Thông tin tài liệu
Bậ GIO DệC V O TO TRìNG I HC Sì PHM H NậI * NGUYN TH HầNG TON T TCH PH…N LO„I HARDY V€ C•C GIAO HO•N TÛ CÕA CHĨNG TRN MậT Sẩ KHặNG GIAN HM LUN N TIN S TO•N HÅC H Nëi - 2019 BË GI•O DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI * NGUYN TH HầNG TON T TCH PHN LOI HARDY V CC GIAO HON T CếA CHểNG TRN MậT Sẩ KHặNG GIAN HM Chuyản ng nh: Phữỡng trẳnh vi phƠn v tẵch phƠn M số: 9.46.01.03 LUN N TIN S TON HC TP TH HìẻNG DN KHOA HC GS TSKH Nguyạn Minh Ch÷ìng TS H Duy H÷ng H Nëi - 2019 LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH Nguyạn Minh Chữỡng v TS H Duy Hững CĂc kát quÊ ữủc phĂt biu luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt cự luên vôn, luên Ăn n o khĂc Nghiản cựu sinh Nguyạn Th Hỗng LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn nghiảm kh-c, tên tẳnh, chu Ăo cừa GS.TSKH Nguyạn Minh Chữỡng v TS H Duy H÷ng T¡c gi£ xin b y tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu s-c GS.TSKH Nguyạn Minh Chữỡng v TS H Duy Hững, nhỳng ngữới  dăn d-t tĂc giÊ l m quen vợi nghiản cùu khoa håc tø nhúng ng y sau tèt nghiằp thÔc sắ Ngo i nhỳng ch dăn vã mt khoa hồc, sỹ ởng viản v lỏng tin tững cừa c¡c th¦y d nh cho t¡c gi£ ln l ëng lỹc lợn giúp tĂc giÊ say mả nghiản cựu TĂc giÊ xin trƠn trồng gỷi lới cÊm ỡn án Ban GiĂm hiằu, Phỏng Sau Ôi hồc, Ban Chừ nhiằm khoa ToĂn-Tin, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi, c bi»t l c¡c th¦y, cỉ gi¡o Bë mỉn Gi£i tẵch, khoa ToĂn-Tin, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H nởi  luổn giúp ù, ởng viằn, tÔo mổi trữớng hồc têp nghiản cựu thuên lủi cho tĂc giÊ TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn án Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Thừ ổ H nởi, cĂc thƯy, cổ v cĂc anh ch ỗng nghiằp cổng tĂc tÔi Bở mổn ToĂn, khoa Khoa hồc Tỹ nhiản, trữớng ¤i håc Thõ ỉ H nëi ¢ ln t¤o i·u kiằn thuên lủi, giúp ù v ởng viản tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Lới c£m ìn sau còng, t¡c gi£ xin d nh cho gia ẳnh, nhỳng ngữới luổn yảu thữỡng, chia s, ởng viản tĂc giÊ vữủt qua khõ khôn ho n th nh luªn ¡n T¡c gi£ Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Möc löc MÐ †U Ch÷ìng KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 17 1.1 Tr÷íng c¡c sè p-adic 17 1.1.1 Chu©n p-adic 17 1.1.2 Sè p-adic 17 1.1.3 Khæng gian Qpd 18 1.2 o v tẵch phƠn Qpd 1.3 C¡c khæng gian h m 19 22 1.3.1 Khæng gian Lebesgue 22 1.3.2 Khæng gian Herz 24 1.3.3 Khæng gian Morrey-Herz 25 1.3.4 Khæng gian BMO 26 1.3.5 Khæng gian Morrey trản trữớng p-adic 27 1.3.6 Khổng gian tƠm Morrey trản trữớng p-adic 28 Chữỡng TON T P -ADIC HARDY-CESRO V GIAO HON T TRN CC KHặNG GIAN KIšU MOREY 30 2.1 °t v§n · 2.2 Chu©n cõa to¡n tû U p;s tr¶n c¡c khỉng gian kiºu Morrey 30 32 2.3 Giao ho¡n tû cõa to¡n tû p-adic Hardy-Ces ro 37 2.3.1 C¡c giao ho¡n tû v bê · bê trñ 37 2.3.2 CĂc kát quÊ chẵnh 2.3.3 Chùng minh kát quÊ chẵnh Chữỡng TON TÛ V€ GIAO 38 40 A TUY˜N T•NH P -ADIC HARDY-CESRO HON T TRN MậT Sẩ KHặNG GIAN HM P -ADIC 45 3.1 °t b i to¡n 45 3.2 Chu©n cõa to¡n tû