Tính chất liên thông của tập nghiệm hữu hiệu các hệ suy rộng

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẰNG TÍNH CHẤT LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU CÁC HỆ SUY RỘNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẰNG TÍNH CHẤT LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU CÁC HỆ SUY RỘNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoá luận TS Nguyễn Văn Tuyên HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Tuyên, người thầy truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Toán giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo toàn thể bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Nón 1.2 Bài toán tối ưu véctơ 1.2.1 Quan hệ hai quan hệ thứ tự 1.2.2 Điểm hữu hiệu 11 1.2.3 Sự tồn điểm hữu hiệu 14 1.2.4 15 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng 2.1 Đặt toán 17 17 2.2 Tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu 18 Kết luận 25 Footer Page of 161 v Header Page of 161 Tài liệu tham khảo 25 Footer Page of 161 vi Header Page of 161 LỜI MỞ ĐẦU Cho A tập khác rỗng f : A × A → R song hàm cân bằng, tức f (x, x) = ∀x ∈ A Xét toán Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ với y ∈ A (EP) Bài toán lần đưa vào năm 1955 H Nikaido K Isoda(1) nhằm tổng quát hóa toán cân Nash Bài toán (EP) thường sử dụng để thiết lập điểm cân Lý thuyết trò chơi (Games Theory), có tên gọi khác Bài toán cân (Equilibrium problem) theo cách gọi tác giả L D Muu, W Oettli(2) Bài toán cân đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân Nash, ; hợp toán theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Nếu hàm số f thay hàm véctơ F : A × A → Y , Y không gian véctơ tôpô, có toán (GS) Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈ / −K với y ∈ A, với K ∪ {0} nón lồi Y Bài toán (GS) gọi Hệ suy (1) Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics (1995), 807-815 (2) Muu, L D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nolinear Anal 18 (1992), 1159–1166 Footer Page of 161 Header Page of 161 rộng (Generalized system) hay gọi Bài toán cân véctơ (Vector Equilibrium Problem) Hệ suy rộng mở rộng tự nhiên toán tối ưu véctơ toán bất đẳng thức biến phân véctơ Như biết việc vấn đề quan trọng nghiên cứu hệ suy rộng nghiên cứu tính chất tôpô tập nghiệm, chẳng hạn như: tính chất liên thông, tính chất đóng, tính chất trù mật, Trong khóa luận này, tập trung nghiên cứu tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng với song hàm đơn điệu không gian lồi địa phương Các kết khóa luận trình bày sở báo Gong Yao [5] Khóa luận chia thành hai chương Chương trình bày số kiến thức Giải tích lồi Bài toán tối ưu véctơ Chương nghiên cứu tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rông Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi Khái niệm tập lồi khái niệm quan trọng lý thuyết tối ưu Tập lồi tập mà lấy điểm tập đoạn thẳng nối điểm nằm tập Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ X với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X Bổ đề 1.1 Cho I tập số Nếu tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), tập lồi tập X = Xi tập lồi i∈I Chứng minh Xét trường hợp sau: Xi = ∅ X tập lồi tầm thường +Nếu X = i∈I Xi = ∅, ta có: ∀x, y ∈ +Nếu X = i∈I Xi , ∀λ ∈ [0, 1], suy x, y ∈ i∈I Xi , ∀i ∈ I Vì Xi (i ∈ I) tập lồi nên ta có: (1 − λ)x + λy ∈ Xi , ∀i ∈ I Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 suy (1 − λ)x + λy ∈ Xi , ∀i ∈ I Vậy X tập lồi i∈I Bổ đề 1.2 Cho X, Y tập lồi Rn số thực t, µ Khi đó, tX + µY tập lồi Chứng minh Lấy tùy ý x, y ∈ tX + µY , với λ ∈ [0, 1] Suy ra, x = tx1 + µy1 (với x1 ∈ X, y1 ∈ Y ), y = tx2 + µy2 (với x2 ∈ X, y2 ∈ Y ) Khi (1 − λ)x + λy = (1 − λ)(tx1 + µy1 ) + λ(tx2 + µy2 ) = t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ) Do X, Y tập lồi nên t((1−λ)x1 +λx2 ) ∈ tX µ((1−λ)y1 +λy2 ) ∈ µY Suy ra, t((1 − λ)x1 + λx2 ) + µ((1 − λ)y1 + λy2 ) ∈ tX + µY hay (1 − λ)x + λy ∈ tX + µY Vậy tX + µY tập lồi Định nghĩa 1.2 Một điểm x gọi tổ hợp lồi điểm x1 , x2 , , xm , tồn số thực không âm λ1 , λ2 , , λm cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm λ1 + λ2 + + λm = Định nghĩa 1.3 Bao lồi X (kí hiệu: convX) giao tất tập lồi chứa X Bổ đề 1.3 Nếu X ⊂ Rn tập lồi int X X tập lồi Footer Page 10 of 161 Header Page 18 of 161 IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)}; IM in(A) = ∅, P rM in(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y = 1, > x, > y , M in(A) = P rM in(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)}, W M in(A) = M in(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x ≥ 0} Bây cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 Ta có : IM in(B) = ∅, P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = B, IM in(A) = ∅, P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A Từ định nghĩa điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1 Cho A ⊆ E : (i) x ∈ IM in(A) x ∈ A A ⊆ x + C; (ii) x ∈ IM in(A) A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) tương đương: ∃y ∈ A cho x > y Đặc biệt C nhọn, x ∈ M in(A) A ∩ (x − C) = {x}; (iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) A ∩ (x − int C) = ∅ tương đương với ∃y ∈ A cho x y Mệnh đề 1.2 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có: P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A) Hơn nữa, IM in(A) = ∅ IM in(A) = M in(A) tập điểm C nhọn Chứng minh Lấy x ∈ P rM in(A) Nếu x ∈ M in(A) có y ∈ A x − y ∈ C\l(C) Lấy nón lồi K, K = E với int K ⊆ C\l(C) x ∈ M in(A | K) Thì x − y ∈ int K ⊆ K\l(K) Điều mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy P rM in(A) ⊆ M in(A) Footer Page 18 of 161 12 Header Page 19 of 161 Lấy x ∈ M in(A) Nếu x ∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.1 tồn y ∈ A cho x − y ∈ int C Do C = E, int C ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C) Điều mâu thuẫn với x ∈ M inA Vậy M in(A) ⊆ W M in(A) Rõ ràng, IM in(A) ⊆ M in(A) Nếu IM in(A) = ∅, cho x ∈ IM in(A) x ∈ M in(A) Cho y ∈ M in(A) y ≥ x x ≥ y Lấy điểm z ∈ A có z ≥ x x ∈ IM in(A) suy z ≥ y y ∈ IM in(A) Do đó, IM in(A) = M in(A) Ngoài ra, C nhọn x ≥ y y ≥ x xảy trường hợp x = y Vậy IM inA tập điểm Định nghĩa 1.17 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) gọi nhát cắt A x kí hiệu Ax Mệnh đề 1.3 Cho x ∈ E với Ax = ∅ Ta có : (i) IM in(Ax ) ⊆ IM in(A) IM in(A) = ∅; (ii) M in(Ax ) ⊆ M in(A); (iii) W M in(Ax ) ⊆ W M in(A) Chứng minh (i) Cho y ∈ IM in(Ax ) z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C A ⊆ z + C Thì z ∈ Ax z − y ∈ l(C) suy A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C Do y ∈ IM inA (ii) Giả sử y ∈ M in(Ax ) Theo Mệnh đề 1.2 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y+l(C) suy y − C ⊆ x − C nên A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C) Do y ∈ M inA Chứng minh tương tự cho W M in Nhận xét 1.2 Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không trừ số trường hợp đặc biệt Footer Page 19 of 161 13 Header Page 20 of 161 1.2.3 Sự tồn điểm hữu hiệu Định nghĩa 1.18 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E gọi lưới giảm (tương ứng với C) xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α Định nghĩa 1.19 Cho A ⊆ E gọi C- đầy đủ (tương ứng C- đầy đủ mạnh) phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng {(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } lưới giảm A Định lý 1.3 Giả sử C nón lồi A tập khác rỗng E Thì M in(A | C) = ∅ A có nhát cắt C- đầy đủ khác rỗng Chứng minh Nếu M in(A | C) = ∅ điểm tập cho ta nhát cắt C- đầy đủ không tồn lưới giảm Ngược lại, cho Ax khác rỗng nhát cắt C- đầy đủ A Theo Mệnh đề 1.3 ta cần chứng minh M in(Ax | C) = ∅ Xét tập P bao gồm tất lưới giảm A Vì A = ∅ suy P = ∅ Với a, b ∈ P ta viết a b b ⊆ a Rõ ràng ( ) quan hệ thứ tự P , xích P có cận Thật vậy, giả sử {aλ ; λ ∈ Λ} xích P Gọi B tập tất tập hữu hạn B Λ thứ tự bao hàm đặt aB = ∪ {aα : α ∈ B} Và ao = ∪ {aB : B ∈ B} Thì ao phần tử P ao aα với α ∈ Λ nghĩa ao cận xích Áp dụng bổ đề Zorn, tồn phần tử lớn P , kí hiệu a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅ Chúng ta chứng minh {(xα − cl(C))c : α ∈ I} phủ Ax Ta với y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα − cl(C))c chứa y Giả sử phản chứng y ∈ xα − cl(C), ∀α ∈ I Footer Page 20 of 161 14 Header Page 21 of 161 Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z Do tính C nên x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấy lưới lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lý chứng minh 1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) Cho X tập khác rỗng không gian tôpô F ánh xạ đa trị từ X vào E, E không gian véctơ tôpô thực xắp thứ tự nón lồi C Xét VOP : minF (x) với ràng buộc x ∈ X Điểm x ∈ X gọi tối ưu (cực tiểu hữu hiệu) VOP F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, F (X) = F (x) x∈X Các phần tử M in(F (x)|C) gọi giá trị tối ưu (VOP) Tập điểm hữu hiệu (VOP) kí hiệu S(X, F ) Thay IM in, P rM in, W M in cho M in(F (X) | C) có khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F ) W S(X, F ) Quan hệ điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực hữu hiệu yếu VOP trình bày mệnh đề sau: Mệnh đề 1.4 Cho (VOP), có bao hàm thức sau: P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ) Hơn nữa, IS(X, F ) = ∅ IS(X, F ) = S(X, F ) Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2 Footer Page 21 of 161 15 Header Page 22 of 161 Bổ đề 1.6 Giả sử C lồi, X tập compact khác rỗng F C- liên tục X với F (x) + C C-đầy đủ, đóng với x ∈ X F (X) Cđầy đủ Chứng minh Giả sử phản chứng F (X) không C-đầy đủ Điều có nghĩa có lưới giảm {aα : α ∈ I} F (X) cho {(aα − cl(C))c : α ∈ I} phủ F (X) Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ) Không tính tổng quát, giả sử lim xα = x ∈ X Khi đó, với lân cận V F (x) E có số β ∈ I cho aα ∈ V + C, ∀α ≥ β Do {aα } dãy giảm, nên aα ∈ aδ + C, ∀δ ≥ α Từ suy ra: aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C C- đầy đủ Footer Page 22 of 161 16 Header Page 23 of 161 Chương Tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng 2.1 Đặt toán Cho X không gian véctơ tôpô thực; A ⊂ X tập khác rỗng; Y không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Cho C nón lồi đóng nhọn Y Nón C sinh thứ tự phận Y định nghĩa sau: x ≥C y x − y ∈ C Giả sử Y ∗ không gian tôpô đối ngẫu Y C ∗ := {f ∈ Y ∗ : f (y) ≥ 0, ∀y ∈ C} nón đối ngẫu C Kí hiệu tựa phần (quasi-interior) C ∗ C , xác định sau: C := {f ∈ Y ∗ : f (y) > 0, ∀y ∈ C\{0Y }} Cho D tập khác rỗng Y Bao nón D, kí hiệu cone (D), định nghĩa sau: cone (D) = {td : t ≥ 0, d ∈ D} Footer Page 23 of 161 17 Header Page 24 of 161 Kí hiệu bao đóng D cl(D) Một tập M lồi khác rỗng nón lồi C gọi sở C C = cone (M ) ∈ / cl(D) Dễ dàng thấy C = ∅ C có sở Cho tập A ⊂ X, A = ∅ cho ánh xạ F : A × A → Y Xét hệ suy rộng: (GS) tìm x ∈ A cho F (x, y) ∈ / −C\{0} ∀y ∈ A (2.1) Một điểm x thỏa mãn điều kiện (2.1) gọi nghiệm hữu hiệu (GS) Tập nghiệm hữu hiệu (GS) kí hiệu V (A, F ) Nếu int C = ∅, véctơ x gọi nghiệm hữu hiệu yếu (GS) F (x, y) ∈ / −int C ∀y ∈ A Tập tất nghiệm hữu hiệu yếu (GS) kí hiệu VW (A, F ) Lấy f ∈ C ∗ \{0} Một véctơ x ∈ A gọi nghiệm f -hữu hiệu (GS) f (F (x, y)) ≥ ∀y ∈ A Tập tất nghiệm f -hữu hiệu (GS) kí hiệu Vf (A, F ) 2.2 Tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu Trong phần này, trước hết trình bày định lý tính trù mật tập nghiệm hữu hiệu thực dương tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng Sau đó, nhận kết tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu cuả hệ suy rộng Cho ϕ : A × A −→ Y Ánh xạ ϕ gọi C-đơn điệu A × A ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ∈ −C, ∀x, y ∈ A Ánh xạ ϕ gọi C- đơn điệu mạnh A × A ϕ C- đơn Footer Page 24 of 161 18 Header Page 25 of 161 điệu với x, y ∈ A, x = y, ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ∈ −int C Cho ψ : A −→ Y Ánh xạ ψ gọi C-nửa liên tục x0 ∈ A lân cận U Y , tồn lân cận U (x0 ) x0 cho: ψ(x) ∈ ψ(x0 ) + U + C, ∀x ∈ U (x0 ) ∩ A, ψ(x) ∈ ψ(x0 ) + U − C, ∀x ∈ U (x0 ) ∩ A Ánh xạ ψ gọi C-lồi với x1 ,x2 ∈ A, t ∈ [0, 1], tψ(x1 ) + (1 − t)ψ(x2 ) ∈ ψ(tx1 + (1 − t)(x2 )) + C Ta nói tập D ⊂ Y C-lồi D + C tập lồi Y Bổ đề 2.1 (Xem [4]) Cho A ⊂ X tập lồi compact khác rỗng hai ánh xạ ψ : A −→ Y , ϕ : A × A −→ Y Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) ψ C-nửa liên tục (ii) ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A ϕ C-đơn điệu (iii) Với x ∈ A, ϕ(x, y) C-nửa liên tục theo y, với y ∈ A, ϕ(x, y) C-nửa liên tục theo x (iv) Với x ∈ A, ψ(x) + ϕ(x, y) ánh xạ C-lồi theo y Khi đó, với f ∈ C ∗ \{0}, Vf (A, F ) tập lồi compact khác rỗng, F (x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) − ψ(x), ∀x, y ∈ A Bổ đề 2.2 Cho X, Y, A, C, ϕ, ψ Bổ đề 2.1 Nếu ϕ C-đơn điệu mạnh A × A , với f ∈ C ∗ \{0}, Vf (A, F ) tập điểm, đó: F (x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) − ψ(x), ∀x, y ∈ A Chứng minh Theo Bổ đề 2.1, ta có Vf (A, F ) = ∅ với f ∈ C ∗ \{0} Ta chứng tỏ rằng, với f ∈ C ∗ \{0}, Vf (A, F ) tập điểm Nếu ∃f ∈ Footer Page 25 of 161 19 Header Page 26 of 161 C ∗ \{0} cho Vf (A, F ) không tập điểm, tồn x1 , x2 ∈ Vf (A, F ) x1 = x2 Theo định nghĩa, ta có: f (ψ(y)) + f (ϕ(x1 , y)) ≥ f (ψ(x1 )), ∀y ∈ A, (2.2) f (ψ(y)) + f (ϕ(x2 , y)) ≥ f (ψ(x2 )), ∀y ∈ A (2.3) Thay y = x2 (2.2), ta có: f (ψ(x2 )) + f (ϕ(x1 , x2 )) ≥ f (ψ(x1 )) (2.4) Cho y = x1 (2.3), ta f (ψ(x1 )) + f (ϕ(x2 , x1 )) ≥ f (ψ(x2 )) (2.5) Từ (2.4) (2.5), ta có: f (ψ(x1 , x2 )) + ϕ(x2 , x1 ) ≥ (2.6) Doϕ C-đơn điệu mạnh, nên ta có: ψ(x1 , x2 ) + ϕ(x2 , x1 ) ∈ −intC (2.7) Từ f ∈ C ∗ \{0} (2.7), ta có f (ψ(x1 , x2 )) + ϕ(x2 , x1 ) < Điều vô lý mẫu thuẫn với (2.6) Do đó, Vf (A, F ) tập điểm Định lý 2.1 Cho A ⊂ X tập lồi compact khác rỗng Cho hai ánh xạ ψ : A −→ Y ϕ : A × A −→ Y Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) ψ C-nửa liên tục (ii) ϕ(x, x) ≥ với x ∈ A ϕ C-đơn điệu mạnh (iii) Với x ∈ A, ϕ(x, y) C- nửa liên tục theo y, với y ∈ A, ϕ(x, y) C-nửa liên tục theo x Footer Page 26 of 161 20 Header Page 27 of 161 (iv) Với x ∈ A, ψ(x) + ϕ(x, y) ánh xạ C-lồi theo y (v) ψ(A) D = {ϕ(x, y) : x, y ∈ A} tập bị chặn Y (vi) C = ∅ int C = ∅ Khi   Vf (A, F ) ⊂ V (A, F ) ⊂ cl  Vf (A, F ) , f ∈C f ∈C với F (x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) − ψ(x), ∀x, y ∈ A Chứng minh Từ Bổ đề 2.1, Vf (A, F ) = ∅ với f ∈ C ∗ \{0} Theo định nghĩa, ta có Vf (A, F ) ⊂ V (A, F ) ⊂ VW (A, F ) (2.8) f ∈C Với x ∈ A, F (x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) − ψ(x) C-lồi theo y, F (x, A) tập C-lồi Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.1 [2], ta có VW (A, F ) = Vf (A, F ) (2.9) f ∈C ∗ \{0} Từ (2.8) (2.9), ta có Vf (A, F ) ⊂ V (A, F ) ⊂ Vf (A, F ) (2.10) f ∈C ∗ \{0} f ∈C Vì   Vf (A, F ) ⊂ cl  f ∈C ∗ \{0} Vf (A, F ) f ∈C Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ H: C ∗ \{0} −→ A sau H(f ) = Vf (A, F ), f ∈ C ∗ \{0} Theo Bổ đề 2.2, H(f ) ánh xạ đơn trị Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 4.1 [4], ta thấy H liên tục C ∗ \{0} Footer Page 27 of 161 21 Header Page 28 of 161 Lấy x0 ∈ f ∈C ∗ \{0} Vf (A, F ) Khi đó, tồn f0 ∈ C ∗ \{0} cho {x0 } = Vf0 (A, F ) = H(f0 ) Từ C = ∅, lấy g ∈ C đặt g n fn = f0 + Khi đó, fn ∈ C Ta {fn } hội tụ đến f0 với tương ứng tôpô β(Y ∗ , Y ) Với lân cận U tương ứng với β(Y ∗ , Y ), tồn tập bị chặn Bi ⊂ Y (i = 1, 2, , m) > cho m f ∈ Y ∗ : sup |f (y)| ⊂ U y∈Bi i=1 Từ Bi bị chặn G ∈ Y ∗ , |g(Bi )| bị chặn với i = 1, , m Do đó, tồn N cho sup | y∈Bi g(y)| < , i = 1, , m, n ≥ N n Do ( n1 )g ∈ U , nên fn − f0 ∈ U Tức là, {fn } hội tụ đến f0 tương ứng với β(Y ∗ , Y ) Từ H(f ) liên tục f0 , ta có H(fn ) −→ H(f0 ) Đặt {xn } = H(fn ) Khi {xn } = H(fn ) = Vfn (A, F ) ⊂ Vf (A, F ) f ∈C Lấy {x0 } = H(f0 ), ta có xn −→ x0 , tức  x0 ∈ cl   Vf (A, F ) f ∈C Từ x0 ∈ f ∈C ∗ \{0} Vf (A, F ) tùy ý, ta có   Vf (A, F ) ⊂ cl  f ∈C ∗ \{0} Vf (A, F ) f ∈C Định lý điều phải chứng minh Footer Page 28 of 161 22 (2.11) Header Page 29 of 161 Định lý 2.2 Cho X, Y, A, C, ψ, ϕ, F Định lý 2.1 Khi đó, tập V (A, F ) liên thông Chứng minh Theo Định lý 2.1, ta có   Vf (A, F ) ⊂ cl  Vf (A, F ) f ∈C ∗ \{0} Theo Định lý 4.1 [4], ta có (2.12) f ∈C f ∈C ∗ \{0} Vf (A, F ) tập liên thông Từ (2.12), V (A, F ) tập liên thông Bây giờ, trình bày ví dụ để minh họa cho định lý Ví dụ 2.1 Cho X = Y = R2 , C = R2+ = {x = (x1 , x2 ) : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Lấy A = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1} F1 (x) = (αx1 , x2 ), F2 (x) = (x1 , x2 ) với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , α > số cố định Định nghĩa ánh xạ ϕ : A × A −→ R2 ψ : A −→ R2 sau: ϕ(x, y) = ( F1 (x), y − x , F2 (x), y − x ) với x, y ∈ A, ψ(x) = (x1 , x22 ), với x = (x1 , x2 ) ∈ A Vậy rõ ràng điều kiện (i), (iii), (v) (vi) Định lí 2.1 thỏa mãn Ta có ϕ(x, x) = (0, 0), ∀x ∈ A ϕ(x, y) + ϕ(y, x) = ( F1 (x), y − x , F2 (x), y − x ) + ( F1 (y), x − y , F2 (y), x − y ) = ( F1 (x), y − x , F1 (y), x − y ) + ( F2 (x), y − x , F2 (x), x − y ) = −( F1 (x) − F1 (y), x − y , F2 (x) − F2 (y), x − y ) = −(α(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ) ∈ −int R2+ , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ A, x = y Footer Page 29 of 161 23 Header Page 30 of 161 Vì vậy, ϕ R2+ -đơn điệu mạnh điều kiện (ii) Định lý 2.1 thỏa mãn Với x ∈ A cho trước với y, z ∈ A t ∈ [0, 1] , ta có ϕ(x, ty + (1 − t)z) = ( F1 (x), ty + (1 − t)z − x , F2 (x), ty + (1 − t)z − x ) = ( F1 (x), t(y − x) + (1 − t)(z − x) , F2 (x), t(y − x) + (1 − t)(z − x) ) = t( F1 (x), y − x , F2 (x), y − x ) + (1 − t)( F1 (x), z − x , F2 (x), (z − x) ) = tϕ(x, y) + (1 − t)ϕ(x, z) Do , ∀x ∈ A, ϕ(x, y) R2+ -lồi theo y Với x = (x1 x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ A t ∈ [0; 1], từ f (t) = t2 hàm số lồi R, ta có ψ(tx + (1 − t)y) = (tx1 + (1 − t)y1 , (tx2 + (1 − t)y2 )2 ) ≤ (tx + (1 − t)y) = (tx1 + (1 − t)y1 , tx22 + (1 − t)y22 ) = t(x1 , x22 ) + (1 − t)(y1 , y22 ) = tψ(x) + (1 − t)ψ(y) Do , ψ R2+ -lồi Khi đó, ta thấy điều kiện (vi) Định lý 2.1 thỏa mãn Theo Định lý 2.1 V (A, F ) tập liên thông, F (x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) − ψ(x) với x, y ∈ A Footer Page 30 of 161 24 Header Page 31 of 161 Kết luận Khóa luận trình bày số điều kiện đủ cho tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng Cách tiếp cận khóa luận sử dụng kĩ thuật vô hướng hóa, tính chất liên thông tính trù mật tập nghiệm hữu hiệu thực dương tập nghiệm hữu hiệu toán Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thầy, cô giáo bạn đọc góp ý Footer Page 31 of 161 Header Page 32 of 161 Tài liệu tham khảo [1] D T Luc: Theory of Vector Optimization Springer, Berlin (1989) [2] Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems J Optim Theory Appl 108 (2001), 139–154 [3] Gong, X.H.:, Strong vector equilibrium problems, J Glob Optim.36 (2006), 339–349 [4] Gong, X.H.: Connectedness of the solution sets and scalarization for vector equilibrium problems.,J Optim Theory Appl.133 (2007), 151–161 [5] Gong, X.H, Yao, J C.:Connnectedness of the Set of Efficient Solutions for Generalized Stytems.,J Optim Theory Appl 138 (2008),189–196 [6] Cheng, Y.H.: On the connectedness of the solution set for the weak vector variational inequality., J Math Anal Appl 260 (2001), 1-5 Footer Page 32 of 161 ... hệ suy rộng nghiên cứu tính chất tôpô tập nghiệm, chẳng hạn như: tính chất liên thông, tính chất đóng, tính chất trù mật, Trong khóa luận này, tập trung nghiên cứu tính chất liên thông tập nghiệm. .. hết trình bày định lý tính trù mật tập nghiệm hữu hiệu thực dương tập nghiệm hữu hiệu hệ suy rộng Sau đó, nhận kết tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu cuả hệ suy rộng Cho ϕ : A × A −→ Y Ánh xạ... gọi nghiệm f -hữu hiệu (GS) f (F (x, y)) ≥ ∀y ∈ A Tập tất nghiệm f -hữu hiệu (GS) kí hiệu Vf (A, F ) 2.2 Tính chất liên thông tập nghiệm hữu hiệu Trong phần này, trước hết trình bày định lý tính