Tính liên tục holder của nghiệm và đặt chỉnh holder của bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HC KHOA HC T NHIấN TRN NGC TM ă TNH LIấN TC HOLDER CA NGHIM V ă T CHNH HOLDER CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2017 ✬ ✩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HC KHOA HC T NHIấN TRN NGC TM ă TNH LIấN TC HOLDER CA NGHIM V ă T CHNH HOLDER CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS Nguyễn Đình Tuấn Phản biện 3: TS Nguyễn Hồng Quân Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Đình Tuấn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Lâm Quốc Anh GS.TSKH Phan Quốc Khánh TP Hồ Chí Minh - Năm 2017 ✫ ✪ LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Lâm Quốc Anh GS.TSKH Phan Quốc Khánh Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả đồng ý cho phép sử dụng chưa công bố trước TP Hồ Chí Minh, 2017 Trần Ngọc Tâm i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Lâm Quốc Anh GS.TSKH Phan Quốc Khánh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy hướng dẫn kính mến Những người Thầy khơng hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà truyền cảm hứng động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chun mơn sống Làm việc với hai Thầy, tác giả học tinh thần trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong cách làm việc khoa học, trung thực nghiêm túc Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn-Tin học, Bộ mơn Tốn Ứng dụng tạo điều kiện tốt cho tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TSKH Nguyễn Định, người Thầy nhiệt tình giảng dạy cho tác giả kiến thức bổ ích mơn Giải tích lồi Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Đình Phư, PGS.TS Trần Thị Huệ Nương, PGS.TS Đinh Ngọc Thanh có lời khuyên, góp ý cho tác giả lần báo cáo đề cương, báo cáo học thuật báo cáo ii hội nghị khoa học Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận nhiều quan tâm góp ý nhiều người Xin gửi lời cảm ơn đến TS Đinh Ngọc Quý, TS Võ Sĩ Trọng Long, TS Cao Thanh Tình, TS Nguyễn Minh Tùng, NCS Trần Quốc Duy, ThS Lê Tùng, ThS Phạm Thanh Dược, ThS Nguyễn Hữu Danh, với bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ quý báu Cuối không phần quan trọng, chân thành biết ơn gia đình tơi, bạn bè thân thiết người giúp đỡ, động viên để công việc học tập nghiên cứu tơi hồn thành tốt đẹp iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU vii MỞ ĐẦU ix KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tính liên tục ánh xạ 1.1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.2 Tính liên tục Hausdorff ánh xạ đa trị 1.1.3 Tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh xạ 1.2 Tính đơn điệu khái niệm liên quan 1.3 Tính lồi khái niệm liên quan 1.4 Bài toán cân 1.4.1 Mơ hình tốn cân vơ hướng 1.4.2 Một số trường hợp đặc biệt toán cân iv ¨ TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VƠ HƯỚNG 2.1 2.2 10 Tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim chớnh xỏc 11 2.1.1 Tính liên tục Hăolder ca ỏnh x nghim chớnh xỏc 11 2.1.2 Áp dụng 22 Tính liên tục Hăolder ca ỏnh x nghim xp x 26 2.2.1 Tớnh liờn tc Hăolder ánh xạ nghiệm xấp xỉ 26 2.2.2 Áp dụng 37 ă TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VÉC TƠ 3.1 43 Tính liên tục Hăolder ca ỏnh x nghim bi toỏn cõn bng vộc tơ 43 3.2 Nghiờn cu tớnh liờn tc Hăolder ca ánh xạ nghiệm xấp xỉ toán cân véc tơ yếu phương pháp vơ hướng hóa 51 3.3 Tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim xp xỉ toán cân véc tơ 61 3.3.1 Tính lồi, lõm giảm nhẹ hàm véc tơ 62 3.3.2 Tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim xp x 64 ă TÍNH ĐẶT CHỈNH HOLDER CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG 4.1 73 Tớnh t chnh Hăolder ca bi toỏn cõn bng vơ hướng 74 v 4.2 Tính đặt chnh Hăolder ca bi toỏn ta cõn bng vộc t 77 4.2.1 Bài toán tựa cân véc tơ 77 4.2.2 Tớnh t chnh Hăolder toán tựa cân véc tơ 79 4.2.3 Áp dụng 87 KẾT LUẬN 94 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 96 BÁO CÁO HỘI NGHỊ 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU · chuẩn d(·, ·) metric d(a, B) khoảng cách từ điểm a đến tập B H ∗ (A, B) độ dời A khỏi B H(A, B) khoảng cách Hausdorff hai