a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Lebesgue v t½ch c¡c khỉng gian kiºu Morrey 47 3.2.1 Mët sè kh¡i ni»m v bê · 47 3.2.2 CĂc kát quÊ chẵnh 49 3.3 T½nh bà ch°n cõa giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ song tuyán tẵnh Hardy- Ces ro câ trång 54 3.3.1 C¡c giao ho¡n tû 54 3.3.2 C¡c kát quÊ chẵnh 56 3.3.3 Chựng minh kát quÊ chẵnh 57 Chữỡng TON T GIAO HON T A TUYN TNH HARDY-CESRO V TRN TCH CC KHặNG GIAN LO„I HERZ 67 4.1 °t v§n · 4.2 T½nh b chn cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Herz v 4.2.1 Mởt số kh¡i ni»m v 67 Morrey-Herz 69 bê · 70 4.2.2 CĂc kát quÊ chẵnh 71 4.2.3 Chùng minh kát quÊ chẵnh 73 4.3 Giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro 78 4.3.1 CĂc kát quÊ chẵnh 78 4.3.2 Chùng minh kát quÊ chẵnh 79 DANH MệC CặNG TRNH KHOA HC CếA TC GI LIN QUAN ˜N LUŠN •N 87 T€I LI›U THAM KHƒO 88 MËT Sẩ K HIU THìNG DềNG TRONG LUN N R d khỉng gian vectì Euclid d-chi·u d jxj jxjp Q p Qp d B(a; ); B S(a; ); S dx r L r Lloc r L (!) Z chu©n cõa mët phƯn tỷ x R chuân p-adic cừa số p-adic x tr÷íng c¡c sè p-adic khỉng gian v²c tì d chiãu trản trữớng cĂc số p-adic hẳnh cƯu õng tƠm a, tƠm bĂn kẵnh p mt cƯu tƠm a, tƠm bĂn kẵnh p o Haar d têp cĂc h m khÊ tẵch bêc r trản R d têp cĂc h m khÊ tẵch a phữỡng bêc r trản R d têp cĂc h m khÊ tẵch bêc r trản R ựng vợi o d = !dx p Zp ? d BM O(R ) d BM O(Q ) (!) _ ;p Kq _; MKp;q (!) n Lip (R ) U U ;s Um;n ;~s Up ;s Up;m;n ;~s Up;b ;s ~ U p;m;n;b ;~s ~ U m;n;b s têp cĂc số nguyản trản trữớng Qp têp cĂc số nguyản khĂc khổng trản trữớng Qp khổng gian cĂc h m cõ dao ởng trung bẳnh b chn trản Rd khæng gian c¡c h m câ dao ëng trung bẳnh b chn trản d Q h m c trững cừa nhõm cởng tẵnh cừa trữớng số thỹc hay trữớng số p-adic khổng gian Herz thuƯn nhĐt cõ trồng trản R d khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng trản R d d khỉng gian Lipschitz tr¶n R to¡n tû trung b¼nh Hardy câ trång to¡n tû Hardy-Ces ro câ trồng ToĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng To¡n tû p-adic Hardy-Ces ro câ trång To¡n tû a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng Giao hoĂn tỷ cõa to¡n tû Hardy-Ces ro câ trång Giao ho¡n tû cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic HardyCes ro cõ trồng Giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro câ ;! trång dp d p = p1 MÐ TÊNG QUAN V— V‡N d †U — NGHI–N CÙU V€ L• DO CHÅN — T€I Mởt nhỳng vĐn ã cốt lói cừa giÊi tẵch iãu hỏa l nghiản cựu tẵnh b chn cừa cĂc to¡n tû T tr¶n mët sè khỉng gian h m v mët sè khæng gian h m suy rëng (1) jjT fjjY CjjfjjX ; vợi C l hơng số n o â, X; Y l hai khæng gian h m hoc h m suy rởng vợi chuân tữỡng ựng l jj jjX ; jj jjY ¥y l c¥u häi xuĐt hiằn mởt cĂch tỹ nhiản cĂc nghiản cựu vã giÊi tẵch, lỵ thuyát h m, phữỡng trẳnh Ôo h m riảng Chng hÔn, ta xt thá v Riesz J cho bði cæng thùc Z J (f)(x) = Rd y) dy: f( x y d (2) j j Vỵi p< d v p q= d th¼ J l to¡n tû bà ch°n tø khæng gian L (R ) q d v o khæng gian L (R ) Mët ¡p dưng trüc ti¸p cõa k¸t qu£ n y l nh lỵ nhúng 1;p d Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, khổng