LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trần Đình Kế Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công b[.]
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Trần Văn Tuấn i LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Đình Kế Nhân dịp này, tác giả xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà điều thật quý báu sống Sự động viên tin tưởng Thầy động lực giúp tác giả hoàn thiện luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập, nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư, nhà khoa học, chuyên gia, anh chị em bạn bè đồng nghiệp trao đổi, góp ý q báu chun mơn buổi xêmina Xêmina Giải tích, khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Xêmina Phương trình vi phân tích phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Phòng ban Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Lời cảm ơn cuối cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người bên, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả Trần Văn Tuấn ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 15 Phương pháp nghiên cứu 16 Kết đạt luận án 17 Cấu trúc luận án 18 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 1.1 Một số không gian hàm 20 1.2 Giải tích phân thứ 21 1.3 Phép biến đổi Laplace 22 1.4 Độ đo không compact ước lượng 23 1.5 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động 26 1.6 Lí thuyết nửa nhóm 27 1.7 Bài tốn Cauchy phương trình vi phân phân thứ 29 1.8 Phương trình tích phân Volterra 33 CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG NỬA TUYẾN TÍNH 37 2.1 Dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn phương trình khuếch tán 37 2.1.1 Đặt toán 37 2.1.2 Sự tồn nghiệm tích phân 38 2.1.3 Tính hút thời gian hữu hạn 42 2.1.4 Áp dụng 47 2.2 Dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn phương trình tiến hố loại Basset 49 2.2.1 Đặt toán 50 2.2.2 Biểu diễn nghiệm tốn tuyến tính 50 2.2.3 Sự tồn nghiệm tích phân 54 2.2.4 Tính hút thời gian hữu hạn 56 2.2.5 Áp dụng 60 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ LOẠI RAYLEIGH-STOKES NỬA TUYẾN TÍNH 63 3.1 Đặt tốn 63 3.2 Biểu diễn nghiệm tốn tuyến tính 64 3.3 Tính giải tính ổn định nghiệm 73 3.4 Sự tồn nghiệm phân rã 79 CHƯƠNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN PHÂN THỨ 87 4.1 Đặt toán 87 4.2 Tính giải 88 4.3 Tính tính ổn định 101 4.4 Áp dụng 105 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 110 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 113 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Khơng gian Euclid N chiều Ω Miền bị chặn RN với biên ∂Ω C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k miền Ω Lp (Ω) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p miền Ω L∞ (Ω) Không gian hàm đo bị chặn hầu khắp Ω Lploc (Ω) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue địa phương bậc p Ω D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm f (t) RL D0α f (t) Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm f (t) D(A) Miền xác định toán tử A ρ(A) Tập giải toán tử A σ(A) Tập phổ tốn tử A L(X, Y ) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian Banach X vào không gian Banach Y L(X) Không gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian Banach X vào K(X) Khơng gian tốn tử compact từ khơng gian Banach X vào Br (x0 ) Hình cầu đóng tâm điểm x0 , bán kính r khơng gian Banach X Br Hình cầu đóng tâm điểm gốc, bán kính r không gian Banach X MNC Độ đo không compact k · kop Chuẩn tốn tử tuyến tính bị chặn X FrDE Phương trình vi phân phân thứ NDE Phương trình vi phân khơng địa phương MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân khơng địa phương” (NDE) dùng để phương trình vi phân mà đạo hàm hàm trạng thái không xác định điểm mà xác định thơng qua cơng thức tích phân (gọi đạo hàm “có nhớ ”) Một lớp NDE tiêu biểu lớp NDE dùng để mô tả trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t k ∗ [u − u(0)] = ∆u, (1) u = u(x, t) hàm trạng thái, k hàm khả tích địa phương, ‘*’ kí hiệu tích chập Laplace, ∆ tốn tử Laplace theo biến khơng gian Lớp NDE nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Có thể kể số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán dị thường cơng trình [44, 45, 68, 83] Trong trường hợp đặc biệt k(t) = g1−α (t) = t−α , t > 0, α ∈ (0, 1), Γ(1 − α) (2) phương trình (1) phương trình khuếch tán, đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học hai thập kỷ qua Phương trình (1) với nhân k cho (2) gọi phương trình vi phân phân thứ (FrDE) Có thể thấy FrDE mơ hình tiêu biểu NDE, chủ đề nghiên cứu có tính thời FrDE hướng nghiên cứu giải tích phân thứ đề xuất nghiên cứu vào năm 1695 Leibniz Euler sau phát triển nhiều nhà tốn học Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, Riesz, [46, 65, 72, 77] Trong vài