SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ ĐẶT CHỈNH ZOLEZZI CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTOR YẾU VÀ MẠNH

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 DOI:10.22144/ctu.jvn.2022.151 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ ĐẶT CHỈNH ZOLEZZI CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTOR YẾU VÀ MẠNH Lâm Quốc Anh1, Trương Thị Mỹ Dung2* Trần Ngọc Tâm3 Bộ mơn Sư phạm Tốn, Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Bộ mơn Tốn, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đơ Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ *Người chịu trách nhiệm viết: Trương Thị Mỹ Dung (email: ttmdung@tdu.edu.vn) Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 17/02/2022 Ngày nhận sửa: 14/05/2022 Ngày duyệt đăng: 24/05/2022 In this paper, vector equilibrium problems in the sense of weak and strong types are investigated via an ordering cone with nonempty algebraic interior Firstly, analytic structure in linear spaces along with their properties is discussed Then, these properties together with a KKM Fan lemma are used to study the existence of solutions to the underlying problems Finally, sufficient conditions for the Zolezzi wellposedness for the reference problems are provided Title: Existence of solutions and Zolezzi wellposedness for weak and strong vector equilibrium problems Từ khóa: Bài tốn cân vector, đặt chỉnh Zolezzi, phần đại số, tính nửa liên tục Keywords: Algebraic interior, semicontinuity, Zolezzi wellposedness, vector equilibrium problem TĨM TẮT Trong báo này, tốn cân vector hai dạng yếu mạnh nghiên cứu theo nón thứ tự có phần đại số khác rỗng Trước hết, cấu trúc giải tích không gian tuyến tính số tính chất chúng khảo sát Sau đó, tính chất sử dụng để thiết lập điều kiện đủ cho tập nghiệm toán cân vector không tập rỗng Tiếp theo, điều kiện đủ cho đặt chỉnh Zolezzi cho toán xét thiết lập tạp chí quốc tế có uy tín (Ansari et al., 2001; Ansari, 2008; Bigi et al., 2012; Chen et al., 2005; Gong, 2006; Huang et al., 2007) Tính ổn định nghiệm (theo hai nghĩa định tính định lượng) chủ đề quan trọng sau chủ đề tồn nghiệm Đây chủ đề phát triển nhanh thời gian gần (Anh et al., 2018, 2019, 2020, 2021; Tam, 2021) GIỚI THIỆU Bài toán cân vector mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng tối ưu hóa, chẳng hạn toán tối ưu vector, toán bất đẳng thức biến phân vector, toán điểm yên ngựa vector, toán điểm bất động, toán bù toán cân Nash vector (Ansari et al., 2000; Oettli, 1997; Bianchi et al., 1997) Trong hai thập kỷ qua, chủ đề quan trọng lớp toán cân vector nghiên cứu cách rộng rãi Tương tự lớp mơ hình tốn học khác, chủ đề quan trọng hàng đầu lớp toán cân vector tồn nghiệm Đến nay, nhiều cơng trình nghiên cứu chủ đề công bố Sự đặt chỉnh toán cân vector gần với chủ đề tính ổn định nghiệm Sự đặt chỉnh tốn hiểu theo hai hướng Thứ đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard đề xuất Hadamard (1902) Theo hướng này, toán gọi đặt chỉnh Hadamard 56 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 có nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu toán Hướng thứ hai khái niệm đặt chỉnh nhà toán học Tykhonov đề xuất Tykhonov (1966) thường biết với tên gọi đặt chỉnh Tykhonov Trong đó, tốn