Tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng

Bậ GIO DệC V TRìNG O TO I HC VINH NGUYN VN HìNG TNH LIN TệC CếA NH X NGHIM CÕA B€I TO•N C…N BŒNG LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HC NGH AN - 2018 Bậ GIO DệC V TRìNG O TO I HC VINH NGUYN VN HìNG TNH LIN TƯC CÕA •NH X„ NGHI›M CÕA B€I TO•N C…N BŒNG Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN N TIN S TON HC NGìI HìẻNG DˆN KHOA HÅC PGS TS L…M QUÈC ANH PGS TS INH HUY HO€NG NGH› AN - 2018 i LI CAM OAN Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS L¥m Quèc Anh v PGS TS inh Huy Ho ng Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh cừa riảng tổi CĂc kát quÊ ữủc viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa v o luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc trẳnh b y luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Nguyạn Vôn Hững ii LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa PGS TS L¥m Quèc Anh v PGS TS inh Huy Ho ng TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c ối vợi hai ThƯy  hữợng dăn tên t¼nh v chu ¡o cho t¡c gi£ suèt qu¡ trẳnh hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c án GS.TSKH Phan Quốc KhĂnh, cĂc quỵ thƯy cổ nhõm seminar tÔi Th nh Phố Hỗ Chẵ Minh v CƯn Thỡ luổn tên tẳnh giúp ù, õng gõp nhiãu ỵ kián v tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi nhĐt tĂc giÊ ho n th nh cĂc kát quÊ nghiản cựu trẳnh b y luên Ăn TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Tờ bở mổn GiÊi tẵch, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc chực nông khĂc cừa Trữớng Ôi hồc Vinh  tÔo iãu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ho n th nh nhi»m vư cõa nghi¶n cùu sinh T¡c gi£ xin ÷đc b y tä sü c£m ìn án cĂc ỗng nghiằp v lÂnh Ôo Hồc viằn Cổng nghằ Bữu chẵnh Viạn thổng Th nh phố Hỗ Chẵ Minh  quan tƠm v tÔo iãu kiằn cho tĂc giÊ têp trung hồc têp v nghiản cựu Cuối cũng, tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi gia ẳnh v nhỳng ngữới bÔn thƠn thiát ¢ ln s´ chia, gióp ï v ëng vi¶n t¡c giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Nguyạn Vôn Hững MệC LệC M Ưu Chữỡng Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng 15 1.1 Kián thực chuân bà 15 1.2 B i to¡n tüa c¥n b¬ng 19 1.3 H m ¡nh gi¡ cho b i toĂn tỹa cƠn bơng 21 1.4 Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng 26 1.5 p dửng cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn 33 1.6 Kát luên Chữỡng 35 Chữỡng Tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng 36 2.1 DÂy cĂc b i toĂn tỹa cƠn bơng 36 2.2 Tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng 44 2.3 p dửng cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn 53 2.4 Kát luên Chữỡng 55 Chữỡng Tẵnh ờn nh v t chnh cho b i toĂn cƠn bơng hai mực 56 3.1 Tẵnh ờn nh cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn cƠn bơng hai mực 57 3.2 Tẵnh t chnh cừa b i toĂn cƠn bơng hai mực 71 3.3 K¸t luên Chữỡng 84 Kát luên chung v kián ngh 85 Danh mửc cổng trẳnh cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn 87 T i liằu tham khÊo 88 MậT Sẩ Kị HIU R R+ têp số thỹc têp số thỹc khổng Ơm R N ; tªp sè thüc mð rëng R [ f 1g 9x tỗn tÔi x 8x vợi mồi x f:X!Y F:X Y Ănh xÔ ỡn tr tứ X v o Y têp số nguyản khổng Ơm têp rộng F :Y X Ănh xÔ a tr tứ X v o Y Ănh xÔ ngữủc cừa Ănh xÔ F graphF domF ỗ th cừa Ănh xÔ F : X Y L(X; Y ) l khổng gian tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh tø X v o Y hz; xi gi¡ trà cõa toĂn tỷ tuyán tẵnh z L(X; Y ) miãn hỳu hiằu cừa Ănh xÔ F : X Y tÔi x X intC n x2R phƯn cừa têp C n x l phƯn tỷ cừa R ữủc viát dữợi dÔng {xi} hoc x1 x = (x1; :::; xn) x = @x nA d¢y v²ctì kát