Trong phần này, trước hết chúng tôi trình bày một định lý về tính trù mật của tập các nghiệm hữu hiệu thực sự dương trong tập nghiệm hữu hiệu của hệ suy rộng. Sau đó, chúng tôi sẽ nhận được một kết quả về tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu cuả hệ suy rộng.
Cho ϕ : A×A −→Y. Ánh xạ ϕ được gọi là C-đơn điệu trên A×A nếu ϕ(x, y) +ϕ(y, x) ∈ −C,∀x, y ∈ A.
Ánh xạ ϕ được gọi là C- đơn điệu mạnh trên A ×A nếu ϕ là C- đơn
Footer Page 24 of 161.
điệu và với mọi x, y ∈ A, nếu x 6= y, thì
ϕ(x, y) +ϕ(y, x) ∈ −intC.
Cho ψ : A −→Y. Ánh xạ ψ được gọi là C-nửa liên tục dưới tại x0 ∈ A nếu mọi lân cận U của 0 trong Y, tồn tại lân cận U(x0) của x0 sao cho:
ψ(x) ∈ ψ(x0) +U +C, ∀x ∈ U(x0)∩A, ψ(x) ∈ ψ(x0) +U −C, ∀x ∈ U(x0)∩ A.
Ánh xạ ψ được gọi là C-lồi nếu với mọi x1,x2 ∈ A, t ∈ [0,1], tψ(x1) + (1−t)ψ(x2) ∈ ψ(tx1 + (1−t)(x2)) +C.
Ta nói rằng tập D ⊂ Y là C-lồi nếu D +C là tập lồi trong Y.
Bổ đề 2.1. (Xem [4]) Cho A ⊂ X là tập lồi compact khác rỗng và hai ánh xạ ψ : A −→Y, ϕ : A×A −→Y. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) ψ là C-nửa liên tục dưới.
(ii) ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A và ϕ là C-đơn điệu.
(iii) Với mỗi x ∈ A, ϕ(x, y) là C-nửa liên tục dưới theo y, và với mỗi y ∈ A, ϕ(x, y) là C-nửa liên tục trên theo x.
(iv) Với mỗi x ∈ A, ψ(x) +ϕ(x, y) là ánh xạ C-lồi theo y.
Khi đó, với mỗi f ∈ C∗\{0}, Vf(A, F) là tập lồi compact khác rỗng, ở đó F(x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y)−ψ(x), ∀x, y ∈ A.
Bổ đề 2.2. Cho X, Y, A, C, ϕ, ψ như ở Bổ đề 2.1. Nếu ϕ là C-đơn điệu mạnh trên A×A , thì với mỗi f ∈ C∗\{0}, Vf(A, F) là tập một điểm, ở đó:
F(x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y)−ψ(x), ∀x, y ∈ A.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1, ta có Vf(A, F) 6= ∅ với mỗi f ∈ C∗\{0}. Ta sẽ chứng tỏ rằng, với mỗi f ∈ C∗\{0}, Vf(A, F) là tập một điểm. Nếu ∃f ∈
Footer Page 25 of 161.
C∗\{0} sao cho Vf(A, F) không là tập một điểm, thì tồn tại x1, x2 ∈ Vf(A, F) và x1 6= x2. Theo định nghĩa, ta có:
f(ψ(y)) +f(ϕ(x1, y)) ≥f(ψ(x1)), ∀y ∈ A, (2.2) f(ψ(y)) +f(ϕ(x2, y)) ≥f(ψ(x2)), ∀y ∈ A. (2.3) Thay y = x2 trong (2.2), ta có:
f(ψ(x2)) +f(ϕ(x1, x2)) ≥ f(ψ(x1)). (2.4) Cho y = x1 trong (2.3), ta được
f(ψ(x1)) +f(ϕ(x2, x1)) ≥ f(ψ(x2)). (2.5) Từ (2.4) và (2.5), ta có:
f(ψ(x1, x2)) +ϕ(x2, x1) ≥0. (2.6) Doϕ là C-đơn điệu mạnh, nên ta có:
ψ(x1, x2) +ϕ(x2, x1) ∈ −intC. (2.7) Từ f ∈ C∗\{0} và (2.7), ta có
f(ψ(x1, x2)) +ϕ(x2, x1) < 0.
Điều này là vô lý vì nó mẫu thuẫn với (2.6). Do đó, Vf(A, F) là tập một điểm.
Định lý 2.1. Cho A ⊂ X là tập lồi compact khác rỗng. Cho hai ánh xạ ψ : A −→Y và ϕ: A×A −→ Y. Giả sử các điều kiện sau là thỏa mãn:
(i) ψ là C-nửa liên tục dưới .
(ii) ϕ(x, x) ≥0 với mọi x ∈ A và ϕ là C-đơn điệu mạnh.
(iii) Với mọi x ∈ A, ϕ(x, y) là C- nửa liên tục dưới theo y, với mỗi y ∈ A, ϕ(x, y) là C-nửa liên tục trên theo x.
Footer Page 26 of 161.
(iv) Với mọi x ∈ A, ψ(x) +ϕ(x, y) là một ánh xạ C-lồi theo y.
(v) ψ(A) và D = {ϕ(x, y) : x, y ∈ A} là một tập con bị chặn của Y. (vi) C] 6= ∅ và intC 6= ∅.
Khi đó
[
f∈C]
Vf(A, F) ⊂V(A, F) ⊂cl
[
f∈C]
Vf(A, F)
, với
F(x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y)−ψ(x), ∀x, y ∈ A.
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1, Vf(A, F) 6= ∅ với mỗi f ∈ C∗\{0}. Theo định nghĩa, ta có
[
f∈C]
Vf(A, F) ⊂ V(A, F) ⊂ VW(A, F). (2.8) Với mỗi x ∈ A, F(x, y) = ψ(y) + ϕ(x, y) −ψ(x) là C-lồi theo y, F(x, A) là tập C-lồi. Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh của Bổ đề 2.1 trong [2], ta có
VW(A, F) = [
f∈C∗\{0}
Vf(A, F). (2.9)
Từ (2.8) và (2.9), ta có [
f∈C]
Vf(A, F) ⊂ V(A, F) ⊂ [
f∈C∗\{0}
Vf(A, F). (2.10) Vì vậy
[
f∈C∗\{0}
Vf(A, F) ⊂ cl
[
f∈C]
Vf(A, F)
. Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ H: C∗\{0} −→ A như sau
H(f) =Vf(A, F), f ∈ C∗\{0}
Theo Bổ đề 2.2, H(f) là ánh xạ đơn trị. Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 4.1 trong [4], ta thấy rằng H là liên tục trên C∗\{0}.
Footer Page 27 of 161.
Lấy x0 ∈ S
f∈C∗\{0}Vf(A, F). Khi đó, tồn tại f0 ∈ C∗\{0} sao cho {x0} = Vf0(A, F) =H(f0).
Từ C] 6= ∅, lấy g ∈ C] và đặt
fn = f0 + 1
n
g.
Khi đó, fn ∈ C]. Ta sẽ chỉ ra rằng {fn} hội tụ đến f0 với tương ứng tôpô β(Y∗, Y). Với bất kì lân cận U của 0 tương ứng với β(Y∗, Y), tồn tại các tập con bị chặn Bi ⊂ Y(i = 1,2, ..., m) và > 0 sao cho
m
\
i=1
f ∈ Y∗ : sup
y∈Bi
|f(y)|
⊂ U.
Từ Bi là bị chặn và G ∈ Y∗, |g(Bi)| cũng là bị chặn với mỗi i = 1, ..., m. Do đó, tồn tại N sao cho
sup
y∈Bi
| 1
n
g(y)| < , i = 1, ..., m, n ≥N.
Do đó (n1)g ∈ U, nên fn−f0 ∈ U. Tức là, {fn} hội tụ đến f0 tương ứng với β(Y∗, Y).
Từ H(f) là liên tục tại f0, ta có H(fn) −→ H(f0). Đặt {xn} = H(fn).
Khi đó
{xn} = H(fn) =Vfn(A, F) ⊂ [
f∈C]
Vf(A, F).
Lấy {x0}= H(f0), ta có xn −→ x0, tức là x0 ∈ cl
[
f∈C]
Vf(A, F)
. Từ x0 ∈ S
f∈C∗\{0}Vf(A, F) là tùy ý, ta có [
f∈C∗\{0}
Vf(A, F) ⊂ cl
[
f∈C]
Vf(A, F)
. (2.11)
Định lý đã được điều phải chứng minh.
Footer Page 28 of 161.
Định lý 2.2. Cho X, Y, A, C, ψ, ϕ, F như trong Định lý 2.1. Khi đó, tập V(A, F) là liên thông.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1, ta có [
f∈C∗\{0}
Vf(A, F) ⊂ cl
[
f∈C]
Vf(A, F)
(2.12)
Theo Định lý 4.1 trong [4], ta có S
f∈C∗\{0}Vf(A, F) là tập liên thông. Từ (2.12), V(A, F) là tập liên thông.
Bây giờ, chúng ta trình bày một ví dụ để minh họa cho định lý trên.
Ví dụ 2.1. Cho X = Y = R2, C = R2+ = {x = (x1, x2) : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}. Lấy A = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x21 +x22 ≤ 1}
F1(x) = (αx1, x2), F2(x) = (x1, x2)
với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, trong đó α > 0 là một hằng số cố định. Định nghĩa các ánh xạ ϕ : A×A −→ R2 và ψ : A −→ R2 như sau:
ϕ(x, y) = (hF1(x), y−xi,hF2(x), y−xi)với x, y ∈ A, ψ(x) = (x1, x22), với x = (x1, x2) ∈ A.
Vậy rõ ràng điều kiện (i), (iii), (v) và (vi) của Định lí 2.1 được thỏa mãn. Ta có ϕ(x, x) = (0,0),∀x ∈ A và
ϕ(x, y) +ϕ(y, x)
= (hF1(x), y−xi,hF2(x), y −xi) + (hF1(y), x−yi,hF2(y), x−yi)
= (hF1(x), y−xi,hF1(y), x −yi) + (hF2(x), y−xi,hF2(x), x−yi)
= −(hF1(x)−F1(y), x−yi,hF2(x)−F2(y), x −yi)
= −(α(x1 −y1)2 + (x2 −y2)2,(x1 −y1)2 + (x2 −y2)2)
∈ −intR2+,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ A, x 6= y
Footer Page 29 of 161.
Vì vậy, ϕ là R2+-đơn điệu mạnh và điều kiện (ii) của Định lý 2.1 là thỏa mãn.
Với x ∈ A cho trước và với mọi y, z ∈ A và t ∈ [0,1] , ta có ϕ(x, ty+ (1−t)z)
= (hF1(x), ty + (1−t)z−xi,hF2(x), ty + (1−t)z−xi)
= (hF1(x), t(y −x) + (1−t)(z −x)i,hF2(x), t(y −x) + (1−t)(z−x)i)
= t(hF1(x), y −xi,hF2(x), y −xi) + (1−t)(hF1(x), z −xi,hF2(x),(z−x)i)
= tϕ(x, y) + (1−t)ϕ(x, z).
Do đó ,∀x ∈ A,ϕ(x, y) là R2+-lồi theoy. Với mọi x = (x1.x2), y = (y1, y2) ∈ A và t ∈ [0; 1], từ f(t) = t2 là hàm số lồi trên R, ta có
ψ(tx+ (1−t)y) = (tx1 + (1−t)y1,(tx2 + (1−t)y2)2)
≤ (tx+ (1−t)y) = (tx1 + (1−t)y1, tx22 + (1−t)y22)
= t(x1, x22) + (1−t)(y1, y22)
= tψ(x) + (1−t)ψ(y)
Do đó , ψ là R2+-lồi. Khi đó, ta thấy rằng điều kiện (vi) của Định lý 2.1 là thỏa mãn. Theo Định lý 2.1 thì V(A, F) là tập liên thông, ở đó F(x, y) = ψ(y) +ϕ(x, y)−ψ(x) với x, y ∈ A.
Footer Page 30 of 161.
Kết luận
Khóa luận trình bày một số điều kiện đủ cho tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu của hệ suy rộng. Cách tiếp cận trong khóa luận này là sử dụng kĩ thuật vô hướng hóa, tính chất liên thông và tính trù mật của tập nghiệm hữu hiệu thực sự dương trong tập nghiệm hữu hiệu của bài toán này.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong được các thầy, cô giáo và các bạn đọc góp ý.
Footer Page 31 of 161.