gọi đặt chỉnh Tykhonov có nghiệm nhất, đồng thời dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm Về sau, nhà toán học đề xuất nhiều khái niệm mở rộng hai dạng đặt chỉnh trên, số dạng đặt chỉnh theo tham số nhiễu (còn gọi đặt chỉnh Zolezzi), kết hợp hai dạng đặt chỉnh Hadamard Tykhonov lại với nhau, giới thiệu Zolezzi (1995) Đây dạng nhiều lin(Ω) ≔ {𝑦̅ ∈ 𝑌: ∃𝑦 ∈ Ω, 𝑦 ≠ 𝑦̅, 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼) 𝑦̅ ∈ Ω, 𝛼 ∈ (0,1]} ∪ Ω Tập Ω thỏa mãn điều kiện lin(Ω) = Ω gọi tập đóng đại số Bổ đề 2.1 Nếu Ω tập đóng đại số 𝑌 với 𝑥 ∈ 𝑌 ∖ Ω 𝑣 ∈ Ω, tồn 𝑡0 ∈ (0,1) cho 𝑥 + 𝑡(𝑣 − 𝑥) ∉ Ω với 𝑡 ≤ 𝑡0 Chứng minh Vì 𝑥 ∉ Ω = lin (Ω) nên với 𝑣 ∈ Ω, ta có [𝑣, 𝑥) ⊄ Ω, tức là, {𝑡𝑣 + (1 − 𝑡)𝑥 ∣ 𝑡 ∈ (0,1]} ⊄ Ω Điều dẫn đến tồn 𝑡0 ∈ (0,1) thỏa mãn 𝑡0 𝑣 + (1 − 𝑡0 )𝑥 ∉ Ω Do đó, với 𝑡 ≤ 𝑡0 ta có 𝑡𝑣 + (1 − 𝑡)𝑥 ∉ Ω hay 𝑥 + 𝑡(𝑣 − 𝑥) ∉ Ω ∎ Bổ đề 2.2 Nếu Ω tập đóng đại số 𝑌 𝑌\Ω tập mở đại số 𝑌 Chứng minh nhà toán học quan tâm khảo sát rộng rãi cho nhiều mơ hình tốn học Mục tiêu báo nghiên cứu tồn tính đặt chỉnh nghiệm Zolezzi cho toán cân vector hai dạng yếu mạnh theo nón thứ tự có phần đại số khác rỗng Một cách cụ thể, trước hết, khái niệm giải tích hàm tập cho khơng gian tuyến tính khơng trang bị cấu trúc topo giới thiệu nghiên cứu Sau đó, chúng sử dụng để thiết lập điều kiện đủ cho tính khác rỗng tập nghiệm tốn xét Kế tiếp, dạng nghiệm xấp xỉ dạng đặt chỉnh theo tham số nhiễu toán đề xuất Cuối cùng, việc sử dụng khái niệm tính chất giải tích khơng gian tuyến tính vừa nêu, điều kiện đặt chỉnh vừa đề xuất cho toán cân vector yếu mạnh khơng gian tuyến tính nghiên cứu Ta cần chứng minh bao hàm thức 𝑌 ∖ Ω ⊂ core (𝑌 ∖ Ω) hiển nhiên ta có bao hàm thức core(𝑌 ∖ Ω) ⊂ 𝑌 ∖ Ω Lấy 𝑥 ∈ 𝑌 ∖ Ω 𝑤 ∈ 𝑌, ta cần chứng tỏ tồn 𝜆 > cho 𝑥 + [0, 𝜆]𝑤 ⊂ 𝑌 ∖ Ω Đặt 𝑣: = 𝑥 + 𝑤, ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu [𝑥, 𝑣] ∩ Ω = ∅, tức [𝑥, 𝑥 + 𝑤] ⊂ 𝑌 ∖ Ω, ta KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, xét 𝑌 khơng gian tuyến tính thực Ω tập khác rỗng 𝑌 Nhắc lại rằng, tập Ω gọi tập lồi với 𝑥, 𝑦 ∈ Ω 𝑡 ∈ [0,1] 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 ∈ Ω 𝑥 + [0, 𝜆]𝑤 ⊂ 𝑌 ∖ Ω, với 𝜆 = [𝑥, 𝑥 + 𝑤] = 𝑥 + [0,1]𝑤 Trường hợp 2: Nếu [𝑥, 𝑣] ∩ Ω ≠ ∅ ta lấy 𝑣‾ ∈ [𝑥, 𝑥 + 𝑤] ∩ Ω Khi tồn 𝑡‾ ∈ [0,1] cho 𝑣‾ = 𝑡‾𝑥 + (1 − 𝑡‾)(𝑥 + 𝑤) Định nghĩa 2.1 (Jahn, 2009, Định nghĩa 1.8, Tr 6-7) Vì 𝑣‾ ∈ Ω nên theo Bổ đề 2.1 tồn 𝑡0 ∈ (0,1) cho 𝑥 + 𝑡(𝑣‾ − 𝑥) ∉ Ω với 𝑡 ≤ 𝑡0 Do đó, 𝑥 + 𝑡[𝑡‾𝑥 + (1 − 𝑡‾)𝑥 + (1 − 𝑡‾)𝑤 − 𝑥] ∉ Ω, a) Phần đại số tập Ω, kí hiệu core(Ω), tập hợp xác định sau: core(Ω) ≔ {𝑎 ∈ Ω: ∀𝑣 ∈ 𝑌, ∃𝛿 > cho 𝑎 + [0, 𝛿]𝑣 ⊂ Ω} ∀𝑡 ≤ 𝑡0 Suy 𝑥 + 𝑡(1 − 𝑡‾)𝑤 ∉ Ω với 𝑡 ≤ 𝑡0 Do đó, ta 𝑥 + [0, 𝜆]𝑤 ⊂ 𝑌 ∖ Ω với 𝜆 = 𝑡0 (1 − 𝑡‾) Tập Ω thỏa mãn điều kiện core(Ω) = Ω gọi tập mở đại số Vậy, core (𝑌 ∖ Ω ) = 𝑌 ∖ Ω ∎ Bổ đề 2.3 (Tâm, 2021, Mệnh đề 2.4, 2.6 & 2.8) b) Bao đóng đại số tập Ω, kí hiệu lin(Ω), tập hợp xác định sau: Giả sử Ω tập 𝑌 Khi đó, khẳng định sau đúng: 57 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 core(Ω) tập mở đại số a) Nếu Ω tập lồi core(Ω) tập tục (𝐶-nửa liên tục dưới, 𝐶-liên tục) điểm thuộc tập Sau đây, đặc trưng tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ ℎ nghiên cứu Định lý 2.1 lồi b) Nếu Ω tập lồi mở đại số 𝑌 với tập A ⊂ Y, ta có đẳng thức: core(𝐴 + Ω) = 𝐴 + Ω Định nghĩa 2.2 i) Ánh xạ ℎ: 𝑋 → 𝑌 𝐶-nửa liên tục trên 𝑋 với 𝑏 ∈ 𝑌, tập nghịch ảnh ℎ−1 (𝑏 − core(𝐶)) tập mở 𝑋 Cho 𝐶 tập 𝑌 Khi đó: a) 𝐶 gọi nón 𝜆𝑥 ∈ 𝐶 với 𝑥 ∈ 𝐶 𝜆 ≥ ii) Ánh xạ ℎ: 𝑋 → 𝑌 𝐶-nửa liên tục 𝑋 với 𝑏 ∈ 𝑌, tập nghịch ảnh ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) tập mở 𝑋 Chứng minh b) Nón 𝐶 gọi có đỉnh 𝐶 ∩ (−𝐶) = {𝟎𝑌 }, 𝟎𝑌 vector khơng 𝑌 c) Nón 𝐶 gọi nón lồi 𝐶 tập i) Xem chứng minh Tâm, 2021, Định lý 2.1 Bổ đề 2.4 (Jahn, 2009, Bổ đề 1.11 & 1.12, Tr 9- ii) Giả sử ánh xạ ℎ 𝐶-nửa liên tục 𝑋 Với 𝑏 ∈ 𝑌 𝑥0 ∈ ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) ta suy ℎ(𝑥0 ) ∈ 𝑏 + core(𝐶) Vì ℎ 𝐶-nửa liên tục 𝑏 + core(𝐶) tập mở đại số nên tồn lân cận 𝑈 𝑥0 cho lồi 10) Nón 𝐶 lồi 𝑌 𝐶 + 𝐶 ⊂ 𝐶 Nếu 𝐶 nón lồi 𝑌 core(𝐶) khác rỗng core(𝐶) + 𝐶 = core(𝐶) ℎ(𝑥) ∈ 𝑏 + core(𝐶) + 𝐶, ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 Nếu 𝐶 nón lồi 𝑏 + core(𝐶) tập mở đại số 𝑌 Vì core(𝐶) + 𝐶 = core(𝐶) nên ta suy ℎ(𝑥) ∈ 𝑏 + core(𝐶) với 𝑥 ∈ 𝑈 Do đó, 𝑥 ∈ ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) với 𝑥 ∈ 𝑈 Suy 𝑥0 ∈ 𝑈 ⊂ ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) Do ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) tập mở 𝑋 Trong phần cuối mục này, khái niệm, tính chất nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nhận giá trị khơng gian tuyến tính khơng có cấu trúc topo nghiên cứu Bây ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử ℎ−1 (𝑏 + core(𝐶)) tập mở 𝑋 với 𝑏 ∈ 𝑌, ta chứng minh ℎ 𝐶-nửa liên tục điểm 𝑥0 ∈ 𝑋 Thật vậy, giả sử 𝑉 tập mở đại số 𝑌 thoả mãn ℎ(𝑥0 ) ∈ 𝑉 𝑒 vector thuộc core(𝐶) Khi tồn 𝜆 𝜆 > cho ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 ∈ 𝑉 Ta dễ dàng thấy Cho 𝑋 không gian vector topo Hausdorff, 𝑌 không gian tuyến tính thực thứ tự nón 𝐶 Định nghĩa 2.3 Cho ℎ: 𝑋 → 𝑌 ánh xạ có giá trị vector Ánh xạ ℎ gọi là: a) 𝐶-nửa liên tục 𝑥0 ∈ 𝑋 với tập 𝑉 mở đại số 𝑌 thỏa mãn ℎ(𝑥0 ) ∈ 𝑉 tồn lân cận 𝑈 𝑥0 cho ℎ(𝑥) ∈ 𝑉 − 𝐶 với 𝑥 ∈ 𝑈 b) 𝐶-nửa liên tục 𝑥0 ∈ 𝑋 với tập 𝑉 mở đại số 𝑌 thỏa mãn ℎ(𝑥0 ) ∈ 𝑉 tồn lân cận 𝑈 𝑥0 cho ℎ(𝑥) ∈ 𝑉 + 𝐶 với 𝑥 ∈ 𝑈 c) 𝐶-liên tục 𝑥0 ∈ 𝑋 vừa 𝐶-nửa liên tục 𝐶-nửa liên tục 𝑥0 𝑥0 ∈ ℎ −1 𝜆 (ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 + core(𝐶)), 𝜆 ℎ−1 (ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 + core(𝐶)) tập mở nên tồn lân cận 𝑈 𝑥0 cho 𝜆 𝑥0 ∈ 𝑈 ⊂ ℎ−1 (ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 + core(𝐶)), hay với 𝑥 ∈ 𝑈 𝜆 𝑥 ∈ ℎ−1 (ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 + core(𝐶)) 𝐶-nửa liên tục (𝐶-nửa liên tục dưới, 𝐶-liên tục) tập 𝑋 𝐶-nửa liên Do 58 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTOR YẾU VÀ MẠNH 𝜆 ℎ(𝑥) ∈ ℎ(𝑥0 ) + 𝑒 + core(𝐶) ⊂ 𝑉 + 𝐶, ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 Vậy ℎ 𝐶-nửa liên tục 𝑥0 Do đó, chứng minh hồn tất ∎ Cho 𝑍 khơng gian vector topo Hausdorff ℎ1 : 𝑋 → 𝑌, ℎ2 : 𝑍 → 𝑌 ánh xạ có giá trị vector Ta xét ánh xạ tổng ℎ1 + ℎ2 : 𝑋 × 𝑍 → 𝑌 xác định sau: (ℎ1 + ℎ2 )(𝑥, 𝑧): = ℎ1 (𝑥) + ℎ2 (𝑧), ∀(𝑥, 𝑧) ∈ 𝑋 × 𝑍 Định lý 2.2 Các khẳng định sau đúng: i) Nếu ℎ1 ℎ2 𝐶-nửa liên tục tương ứng 𝑥0 𝑧0 ℎ1 + ℎ2 𝐶- nửa liên tục (𝑥0 , 𝑧0 ) ii) Nếu ℎ1 ℎ2 𝐶-nửa liên tục tương ứng 𝑥0 𝑧0 ℎ1 + ℎ2 𝐶-nửa liên tục (𝑥0 , 𝑧0 ) Chứng minh: Trong mục này, ta xét 𝑋 không gian vector topo Hausdorff; 𝑌 khơng gian tuyến tính thực; 𝐶 nón lồi, đóng đại số có đỉnh 𝑌 với core(𝐶) khác rỗng Cho 𝐾 tập khác