thúc chựng minh A := B A ữủc nh nghắa bơng B (QEP1) b i toĂn tỹa cƠn bơng loÔi Minty (QEP2) b i toĂn tỹa cƠn bơng loÔi Stampacchia (WQEP) b i toĂn tỹa cƠn bơng yáu (SQEP) b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh (MSQEP) b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh vợi nõn di (MQVI) bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Minty (SQVI) bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Stampacchia (BEP) b i toĂn cƠn bơng hai mực (MBEP) b i toĂn cƠn bơng hai mực vợi nõn di (VIEC) bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng (OPEC) b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng (TNEC) b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng ởng ởng Mé U Lỵ chồn ãti 1.1 Tẵnh chĐt ờn nh nghiằm cừa b i toĂn liản quan án tối ữu bao gỗm tẵnh nỷa liản tửc, liản tửc, liản tửc Holder v li¶n tưc Lipschitz l mët nhúng chõ · quan trồng lỵ thuyát tối ữu v ựng dửng Trong nhỳng thêp k gƯn Ơy,  cõ nhiãu cổng trẳnh nghi¶n cùu v· i·u ki»n ên ành nghi»m cho nhúng b i toĂn liản quan án tối ữu nhữ b i toĂn tối ữu ([47], [74]), bĐt ng thực bián phƠn ([44]), b i toĂn cƠn bơng ([6], [8], [9]), b i toĂn quan hằ bián phƠn ([45]) Chúng ta biát rơng tẵnh ờn nh nghiằm theo nghắa n o thẳ dỳ liằu b i toĂn cụng thữớng phÊi giÊ thiát theo nghắa õ Trong thỹc tá, cõ nhiãu nhiãu b i to¡n m c¡c gi£ thi¸t ch°t qu¡ v· dỳ liằu khổng ữủc thọa mÂn Vẳ vêy, tẵnh ờn nh nghiằm theo nghắa nỷa liản tửc cừa têp nghiằm ữủc quan tƠm nghiản cựu 1.2 Tẵnh chĐt hởi tử cừa têp nghiằm cừa b i toĂn liản quan án tối ữu theo nghắa Painlev e-Kuratowski õng mởt vai trỏ quan trồng lỵ thuyát ờn nh nghiằm b i toĂn b nhiạu bi dÂy cĂc têp r ng buởc v dÂy cĂc h m mửc tiảu Chừ ã vã tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm theo nghắa Painlev e-Kuratowski liản quan cht ch án thuêt toĂn nghiằm v lỵ thuyát xĐp x Vẳ vêy  cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã hởi tử Painlev e-Kuratowski cừa cĂc têp nghiằm cho cĂc b i toĂn liản quan án tối ữu ([34], [50]) Vẳ tẵnh quan trồng cừa chừ ã vã hởi tử theo nghắa Painlev e-Kuratowski cừa têp nghiằm cho b i toĂn cƠn bơng nõi riảng v cĂc b i toĂn liản quan án tối ữu nõi chung, nản chừ ã n y ang ữủc nhiãu nh toĂn hồc nữợc cụng nhữ trản thá giợi quan tƠm nghiản cựu 1.3 Tẵnh t chnh cừa mởt b i toĂn liản quan án tối ữu l mởt chõ · quan trång gi£i t½ch ên ành cõa lỵ thuyát tối ữu Trong nhỳng nôm gƯn Ơy,  cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã tẵnh t chnh cho cĂc lợp b i toĂn khĂc nhữ b i toĂn tối ữu ([55]), bĐt ng thực bián phƠn ([31]), b i toĂn cƠn bơng ([10], [12], [32], [56]) GƯn Ơy, Anh, Khanh v Van ([12])  thiát lêp c¡c i·u ki»n õ cho t½nh °t ch¿nh cõa b i toĂn cƠn bơng hai mực v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng vợi mởt số giÊ thiát cừa sỹ tỗn tÔi nghiằm bi sỷ dửng tẵnh mực õng v giÊ thiát giÊ ỡn iằu Tuy nhiản, tẵnh t chnh v t chnh tờng quĂt theo nghắa Levitin-Polyak cho b i toĂn cƠn bơng mÔnh hai mực vctỡ v b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng văn l chừ ã m v ang ữủc nhiãu ngữới quan tƠm nghiản cựu Vợi cĂc lỵ nhữ trản, chúng tổi chồn chừ ã cho luên Ăn l : Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên Ăn n y l thiát lêp tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng, khÊo sĂt tẵnh hởi tử theo nghắa Painlev eKuratowski cừa têp nghiằm b i toĂn tỹa cƠn bơng, nghiản cựu tẵnh chĐt ờn nh nghiằm v tẵnh t chnh cho b i toĂn cƠn bơng hai mực Ngo i ra, chúng tổi cụng thiát lêp mởt số mổ hẳnh c biằt liản quan án tối ữu nhữ bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia, bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng, b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng 81 : B ! L(X W ; Y ) l h m v²ctì Chóng ta x²t b i to¡n mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng sau T (TNEC) T¼m H graphS h T (H ); F H cho i 0; F = (F; ) graphS ; â S( ) l têp nghiằm cừa (MSQEP) Kỵ hiằu têp nghiằm cừa (TNEC) bði f2 , ngh¾a l , j h i g = H graphS T (H ); F H 0; F graphS : 3.2.13 ành ngh¾a Mởt dÂy fHng := f(Hn; n)g ữủc gồi l dÂy xĐp x Levitin-Polyak cho (TNEC) náu (i) (ii) fHng := f(Hn; n)g A ; 8n N; Tỗn tÔi mởt d¢y f"ng R+ hëi tư v· cho d(Hn; K(Hn; n)) "n; 8n N; f(Hn; F; n) + "ne1(Hn) C1(Hn); 8F K(Hn; n); hT (Hn); F Hni + "n 0; 8F graphS : 3.2.14 nh nghắa B i toĂn (TNEC) ữủc gồi l t ch¿nh Levitin-Polyak n¸u (i) (ii) B i to¡n (TNEC) câ nghiằm nhĐt H0 ; Mội dÂy xĐp x Levitin-Polyak fHng cho (TNEC) hởi tử án nghiằm nhĐt H0 3.2.15 nh nghắa B i toĂn (TNEC) ữủc gồi l t chnh Levitin-Polyak tờng quĂt náu (i) Têp nghiằm cừa (TNEC) khĂc rộng; 82 (ii) Vợi mồi dÂy xĐp x Levitin-Polyak fHng cho (TNEC), tỗn tÔi mởt d Ây hởi tử án mởt số im cừa Vợi " R+, kỵ hiằu têp nghiằm xĐp x¿ cõa (TNEC) bði e(") := fH graphS "; j d(H; K(H; )) f(H; F; ) + "e1(H) C1(H); 8F K(H; ); hT (H ); F Hi+" BƠy giớ, nh-c lÔi mởt số kát qu£ quan trång sau 3.2.16 Bê 0; 8F graphS g: Ơy ã ([9, Lemma 3.3]) GiÊ sỷ rơng K(H; ) l gi¡ trà comp-c l li¶n tưc Khi õ, K l liản tửc v Tứ cĂc kát quÊ trản ta nhên ữủc cĂc hằ quÊ sau: 3.2.17 Hằ quÊ Vợi b i toĂn (TNEC), ta giÊ sỷ rơng (i) l li¶n tưc; (ii) f l C1-nûa li¶n tưc tr¶n; (iii) H m (H ; F ) T (H ); F 7!h H i l nûa li¶n tưc tr¶n Khi â, b i to¡n (TNEC) l °t ch¿nh Levitin-Polyak têng qu¡t v ch¿ e l nûa li¶n tửc trản tÔi v cõ giĂ tr comp-c m n Chùng minh °t X = W = R ; Z = R ; Y = R; C2(H ) = R+, K1(H; ) = K2(H; ) = K(H; ), h(H ; F ) = hT (H ); F H i , b i to¡n (TNEC) trð th nh mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa (MBEP) 3.2.18 H» qu£ Gi£ sû rơng tĐt cÊ cĂc iãu kiằn Hằ quÊ 3.2.17 ÷đc thäa m¢n Khi â, (TNEC) l °t ch¿nh Levitin-Polyak v ch¿ e(") 6= ;; 8" 0v diame(") ! " ! 0: 83 3.3 Kát luên Chữỡng Trong Chữỡng 3, chúng tổi  Ôt ữủc nhỳng kát quÊ sau Ơy: - Thiát lêp b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ phử thuởc tham số (MBEP) Sau â, chóng tỉi kh£o s¡t c¡c t½nh nûa liản tửc v liản tửc cừa chúng ( nh lỵ 3.1.1, nh lỵ 3.1.5, nh lỵ 3.1.8, nh lỵ 3.1.12 v nh lỵ 3.1.14) - Tứ cĂc kát quÊ Mưc 3.1, chóng tỉi ¡p dưng cho b§t ¯ng thùc bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng (Hằ quÊ 3.1.15 v Hằ quÊ 3.1.17) - Thiát lêp b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ vợi nõn di ëng (MBEP) Sau â, chóng tỉi nghi¶n cùu mèi quan hằ cừa tẵnh t chnh vợi tẵnh nỷa liản tửc trản cừa nghiằm xĐp x v sỹ tỗn tÔi nghiằm ( nh lỵ 3.2.8, nh lỵ 3.2.9 v nh lỵ 3.2.10) v thiát lêp tẵnh t chnh Levitin-Polyak v t chnh Levitin-Polyak tờng quĂt ( nh lỵ 3.2.11) - Tứ cĂc kát quÊ chẵnh Mửc 3.2, chúng tổi Ăp dửng cho b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng CĂc kát quÊ thu ữủc l H» qu£ 3.2.17 v H» qu£ 3.2.18 C¡c k¸t quÊ trản  ữủc trẵch tứ cĂc b i b¡o: L Q Anh and N V Hung (2018), Stability of solution mappings for parametric bilevel vector equilibrium problems, Computational and Applied Mathematics, 37, 1537 1549 L Q Anh and N V Hung (2018), Levitin-Polyak well-posedness for strong bilevel vector equilibrium problems and applications to traffic network problems with equilibrium constraints, Positivity, 22, 1223 1239 84 K˜T LUN CHUNG V KIN NGH I Kát luên chung Luên Ăn nghiản cựu vã tẵnh chĐt cừa têp nghiằm nhữ tẵnh liản tửc, tẵnh hởi tử, tẵnh ờn nh v °t ch¿nh cho mët sè b i to¡n li¶n quan