gian W (R ) ữủc nhúng liản q d tửc v o khỉng gian L (R ) vỵi p q p , õ p1 Mởt nhỳng ối tữủng nghiản cựu chẵnh cừa luên Ăn n y l Ănh giĂ (1) cho mởt lợp toĂn tỷ tẵch phƠn v giao ho¡n tû cõa chóng Lỵp to¡n tû n y chùa ỹng hoc cõ mối liản hằ mêt thiát vợi nhiãu to¡n tû cê iºn quan trång nh÷ to¡n tû Hardy, toĂn tỷ cỹc Ôi Calderõn, toĂn tỷ Riemann-Lioville trản ữớng thng, trữớng hủp mởt phẵa cừa toĂn tỷ thá v Riesz J nhữ cổng thực (2), bián ời Abel CĂc ữợc lữủng dÔng (1) cho lợp toĂn tỷ T nhữ thá thữớng ữủc gồi l bĐt ng thực Hardy, v ữủc biát án nhữ l mởt cổng cử hỳu ẵch nghiản cựu lỵ thuyát vã cĂc toĂn tỷ elliptic Vã lch sỷ, bĐt ng thực tẵch phƠn Hardy v dÔng rới rÔc cừa nõ ới khoÊng nôm 1920, liản quan án tẵnh liản tửc cừa toĂn tỷ trung p b¼nh Hardy giúa c¡c khỉng gian L Mởt nhỳng ởng lỹc chẵnh dăn tợi cĂc kát quÊ õ ữủc xuĐt phĂt tứ bĐt ng thực Hilbert (xem [16, 43]) Nh to¡n håc Hilbert, nghi¶n cùu nghiằm cừa mởt số phữỡng trẳnh tẵch phƠn, dăn tợi b i toĂn nghiản cựu tẵnh hởi tử cừa chuội kp dÔng 1 ambn PP n=1 m=1  ch¿ sü hëi m + n Trong b i bĂo nôm 1915 cừa mẳnh Hardy tử cừa chuội nP 1 P tữỡng ữỡng vợi sỹ hởi tử cừa hai chuéi aman =1 m=1 m+n n=1 X An v a n n=1 X n A ; nn â An = a1 + + an Do õ, ta thu ữủc dÔng tẵch phƠn cừa kát quÊ n y p + chẵnh l náu mởt h m f thc L (R ), vỵi < p < 1, th¼ Hf cơng thc Lp(R+), â Hf(x) = x x Z0 f(t)dt: (3) N«m 1920 G Hardy [33]  ữa bĐt ng thực tẵch phƠn sau ¥y Z x x Z p p f(t)dt dx p Z0 p 1 fp(x)dx vỵi < p < 1, f l h m o ữủc khổng Ơm trản (0; 1), v l số nhọ nhĐt thoÊ mÂn bĐt ng thực (4) (4) hơng số p p To¡n tû Hardy l mët tr÷íng hđp riảng cừa lợp toĂn tỷ Hausdorff, xuĐt hiằn cĂc b i toĂn nghiản cựu tẵnh khÊ tờng cho chuội số, chuội lu thứa vợi cĂc cổng trẳnh mang tẵnh nãn mõng cừa Siskakis v cừa Liflyand-Mõricz [45] Trản trữớng thỹc, toĂn tỷ Hausdorff cõ dÔng sau (5) Z (u)f(xA(u))du H ;A(f)(x) = d R d vỵi l h m o ữủc trản R v A = A(u) = (aij(u)) l ma cĐp d d õ aij(u) l h m o ữủc theo bián u: c biằt, (u) = [0;1](u), A(u) = u th¼ H ;A tr th nh toĂn tỷ Hardy cờ in nhữ  ã cêp trản Mởt cƠu họi tỹ nhiản t ra, vỵi c¡c khỉng gian X; Y n o v vợi cĂc iãu kiằn n o cừa , ma A thẳ (1) úng vợi T = H ;A Hỡn nỳa, õ thẳ hơng số tốt nhĐt C (1) l bao nhiảu? CƠu họi thự nhĐt tứ lƠu ¢ thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n hồc trản thá giợi v cõ th ch mởt số kát quÊ gƯn Ơy cừa K Andersen, E Liflyand, F Moricz, D.S Fan [3, 8, 45, 46] Tuy nhi¶n cĂc iãu kiằn cƯn vã tẵnh b chn ữủc ữa chữa hn l iãu kiằn v cƠu họi vã hơng số tốt nhĐt mội trữớng hủp õ ãu khổng trÊ lới Vợi cƠu họi thự hai vã viằc xĂc nh hơng số tốt nhĐt + kf i k+`i k ) qi;!i (t)dt !p 81 k B m 2kp k= Zn i=1 X [0;1] (kfi k+`i 1kqi;!i + kfi ! p kqi;!i ) k+`i p (t)dt Y 1 Z k0 X B k= [0;1]n m Y i=1 kp p kf !p p k + kf i k+`i qi;!i i k+`i (t)dt: k qi;!i Tø â suy ~ kU ~ m;n;b (f) ;~s (!) _ ; k Z B sup k0 k02Z [0;1] MKp;q + kfi k0 X k= n ! k+`i kqi;!i m kp Y kf i=1 p k i k+`i qi;!i + (4.26) (t)dt: p p (4.27) Ta câ m Y (ai;0 + bi;0) = m X Y a ; i;j i=1 j ;:::;j =0;1 i=1 m i vỵi tờng ữủc lĐy qua tĐt cÊ (j1; : : : ; jm) vỵi méi j1; : : : ; jm â, f0; 1g Do ta câ ~ kU B ~ m;n;b (f) k ;~s sup _ ; Z @ k k 2Z (!) MKp;q [0;1] n k X X k= 1 Y 2kp @ j1;:::;jm2f0;1g i=1 B sup Zn k k02Z @ X [0;1] B Zn k02Z sup k 0;1 j1;:::;jm k= B sup k 2Z i=1 i 0 g qi;!i i i k Y f k i k+` i ji qi ;! i i k+`i ji k qi;!i m ! p k i=1 k X k AA k+` j Y k= X 2f k (t)dt p g1 j1;:::;jm 0;1 [0;1] f m X A p (t)dt ! p p f 2kp (t)dt Z k 2kp k0 2f 11 p m X Y X !!pi mk kpi i n [0;1] j1 ;:::;jm 2f 0;1g i=1 k= kf i k+`i ji pi k qi;!i (t)dt 82 .B Z kfi n j1 ;:::;j 0;1 m X [0;1] B j1;:::;jm n 2Z k0 Y sup 0;1 i=1 Y 2f kfikMK_ m g i=1 B Zn j1;:::;jm 0;1 X [0;1] Y 2f pi X g X [0;1] k pii;q;ii (!i) i=1 Y kfik p kpi i i m i i i m i ;i MK pi ;q i (!i) i=1 m Y jsi(t)j i i i=1 kf k i ; MK_pii;q ii (!i) !Z n j1;:::;jm Y 0;1 X Y [0;1] B kf k i ; MK_pii;q ii (!i) 2f ! m i=1 Zn i=1 [0;1] Y m;n;b ! (t)dt ! (t)dt i ! (t)dt m g jsi(t)j i i ( `i+ji) i m g m m i=1 (t)dt i Y ! _ (` j ) i i=1 jsi(t)j B kqi;!i (t)dt: ! Y R ~ Kát hủp vợi giÊ thiát (4.17), ta thu ÷đc _1 ; [0;1]n m Q i=1 jsi(t)j (t)dt húu i i _ 0; _ m; m (! )MK hÔn Vêy U ;~s b chn tø MKp1;q1 (! ) v o MK m pm;qm nhªn X kf k i k+`i j qi;!i kf k ; i MK_pii;q ii (!i) =0;1 j=0;1 2(k+`i j)( i i) 2k( i i)jsi(t)j i i kfikMK_pii;q;ii (!i): K¸t hđp vỵi (4.20), ta câ ~ kU m;n;b ~ (f) k ;~s _ ; (!) MKp;q B sup k0 k02Z m Z k0 X 2kp k= k i [0;1]n !p!1=p kf Y k+`i qi;!i i=1 + kf i (t)dt Z k0 B sup k 2Z m X k k= Y 2kp [0;1] (k+` 1)( i n i=1 83 ) i i +2 (!) p;q Tr÷íng hđp 2: Gi£ sû r¬ng < p < v > 0, Bê · 4.2 v ` X x²t i jsi(t)j < 2`i , ta câ j k= m 2f Z k i =1 k+`i ji !! (k+` )( i ) i i k+`i k qi;!i Y !p!1=p kfikMK_pii;q;ii (!i) (t) B i=1 m dt kfik MK _ i i pi ;qi k= Y X ; sup m B k k 2Z (!i) i=1 kfik n i i MK pi ;qi (!i) i=1 kp k Y Zn [0;1] m Z _ m i=1 jsi(t)j (t)dt k02Z m i=1 Y jsi(t)j i (t)dt ! k0 X p i (k k) p p : k= !p k V¼ > 0, nản chuội P ;~s (f)k ~ m;n;b Vêy MK_p;q ~ hëi tư v têng cõa nâ l h¬ng khỉng phư k= thc v o k0 Do kU (k k ) p â, ta câ (!) B m p;q i Y i =1 ; k fi kM K_ i i i i (! Zn ) [0;1] ; (t)dt: m i Y i =1 js (t)j i i nh lỵ 4.3 ữủc chựng minh Kát luên cừa chữỡng Chúng tổi tẳm ữủc mởt iãu kiằn cƯn v mët i·u ki»n õ èi vỵi lỵp h m trồng (t) cho toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng b chn trản tẵch _ cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng MK _ p;q ; (!) v tẵch cĂc ;p khổng gian Herz thuƯn nhĐt câ trång K q (!) Hìn núa chóng tỉi cơng ữa ữủc mởt iãu kiằn cƯn ối vợi (t) giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng b chn trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz _ thuƯn nhĐt cõ trồng MK p;q ; (!) vợi biu trững khổng gian Lipschitz Lip (Rd) Trữớng hủp c biằt cừa cĂc kát quÊ thu ữủc, khổng ch l m rởng m l l m mÔnh thỹc sỹ cĂc kát quÊ ữủc biát trữợc õ 84 MK _ p;q ; (!) K˜T LUŠN V€ KI˜N NGH CĂc kát quÊ Ôt ữủc Trong luên Ăn n y chúng tổi  nghiản cựu tẵnh b chn cừa toĂn tỷ loÔi Hardy v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản mởt số khổng gian h m Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: ối