên cứu lý thuyết trò chơi hình học vi phân Năm 1994, ơng nhận giải thưởng Nobel kinh tế với hai nhà nghiên cứu lý thuyết trò chơi khác Reinhard Selten John Harsanyi Ky Fan (19/09/1914−22/03/2010) nhà toán học Mỹ gốc Hoa, giáo sư danh dự trường Đại học California, Santa Barbara Các nhà nghiên cứu rằng, nhiều toán thực tế tối ưu, kinh tế kỹ thuật mô tả dạng BTCB [8, 41, 42] Điều giải thích BTCB ngày nhiều người quan tâm Các hướng nghiên cứu trọng BTCB là: nghiên cứu vấn đề định tính tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định [6, 8, 25, 30, 39, 58] định lượng phương pháp giải, tính hội tụ [8, 9, 23, 26, 29, 33, 36, 37, 42, 45, 46, 48, 49]; ứng dụng toán vào thực tế, đặc biệt vào mơ hình kinh tế [41, 42] Trong việc nghiên cứu vấn đề này, phương pháp giải đóng vai trị quan trọng Đến có số kết đạt cho số lớp BTCB với giả thiết lồi đơn điệu, chủ yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề (proximal point method ), phương pháp nguyên lý toán phụ (auxiliary subproblem principle method ), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method ), phương pháp hàm đánh giá (gap function method ), đặc biệt phương pháp chiếu (projection methods) Bài tốn E(K, f ), hàm f khơng có tính đơn điệu mạnh, nói chung tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa tốn khơng có nghiệm nghiệm khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v gặp phải toán thuộc loại Do số liệu thường thu thập thực nghiệm sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi có sai số Chính thế, ta cần phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt khơng chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Hiệu chỉnh kỹ thuật quan trọng tạo nên phương pháp giải ổn định; thường dùng để xử lý tốn đặt khơng chỉnh tốn học ứng dụng tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, v.v Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề phương pháp hay sử dụng Ý tưởng phương pháp là: xây dựng toán hiệu chỉnh cách cộng vào toán tử toán gốc toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số cho tốn hiệu chỉnh có nghiệm Khi đó, với điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận cách giải tốn hiệu chỉnh, có giới hạn nghiệm tốn gốc cho tham số dần tới điểm giới hạn thích hợp Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh A.N Tikhonov [54, 55], M.M Lavrent’ev [32], V.K Ivanov, V.V Vasin, V.P Tanana [24], Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà toán học nước Ya.I Alber, K.E Atkinson, A.B Bakushinskii, J Baumeiser, H.W Engl, F Gilbert, nước Đặng Đình Áng, Phạm Kỳ Anh, Lâm Quốc Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Phan Quốc Khánh, Lê Minh Lưu, Lê Dũng Mưu, Phạm Hữu Sách, Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Xuân Tấn, Đặng Đức Trọng, Nguyễn Đông Yên, với đồng dành nhiều cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải toán đặt không chỉnh Năm 1963, A.N Tikhonov3 đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển cách nhanh chóng có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử A(x) = b khơng gian Hilbert thực dựa việc tìm phần tử cực tiểu xδε phiếm hàm Fεδ (x) := kA(x) − bδ k2 + εkx − xg k2 , ε > tham số hiệu chỉnh xg phần tử cho trước đóng vai trị phần tử tuyển chọn Trong năm gần đây, nhiều tác giả [22, 28, 43, 52] áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào việc giải toán bất đẳng thức biến phân V I(K, F ) : Tìm x ∈ K cho hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K Andrey Nikolayevich Tikhonov (30/10/1906 − 8/11/1993) nhà tốn học Nga tiếng với đóng góp quan trọng lĩnh vực tơpơ, giải tích hàm, vật lý tốn tốn đặt khơng chỉnh Ơng nhà phát minh phương pháp địa từ địa chất học 10 với F : K → K toán tử đơn trị Để giải toán này, theo phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, người ta giải dãy toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ K cho Fεk (xk ), y − xk ≥ 0, ∀y ∈ K, (1) Fεk (x) := F (x) + εk x {εk } dãy số thực dương cho εk → 0+ Với k ∈ N, chọn nghiệm xk toán (1); dãy nghiệm gọi quỹ đạo nghiệm toán Tính giới hạn limk→∞ xk giới hạn tồn tại, người ta hy vọng nghiệm toán gốc V I(K, F ) Để kết thúc q trình tính tốn sau hữu hạn bước nhận nghiệm xấp xỉ toán gốc, cần phải đưa tiêu chuẩn dừng, chẳng hạn kxk − xk−1 k ≤ θ với θ > số cho trước Nếu F đơn điệu K ⊆ Rn tốn hiệu chỉnh (1) có nghiệm xk dãy nghiệm {xk } hội tụ nghiệm có chuẩn bé toán gốc V I(K, F ) (xem [19, Theorem 12.2.3]) Năm 2006, N.T Hao [22] chứng minh rằng, F liên tục giả đơn điệu K ⊆ Rn tốn hiệu chỉnh có nghiệm tốn gốc có nghiệm tốn hiệu chỉnh khơng nghiệm dãy {xk }, với xk chọn tùy ý tập nghiệm toán (1), hội tụ nghiệm có chuẩn bé toán gốc Năm 2008, N.N Tam, J.-C Yao, N.D Yen [52] phát triển kết N.T Hao vào không gian Hilbert thực vô hạn chiều H họ cho thấy rằng, F giả đơn điệu liên tục yếu K ⊆ H tập nghiệm tốn gốc khác rỗng tập nghiệm toán hiệu chỉnh bị chặn khác rỗng toán tử hiệu chỉnh Fεk giả đơn điệu Ngoài ra, F liên tục K dãy hội tụ {xk } hội tụ nghiệm có chuẩn bé toán gốc Dễ dàng thấy rằng, đặt f (x, y) := hF (x), y − xi ta mơ tả tốn bất đẳng thức biến phân V I(K, F ) dạng toán cân E(K, f ) Điều gợi ý cho ta việc mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào giải toán E(K, f ) với tốn hiệu chỉnh Tìm xk ∈ K cho f (xk , y) := f (xk , y) + ε g(xk , y) ≥ 0, ∀y ∈ K, εk k (2) xg ∈ K điểm cho trước đóng vai trị nghiệm đốn toán E(K, f ) g(x, y) hàm cân đơn điệu mạnh K Một