tập A B ρ(A, B) khoảng cách lớn hai phần tử thuộc tập A tập B X∗ ·, · không gian đối ngẫu X tích vơ hướng B(x, r) cầu đóng có tâm x bán kính r intA phần tập A diamA đường kính tập A grG đồ thị ánh xạ G conv(A) bao lồi tập A cl(A) bao đóng tập A R tập số thực R+ tập số thực không âm Q tập số hữu tỉ L(X, Y ) tập tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y vii ∅ tập rỗng [·, ·] khoảng đóng {xα } lưới dãy với phần tử xα xα → x xα hội tụ x f :X→Y ánh xạ đơn trị f từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị F từ X vào Y ∀ với ∃ tồn kết thúc chứng minh viii dụng kết cho toán tựa bất đẳng thức biến phân toán mạng giao thụng Tớnh t chnh Hăolder l ch mi nhận nhiều quan tâm nhà toán học Các hướng nghiên cứu Luận án Luận án đạt kết tính ổn định nghiệm tốn cân v tớnh t chnh Hăolder ca bi toỏn cõn bng Một cách tự nhiên, kết nghiên cứu mở rộng cho toán tổng quát Cụ thể sau: − Nghiên cứu tính liờn tc, liờn tc Hausdorff, liờn tc Hăolder, liờn tc Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tựa cân bằng, toán quan hệ biến phân cho hai trường hợp nghiệm xác nghiệm xấp xỉ khơng gian tổng qt − Khảo sát tính liờn tc Hăolder, liờn tc Lipschitz v tớnh t chnh theo ngha Hăolder cho cỏc bi toỏn cõn bng hai mức, toán bao hàm biến phân, toán tối ưu véc tơ nón thứ tự đặc biệt nón từ điển, nón Lorentz − Một chủ đề nhiều người quan tâm nghiên cứu toán tối ưu tập Các cơng trình có chủ đề xét dạng nghiệm theo nghĩa véc tơ theo quan hệ tập tập trung nghiên cứu điều kiện tối ưu cho dạng nghiệm Các tính chất định tính ổn định đặt chỉnh chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu đến Trong thời gian tới, với kỹ thuật luận án, chúng tơi tin tưởng tiếp tục phát triển chủ đề liên quan đến tối ưu tập 95 DANH MỤC CƠNG TRÌNH Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 2293-2303 (2012) Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., Van, D.T.M: On Hăolder calmness and Hăolder well-posedness of vector quasiequilibrium problems Vietnam Journal of Mathematics 41, (2013) Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23, 151-167 (2015) Anh, L.Q., Tam, T.N.: Sensitivity analysis for parametric vector equilibrium problems, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, accepted (2016) Anh, L.Q., Kien, N.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions maps to vector equilibrium problems Turkish Journal of Mathematics, DOI: 10.3906/mat-1507-9 Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps to parametric vector equilibrium problems Optimization, submmited 96 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: Continuity of approximate solution maps to primal and dual vector equilibrium problems Optimization Letters, submitted 97 BÁO CÁO HỘI NGHỊ Danh sách báo cáo hội nghị quc t: Hăolder continuity of solutions to parametric primal and dual equilibrium problems Spring school: Analysis and Approximation in Optimization under Uncertainty, VIASM, Ha Noi, 2-2013 Sensitivity analysis and well-posedness of parametric vector quasiequilibrium problems The 2nd International Conference on Computational Science and Engineering", Ho Chi Minh City, 08-2014 On Hăolder calmness and Holder well-posedness of vector quasi-equilibrium problems The 8th Asian Conference on Fixed Point Theory and Optimization, Thailand, 7- 2014 Stability for parametric primal and dual equilibrium problems The 9th Asian Conference on Fixed Point Theory and Optimization, Thailand, 5-2016 Sensitivity analysis for parametric vector equilibrium problems, The International Conference on New trends in Optimization and Variational Analysis for Applications, Quy Nhon, 12-2016 98 Danh sách báo cáo hội nghị nước: Hausdorff continuity of approximate solutions maps to parametric equilibrium problems Đại hội Toán học lần thứ 8, Nha Trang, 082013 On Hăolder continuity of solutions mappings to parametric equilibrium problems Hội thảo tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 13, Ba Vì, Hà Nội, 4-2015 Stability for parametric primal and dual equilibrium problems Hội thảo tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội, 4-2017 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ait