án tối ữu bao gỗm b i toĂn cƠn bơng, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, b i toĂn cƠn bơng hai mực, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng, b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng Kát quÊ Ôt ữủc luên Ăn n y l Thiát lêp ữủc cĂc h m ¡nh gi¡ cho c¡c b i to¡n tüa c¥n bơng (QEP1) v (QEP2) Trản cỡ s h m Ănh giĂ, chúng tổi thiát lêp giÊ thiát côn bÊn (Hp) v (Hh) Sau õ, chúng tổi nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho cĂc b i to¡n n y Trong mưc ¡p dưng, chóng tỉi nghiản cựu b i toĂn bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia (MQVI) v (SQVI) Thiát lêp ÷đc c¡c d¢y h m ¡nh gi¡ cho c¡c b i toĂn tỹa cƠn bơng (QEP) v (QEPn) v khÊo sĂt tẵnh liản tửc cừa chúng Nghiản cựu tẵnh hởi tử trản, hởi tử dữợi v hởi tử theo nghắa Painleve - Kuratowski cừa têp nghiằm cừa b i toĂn (QEP) v (QEPn) trản cỡ s giÊ thiát côn bÊn (Hh) Trong phƯn Ăp dửng, chúng tổi cụng thiát lêp v nghiản cựu cho dÂy b i toĂn bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi (QVI) v (QVI)n Thu ữủc cĂc kát quÊ l cĂc tẵnh nỷa liản tửc v liản tửc cừa b i 85 toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng Nghiản cựu mối quan hằ cừa tẵnh t chnh vợi tẵnh nỷa liản tửc trản cừa nghiằm xĐp x cừa b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ vợi nân di ëng v mỉ t£ m¶tric c¡c °t ch¿nh Levitin-Polyak v °t ch¿nh LevitinPolyak têng qu¡t cho b i toĂn n y B i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng l cụng ữủc chúng tổi nghiản cựu mửc Ăp dửng II Kián ngh Trong thới gian tợi, chúng tổi mong muốn tiáp tửc nghiản cựu cĂc vĐn ã sau: Nghiản cựu vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cho cĂc b i toĂn liản quan án tối ữu nhữ b i toĂn mÔng giao thổng, b i toĂn tối ữu, b i toĂn cƠn bơng, b i toĂn bao h m bián phƠn, b i toĂn quan hằ bián phƠn v cĂc b i toĂn hai mực tữỡng ựng Nghiản cựu tẵnh chĐt ờn ành nghi»m cho mët sè b i to¡n li¶n quan án tối ữu vợi cĂc giÊ thiát yáu hỡn Nghiản cựu cĂc dÔng hởi tử khĂc cho mởt số b i toĂn liản quan án tối ữu bơng viằc sỷ dửng cĂc loÔi hởi tử cừa cĂc dÂy têp v dÂy h m khĂc Nghiản cựu tẵnh t chnh cho cĂc b i toĂn lợn hỡn nhữ b i toĂn bao h m bián phƠn v b i toĂn quan hằ bián phƠn vợi mởt số giÊ thiát phũ hủp 86 DANH MệC CặNG TRNH CÕA T•C GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN •N L Q Anh and N V Hung (2018), Gap functions and Hausdorff con-tinuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequi-librium problems, Journal of Industrial and Management Optimiza-tion, 14, 65-79 (SCI-E) L Q Anh and N V Hung (2018), Stability of solution mappings for parametric bilevel vector equilibrium problems, Computational and Applied Mathematics, 37, 1537 1549 (SCI-E) L Q Anh, T Bantaojai, N V Hung, V M Tam and R Wangkeeree (2018), Painlev²-Kuratowski convergences of the solution sets for generalized vector quasiequilibrium problems, Computational and Applied Mathematics, 37, 3832 3845 (SCI-E) L Q Anh and N V Hung (2018), Levitin-Polyak well-posedness for strong bilevel vector equilibrium problems and applications to traffic network problems with equilibrium constraints, Positivity, 22, 1223 1239 (SCI-E) 87 T€I LI›U THAM KHƒO [1] L Q Anh and D V Hien (2016), On well-posedness for parametric vector quasiequilibrium problems with moving cones, Appl Math., 61, 651 668 [2] L Q Anh and N V Hung (2018), Gap functions and Hausdorff con-tinuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequi-librium problems, J Ind Manag Optim., 14, 65 79 [3] L Q Anh and N V Hung (2018), Stability of solution mappings for parametric bilevel vector equilibrium problems, Comp Appl Math., 37, 1537 1549 [4] L Q Anh and N V Hung (2018), Levitin-Polyak well-posedness for strong bilevel vector equilibrium problems and applications to traffic network problems with equilibrium constraints, Positivity, 22, 1223 1239 [5] L Q Anh, T Bantaojai, N V Hung, V M Tam and R Wangkeeree (2018), Painlev²-Kuratowski convergences of the solution sets for gen-eralized vector quasiequilibrium problems, Comp Appl Math., 37, 3832 3845 [6] L Q Anh and P Q Khanh (2004), Semicontinuity of the solution sets of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems, J Math Anal Appl., 294, 699 711 88 [7] L Q Anh and P Q Khanh (2006), On the Holder continuity of solutions to parametric multivalued vector equilibrium problems, J Math Anal Appl., 321, 308 315 [8] L Q Anh and P Q Khanh (2007), On the stability of the solu-tion sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems, J Optim Theory Appl., 135, 271 284 [9] L Q Anh and P Q Khanh (2008), Semicontinuity of solution sets to parametric quasivariational inclusions with applications to traffic networks II: Lower semicontinuities, Set-Valued Anal., 16, 943 960 [10] L Q Anh, P Q Khanh, D T M Van and J C Yao (2009), Wellposedness for vector quasiequilibria, Taiwanese J Math., 13, 713 737 [11] L Q Anh and P Q Khanh (2010), Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems, J Global Optim., 46, 247 259 [12] L Q Anh, P Q Khanh and D T M Van (2012), Well-posedness under relaxed semicontinuity for bilevel equilibrium and optimization problems with equilibrium constraints, J Optim Theory Appl., 153, 42 59 [13] A Auslender (1976), Optimisation: M ethodes Num eriques, Masson, Paris [14] D Aussel and J Dutta (2011), On gap functions for multivalued stampacchia variational inequalities, J Optim Theory Appl., 149, 513 527 [15] J P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York 89 [16] J P Aubin and H Frankowaska (1990), Set-Valued Analysis Birkhauser, Boston [17] T Q Bao and B S Mordukhovich (2007), Necessary conditions in multiobjective optimization with equilibrium constraints, J Optim Theory Appl., 135, 179 203 [18] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 90, 31 43 [19] E Blum and W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Student, 63, 123 145 [20] O Chadli, Q H Ansari and S Al-Homidan (2017), Existence of solutions and algorithms for bilevel vector equilibrium problems: An auxiliary principle technique, J Optim Theory Appl., 172, 726 758 [21] G Y Chen, X X Huang, X Q Yang (2005), Vector Optimization: Set-Valued and Variational Analysis, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 541, Springer, Berlin [22] C R Chen and S J Li (2007), Semicontinuity of the solution set map to a set-valued weak vector variational inequality, J Ind Manag Optim., 3, 519 528 [23] C R Chen, S J Li and Z M Fang (2010), On the solution semicon-tinuity to a parametric generalized vector quasivariational inequality, Comput Math Appl., 60, 2417 2425 [24] J W Chen, Z P Wan and Y J Cho (2013), The existence of solutions and well-posedness for bilevel mixed equilibrium problems in Banach spaces, Taiwanese J Math., 17, 725 748 90 [25] J W Chen, Z P Wan and Y Z Zou (2014), Bilevel invex equilibrium problems with applications, Optim Lett., 8, 447 461 [26] J W Chen and Z P Wan (2014), Semicontinuity for parametric Minty vector quasivariational inequalities in Hausdorff topological vector spaces, Comput Appl Math., 33, 111 129 [27] M De Luca (1995), Generalized quasi-variational inequalities and traffic equilibrium problem In: F Giannessi, A Maugeri (Eds.), Vari-ational Inequalities and Networks Equilibrium Problems Plenum Press, New York [28] X P Ding (2012), Existence and iterative algorithm of solutions for a class of bilevel generalized mixed equilibrium problems in Banach spaces, J Global Optim., 53, 525 537 [29] P M Duc and L D Muu (2016), A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings, Op-timization, 65, 1855 1866 [30] M Durea (2007), On the existence and stability of approximate solu-tions of perturbed vector equilibrium problems, J Math Anal Appl., 333, 1165 1179 [31] Y P Fang and R Hu (2007), Parametric well-posedness for variational inequalities defined bifunctions, Comput Math Appl., 53, 1306 1316 [32] Y P Fang, R Hu and N J Huang (2008) Well-posedness for equi-librium problems and for optimization problems with equilibrium constraints, Comput Math Appl., 55, 89 100 91 [33] Z M Fang and S J Li (2012), Painlev²-Kuratowski convergences of the solution sets for perturbed generalized systems, Acta Math Appl Sin Engl Ser., 28, 361 370 [34] Z M Fang, S J Li and K L Teo (2008), Painlev²-Kuratowski con-vergences for the solution sets of set-valued weak vector variational inequalities J Inequal Appl., ID43519, 14 [35] M Fukushima (1992), Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality prob-lems, Math Program., 53, 99 110 [36] Chr (Tammer) Gerstewitz (1983), Nichtkonvexe dualitat in der vektaroptimierung, Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule Leuna-Mersebung, 25, 357 364 [37] F Giannessi (1998), On Minty variational principle, New Trends in Mathematical Programming, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 13, 93 99 [38] N X Hai and P Q Khanh (2007), Existence of solutions to general quasi-equilibrium problems and applications, J Optim Theory Appl., 133, 317 327 [39] N X Hai, P Q Khanh and N H Quan (2009), On the existence of solutions to quasivariational inclusion problems, J Glob Optim., 45, 565 581 [40] F Hausdorff (1957), Set Theory, Chelsea, New York [41] X X Huang and X Q Yang (2006), Generalized Levitin-Polyak wellposedness in constrained optimization, SIAM J Optim., 17, 243 258 92 [42] R Hu and Y P Fang (2010), Levitin-Polyak well-posedness of vari-ational inequalities, Nonlinear Anal., 72, 373 381 [43] G Kassay, J Kolumb¡n and Z P¡les (2002), Factorization of Minty and Stampacchia variational inequality systems, European J Oper Res., 143, 377 389 [44] P Q Khanh and L M Luu (2007), Lower and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets to parametric mul-tivalued quasivariational inequalities, J Optim Theory Appl., 133, 329 339 [45] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of solutions in parametric variational relation problems, Set-Valued Anal., 16, 101 1035 [46] P Q Khanh, S Plubtieng and K Sombut (2014), Levitin-Polyak well-posedness for bilevel vector equilibrium and optimization problems with equilibrium constraints, Abstr Appl Anal., 2014, [47] B T Kien (2005), On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, 54, 123 130 [48] S Komlâsi (1999), On the Stampacchia and Minty Variational Inequalities, in: G Giorgi, F.A Rossi (Eds.), Generalized Convexity and Optimization for Economic and Financial Decisions, Pitagora Editrice, Bologna [49] C S Lalitha and G Bhatia (2011), Stability of parametric quasivari-ational inequality of the Minty type, J Optim Theory Appl., 148, 281 300 [50] C S Lalitha and P Chatterjee (2015), Stability and scalarization in vector optimization using improvement sets, J Optim Theory Appl., 166, 825 843 93 [51] E S Levitin and B T Polyak (1966), Convergence