vợi toĂn tỷ p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng chúng tổi tẳm ữủc chuân cừa toĂn tỷ trản khổng gian p-adic Morrey cõ trång L q;! (Qdp), khæng _ q; d gian p-adic t¥m Morrey câ trång B! Qp v khỉng gian p-adic tƠm q; d ỗng thới chúng tổi cụng xĂc nh ữủc BMO cõ trồng CMO! mởt iãu kiằn cƯn v Qp (t) mët i·u ki»n õ èi vỵi h m trång º giao p;b ho¡n tû U ;s bà chn trản khổng gian p-adic tƠm Morrey cõ trồng vợi biu trững khổng gian p-adic tƠm BMO cõ trồng ối vợi toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng chúng tổi tẳm ữủc chuân cừa toĂn tỷ trản tẵch cĂc khổng gian p-adic Lebesgue cõ trồng, tẵch c¡c khæng gian p-adic Morrey câ trång L _ q; q; ! (Qdp) v t½ch d c¡c khỉng gian p-adic tƠm Morrey cõ B ! Q p Thảm v o â chóng tỉi cơng ÷a ÷đc mët iãu kiằn cƯn v mởt iãu kiằn ối vợi lỵp h m trång (t) º giao ho¡n tû cõa toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng l b chn trản tẵch cĂc khổng gian p-adic _ q; t¥m Morrey câ trång B adic t¥m BMO câ trồng ! Q d p vợi biu trững khổng gian p- Vợi toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng chúng tổi tẳm ữủc mởt iãu kiằn cƯn v mởt iãu kiản ối vợi lợp h m trång (t) º cho to¡n tû n y bà ch°n trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn _ ; nhĐt câ trång MK p;q (!) v t½ch c¡c khỉng gian Herz thuƯn nhĐt cõ trồng _ ;p K (!) Hỡn núa chóng tỉi cơng ÷a ÷đc mët i·u ki»n cƯn ối vợi (t) giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng b chn trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ q trồng d vợi biu trững khổng gian Lipschitz Lip (R ) 85 Kián ngh mởt số vĐn ã nghiản cựu tiáp theo Bản cÔnh cĂc kát quÊ Â Ôt ữủc luên Ăn, mởt số vĐn ã m liản quan cƯn ữủc tiáp tửc nghiản cựu: Nghiản cựu chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng, tẵch cĂc khổng gian Herz thuƯn nhĐt cõ trồng, khổng thuƯn nhĐt, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng Nghiản cựu chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng trản tẵch cĂc khổng gian p-adic Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng, tẵch cĂc khổng gian p-adic Herz thuƯn nhĐt cõ trồng, khổng thuƯn nhĐt, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản tẵch cĂc khổng gian p-adic Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng Trữớng hủp giao hoĂn tỷ, viằc xĂc nh iãu kiằn cƯn v cho tẵnh b chn cừa giao hoĂn tỷ trản cĂc khổng gian loÔi Herz nõi chung văn l b i toĂn m CƠu họi t l vợi lợp h m biu trững n o, v vợi iãu kiằn cƯn v n o th¼ c¡c giao ho¡n tû s³ bà ch°n giúa cĂc khổng gian loÔi Herz? 86 DANH MệC CặNG TRNH KHOA HÅC CÕA T•C GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN •N Nguyen Minh Chuong, Ha Duy Hung, Nguyen Thi Hong (2016), Bounds of p adic weighted Hardy-Ces ro operators and their commutators on p adic weighted spaces of Morrey types, p-Adic Num-bers Ultrametric Analysis, and Applications, 8(1), 31-44 Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2018), Bounds of weighted multilinear Hardy-Ces ro operators in p adic functional spaces, Frontiers of Mathematics