Lời cảm ơn Tôi cảm thấy thật may mắn khi được học dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Văn Trào Bằng tất cả lòng kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn[.]
Lời cảm ơn Tôi cảm thấy thật may mắn học mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Trào Bằng tất lịng kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm dạy bảo, dùi dắt đường học tập nghiên cứu Đặc biệt q trình học nghiên cứu sinh Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Xuân Hồng, Thầy góp ý, bảo giúp đỡ tơi trình học tập, đặc biệt giai đoạn học nghiên cứu sinh để hồn thành Luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất Thầy Cô khoa Toán - Tin, tổ Lý Thuyết Hàm, thành viên nhóm Seminar Giải tích phức - trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đặc biệt GS TSKH Lê Mậu Hải GS TS Nguyễn Quang Diệu trao đổi lời góp ý vô quý báu Thầy Hà Nội, tháng năm 2018 NCS Trần Văn Thủy Mục lục Kí hiệu Mở đầu Tổng quan vấn đề nghiờn cu 11 Tớnh liờn tc Hă older ca nghiệm phương trình MongeAmpère phức 17 1.1 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet 17 1.2 Tính liên lục Hăolder ca nghim bi toỏn Dirichlet 24 Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 39 2.1 Nguyên lý so sánh cho hàm lớp Cegrell 39 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hịa 42 2.3 Tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 52 Thác triển cực đại hàm đa điều hòa 3.1 Tính chất hàm thuộc lớp Cegrell 3.2 Sự hội tụ theo dung lượng hàm thác triển 56 56 cực đại 60 Kết luận kiến nghị 69 Danh mục cơng trình sử dụng luận án 71 Tài liệu tham khảo 72 Kí hiệu • C(Ω): Tập hợp hàm liên tục Ω • C ∞ (Ω): Tập hợp hàm trơn vô hạn Ω • C0∞ (Ω): Tập hợp hàm trơn vơ hạn có giá compact Ω • C 0, (): Tp hp cỏc hm liờn tc -Hăolder trờn Ω • L∞ (Ω): Khơng gian hàm đo Lebesgue, bị chặn h.k.n Ω • L∞ loc (Ω): Không gian hàm đo Lebesgue, bị chặn địa phương h.k.n Ω • Lp (Ω): Khơng gian hàm khả tích bậc p Ω • Lploc (Ω): Khơng gian hàm khả tích địa phương bậc p Ω • PSH(Ω): Tập hợp hàm đa điều hịa Ω • PSH− (Ω): Tập hợp hàm đa điều hịa âm Ω • MPSH(Ω): Tập hợp hàm đa điều hòa cực đại Ω • (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u: Toán tử Monge-Ampère u • M A (Ω, φ, f ): Bài toán Dirichlet tốn tử Monge-Ampère • u (Ω, φ, f ): Nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) • uj % u: Dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj & u: Dãy {uj } hội tụ giảm tới u • uj → u: Dãy {uj } hội tụ tới u • Cn (U, Ω): Dung lượng tương đối tập U ⊂ Ω • A B : Tồn số C > cho A ≤ CB Mở đầu Lý chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức đối tượng đóng vai trị trung tâm lý thuyết đa vị, hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm, hướng phát triển mạnh mẽ gặt hái nhiều thành tựu hai thập niên qua số nhà toán học như: P ˚ Ahag, E Bedford, Z Blocki, U Cegrell, L.H Chinh, R Czy˙z, J.P Demailly, V Guedj, L.M Hải, P.H Hiệp, N.X Hồng, T.V Khanh, N.V Khuê, S Kolodziej, B.A Taylor, Y Xing, A Zeriahi, , xem [1-42] Một hướng nghiên cứu quan trọng tốn tử MongeAmpère phức tốn Dirichlet M A(Ω, φ, f ) Từ năm 1976 đến 2016, tác giả gặt hái nhiều kết quan trọng toán này, với trường hợp từ Ω miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn Cn tới Ω miền giả lồi bị chặn với biên lớp C , đa điều hịa loại m Như vậy, tốn M A(Ω, φ, f ) miền giả lồi không trơn đa điều hòa loại m vấn đề mở Tiếp theo, cho dãy hàm đa điều hòa {uj }, ta quan tâm đến hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n}, hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n }, mối liên hệ chúng Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề như: [14], [32], [41], [42] Cụ thể, tác giả điều kiện định hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n} dãy hàm {uj } đảm bảo hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n } ngược lại Tuy nhiên, việc nghiên cứu số điều kiện đủ để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy toán tử Monge-Ampère phức tương ứng, dựa sở để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức vấn đề mở Tiếp tục hướng nghiên cứu này, quan tâm tới vấn đề thác triển hàm đa điều hòa u tới miền lớn hơn, đặc biệt hàm thác triển cực đại Theo suốt hướng này, tác giả quan tâm tới vấn đề tồn thác triển dưới, thác triển cực đại u, nghiên cứu nhiều tính chất chúng, độ đo Monge-Ampère phức hàm thác triển dưới, thác triển cực đại Như vậy, vấn đề hội tụ theo Cn -dung lượng hàm thác triển cực đại toán