Mansour, M., Riahi, H.: Sensitivity analysis for abstract equilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 306, 684-691 (2005) Ait Mansour, M., Scrimali, L.: Hăolder continuity of solutions to elastic traffic network models Journal of Global Optimization 40, 175-184 (2008) Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 294, 699-711 (2004) Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 135, 271-284 (2007) Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Various kinds of semicontinuity and solution sets of parametric multivalued symmetric vector quasiequilibrium problems Journal of Global Optimization 41, 539-558 (2008) Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Semicontinuity of the approximate solution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 29, 24-42 (2008) 100 Anh, L.Q., Tam, T.N.: Hausdorff continuity of approximate solution maps to parametric primal and dual equilibrium problems TOP 24, 242–258 (2016) Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N.: Continuity of approximate solution maps to vector equilibrium problems Journal of Industrial and Management Optimization, doi:10.3934/jimo.2017013 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: Continuity of approximate solution maps to primal and dual vector equilibrium problems Optimization Letters, submmited 10 Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems Journal of Global Optimization 46, 247259 (2010) 11 Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: On the Hăolder continuity of solutions to multivalued vector equilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 321, 308-315 (2006) 12 Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Uniqueness and Hăolder continuity of the solution to multivalued equilibrium problems in metric spaces Journal of Global Optimization 37, 449- 465 (2007) 13 Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Sensitivity analysis for multivalued quasiequilibrium problems in metric spaces: Hăolder continuity of solutions Journal of Global Optimization 42, 515-531 (2008) 14 Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Hăolder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems in metric Spaces Journal of Optimization 101 Theory and Applications 141, 37-54 (2009) 15 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M., Yao, J.C.: Well-posedness for vector quasiequilibria Taiwanese Journal of Mathematics 13, 713-737 (2009) 16 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 2293-2303 (2012) 17 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., Van, D.T.M.: On Hăolder calmness and Hăolder well-posedness of vector quasi-equilibrium problems Vietnam Journal of Mathematics 41, 507-517 (2013) 18 Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23, 151-167 (2015) 19 Anh, L.Q., Tam, T.N.: Sensitivity analysis for parametric vector equilibrium problems Journal of Nonlinear and Convex Analysis, accepted (2016) 20 Anh, L.Q., Kien, N.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions maps to vector equilibrium problems Turkish Journal of Mathematics, DOI: 10.3906/mat-1507-9 21 Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps to parametric vector equilibrium problems Optimization, submmited 102 22 Anh, L.Q., A.Y Kruger, A.Y., Thao, N.H.: On Hăolder calmness of solution mappings in parametric equilibrium problems TOP 22, 331342 (2014) 23 Ansari, Q.H.: Vector equilibrium problems and vector variational inequalities In: Giannessi, F editor Vector variational inequalities and vector equilibria Mathematical Theories, Kluwer Academic, Dordrecht, Netherlands, 1-16 (2000) 24 Ansari Q.H., Baza ´n F.F.: Generalized vector quasiequilibrium problems with applications Journal of Mathematical Analysis and Applications 277, 246-256 (2003) 25 Aubin, J.P., Frankowska, H.: Set-Valued Analysis, Birkha ăuser, Boston, 1990 26 Baza ´n, F.F.: Existence theorem for generalized noncoercive equilibrium problems SIAM Journal on Optimization 11 675-690 (2001) 27 Bednarczuk, E.: Stability Analysis for Parametric Vector Optimization Problems Polish Academy of Sciences, Warszawa (2007) 28 Berge, C.: Topological Spaces, Oliver and Boyd, London, 1963 29 Bianchi, M., Schaible, S.: Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 90, 31-43 (1996) 30 Bianchi, M., Hadjisavvas, N., Schaible, S.: Equilibrium problems with generalized monotone bifunctions Journal of Optimization Theory and Applications 92, 527-542 (1997) 103 31 Bianchi, M., Pini, R.: A note on stability for parametric equilibrium problems Operations Research Letters 31, 445-450 (2003) 32 Bianchi, M., Pini, R.: Sensitivity for parametric vector equilibria Optimization 55, 221-230 (2006) 33 Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Mathematics Student 63, 123-145 (1994) 34 Castellani M., Pappalardo M , Passacantando M.: Existence results for nonconvex equilibrium problems Optimization Methods and Software 25, 49-58 (2010) 35 Chen, C.R., Li, S.L., Teo, T.L.: Solution semicontinuity of parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Global Optimization 45, 309-318 (2009) 36 Chen, C R., Li, S J., Zeng, J., Li, X B.: Error analysis of approximate solutions to parametric vector quasiequilibrium problems Optimization Letters 5, 85-98 (2011) 37 Crespi, G.P., Guerraggio, A., Rocca, M.: Well-posedness in vector optimization problems and vector variational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications 132, 213-226 (2007) 38 De Luca, M.: Generalized quasivariational inequalities and traffic equilibrium problems In: Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Giannessi F and A Maugeri, editors, Plenum Press, New York, 45-54, 1995 104 39 Fang, Y.P., Hu, R., Huang, N.J.: Well-posedness for equilibrium problems and for optimization problems with equilibrium constraints Computers and Mathematics with Applications 55, 89-100 (2008) 40 Fang, Y.P., Huang, N.J., Yao, J.C.: Well-posedness of mixed variational inequalities, inclusion problems and fixed point problems Journal of Global Optimization 41, 117-133 (2008) 41 Hadamard, J.: Sur le problèmes aux dérivees partielles et leur signification physique Princeton University Bulletin 13, 49-52 (1902) 42 Hai, N.X., Khanh, P.Q.: Existence of solutions to general quasiequilibrium problems and applications Journal of Optimization Theory and Applications 133, 317-327 (2007) 43 Hai, N.X., Khanh, P.Q.: The solution existence of general variational inclusion problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 328, 1268-1277 (2007) 44 Hai, N.X., Khanh, P.Q.: Systems of set-valued quasivariational inclusion problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 135, 55-67 (2007) 45 Hai, N.X., Khanh, P.Q., Quan, N.H.: On the existence of solutions to quasivariational inclusion problems Journal of Global Optimization 45, 565-581 (2009) 46 Huang, N.J., Li, J., Thompson, H.B.: Stability for parametric implicit vector equilibrium problems Mathematical and Computer Modelling 43, 1267-1274 (2006) 105 47 Khanh, P.Q., Quan, N.H.: Generic stability and essential components of generalized KKM points and applications Journal of Mathematical Analysis and Applications 148, 488-504 (2011) 48 Khanh, P.Q., Long, V.S.T.: Invariant-point theorems and existence of solutions to optimization-related problems Journal of Global Optimization 58, 545-564 (2014) 49 Khanh P.Q , Luu L.M.: Lower and upper semicontinuity of the solution sets and the approximate solution sets to parametric multivalued quasivariational inequalities Journal of Mathematical Analysis and Applications 133 329-339 (2007) 50 Konnov I.V., Schaible S.: Duality for equilibrium problems under generalized monotonicity Journal of Mathematical Analysis and Applications 104, 395-408 (2000) 51 Fan, K.: A minimax inequality and applications In: Shisha, O (ed.) Inequality III Academic Press, New York, 103-113 (1972) 52 Kimura, K., Yao, J.C.: Semicontinuity of solution mappings of parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 138, 429-443 (2008) 53 Kimura, K., Yao, J.C.: Sensitivity analysis of solution mappings of parametric vector quasi-equilibrium problems Journal of Global Optimization 41, 187-202 (2008) 54 Kimura, K., Liou, Y.C., Wu, S.Y., Yao, J.C.: Well-posedness for parametric vector equilibrium problems with applications Journal of In106 dustrial and Management Optimization 4, 313-327 (2008) 55 Li, S.J., Li, X.B.: Hăolder continuity of solutions to parametric weak generalized Ky Fan inequality Journal of Mathematical Analysis and Applications 149, 540-553 (2011) 56 Li, S.J., Li, X.B., Wang, L.N., Teo, K.L.: The Hăolder continuity of solutions to generalized vector equilibrium problems European Journal of Operational Research 199, 334-338 (2009) 57 Li, S.J., Chen, C.R., Li, X.B., Teo, K.L.: Hăolder continuity and upper estimates of solutions to vector quasiequilibrium problems European Journal of Operational Research 210, 148-157 (2011) 58 Li, X.B., Li, S.J.: Hăolder continuity of perturbed solution set for convex optimization problems Applied Mathematics and Computation 232, 908-918 (2014) 59 Li, X.B , Li, S.J.: Continuity of approximate solution mapping for parametric equilibrium problems Journal of Global Optimization 51, 541-548 (2011) 60 Lignola, M.B., Morgan, J.: α-Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints Journal of Global Optimization 36, 439-459 (2006) 61 Lignola, M.B.: Well-posedness and L-well-posedness for quasivariational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications 128, 119-138 (2006) 107 62 Long, X.J., Huang, N.J., Teo, K.L.: Existence and stability of solutions for gener- alized strong vector quasi-equilibrium problem Mathematical and Computer Modelling 47, 445-451 (2008) 63 Margiocco, M., Patrone, F., Pusillo Chicco, L.: A new approach to Tikhonov well-posedness for Nash equilibria Optimization 40, 385400 (1997) 64 Morduklhovich B.S.: Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications, Springer, 2006 65 Nikaido, H., Isoda K.: Note on non-copperative convex games Pacific Journal of Mathematics 5, 807-815 (1955) 66 Rockafellar, R.T., Wets, R.J.-B.: Variational Analysis, 3rd edn Springer, Berlin (2009) 67 Sadequi, C.G Alizadeh, Existence of solutions of generalized vector equilibrium problems in reflexive Banach spaces Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 74, 2226-2234 (2011) 68 Smith, M J.: The existence, uniqueness and stability of traffic equilibrium Transportation Research Part B: Methodological 138, 295-304 (1979) 69 Tikhonov, A.N.: On the stability of the functional optimization problem USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 6, 28-33 (1966) 70 Wardrop, J G.: Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research, Proceedings of the Institute of Civil Engineers, Part II, 325-378 (1952) 108 71 Yen, N.D.: Hăolder continuity of solutions to parametric variational inequalities Applied Mathematics and Optimization 31, 245-255 (1995) 72 Yen, N.D., Lee, G.M.: Solution sensitivity of a class of variational inequalities Journal of Mathematical Analysis and Applications 215, 48-55 (1997) 73 Yu, J., Yang, H., Yu, C.: Well-posed Ky Fan’s point, quasivariational inequality and Nash equilibrium points Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 66, 777-790 (2007) 74 Zolezzi, T.: Well-posedness criteria in optimization with applications to the calculus of variations Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 25, 437-453 (1995) 75 Zolezzi, T.: Well-posedness and optimization under perturbations Annals of Operations Research 101, 351-361 (2001) 76 Zolezzi, T.: On well-posedness and conditioning in optimization ZAMM Journal of applied mathematics and mechanics 84, 435-443 (2004) 109 ... MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NGỌC TÂM ¨ TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM VÀ ¨ ĐẶT CHỈNH HOLDER CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: TS Nguyễn... gọi liên tục Hausdorff x0 vừa H -nửa liên tục vừa H -nửa liên tục x0 (d) Q gọi liên tục Hausdorff tập A ⊆ X liên tục điểm x ∈ A Bổ đề sau thể mối quan hệ tính nửa liên tục tính nửa liên tục. .. phụ thuộc liên tục vào vào liệu toán Hướng thứ hai đặt chỉnh nhà toán học Tykhonov đề xuất [69] Bài tốn gọi đặt chỉnh Tykhonov có nghiệm nhất, đồng thời dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm Gần