MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu 3 Mở đầu 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 13 1 1 Các đánh giá nhị phân 13 1 2 Không gian hàm Banach 17 Chương 2 Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phư[.]
MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Các đánh giá nhị phân 13 1.2 Không gian hàm Banach 17 Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.1 Về tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa cấp hai 2.2 23 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.3 23 31 Đa tạp qn tính chấp nhận phương trình Fisher Kolmogorov Chương 47 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.1 Về không gian pha cho phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 51 3.2 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 3.3 52 Đa tạp qn tính chấp nhận phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối 68 Kết luận Kiến nghị 73 Những kết đạt 73 Đề xuất số hướng nghiên cứu 73 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU D (A) miền xác định toán tử A Aβ lũy thừa bậc β toán tử A Xβ miền xác định toán tử Aβ λN trị riêng thứ N toán tử A eN P hàm (vector) tương ứng với trị riêng λN λN +1 + λN xác định γ = λN +1 − λN xác định α = phép chiếu X lên span {ek : k = 1, 2, , N } Id toán tử đồng G(t, τ ) hàm Green (xem (1.5)) χ[a,b] hàm đặc trưng eα ký hiệu hàm số eα (t) = e−α|t| , ∀t ∈ R Rt Λ1 : E → E xác định (Λ1 ϕ)(t) = ϕ(τ )dτ γ α Λ1 t−1 E không gian hàm Banach (xem Định nghĩa 1.6) E không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E (xem Định nghĩa 1.7) Cβ không gian Bannach hàm liên tục [−r, 0], nhận giá trị Xβ (xem (2.19)) Cgβ không gian Bannach hàm liên tục (−∞, 0], kAβ φ(θ)k nhận giá trị Xβ cho sup < +∞ g(θ) θ60 R(λ, A) toán tử giải toán tử A ρ(A) tập giải toán tử A σ(A) tập phổ toán tử A I tập tập số thực R k · kCβ xác định kφkCβ = sup kAβ φ(θ)k, ∀φ ∈ Cβ θ∈[−r,0] k · kCgβ xác định kφkCgβ = sup ut hàm lịch sử xác định bởi: θ60 kAβ φ(θ)k , ∀φ ∈ Cgβ g(θ) ut (θ) = u(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0] trường hợp trễ hữu hạn, ut (θ) = u(t + θ), ∀θ trường hợp trễ vô hạn r Pˆ số trễ toán tử chiếu Cβ xác định (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0), ∀φ ∈ Cβ E γ,t0 ,β không gian Banach gồm tất hàm đo mạnh h : (−∞, t0 ] → Xβ cho e−γ(t0 −·) kAβ h(·)k ∈ β E(−∞,t với chuẩn khkγ,β := ke−γ(t0 −·) kAβ h(·)kkβ 0] u∗ quỹ đạo rút gọn u đa tạp L+ γ,s khơng gian tuyến tính bao gồm hàm v(·) nhận giá trị Xβ , liên tục [s − r, +∞) cho sup eγ(t−s) kAβ v(t)k < +∞ t>s−r k · ks,+ chuẩn không gian L+ γ,s xác định kvks,+ = sup eγ(t−s) kAβ v(t)k, ∀v ∈ L+ γ,s t>s−r MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tồn đa tạp qn tính tốn lý thuyết định tính hệ động lực Trong thời gian gần xuất phát từ yêu cầu mơ hình ứng dụng, tốn thường xét phạm vi khái quát nhận nhiều kết thú vị Trong luận án chúng tơi xét tốn tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho phương trình tiến hóa, tương ứng với số dạng phương trình vi phân khơng gian Hilbert Năm 1985, [60] (xem thêm [23]), Foias, Sell Temam xét lớp phương trình tiến hóa phi tuyến dạng du + Au + R(u) = 0, dt (1) A tốn tử tuyến tính, khơng bị chặn, tự liên hợp không gian Hilbert tách X với miền xác định D (A) trù mật X Hơn nữa, giả sử A xác định dương, với A−1 compact Khi đó, tồn sở trực chuẩn {en }n>1 X bao gồm hàm riêng A, Aen = λn en với giá trị riêng thỏa mãn < λ1 λ2 · · · , λn → ∞ n → ∞ Phần phi tuyến R : X → X liên tục Lipschitz địa phương Giả sử tồn số dương ρ0 , ρ1 , ρ2 cho lim sup ku(t)k2 ρ20 , lim sup kA1/2 u(t)k2 ρ21 , lim sup kAu(t)k2 ρ22 t→∞ t→∞ t→∞ (2) Gọi S(t) : u(0) → u(t) nửa nhóm tốn tử xác định nghiệm phương trình (1) Lưu ý rằng, từ (2) ta nghiệm tùy ý S(t)u0 phương trình (1) thuộc vào cầu tâm 0, bán kính ρ0 ln lại cầu Tiếp theo, giả sử θ : R+ → [0, 1] θ(s) = tùy ý hàm trơn cho trước xác định s < s < s > cho |θ0 (s)| với s > Foias, Sell Temam cố định ρ = 2ρ2 xét phương trình "modified" phương trình (1) dạng du + Au + θρ (|Au|) R(u) = dt (3) với θρ (s) := θ (s/ρ) , với s > Khi đó, tác giả S(t)u0 nghiệm phương trình (3) ứng với điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ X thỏa mãn |AS(t)u0 | ρ với t > S(t)u0 nghiệm phương trình (1) Hơn nữa, tác giả đưa khái niệm đa tạp qn tính cho phương trình (3) sau ([23, p.320]): Một tập M ⊆ X gọi đa tạp qn tính phương trình (3) ba tính chất sau thỏa mãn (i) M đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến, nghĩa S(t)M ⊆ M với t > 0; (iii) M hút cấp mũ nghiệm phương trình (3) theo nghĩa dist (S(t)u0 , M ) → 0, t → ∞ Lưu ý, từ điều kiện (2) t đủ lớn quỹ đạo nghiệm thuộc đa tạp hoàn toàn nằm hình cầu tâm 0, bán kính ρ Hay nói cách khác quỹ đạo chúng bị chặn Như vậy, đa tạp qn tính tồn cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Việc nghiên cứu mang lại kết quan trọng nội tốn học, mà cịn đem đến ứng dụng thực tế đầy ý nghĩa Sự tồn đa tạp quán tính chứng minh chi tiết số lớp phương trình vi phân, chẳng hạn: số dạng điều chỉnh phương trình Navier - Stokes [24, 58], phương trình Boussinesq trung bình [4], phương trình hyperbolic [2, 7, 8, 25, 48], phương trình Moore-Greitzer [15], phương trình Cahn-Hilliard [36], phương trình Smoluchowski [53, 54], mơ hình Leray-α [35, 38], mơ hình thú mồi [32], mơ hình FitzHugh-Nagumo [45], phương trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát [6, 16, 30], phương trình phản ứng khuếch tán, tiêu hao [37, 50, 59], phương trình nửa tuyến tính dạng tổng qt [11, 28, 34], phương trình trung tính [31] Khái niệm đa tạp quán tính thay đổi mở rộng cho số nhiều lớp phương trình vi phân tổng quát, chẳng hạn: phương trình vi phân khơng autonomous [33], phương trình vi phân đạo hàm riêng có trễ [1, 2, 44] hay phương trình vi phân ngẫu nhiên [3, 5, 10, 13, 14, 18, 51, 55], đa tạp quán tính cho hệ rời rạc [47, 57], đa tạp qn tính cho phương trình parabolic có xung [56] số kết khác Trong đó, tác giả sử dụng phương pháp sau Phương pháp Hadamard (hay gọi phương pháp biến đổi đồ thị) (chẳng hạn [17, 40]) Phương pháp Lyapunov - Perron (dựa công thức biến thiên số) (chẳng hạn [9, 23, 52]) Phương pháp quy elliptic (chẳng hạn [19, 22]) Ta nhận thấy điểm chung tất kết quỹ đạo nghiệm nằm mặt Lipschitz đa tạp quán tính sau co giãn bị chặn (lớp L∞ ) Trên thực tế, tốn địi hỏi quỹ đạo bị chặn tương đối khắt khe (chẳng hạn mơ hình kỹ thuật phức tạp quỹ đạo nghiệm sau co giãn thuộc không gian Lp , không gian Lorentz Lp,q , ) Một câu hỏi đặt tự nhiên mở rộng khái niệm đa tạp quán tính cho quỹ đạo nghiệm sau co giãn mặt đa tạp thuộc lớp không gian hàm chứa L∞ hay khơng? Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, năm 2013 [29], N.T.Huy lần đề xuất xây dựng khái niệm đa tạp quán tính mới, gọi đa tạp quán tính chấp nhận Cụ thể, N.T.Huy xét phương trình vi phân dạng du + Au = f (t, u), t > s dt u(s) = us với s ∈ R (4) A tốn tử xác định dương, tự liên hợp có phổ rời rạc không gian Hilbert tách X Với β < đặt Xβ = D (Aβ ), phần phi tuyến f : R × Xβ → X ϕ-Lipschitz, ϕ hàm dương thuộc không gian hàm Banach chấp nhận N.T Huy đưa định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trình vi phân dạng (4) ([29, Definition 3.1]), khác biệt so với đa tạp quán tính (truyền thống) N.T Huy [29, Remark 3.2] là: Nếu định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận ta chọn E = L∞ ta đa tạp quán tính (truyền thống) Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron, đánh giá nhị phân, với tính chất chấp nhận khơng gian hàm, đánh giá đối ngẫu, N.T Huy tồn đa tạp quán tính lớp E cho lớp phương trình dạng (4) [29, Theorem 3.6] Với ý nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân, mục tiêu luận án "Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa" nghiên cứu mở rộng kết [29] tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho số lớp phương trình tiến hóa có nhiều ứng dụng thực tiễn là: phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn, phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn, phương trình tiến hóa cấp hai Cụ thể, phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, luận án gồm có 03 chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, kết bổ trợ giả thiết sử dụng xuyên suốt chương lại luận án Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn Trong chương này, trước hết xây dựng không gian pha phép đổi biến phù hợp đưa phương trình tiến hóa cấp hai phương trình tiến hóa cấp Qua đó, nghiên cứu tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa cấp hai dng xă(t) + 2x(t) + Ax(t) = K(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0 , s ∈ R, x(s) ˙ =x , s,1 A tốn tử thỏa mãn Giả thiết (xem trang 14); K : R × Xβ → X ϕ-Lipschitz Kết tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có dạng áp dụng phương trình truyền sóng tắt dần ∂ 2u ∂u ∂ 2u (t, x) + 2ε (t, x) = (t, x) + a(t) ln (1 + |u(t, x)|) , ∂t2 ∂t ∂x với x ∈ (0, π), t > t0 , u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > t0 , ∂u u(t0 , x) = φ1 (x), (t0 , x) = φ2 (x), < x < π, ∂t φ1 , φ2 hàm cho trước, a(t) xác định 1 n t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, 2 a(t) = trường hợp cịn lại (5) Sau đó, chúng tơi xây dựng khái niệm tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn dạng du + Au = B(t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us = φ ∈ Cβ , dt A toán tử thỏa mãn Giả thiết (xem trang 14); B : R×Cβ → X ϕ-Lipschitz Kết áp dụng cho phương trình Fisher Kolmogorov có trễ dạng ∂ w(t, x) ∂w(t, x) a = w(t − r, x) , + aw(t, x) − ∂t ∂x K(t) t > s, < x < π w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R w(x, t) = φ(x, t), x π, −r t với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số vị trí x thời gian t; r số dương, a > hệ số tái sinh tuyến tính K(t) > sức chứa môi trường thời điểm t Kết Chương cơng bố cơng trình (SCIE) 10