in China, 13(1), 124 Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2017), Multilinear Hardy-Ces ro Operator and Commutator on the product of Morrey-Herz spaces, Analysis Mathematica, 43(4), 547-565 87 T i li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn Minh Chữỡng, H Tián NgoÔn, Nguyạn Minh Trẵ, Lả Quang Trung (2000), Phữỡng trẳnh Ôo h m ri¶ng, NXB Gi¡o Dưc, H Nëi [2] H Duy Hững (2013), ToĂn tỷ tẵch phƠn cỹc Ôi trản trữớng a phữỡng, Luên Ăn tián sắ toĂn hồc Tiáng Anh [3] Andersen K F (2003), Boundedness of Hausdorff operators on Lp(Rn); H1(Rn) and BM O(Rn), Acta Sci Math.(Szeged), 69, 409418 [4] Alvarez J., Lakey J., Guzm¡n-Partida M (2000), Spaces of bounded -central mean oscillation, Morrey spaces, and -central Carleson mea-sures, Collect Math., 51, 1-47 [5] Baernstein A., Sawyer E (1985), Embedding and Multiplier p n Theorems for H (R ), Memoirs of the Amer Math Soc., 318 [6] Beurling A (1964), Construction and analysis of some convolution al-gebras, Ann Inst Fourier Grenoble, 14, 1-32 [7] Brown G., Mâricz F (2002), Multivariate Hausdorff operators on the spaces, J Math Anal Appl., 271, 443-454 [8] Chen J C., Fan D S., Zhang C J (2012), Multilinear Hausdorff operators and their best constants, Acta Math Sin., 28(8), 1521-1530 [9] Chen J C., Fan D S., Li J (2012), Hausdorff operators on function spaces, Chin Annal Math Ser B, 33, 537-556 [10] Chuong N M., Hung H D (2010), Maximal functions and weighted norm inequalities on Local Fields, Appl Comput Harmon Anal., 29, 272 286 88 [11] Chuong N M., Hung H D (2014), Bounds of weighted Hardy-Ces ro operators on weighted Lebesgue and BM O- spaces, Integral Trans-forms Spec Funct., 25(9), 697-710 [12] Chuong N M., Duong D V., Hung H D (2016), Bounds for the weighted Hardy-Ces ro operator and its commutator on MorreyHerz type spaces, Z Anal Anwend., 35(4), 489 504 [13] Chuong N M., Duong D V (2016), The p-Adic weighted Hardy-Ces ro operators on weighted Morrey-Herz space, p-Adic Numbers Ultrametric Anal Appl., 8(3), 65-82 [14] Coifman R R., Rochberg R., Weiss G (1976), Factorization theorems for Hardy spaces in several variables, Ann of Math., (2), 103, 611-635 [15] Dung T T (2014), Generalized weighted Hardy-Ces ro operators and their commutators on weighted Morrey spaces, J Math Anal Appl., 412, 1025-1035 [16] Edmunds D E., Evans W D (2004), Hardy operators, function spaces and embeddings Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag [17] Faris W G (1976), Weak Lebesgue spaces and quantum mechanical binding, Duke Math J., 43, 365-373 [18] Fefferman C (1971), Characterizations of bounded mean oscillation, Bull Amer Math Soc., 77 (4), 587-588 [19] Fu Z W., Liu Z G., Lu S Z., Wang H B (2007), Characterization for commutators of n-dimensional fractional Hardy operator, Sci in China Series A: Math., 50, (10), 1418 1426 [20] Fu Z W., Lu S Z (2008), A remark on weighted Hardy-Littlewood averages on Herz spaces, Advances in Math., 37, 632 636 [21] Fu Z W (2008), Central BMO estimates for commutators of n