MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN 1 LỜI CẢM ƠN 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 3 MỞ ĐẦU 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1 1 Không gian nội suy, các định lý nội suy 9 1 1 1 Định nghĩa 9 1 1 2 Không gi[.]
MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Không gian nội suy, định lý nội suy 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Không gian nội suy phức 1.1.3 Không gian nội suy thực 10 Nửa nhóm 13 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.2.2 Nửa nhóm giải tích 14 1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic 15 Một số không gian hàm 16 1.3.1 Không gian Lorentz 16 1.3.2 Không gian Besov 18 1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn 18 Chương NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 20 TRONG KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính 2.2 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 21 tính ổn định nghiệm 25 2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25 2.2.2 Phương trình tổng qt hóa động lực học thủy khí i 31 Chương NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 36 3.1 Nghiệm tuần hoàn 36 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 37 3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40 Nghiệm hầu tuần hoàn 42 3.2 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 4.2 47 Ứng dụng vào phương trình động lực học thủy khí 47 4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen 47 4.1.2 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 52 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 55 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ 57 4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck 57 4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ 62 4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic 63 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng 68 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan công trình nghiên cứu thân tác giả Các kết nghiên cứu kết luận luận án trung thực, không chép từ nguồn hình thức Việc tham khảo nguồn tài liệu thực trích dẫn ghi nguồn tài liệu tham khảo quy định Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020 Tập thể hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà Tác giả TS Trần Thị Loan Vũ Thị Mai LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Vũ Thị Ngọc Hà, TS Trần Thị Loan, hai cô tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học Các cô bảo suốt trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vơ mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi, cho tơi ý kiến đóng góp q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn thành viên nhóm seminar “Phương trình vi phân ứng dụng” trường ĐH Bách khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành bên cạnh động viên giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tôi xin chân thành cảm ơn Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán KHTN Trường Đại học Hải Phòng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương Z : tập số nguyên C : tập số phức Z 1/p p := u : R → R kukp = |u(x)| dx < +∞ , ≤ p < ∞ R := u : R → R kuk∞ = ess sup |u(x)| < +∞ Lp (R) L∞ (R) x∈R X, Y L(X, Y ) L(X) Cb (R+ , X) : khơng gian Banach : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào n o := v : R+ → X | v liên tục sup kv(t)k < ∞ , t∈R+ Cb (R, X) với chuẩn kvkCb (R+ ,X) := sup kv(t)k t∈R+ n o := v : R → X | v liên tục sup kv(t)k < ∞ t∈R với chuẩn kvkCb (R,X) := sup kv(t)k t∈R A (e−tA )t≥0 : tốn tử tuyến tính : nửa nhóm sinh tốn tử −A MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bài tốn hệ phương trình Navier - Stokes đưa từ năm 1882, mô tả hình dạng sóng, chuyển động đại dương, hình thành bão, chuyển động khơng khí, Bên cạnh hệ phương trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác học chất lỏng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu ý nghĩa mặt toán học tầm quan trọng chúng thách thức khó khăn nghiên cứu Xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần toán học khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy, định lý nội suy, để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Bài tốn tìm nghiệm bị chặn phương trình Navier-Stokes miền Ω khơng bị chặn hướng Maremonti [1] phát biểu dạng sau: Bài toán A: “Ký hiệu f (t, x) ngoại lực u(t, x) nghiệm phương trình Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X Y hai không gian Banach với chuẩn k · kX k · kY tương ứng Nếu f (t, ·) ∈ X với kf (t, ·)kX bị chặn theo thời gian, u(t, ·) ∈ Y với ku(t, ·)kY bị chặn theo thời gian.” Trong trường hợp, Ω bị chặn (theo hướng đó), cách sử dụng bất đẳng thức Poincaré số định lý nhúng Sobolev compact, người ta dễ dàng giải tốn A Khi miền khơng bị chặn theo hướng tốn trở nên phức tạp nhiều bất đẳng thức Poincaré khơng định lý nhúng compact không