mở Từ vấn đề nêu trên, chọn hướng nghiên cứu với đề tài luận án "Tính liên tục Holder ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampere" Mục đích nghiên cứu Từ thành tựu đạt gần đây, mục đích Luận án là: • Nghiên cứu tốn Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m • Tìm điều kiện đủ dãy hàm {uj } ⊂ PSH(Ω) để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Nghiên cứu hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại • Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm vấn đề nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ◦ Hàm đa điều hòa dưới, thác triển cực đại hàm đa điều hòa ◦ Các lớp hàm đa điều hòa U Cegrell giới thiệu, nghiên cứu phát triển nhiều tác giả ◦ Toán tử Monge-Ampère phức ◦ Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức ◦ Phương trình Monge-Ampère phức nghiệm chúng lớp hàm Cegrell ◦ Các tính chất hội tụ theo Cn -dung lượng hàm đa điều hòa hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa Phương pháp nghiên cứu • Ứng dụng phương pháp kỹ thuật truyền thống nhà tốn học sử dụng, nghiên cứu Giải tích phức • Tham gia seminar nhóm, seminar Tổ mơn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, nghiên cứu vấn đề vướng mắc, vấn đề Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Lý thuyết đa vị hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm ứng dụng chúng giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trình đạo hàm riêng phức, động lực học phức, giải tích hyperbolic, Kết Luận án góp phần nghiên cứu hoàn thiện lý thuyết đa vị, kỹ thuật hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần: Mục lục, Mở đầu, Tổng quan vấn đề nghiên cứu, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình sử dụng Luận án, Tài liệu tham khảo, nội dung Luận án bao gồm ba chương: • Chương Tớnh liờn tc Hăolder ca nghim phng trỡnh MongeAmpốre phức Trong phần đầu, ta nghiên cứu số tính chất cần thiết cho việc trình bày nội dung Luận án Sau đó, ta tập trung nghiên cứu kết Luận án toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức miền giả lồi khơng trơn • Chương Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Phần đầu chương, ta nghiên cứu mối liên hệ hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm đa điều hòa hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng Sau đó, ta sử dụng kết để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Chương Thác triển cực đại hàm đa điều hòa Trong chương này, ta ứng dụng kết chương trước 10 tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức để nghiên cứu tính chất hàm đa điều hòa Cụ thể, ta đưa khái niệm hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa với giá trị biên Sau đó, ta nghiên cứu số tính chất lớp hàm này, toán tử Monge-Ampère chúng Phần cuối, ta tập trung trình bày kết chương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại với giá trị biên Tổng quan vấn đề nghiên cu Tớnh liờn tc Hă older ca nghim phng trình Monge-Ampère phức miền giả lồi khơng trơn Cho Ω ⊂ Cn tập mở với n ≥ Một hàm nửa liên tục u : Ω → [−∞, +∞) gọi đa điều hòa Ω với đường thẳng phức l Cn , u|l∩Ω điều hòa l ∩ Ω Ta kí hiệu PSH(Ω) họ hàm đa điều hòa định nghĩa Ω, PSH– (Ω) họ hàm đa điều hòa âm Ω MPSH(Ω) tập tất hàm đa điều hòa cực đại Ω Ta ký hiệu (ddc )n tốn tử Monge-Ampère phức, d = ∂ + ∂ dc = i ∂ − ∂ , ddc = 2i∂∂ Năm 2004, U Cegrell [12] lớp hàm đa điều hịa khơng bị chặn miền siêu lồi bị chặn mà tốn tử Monge-Ampère phức định nghĩa Ta xét toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère phức: u ∈ PSH (Ω) ∩ L∞ (Ω) c n M A(Ω, φ, f ) : (dd u) = f dVn Ω limu (z) = φ (ξ) , ∀ξ ∈ ∂Ω z→ξ Ở đó, f hàm không âm Ω, f ∈ Lp (Ω) với p > hàm φ liên tục bị chặn biên Ω Với dạng thể tích dVn = n n! β , β = ddc kzk2 l dng Kăahler chớnh tc ca Cn Ta ký hiệu u (Ω, φ, f ) nghiệm ... với đề tài luận án "Tính liên tục Holder ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampere" Mục đích nghiên cứu Từ thành tựu đạt gần đây, mục đích Luận án là: • Nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge- Ampère... 24 Sự ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampère phức 39 2.1 Nguyên lý so sánh cho hàm lớp Cegrell 39 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hòa 42 2.3 Tính ổn định nghiệm phương trình. .. việc trình bày nội dung Luận án Sau đó, ta tập trung nghiên cứu kết Luận án toán Dirichlet cho toán tử Monge- Ampère phức miền giả lồi khơng trơn • Chương Sự ổn định nghiệm phương trình Monge- Ampère