ofminimizing sequences in conditional extremum problem, Soiviet Math Doklady, 7, 764 767 [52] S J Li and C R Chen (2009), Stability of weak vector variational inequality, Nonlinear Anal., 70, 1528 1535 [53] X B Li, Z Lin and Q L Wang (2016), Stability of approximate solution mappings for generalized Ky Fan inequality, TOP, 24, 196 205 [54] M B Lignola and J Morgan (1999), Generalized variational inequal-ities with pseudomonotone operators under perturbations, J Optim Theory Appl., 101, 213 220 [55] M B Lignola and J Morgan (2000), Well-posedness for optimization problems with constraints defined by variational inequalities having a unique solution, J Glob Optim., 16, 57 67 [56] M B Lignola and J Morgan (2006), -Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium con-straints, J Glob Optim., 36, 439 459 [57] D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems 319, Springer-Verlag, Berlin [58] G Mastroeni (2003), Gap functions for equilibrium problems, J Glob Optim., 27, 411 426 [59] B S Mordukhovich (2004), Equilibrium problems with equilibrium constraints via multiobjective optimization, Optim Methods Softw 19, 479 492 94 [60] B S Mordukhovich (2009), Multiobjective optimization problems with equilibrium constraints, Math Program., 117, 331 354 [61] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim., 47, 287 292 [62] J V Outrata (2000), A generalized mathematical program with equi-librium constraints, SIAM J Control Optim., 38, 1623 1638 [63] J W Peng, S Y Wu and Y Wang (2012), Levitin-Polyak wellposedness of generalized vector quasi-equilibrium problems with func-tional constraints, J Glob Optim., 52, 779 795 [64] Z Y Peng and X M Yang (2014), Painlev e-Kuratowski convergences of the solution sets for perturbed vector equilibrium problems without monotonicity, Acta Math Appl Sin Engl Ser., 30, 845 858 [65] R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational Analysis Springer, Berlin [66] M J Smith (1979), The existence, uniqueness and stability of traffic equilibrium, Trans Res., 138, 295 304 [67] T Tanaka (1997), Generalized semicontinuity and existence theorems for cone saddle points, Appl Math Optim., 36, 313 322 [68] T Tanaka and D Kuroiwa (1993), The convexity of A and B assures int A + B = int(A + B), Appl Math Lett., 6, 83 86 [69] A N Tikhonov (1966), On the stability of the functional optimization problem, Soviet Comput Math Math Phys., 6, 28 33 [70] J G Wardrop (1952), Some theoretical aspects of road traffic research Proceedings of the Institute of Civil Engineers, II, 325 378 95 [71] E S Wolk (1975), Continuous convergence in partially ordered sets, General Topology Appl., 5, 221 234 [72] N Yamashita and M Fukushima (1997), Equivalent unconstraint minimization and global error bounds for variational inequality prob-lems, SIAM J Control Optim., 35, 273 284 [73] J J Ye and Q J Zhu (2003), Multiobjective optimization problems with variational inequality constraints, Math Program., 96, 139 160 [74] J Zhao (1997), The lower semicontinuity of optimal solution sets, J Math Anal Appl., 207, 240 254 [75] Y Zhao, Z Y Peng and X M Yang (2015), Painlev²-Kuratowski convergences of the solution sets for perturbed generalized systems, J Nonlinear Convex Anal., 15, 1249 1259 [76] R Y Zhong and N J Huang (2011), Lower semicontinuity for para-metric weak vetor variational inequalities in reflexive Banach spaces, J Optim Theory Appl., 150, 317 326 [77] R Y Zhong and N J Huang (2012), On the stability of solution mapping for parametric generalized vector quasiequilibrium problems, Comput Math Appl., 63, 807 815