rỗng 𝑋 𝑓: 𝐾 × 𝐾 ⟶ 𝑌 song hàm Ta xét tốn cân vector yếu (kí hiệu, WEP) mạnh (kí hiệu, SEP) sau đây: (WEP) Tìm 𝑥̅ ∈ 𝐾 cho 𝑓(𝑥̅ , 𝑦) ∉ −core(𝐶) với 𝑦 ∈ 𝐾 (SEP) Tìm 𝑥̅ ∈ 𝐾 cho 𝑓(𝑥̅ , 𝑦) ∈ 𝐶 với 𝑦 ∈ 𝐾 Ký hiệu tập nghiệm (WEP) (SEP) 𝑆 𝑤 𝑆 𝑠 , tức là: 𝑆 𝑤 ∶= {𝑥 ∈ 𝐾: 𝑓(𝑥, 𝑦) ∉ −core(𝐶), ∀ 𝑦 ∈ 𝐾}; 𝑆 𝑠 ∶= {𝑥 ∈ 𝐾: 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶, ∀ 𝑦 ∈ 𝐾} Để nghiên cứu tính khác rỗng tập nghiệm 𝑆 𝑤 𝑆 𝑠 , trước hết ta nhắc lại khái niệm ánh xạ KKM nguyên lý điểm bất động KKM-Fan Do kỹ thuật chứng minh tương tự nên ta trình bày phần chứng minh (ii) Giả sử 𝑉 tập mở đại số thỏa mãn (𝑥 ℎ1 ) + ℎ2 (𝑧0 ) ∈ 𝑉 Do đó, −ℎ1 (𝑥0 ) − ℎ2 (𝑧0 ) + 𝑉 tập mở đại số chứa 0𝑌 Khi đó, tồn hai tập mở đại số 𝑉1 , 𝑉2 chứa 0𝑌 thỏa mãn 𝑉1 + 𝑉2 ⊂ −ℎ1 (𝑥0 ) − ℎ2 (𝑧0 ) + 𝑉 Vì ℎ1 (𝑥0 ) + 𝑉1 tập mở đại số chứa ℎ1 (𝑥0 ) ℎ1 𝐶-nửa liên tục 𝑥0 nên tồn lân cận 𝑈1 𝑥0 cho với 𝑥 ∈ 𝑈1 ℎ1 (𝑥) ∈ ℎ1 (𝑥0 ) + 𝑉1 + 𝐶, Tương tự, tồn lân cận 𝑈2 𝑧0 cho với 𝑧 ∈ 𝑈2 , ℎ2 (𝑧) ∈ ℎ2 (𝑧0 ) + 𝑉2 + 𝐶, Do đó, với (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑈1 × 𝑈2 , ta có ℎ1 (𝑥) + ℎ2 (𝑧) ∈ ℎ1 (𝑥0 ) + ℎ2 (𝑧0 ) + 𝑉1 + 𝑉2 + 𝐶 + 𝐶 ⊂ 𝑉 + 𝐶 Vậy ℎ1 + ℎ2 𝐶-nửa liên tục (𝑥0 , 𝑧0 ) ∎ Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.2, ta có kết sau Định lý 2.3 Cho ℎ: 𝑋 → 𝑌 ánh xạ có giá trị vector 𝑟 số thực dương Nếu ℎ 𝐶-nửa liên tục (tương ứng, 𝐶-nửa liên tục dưới) 𝑥0 𝑟ℎ 𝐶nửa liên tục (tương ứng, 𝐶-nửa liên tục dưới) 𝑥0 Định nghĩa 3.1 (Ansari, 2000, Định nghĩa 3, Tr 3) Cho 𝐺 tập khác rỗng 𝑋 ánh xạ đa trị 𝐹: 𝐺 ⇉ 𝑋 Ánh xạ 𝐹 gọi ánh xạ KKM với tập hữu hạn {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 } 𝐺 bao hàm thức 𝑛 conv {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 } ⊂ ⋃ 𝐹(𝑦𝑖 ), 𝑖=1 thỏa mãn, conv(𝐸) kí hiệu bao lồi tập 𝐸 Bổ đề sau thường gọi Bổ đề KKM-Fan Bổ đề 3.1 (Fan, 1961, Bổ đề 1) Giả sử 𝐹: 𝐺 ⇉ 𝑋 ánh xạ KKM có giá trị đóng Khi đó, tồn phần tử 𝑦̅ ∈ 𝐺 cho 𝐹(𝑦̅) tập compact ⋂ 𝐹(𝑦) ≠ ∅ 𝑦∈𝐺 Trong báo Tâm (2021), tác giả đưa điều kiện đủ đảm bảo tồn nghiệm toán (WEP) sau: Định lý 3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) với 𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓(𝑥, 𝑥) ∉ −core(𝐶); 59 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 𝑛 (ii) với 𝑥 ∈ 𝐾, tập hợp {𝑦 ∈ 𝐾: 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ −core(𝐶)} tập lồi; (iii) với 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑓(⋅, 𝑦) 𝐶-nửa liên tục 𝐾; (iv) (điều kiện bức) tồn tập compact khác rỗng 𝑁 𝐾 𝑦̅ ∈ 𝑁 cho 𝑓(𝑥, 𝑦̅) ∈ −core(𝐶) với 𝑥 ∈ 𝐾\𝑁 𝑓 (𝑦, ∑ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 ) ∉ 𝐶, 𝑖=1 hay 𝑓(𝑦, 𝑦) ∉ 𝐶 Điều mâu thuẫn với giả thiết (i), đó, 𝐹 ánh xạ KKM Kế tiếp, ta chứng minh 𝐹(𝑦) tập đóng 𝐾 với 𝑦 ∈ 𝐾 Giả sử {𝑥𝛼 } lưới 𝐹(𝑦) hội tụ 𝑥0 Nếu 𝑥0 ∉ 𝐹(𝑦) 𝑓(𝑥0 , 𝑦) ∉ 𝐶, hay 𝑓(𝑥0 , 𝑦) ∈ 𝑌\𝐶 Khi đó, tập nghiệm tốn 𝑆 𝑤 toán (WEP) khác rỗng Bây giờ, ta thiết lập kết điều kiện đảm bảo tính khác rỗng tập nghiệm 𝑆 𝑠 toán (SEP) Định lý 3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) với 𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓(𝑥, 𝑥) ∈ 𝐶; (ii) với 𝑥 ∈ 𝐾, tập {𝑦 ∈ 𝐾: 𝑓(𝑥, 𝑦) ∉ 𝐶} tập lồi; (iii) với 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑓(⋅, 𝑦) 𝐶-nửa liên tục 𝐾; (iv) (điều kiện bức) tồn tập compact khác rỗng 𝑁 𝐾 𝑦̅ ∈ 𝑁 cho 𝑓(𝑥, 𝑦̅) ∉ 𝐶 với 𝑥 ∈ 𝐾\𝑁 Khi đó, tập