dimensional Hardy operators, J Inequal Pure Appl Math., 9(4), 5pages [22] Fu Z W., Lu S Z (2009), Commutators of generalized Hardy opera-tors, Math Nachr., 282(6), 832 845 [23] Fu Z W., Liu Z G., Lu S Z (2009), Commutators of weighted Hardy n operators on R , Proc Amer Math Soc., 137(10), 3319-3328 89 [24] Fu Z W., Lu S Z (2010), Weighted Hardy operators and commutators on Morrey spaces, Front Math China., 5(3), 531 549 [25] Fu Z W., Lu S Z., Zhao F (2011), Commutators of n dimensional rough Hardy operators, Science China Math., 54(1), 95-104 [26] Fu Z W., Grafakos L., Lu S Z., Zhao F Y (2012), Sharp bounds for m Linear Hardy and Hilbert operators, Houston J Math., 38(1), 225-244 [27] Fu Z W., Lu S Z., Yuan W (2012), A weighted variant of Riemannn Liouville fractional integral on R , Abstr Appl Anal., 2012, 18 pages [28] Fu Z W., Wu Q Y., Lu S Z (2013), Sharp estimates of p adic Hardy and Hardy-Littlewood-pâlya operators, Acta Math Sin (Engl Ser.), 29, 137-150 [29] Fu Z W., Gong S L., Lu S Z., Yuan W (2015), Weighted multilinear Hardy operators and commutators, Forum Math., 27(5), 2825 2851 [30] Grafakos L., Li X., Yang D (1998), Bilinear Operators on Herz-Type Hardy Spaces, Trans Amer Math Soc., 350(3), 1249-1275 [31] Grafakos L (2011), Multilinear operators in Harmonic analysis and partial differential equations, Kyoto University Workshop [32] Gong S., Fu Z W., Ma B (2014), Weighted multilinear Hardy operators on Herz-type spaces, The Sci World J., 2014, ArticleID 420480 [33] Hardy G H (1920), Note on a theorem of Hilbert, Math Zeit., 6(3/4): 314-317 [34] Hung H D (2014), P adic weighted Hardy-Ces ro operator and an application to discrete Hardy inequalities, J Math Anal Appl., 409, 868-879 [35] Hung H D., Ky L D (2015), New weighted multilinear operators and commutators of Hardy-Ces ro type, Acta Math Sci., Ser B, Engl Ed., 35B(6), 1411-1425 [36] John F., Nirenberg L (1961), On functions of bounded mean oscillation, Comm Pure and Appl Math., 14, 415-426 [37] Kenig C., Stein E M (1999), Multilinear estimates and fractional integration, Math Res Lett., 6, 15 90 [38] Khrennikov A Y (1994), p-adic valued distributions in mathematical physics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London [39] Kozyrev S V (2002), Wavelet analysis as a p adic spectral analysis, Izvestia Akademii Nauk, Seria Math., 66(2), 149-158 [40] Kochubei A (2014), Radial solutions of non-Archimedean pseudodifferential equations, Pacif J Math., 269, 355-369 [41] Kim Y C (2009), Carleson measures and the BMO space on the p adic vector space, Math Nachr.,, 282, 1278-1304 [42] Komori Y., Shirai S (2009), Weighted Morrey spaces and a singular integral operator, Math Nachr., 282(2), 219-231 [43] Kufner A., Maligranda L., Persson L (2006), The prehistory of the Hardy inequality, Am Math Mon., 113(8),715-732 [44] Kuang J (2008), The norm inequalities for the weighted Cesaro mean operators, Comput Math Appl., 56(10), 2588-2595 [45] Liflyand E., Moricz F (2000), The Hausdorff operators is bounded on the