thập kỷ trở lại đây, người ta tìm thấy nhiều ứng dụng giải tích phân thứ nói chung FrDE nói riêng ngành khoa học công nghệ, chẳng hạn tốn liên quan đến điện hóa học, lưu biến học, vật liệu xốp, vật liệu đàn hồi, vật liệu fractal, Chi tiết số tốn mơ tả FrDE tìm thấy sách chuyên khảo (xem [31, 72, 74, 77]) Phạm vi ứng dụng ngày rộng FrDE thúc đẩy nhiều nghiên cứu định tính năm gần Một vấn đề trung tâm lí thuyết định tính phương trình vi-tích phân nghiên cứu dáng điệu nghiệm Trong phạm vi luận án này, dáng điệu nghiệm NDE bao gồm câu hỏi dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn, tính ổn định nghiệm nghiệm phân rã Trong khoảng hai thập kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu tính ổn định nghiệm FrDE không gian hữu hạn vô hạn chiều nhận nhiều quan tâm nhà tốn học ngồi nước Với FrDE không gian hữu hạn chiều, tốn nghiên cứu tính ổn định nghiệm đạt nhiều kết có tính hệ thống Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE đề xuất [49] Lakshmikantham Sau đó, phương pháp áp dụng để nghiên cứu tính ổn định cho nhiều lớp FrDE như: FrDE chứa xung [1], phương trình vi phân hàm phân thứ [76], (xem thêm báo tổng quan [52]) Các điều kiện ổn định cho FrDE tuyến tính thông qua số mũ Lyapunov phân thứ thiết lập [21], ổn định tuyến tính hố cho FrDE nửa tuyến tính nghiên cứu [22] Thêm vào đó, sử dụng vài cơng cụ khác bất đẳng thức kiểu Gronwall, nguyên lí so sánh hay hàm ma trận Mittag-Leffler, tác giả thu kết ổn định thời gian hữu hạn [47, 50, 51, 92] Không giống FrDE không gian hữu hạn chiều, việc nghiên cứu tính ổn định cho FrDE không gian vô hạn chiều gặp nhiều khó khăn Trên thực tế, cấu trúc vơ hạn chiều khơng gian pha, kéo theo tính toán đạo hàm phân thứ phiếm hàm Lyapunov khó thực hiện, nên việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho FrDE khơng khả thi Chính kết tính ổn định nghiệm FrDE khơng gian vơ hạn chiều cịn biết đến Do đó, để nghiên cứu tính ổn định cho FrDE khơng gian vơ hạn chiều ta cần tìm cách tiếp cận Gần đây, cơng trình [19] tác giả nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov lớp phương trình tán xạ-sóng nửa tuyến tính chứa xung trễ hữu hạn cách sử dụng phương pháp điểm bất động Trong [5] tác giả thiết lập tồn nghiệm phân rã kiểu đa thức cho lớp FrDE trung tính chứa trễ vơ hạn cách sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén Một số kết khác tính giải được, tính ổn định tiệm cận, tồn nghiệm phân rã cho FrDE khơng gian vơ hạn chiều ta tham khảo cơng trình [6, 41, 85, 90] Trong năm gần đây, hệ động lực thời gian hữu hạn nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà toán học Động thúc đẩy nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn tính tốn trường vectơ khoảng thời gian bị chặn t ∈ [t0 , t1 ] hệ động lực sinh phương trình vi phân x(t) ˙ = f x(t) (3) Khi phương trình (3) xét nửa trục, người ta quan tâm tới dáng điệu thời gian ngắn nghiệm, nghĩa dáng điệu nghiệm [t0 , t1 ] Việc nghiên cứu nảy sinh từ toán vận chuyển chất lỏng, mạng hố sinh, truyền tín hiệu (xem [15, 70]), q trình xảy thời gian ngắn Do đó, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian hữu hạn đóng vai trị quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Trong luận án, chúng tơi sử dụng khái niệm tính hút thời gian hữu hạn đưa [27] để phân tích dáng điệu nghiệm thời điểm cuối Cụ thể, nghiệm y hệ (3) gọi hút [0, T ] tồn số η > cho với nghiệm x(·, ξ) (3) với kiện ban đầu ξ ta có kx(T, ξ) − y(T, y(0))k < kξ − y(0)k, ∀ξ ∈ Bη y(0) \{y(0)}, Bη (y0 ) hình cầu tâm y0 bán kính η Nếu ta có sup kx(T, ξ) − y(T, y(0))k < 1, lim sup η ξ∈Bη (y(0)) η&0 nghiệm y gọi hút mũ [0, T ] Một số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn cho phương trình vi phân thường tìm thấy cơng trình [14, 15, 27, 29] Theo khảo sát chúng tơi, chưa có nghiên cứu dáng điệu thời gian hữu hạn FrDE không gian vơ hạn chiều, đặc biệt cho lớp phương trình đưa phương trình khuếch tán Do đặt vấn đề nghiên cứu tồn tính hút thời gian hữu hạn nghiệm phương trình khuếch tán chứa nhiễu phi tuyến không gian Banach X: d g1−α ∗ [u − u(0)] (t) = Au(t) + f u(t) , t ∈ [0, T ], (4) dt T > cố định; hàm trạng thái u(·) nhận giá trị khơng gian Banach X; A tốn tử tuyến tính, đóng khơng bị chặn; f : X → X hàm phi tuyến; g1−α ∗ v, với v ∈ L1loc (R+ ; X) tích chập Laplace Các NDE theo biến thời gian phương trình (4) với A toán tử đạo hàm riêng elliptic cấp hai sử dụng vật lí tốn để mơ hình hố q trình động lực học vật liệu có tính nhớ Trong cơng trình [45], tác giả thay nhân g1−α nhân khả tích địa phương khác, ta dùng phần tuyến tính hệ (4) để mơ tả nhiều trình trình khuếch tán nhanh trình khuếch tán siêu chậm Sử dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall (xem Bổ đề 1.3, Mục 1.8, Chương 1) với ước lượng địa phương nghiệm (ước lượng với kiện