nghiệm 𝑆 𝑠 toán (SEP) khác rỗng Chứng minh: Xét ánh xạ đa trị 𝐹: 𝐾 ⇉ 𝐾 xác định bởi, 𝐹(𝑦) ≔ {𝑥 ∈ 𝐾: 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶}, với 𝑦 ∈ 𝐾 Vì 𝑌\𝐶 tập mở đại số 𝑓 𝐶-nửa liên tục nên ta suy tồn lân cận 𝑈 𝑥0 cho 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑌\𝐶 − 𝐶 ⊂ 𝑌\𝐶, ∀𝑥 ∈ 𝑈 Vì 𝑈 lân cận 𝑥0 𝑥𝛼 → 𝑥0 nên tồn 𝛼0 cho 𝑥𝛼 ∈ 𝑈 với 𝛼 ≥ 𝛼0 Khi 𝑓(𝑥𝛼 , 𝑦) ∈ 𝐶, điều mâu thuẫn 𝑥𝛼 ∈ 𝐹(𝑦) Do đó, 𝑥0 ∈ 𝐹(𝑦) ta suy 𝐹(𝑦) tập đóng 𝐾 Với 𝑥̅ ∈ 𝐹(𝑦̅) ta có 𝑓(𝑥̅ , 𝑦̅) ∈ 𝐶 Theo giả thiết (iv) 𝑥̅ ∉ 𝐾\𝑁 hay 𝑥̅ ∈ 𝑁 Do đó, 𝐹(𝑦̅) ⊂ 𝑁 Hơn nữa, theo chứng minh 𝐹(𝑦̅) tập đóng Vì 𝐹(𝑦̅) tập đóng tập compact 𝑁 nên 𝐹(𝑦̅) tập compact Như vậy, ta chứng minh 𝐹 ánh xạ KKM với giá trị đóng có 𝐹(𝑦̅) tập compact 𝐾 Áp dụng bổ đề KKM-Fan, ta ⋂𝑦∈𝐾 𝐹(𝑦) ≠ ∅ Vậy tập nghiệm 𝑆 𝑠 khác rỗng Ví dụ: Cho 𝑋 = ℝ, 𝑌 = ℝ, 𝐶 = [0 ; +∞), 𝐾 = 𝑁 = [0 ; 1] Xét ánh xạ 𝑓: 𝐾 × 𝐾 ⟶ 𝑌 xác định 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦, ∀𝑥, 𝑦 𝜖 𝐾 Khi điều kiện Định lý 3.2 thỏa mãn 𝑥 = nghiệm toán (SEP) Ta nhận xét rằng, 𝑥̅ ∈ 𝑆 𝑠 𝑥̅ ∈ ⋂ 𝐹(𝑦) 𝑦∈𝐾 SỰ ĐẶT CHỈNH ZOLEZZI Trước hết, ta chứng minh 𝐹 ánh xạ KKM Giả sử ngược lại, 𝐹 không ánh xạ KKM Khi đó, tồn tập hữu hạn {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 } 𝐾 phần tử 𝑦 ∈ conv {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 } 𝑦 ∉ 𝐹(𝑦𝑖 ) với 𝑖 Do đó, 𝑓(𝑦, 𝑦𝑖 ) ∉ 𝐶 với 𝑖 Vì 𝑦 ∈ conv {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 } nên 𝑦 viết dạng 𝑛 Trong phần này, ta xét 𝑋 không gian định chuẩn; 𝑌 khơng gian tuyến tính thực; 𝐴 tập 𝑋, Λ tập không rỗng không gian định chuẩn 𝑃 (không gian tham số); 𝐶 nón lồi, đóng đại số có đỉnh 𝑌 với core(𝐶) khác rỗng Cho 𝐾: Λ ⇉ 𝐴 ánh xạ đa trị 𝑓: 𝐴 × 𝐴 × Λ → 𝑌 hàm vecto Với 𝜆 ∈ Λ, ta xét toán cân vector yếu mạnh phụ thuộc tham số sau đây: (PWVEP) Tìm 𝑥̅ ∈ 𝐾(𝜆) cho 𝑓(𝑥̅ , 𝑦, 𝜆) ∉ −core(𝐶) với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) (PSVEP) Tìm 𝑥̅ ∈ 𝐾(𝜆) cho 𝑛 𝑦 = ∑ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 , 𝑡𝑖 ≥ 0, ∑ 𝑡𝑖 = 𝑖=1 ∎ 𝑖=1 Kết hợp điều kiện 𝑓(𝑦, 𝑦𝑖 ) ∉ 𝐶 với 𝑖 giả thiết (ii), ta suy 60 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 a) 𝑄 gọi nửa liên tục 𝜆0 với lân cận 𝑈 𝑄(𝜆0 ) tồn lân cận 𝑁 𝜆0 cho 𝑄(𝜆) ⊂ 𝑈 với 𝜆 ∈ 𝑈 b) 𝑄 gọi nửa liên tục 𝜆0 cho lưới {𝜆𝛼 } hội tụ 𝜆0 𝑥0 ∈ 𝑄(𝜆0 ) tồn lưới {𝑥𝛼 } 𝑄(𝜆𝛼 ) thỏa mãn 𝑥𝛼 → 𝑥0 c) 𝑄 gọi liên tục 𝜆0 𝑄 vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục 𝜆0 𝑓(𝑥̅ , 𝑦, 𝜆) ∈ 𝐶 với 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) Với 𝜆 ∈ Λ, 𝑒 ∈ core(C) 𝜀 ∈ ℝ+ , ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ (PWVEP) (PSVEP) sau: Π 𝑤 (𝜆, 𝜀) ∶= {𝑥 ∈ 𝐾(𝜆): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) + 𝜀𝑒 ∉ −core(𝐶), ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)} Π 𝑠 (𝜆, 𝜀) ∶= {𝑥 ∈ 𝐾(𝜆): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) + 𝜀𝑒 ∈ 𝐶, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)} Định nghĩa 4.1 Cho 𝜆̅ ∈ Λ, {𝜆𝑛 } ⊂ Λ dãy hội tụ 𝜆̅ Một dãy {𝑥𝑛 } với 𝑥𝑛 ∈ 𝐾(𝜆𝑛 ) gọi dãy nghiệm xấp xỉ toán (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) 𝜆̅ ứng với dãy {𝜆𝑛 }, tồn dãy {𝜀𝑛 } ⊂ ℝ+ hội tụ cho 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦, 𝜆𝑛 ) + 𝜀𝑛 𝑒 ∉ −core(𝐶), ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) Ta nói ánh xạ 𝑄 nửa liên tục (nửa liên tục dưới, liên tục) tập nửa liên tục (nửa liên tục dưới, liên tục) điểm tập (tương 𝐾(𝜆)) Cho Q(λ0 ) tập compact Khi đó, Q nửa liên tục λ0 với lưới {λα } hội tụ λ0 𝑥α ∈ Q(λα ) tồn lưới {𝑥β } {𝑥α } hội tụ điểm 𝑥0 thuộc Q(λ0 ) Bổ đề 4.2 (Hu & Papageorgiou, 1997, Mệnh đề 2.6, Tr 37) Ánh xạ đa trị Q: Λ ⇉ X nửa liên tục λ0 cho lưới {λα } hội tụ λ0 Q(λ0 ) ⊂ liminfQ(λα ), với liminfQ(λα ) ≔ {𝑥0 ∈ 𝑋: ∃𝑥α ∈ Q(λα ), 𝑥α → 𝑥0 } Kết tính đặt chỉnh Zolezzi tham số toán (PWVEP) phát biểu kết sau Định lý 4.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) 𝐾 liên tục có giá trị compact Λ; (ii) với 𝑥 ∈ 𝐾(Λ), 𝑓(𝑥, 𝑥, 𝜆) ∉ −core(𝐶); (iii) với 𝑥 ∈ 𝐾(Λ), tập hợp {𝑦 ∈ 𝐾(Λ): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) ∈ −core(𝐶)} tập lồi; (iv) với 𝑦 ∈ 𝐾(Λ), 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) 𝐶-nửa liên tục 𝐾(Λ); Khi đó, tốn (PWVEP) đặt chỉnh Zolezzi Hơn nữa, tập nghiệm toán (PWVEP) tập đơn phần tử tốn (PWVEP) đặt chỉnh Zolezzi ứng, Bổ đề 4.1 (Hu & Papageorgiou, 1997, Mệnh đề 2.19, Tr 41) 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦, 𝜆𝑛 ) + 𝜀𝑛 𝑒 ∈ 𝐶, ∀𝑦 ∈ Định nghĩa 4.2 Bài toán (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) gọi đặt chỉnh Zolezzi 𝜆̅ nếu: a) Tập nghiệm Π 𝑤 (𝜆̅, 0) (tương ứng, Π 𝑆 (𝜆̅, 0)) khác rỗng, b) dãy nghiệm xấp xỉ (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) 𝜆̅ ứng với dãy {𝜆𝑛 } có dãy hội tụ phần tử Π 𝑤 (𝜆̅, 0) (tương ứng, Π 𝑆 (𝜆̅, 0)) Bài toán gọi đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh điểm Λ Định nghĩa 4.3 Bài toán (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) gọi đặt chỉnh Zolezzi nếu: a) Bài tốn (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) có nghiệm 𝑥̅ , b) dãy nghiệm xấp xỉ (PWVEP) (tương ứng, (PSVEP)) 𝜆̅ ứng với dãy {𝜆𝑛 } hội tụ 𝑥̅ Bài toán gọi đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh điểm Λ Sau đây, ta nhắc lại khái niệm tính nửa liên tục liên tục với số tính chất quan trọng ánh xạ đa trị Chứng minh Định nghĩa 4.4 (Aubin & Frankowska, 1990, Định nghĩa 1.4.1 & 1.4.2, Tr 38) Cho ánh xạ đa trị 𝑄: Λ ⇉ 𝑋 𝜆0 ∈ Λ Khi đó: Ta thấy giả thiết Định lý 3.1 thỏa mãn Do đó, tập nghiệm 𝑆(𝜆) = Π 𝑤 (𝜆̅, 0) toán (PWVEP) khác rỗng 61 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 Bây ta chứng minh ánh xạ nghiệm xấp xỉ Π 𝑊 nửa liên tục (𝜆̅, 0) Giả sử Π 𝑊 không nửa liên tục (𝜆̅, 0), tức là, tồn tập mở 𝑈 chứa Π 𝑤 (𝜆̅, 0), dãy {𝜆𝑛 , 𝜀𝑛 } ⊂ Λ × ℝ+ hội tụ (𝜆̅, 0), dãy {𝑥𝑛 } với 𝑥𝑛 ∈ Π(𝜆𝑛 , 𝜀𝑛 ) cho 𝑥𝑛 ∉ 𝑈 với 𝑛 phần tử tốn (PWVEP) đặt chỉnh Zolezzi ∎ Đối với toán (PSVEP), ta có kết sau Ở ta khơng trình bày chứng minh tương tự chứng minh cho toán (PWVEP) Định lý 4.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) 𝐾 liên tục có giá trị compact Λ; (ii) với 𝑥 ∈ 𝐾(Λ), 𝑓(𝑥, 𝑥, 𝜆) ∈ 𝐶; (iii) với 𝑥 ∈ 𝐾(Λ), tập {𝑦 ∈ 𝐾(Λ): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) ∉ 𝐶} tập lồi; (iv) với 𝑦 ∈ 𝐾(Λ), 𝑓(⋅, 𝑦, 𝜆) 𝐶-nửa liên tục 𝐾(Λ); Khi tốn (PSVEP) đặt chỉnh Zolezzi Hơn nữa, tập nghiệm tốn (PSVEP) tập đơn phần tử tốn (PSVEP) đặt chỉnh Zolezzi Từ tính nửa liên tục 𝐾 𝜆̅ tính compact 𝐾(𝜆̅), ta giả sử 𝑥𝑛 → 𝑥0 với 𝑥0 ∈ 𝐾(𝜆̅) Nếu 𝑥0 ∉ Π 𝑤 (𝜆̅, 0) ta tìm 𝑦0 ∈ 𝐾(𝜆̅) cho 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆̅) ∈ −core(𝐶) Vì 𝐾 nửa liên tục nên tồn 𝑦𝑛 ∈ 𝐾(𝜆𝑛 ) thỏa mãn 𝑦𝑛 → 𝑦0 Vì 𝑥𝑛 ∈ Π 𝑊 (𝜆𝑛 , 𝜀𝑛 ) 𝑦𝑛 ∈ 𝐾(𝜆𝑛 ) nên 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝜆𝑛 ) + 𝜀𝑛 𝑒 ∉ −core(𝐶) Xét ánh xạ đồng 𝑖: 𝐶 → 𝐶, theo Định lý 2.2 2.3 ta suy tính 𝐶-nửa liên tục ánh xạ (𝑥, 𝑦, 𝜆, 𝜀) ↦ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) + 𝜀𝑒 (𝑥0 , 𝑧0 , 𝜆̅, 0) Áp dụng Định lý 2.1, ta 𝑓(𝑥0 , 𝑧0 , 𝜆̅) ∉ −core(𝐶) Đây điều mâu thuẫn Do đó, 𝑥0 ∈ Π 𝑤 (𝜆̅, 0), lại điều vơ lý 𝑥𝑛 ∉ 𝑈 với 𝑛 Vậy Π 𝑊 nửa liên tục (𝜆̅, 0) Ví dụ: Cho 𝑋 = ℝ, 𝑌 = ℝ, 𝐶 = [0 ; +∞), 𝐴 = Λ = [0 ; 1] Xét ánh xạ 𝐾: Λ ⇉ 𝐴, 𝑓: 𝐴 × 𝐴 × Λ → 𝑌 xác định 𝐾(𝜆) = [0; 1], 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑥 − 𝑦 + 𝜆, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) Khi điều kiện Định lý 4.1 4.2 thỏa mãn, tốn (PWVEP) (PSVEP) đặt chỉnh Zolezzi Tiếp theo, ta chứng minh Π 𝑤 (𝜆̅, 0) compact cách tính đóng tập compact 𝐾(𝜆̅) Giả sử 𝑥𝑛 ∈ Π 𝑤 (𝜆̅, 0) thỏa mãn 𝑥𝑛 → 𝑥0 Nếu 𝑥0 ∉ Π 𝑤 (𝜆̅, 0) tồn 𝑦0 ∈ 𝐾(𝜆̅) cho 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆̅) ∈ −core(𝐶) KẾT LUẬN Trong báo này, tồn nghiệm đặt chỉnh Zolezzi toán cân vector hai dạng yếu mạnh theo nón thứ tự có phần đại số khác rỗng nghiên cứu Trước hết, điều kiện đủ cho tốn có nghiệm thiết lập dựa vào bổ đề KKM-Fan điều kiện khác Sau đó, đặt chỉnh Zolezzi tốn đề xuất khảo sát Các công cụ, kỹ thuật cách tiếp cận đề xuất báo có nhiều khả áp dụng nghiên cứu tính chất nghiệm nhiều mơ hình tối ưu cho khơng gian tuyến tính khơng trang bị cấu trúc topo, thí dụ tốn tối ưu hàm mục tiêu có giá trị tập, toán bao hàm biến phân, toán quan hệ biến phân Sử dụng tính nửa liên tục 𝐾, ta tìm 𝑦𝑛 ∈ 𝐾(𝜆𝑛 ) thỏa mãn 𝑦𝑛 → 𝑦0 Do 𝑥𝑛 ∈ Π 𝑤 (𝜆̅, 0) 𝑦𝑛 ∈ 𝐾(𝜆𝑛 ) nên 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝜆̅) ∉ −core(𝐶) Áp dụng tính nửa liên tục 𝑓 ta 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆̅) ∉ −core(𝐶) Đây điều mâu thuẫn Do đó, 𝑥0 ∈ Π 𝑤 (𝜆̅, 0), dẫn đến Π 𝑤 (𝜆̅, 0) tập đóng Với {𝜆𝑛 } ⊂ Λ dãy dần 𝜆̅ {𝑥𝑛 } dãy nghiệm xấp xỉ toán (PWVEP) ứng với {𝜆𝑛 } Vì Π 𝑊 nửa liên tục có giá trị compact Π(𝜆̅, 0) nên áp dụng Bổ đề 4.1, ta suy tồn dãy {𝑥𝑛 } dần điểm thuộc Π 𝑤 (𝜆̅, 0) Do đó, toán (PWVEP) đặt chỉnh Zolezzi Đặc biệt, Π 𝑤 (𝜆̅, 0) tập đơn LỜI CẢM TẠ Bài báo phần kết đạt đề tài “Nghiên cứu tính chất tơpơ hàm tập khơng gian tuyến tính“, tài trợ Trường Đại học Tây Đô, mã số: 06 62 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số Giáo dục Đồng sông Cửu Long (2022): 56-63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, L Q., Duoc, P T., & Tam, T N (2018) On Hölder continuity of solution maps to parametric vector primal and dual equilibrium problems Optimization 67(8), 1169-1182 https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1466298 Anh, L Q., Duoc, P T., & Tam, T N (2020) On the stability of approximate solutions to setvalued equilibrium problems Optimization 69(7-8), 1583-1599 https://doi.org/10.1080/02331934.2019.1646744 Anh, L Q., Duoc, P T., Tam, T N., & Thang, N C (2021) Stability analysis for set-valued equilibrium problems with applications to Browder variational inclusions Optimization Letters 15(2), 613-626 https://doi.org/10.1080/02331934.2019.1646744 Anh, L Q., Khanh, P Q., & Tam, T N (2019) Continuity of approximate solution maps of primal and dual vector equilibrium problems Optimization Letters 13(1), 201-211 https://doi.org/10.1007/s11590-018-1264-8 Ansari, Q H., Schaible, S., & Yao, J C (2000) System of vector equilibrium problems and its applications Journal of Optimization Theory and Applications, 107(3), 547-557 https://doi.org/10.1023/A:1026495115191 Ansari, Q H., Konnov, I V., & Yao, J C (2001) Existence of a solution and variational principles for vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 110(3), 481-492 https://doi.org/10.1023/A:1026495115191 Ansari, Q H (2008) Existence of solutions of systems of generalized implicit vector quasiequilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 341(2), 1271-1283 https://doi.org/10.1023/A:1026495115191 Aubin, J P., & Frankowska, H (1990) Set-Valued Analysis Birkhäuser Boston, 474 pages Bigi, G., Adela, C., & Kassay, G (2012) Existence results for strong vector equilibrium problems and their applications Optimization 61(5), 567583 https://doi.org/10.1023/A:1026495115191 Bianchi, M., Hadjisavvas, N., & Schaible, S (1997) Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions Journal of optimization Theory and Applications, 92(3), 527-542 https://doi.org/10.1023/A:1022603406244 Chen, G Y., Huang, X X., & Yang, X Q (2005) Vector Optimization: Set-Valued and Variational Analysis Springer Berlin, 318 pages Fan, K (1961) A generalization of Tychonoff's fixed point theorem Mathematische Annalen 142(3), 305-310 https://doi.org/10.1007/BF01353421 Giannessi, F (Ed.) (2013) Vector variational inequalities and vector equilibria: mathematical theories (Vol 38) Springer Science & Business Media Gong, X H (2006) Strong vector equilibrium problems Journal of Global Optimization 36(3), 339-349 https://doi.org/10.1007/s10898-0069012-5 Hadamard, J (1902) Sur le problèmes aux dérivees partielles et leur signification physique Princeton University Bulletin, 49-52 Hu, S., & Papageorgiou, N (1997) Handbook of Multivalued Analysis, Volume I: Theory Kluwer Boston, 968 pages https://doi.org/10.1007/s10898-006-9012-5 Huang, N J., Li, J., & Yao, J C (2007) Gap functions and existence of solutions to a system of vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 133(2), 201-212 https://doi.org/10.1007/s10957-0079202-4 Jahn, J (2009) Vector Optimization Berlin: Springer, 392 pages Oettli, W (1997) A remark on vector-valued equilibria and generalized monotonicity Acta Mathematica Vietnamica, 22(1), 213-221 http://journals.math.ac.vn/acta/pdf/9701213.pdf Tam, T N (2022) On Hölder continuity of solution maps to parametric vector Ky Fan inequalities TOP 30(1), 77-94 https://doi.org/10.1007/s10957-007-9202-4 Tâm, T N., Anh, H N H., Anh, T T K., Nhật, D.M., & Thy, N N M (2021) Sự tồn tính nửa liên tục nghiệm tốn cân vector theo nón thứ tự có phần đại số khác rỗng Tạp chí khoa học trường Đại học Cần Thơ 57(5A), 86-93 https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2021.145 Tykhonov, A N (1966) On the stability of the functional optimization problem USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 6(4), 28-33 https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2021.145 Zolezzi, T (1995) Well-posedness criteria in optimization with application to the calculus of variations Nonlinear Analysis 25(5), 437-453 https://doi.org/10.1016/0362-546X(94)00142-5 63