real Hardy space H (R), Proc Amer Math Soc., 128, 1391-1396 [46] Lerner A K., Liflyand E (2007), Multidimensional Hausdorff operators on the real Hardy space, J Aust Math Soc ,83, 79-86 [47] Muckenhoupt B., Wheeden R (1976), Weighted bounded mean oscil-lation and the Hilbert transform, Studia Math., 54(3), 221-237 [48] Liu Z G., Fu Z W (2006), Weighted Hardy-Littlewood averages on Herz spaces Acta Math Sin., 49, 1085-1090 [49] Lin X Y., Sun L J (2012), Some estimates on the Hausdorff operator, Acta Sci Math (Szeged), 78, 669 681 [50] Lu S Z., Xu L F (2005), Boundedness of rough singular integral oper-ators on the homogeneous Morrey-Herz spaces, Hokkaido Math J., 34, 299 314 [51] Rim K S., Lee J (2006), Estimates of weighted Hardy-Littlewood averages on the p adic vector space, J Math Anal Appl., 324, 1470-1477 [52] Tang C., Xue F., Zhou Y (2011), Commutators of weighted Hardy operators on Herz-type spaces, Ann Pol Math.,101(3), 267 273 91 [53] Taibleson M (1975), Fourier analysis on local fields, Math Notes, Princeton Univ Press, Princeton [54] Vladimirov V S., Volovich I V., Zelenov E I (1994), p-adic analysis and mathematical physics,World Scientific [55] Wu Q Y (2012), Boundedness for commutators of fractional p adic Hardy operators, J Ineq Appl., 2012:293 [56] Wu Q Y., Fu Z W (2017), Weighted p-adic Hardy operators and their commutators on p-adic central Morrey spaces, Bull Malays Math Sci Soc., 40, 635 654 [57] Wu Q Y., Mi L., Fu Z W (2013), Boundedness of p-adic Hardy opera-tors and their commutators on p-adic central Morrey and BMO spaces, J Funct Spaces Appl., 2013, 10 pages p [58] Xiao J.(2001), L and BMO bounds of weighted Hardy-Littlewood Av-erages, J Math Anal Appl., 262, 660-666 [59] Wu Q Y., Mi L., Fu Z W (2012), Boundedness for commutators of fractional p-adic Hardy operators, J Ineq Appl., 2012:293 [60] Wu X (2015), Necessary and sufficient conditions for generalized Haus-dorff operators and commutators, Ann Funct Anal., 6(3), 60-72 [61] Yuan W., Sickel W., Yang D (2010), Morrey and Campanato meet Besov, Lizorkin and Triebel, Lecture Notes in Math., 2005, Springer, Berlin, Germany, [62] Zhao F Y., Fu Z W., and Lu S Z (2012), Endpoint estimates for ndimensional Hardy operators and their commutators, Sci China Math., 55(10), 1977-1990 92 ... cừa trữớng số thỹc hay trữớng số p-adic khổng gian Herz thuƯn nhĐt cõ trồng trản R d khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng trản R d d khổng gian Lipschitz trản R toĂn tỷ trung bẳnh Hardy cõ... toĂn tỷ Hardy- Ces ro cõ trồng ToĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy- Ces ro câ trång To¡n tû p-adic Hardy- Ces ro câ trồng ToĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy- Ces ro cõ trång Giao ho¡n tû cõa to¡n tû Hardy- Ces... tỷ mởt số lợp toĂn tỷ tẵch phƠn loÔi Hardy v giao hoĂn tỷ trản trữớng thỹc v p-adic Chúng tổi nghiản cựu cĂc ữợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy- Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Herz
Ngày đăng: 09/10/2019, 13:57
Xem thêm:
