Luận án tập trung nghiên cứu toán tử Hardy-Cesàro, toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro và các giao hoán tử của chúng trong các không gian hàm trên trường thực và p−adic.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THỊ HỒNG TOÁN TỬ TÍCH PHÂN LOẠI HARDY VÀ CÁC GIAO HỐN TỬ CỦA CHÚNG TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Minh Chương TS Hà Duy Hưng Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Phản biện 2: PGS TS Khuất Văn Ninh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Trần Đình Kế, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một vấn đề cốt lõi giải tích điều hòa nghiên cứu tính bị chặn tốn tử T số khơng gian hàm số không gian hàm suy rộng ||T f ||Y ≤ C||f ||X , (1) với C số đó, X, Y hai khơng gian hàm hàm suy rộng với chuẩn tương ứng || · ||X ; || · ||Y Đây câu hỏi xuất cách tự nhiên nghiên cứu giải tích, lý thuyết hàm, phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn, ta xét toán tử Riesz Jα cho cơng thức hình thức Jα (f )(x) = Rd f (y) dy |x − y|d−α (2) dp Với ≤ p < αd q = d−αp Jα bị chặn từ Lp (Rd ) vào Lq (Rd ) Một áp dụng trực tiếp kết định lý nhúng Sobolev-Gagliardo-Nirenberg: không gian W 1,p (Rd ) nhúng liên tục vào Lq (Rd ), với ≤ p ≤ q ≤ p∗ , 1 p∗ = p − d Một đối tượng nghiên cứu luận án nghiên cứu (1) cho lớp toán tử tích phân giao hốn tử chúng Lớp tốn tử chứa đựng có mối liên hệ mật thiết với nhiều toán tử cổ điển quan trọng tốn tử Hardy, tốn tử cực đại Calderón, tốn tử Riemann-Lioville đường thẳng, trường hợp chiều toán tử Jα nói Các ước lượng dạng (1) thường gọi bất đẳng thức Hardy Về lịch sử, bất đẳng thức tích phân Hardy dạng rời rạc đời khoảng năm 1920, liên quan đến tính liên tục tốn tử trung bình Hardy khơng gian Lp Một động lực dẫn tới kết xuất phát từ bất đẳng thức Hilbert Nhà toán học Hilbert, nghiên cứu nghiệm số phương trình tích phân, dẫn tới tốn nghiên cứu tính hội tụ chuỗi kép ∞ ∞ a b m n dạng Trong báo năm 1915 Hardy hội n=1 m=1 m + n ∞ tụ chuỗi ∞ am an tương đương với hội tụ hai chuỗi sau m + n n=1 m=1 ∞ n=1 ∞ an An n n=1 An n , An = a1 + · · · + an Từ dẫn tới dạng tích phân kết là: hàm f thuộc Lp (R+ ), với < p < ∞ Hf thuộc Lp (R+ ), x Hf (x) = f (t)dt (3) x Năm 1920 G Hardy đưa bất đẳng thức tích phân sau ∞ x p x f (t)dt dx ≤ p p−1 p ∞ f p (x)dx (4) với < p < ∞, f hàm đo không âm (0, ∞), số nhỏ thoả mãn p p−1 số Toán tử Hardy trường hợp riêng lớp toán tử Hausdorff, xuất tốn nghiên cứu tính khả tổng cho chuỗi số, chuỗi luỹ thừa với cơng trình mang tính móng Siskakis Liflyand-Móricz Trên trường thực, tốn tử Hausdorff có dạng sau HΦ,A (f )(x) = Φ(u)f (xA(u))du (5) Rd với Φ hàm đo Rd A = A(u) = (aij (u)) ma trận cấp d×d aij (u) hàm đo theo biến u Đặc biệt, Φ(u) = χ[0,1] (u), A(u) = u HΦ,A trở thành toán tử Hardy cổ điển đề cập Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, với không gian X, Y với điều kiện Φ, ma trận A (1) với T = HΦ,A Hơn nữa, số tốt C (1) bao nhiêu? Câu hỏi thứ từ lâu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới số kết gần õy ca K Andersen, E Liflyand, F Măoricz, D.S Fan Tuy nhiên điều kiện cần tính bị chặn đưa chưa điều kiện đủ câu hỏi số tốt trường hợp khơng dễ trả lời Với câu hỏi thứ hai việc xác định số tốt ước lượng dạng (1) cho lớp toán tử trung bình có hai hướng: Thứ cho lớp tốn tử trung bình hình cầu có dạng H(f )(x) = Ωd |x|d x ∈ Rd \ {0} f (y)dy, (6) |y| −d, ta kí hiệu Wαp tập gồm tất hàm khơng âm, khả tích địa phương ω Qdp cho ω(tx) = |t|αp ω(x) với x ∈ Qdp t ∈ Qp < S0 ω(x)dx < ∞ 9 Định lí 2.1 Cho ≤ q < ∞, − 1q < λ ≤ số thực Cho ψ hàm không âm, đo Zp Khi mệnh đề sau tương đương (d+α)λ |s(t)|p (1) A := ψ(t)dt hữu hạn Zp p d (2) Uψ,s bị chặn Lq,λ ω (Qp ) p (3) Uψ,s bị chặn B˙ ωq,λ Qdp Hơn đó, p Uψ,s q,λ d d Lq,λ ω (Qp )→Lω (Qp ) p = Uψ,s B˙ ωq,λ (Qdp )→B˙ ωq,λ (Qdp ) = A (2.2) Nhận xét 2.1 Khi s(t) = t ω ≡ 1, ta thu kết Định lý 2.1 2.3 Fu, Wu(2017) Lưu ý định lý 2.1 2.3 Fu, Wu(2017) đưa kết luận với < q , Định lý 2.1 tiêu chuẩn bị chặn trường hợp q = Hệ 2.1 Tốn tử S p khơng bị chặn L1,λ (Qp ) B 1,λ (Qp ), với −1 < λ ≤ Nhận xét 2.2 Trường hợp λ = − 1q , không gian B˙ ωq,λ Qdp Lq,λ Qdp trở thành ω Lqω Qdp , chứng minh sử dụng Định lý 2.1 khơng nữa, nhiên theo kết Định lý 3.1 Hung(2014), kết luận Định lý phải bổ sung thêm điều kiện kĩ thuật |s(t)|p ≥ |t|βp với t ∈ Z∗p (có thể xem Định lý 3.1 chương 3) Bây đưa áp dụng minh hoạ cho kết vào nghiên cứu nghiệm phương trình giả vi phân p−adic Xét tốn Cauchy sau Dα u + a(|x|p )u = f (|x|p ), x ∈ Qp u(0) = 0, a, f hàm liên tục, hàm cần tìm u = u(|x|) hàm bán kính Để nghiên cứu tính giải toán trên, năm 2014, A Kochubei xét nghiệm u có dạng u = Rαp (v), Rαp có dạng Rαp f (x) − p−α = − pα−1 |y|p ≤|x|p |x − y|α−1 − |y|α−1 f (y)dy p p với f hàm khả tích địa phương Qp Tốn tử Rαp nghịch đảo phải Dα không gian hàm địa phương, có vai trò tốn tử tích 10 phân hàm Riemann-Lioville trường thực Xét ψ0 (t) = ψ1 (t) = ψ0 (1 − t) 1−p−α 1−pα−1 |1 − t|α−1 p |xp |−α Rαp f (x) = Uψp0 f (x) − Uψp1 f (x) Hệ 2.2 Giả sử < α < ≤ q < ∞ − 1q < λ < Khi Rαp xác định toán tử bị chặn từ Lq,λ (Qp ) vào Lq,λ (|x|−αq p dx, Qp ) Định lí 2.2 Nếu q, λ số thực thỏa mãn < q < ∞, ≤ λ < bị chặn CBM Oq,λ Qdp A hữu hạn Hơn nữa, ω p Uψ,s q,λ d d CBM Oq,λ ω (Qp )→CBM O ω (Qp ) d p Uψ,s = A (2.3) 2.3 Giao hốn tử toán tử p−adic Hardy-Cesàro 2.3.1 Các giao hoán tử bổ đề bổ trợ p Giao hoán tử toán tử Uψ,s đưa Hung(2014) xác định sau Định nghĩa 2.3 Cho ψ : Z → [0, ∞), s : Z → Qp , b hàm khả tích địa phương Qdp , f : Qdp → C hàm đo Giao hoán tử tốn tử p-adic p,b Hardy-Cesàro có trọng Uψ,s định nghĩa sau: p,b Uψ,s f (x) = f (s(t)x)(b(x) − b(s(t)x))ψ(t)dt (2.4) Zp Bổ đề 2.1 Giả sử b hàm thuộc CBM Oωq,λ Qdp γ, γ số nguyên Giả sử λ ∈ R cho λ ≤ d1 , < q < ∞ ω ∈ Wα , với α > −d Khi ta có bBγ ,ω − bBγ ,ω ≤ cλ pd+α |γ − γ| b CBM Oωq,λ max{ω (Bγ )λ , ω (Bγ )λ } Kí hiệu cλ = λ = (d + α) ln p · p(d+α)λ |p(d+α)λ −1| · |λ| λ = 2.3.2 Các kết Định lí 2.3 Cho q, q1 , q2 số thực cho < q < q1 < ∞, 1q = q11 + q12 − q11 < λ < Cho s : Zp → Qp hàm đo cho s(t) = hầu khắp nơi với t ∈ Zp , ω ∈ Wαp Giả sử b ∈ CBM Oωq2 Qdp Nếu A, B hữu hạn p,b giao hốn tử Uψ,s xác định toán tử bị chặn từ B˙ ωq1 ,λ Qnp vào B˙ ωq,λ Qdp Ngược lại U p,b bị chặn từ B˙ q1 ,λ Qd vào B˙ q,λ Qd B hữu hạn Ta kí ω ψ,s p ω p hiệu |s(t)|(d+α)λ · logp |s(t)|p · ψ(t)dt, p B= Zp (2.5) 11 |s(t)|(d+α)λ · logp |s(t)|p · ψ(t)dt p B = (2.6) Zp Hơn nữa, f0 f0 B˙ ωq,λ (Qdp ) q ,λ B˙ ω1 ·B · b (Qdp ) CBM Oqω2 ,λ2 (Qdp ) p,b ≤ Uψ,s q ,λ B˙ ω1 (Qdp )→B˙ ωq,λ (Qdp ) ≤ 2A + pd+α B · b CBM Oω2 (Qdp ) q Vì logp |s(t)|p số nguyên với t ∈ Zp Do |s(t)|p = hầu khắp nơi Zp B ≥ A Mặt khác |s(t)|p ≥ hầu khắp nơi với t ∈ Zp |s(t)|p ≤ hầu khắp nơi với t ∈ Zp B = B Điều suy hệ sau Hệ 2.3 Cho q, q1 , q2 số thực cho < q < q1 < ∞, 1q = q11 + q12 − q11 < λ < Cho s : Zp → Qp hàm đo thỏa mãn |s(t)|p > hầu khắp nơi t ∈ Zp |s(t)|p < hầu khắp nơi với t ∈ Zp Nếu b ∈ CBM Oωq2 Qdp p,b giao hốn tử Uψ,s xác định toán tử bị chặn từ B˙ ωq1 ,λ Qdp vào B˙ ωq,λ Qdp B hữu hạn Nhận xét 2.3 Như ta biết, giao hốn tử tốn tử Hardy nói chung "kì dị hơn" so với tốn tử Hardy tương ứng Điều không ngoại lệ trường hợp không gian tâm Morrey Thực tế, |s(t)|p < với hầu khắp nơi t ∈ Z∗p B hữu hạn kéo theo A hữu hạn Mặt khác, ví dụ sau A hữu hạn nói chung khơng thể suy B < ∞ Thật vậy, chọn s(t) = pt, ψ(t) = 1+(d+α)λ |pt|p (logp |pt|p ) , A < ∞, B = ∞ Định lí 2.4 Cho < q < q1 < ∞, 1q = q11 + q12 , − 1q < λ < 0, − q11 < λ1 < 0, < λ2 < d1 λ = λ1 + λ2 Cho s : Zp → Qp hàm đo cho s(t) = hầu khắp nơi, ω ∈ Wαp Nếu C hữu hạn với b ∈ CBM Oqω2 ,λ2 (Qdp ), giao hoán p,b tử tương ứng Uψ,s bị chặn từ B˙ ωq1 ,λ1 (Qnp ) vào B˙ ωq,λ (Qdp ) ta có p,b Uψ,s q ,λ B˙ ω1 (Qdp )→B˙ ωq,λ (Qdp ) ≤ (2 + pd+α cλ2 ) · C · b CBM Oqω2 ,λ2 (Qdp ) Ở cλ2 số xác định trong Bổ đề 2.1 max{1, |s(t)|(d+α)λ1 }|s(t)|(d+α)λ · |log |s(t)|p | ψ(t)dt p C= Zp 12 Chương TOÁN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH P -ADIC HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HỐN TỬ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM P -ADIC Trong chương chúng tơi nghiên cứu tiêu chuẩn cho tính bị chặn chuẩn tốn tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro tích khơng gian Lebesgue tích không gian kiểu Morrey Lược đồ chứng minh kết sử dụng phát triển từ lược đồ sử dụng chương trước, kết hợp với phương pháp sử dụng nghiên cứu tốn tử đa tuyến tính trường thực hay nhóm compact địa phương Bài toán tương ứng đặt cho giao hoán tử toán tử p-adic Hardy-Cesàro nghiên cứu chương Phương pháp nghiên cứu vận dụng phương pháp Coifman, Rochberg, Weiss(1976) nghiên cứu tốn tử giao hốn tử cho tích phân kì dị, tốn tử cực đại, Bên cạnh đó, thiết lập đánh giá dao động trung bình hai hàm thuộc CBM O, từ thiết lập đánh giá Lp cho toán tử tích phân loại trung bình Điểm khác biệt tốn tử tích phân kì dị, ta thường thơng qua bất đẳng thức John-Nirenberg, đánh giá trực tiếp thông qua cỏc bt ng thc tớch phõn Minkowski v Hăolder Ni dung chương dựa báo danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Đặt tốn Dựa vào phân tích phần mở đầu, chương chúng tơi nghiên cứu tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng phiên p-adic không gian hàm phiên p-adic 3.2 Chuẩn tốn tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro tích khơng gian Lebesgue tích khơng gian kiểu Morrey Để chứng minh kết chúng tơi cần số khái niệm bổ đề quan trọng sau 13 3.2.1 Một số khái niệm bổ đề Chúng giới thiệu nghiên cứa phiên p-adic tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng định nghĩa sau: n Định nghĩa 3.1 Cho m, n số nguyên dương ψ : Zp → [0; +∞), n → − s = (s1 , , sm ) : Zp → Qm p hàm đo Tốn tử đa tuyến tính p,m,n , xác định vector hàm đo p−adic Hardy-Cesàro có trọng Uψ, → − s → − f = (f1 , , fm ) : Qdp → Cm , định nghĩa sau m p,m,n Uψ, (f1 , , fm )(x) → − s = fk (sk (t)x) ψ(t)dt, n (Zp ) (3.1) k=1 − với → s = (s1 , , sm ) p p,m,n trở thành U Nhận xét 3.1 Khi m = n = 1, Uψ, → − ψ,s nghiên cứu s Hung(2014) Trong chương này, không phát biểu đề cập đến ta ln giả thiết q, α, qi , αj số thực, ≤ q < ∞, ≤ qj < ∞, αj > −d với j = 1, , m cho 1 = + ··· + , (3.2) q q1 qm qαm qα1 + ··· + (3.3) α= q1 qm Cho hàm trọng ωk ∈ Wαpk , k = 1, , m Đặt m q qk ω(x) = ωk (x), (3.4) k=1 ta có ω ∈ Wαp Định nghĩa 3.2 Cho hàm trọng ωk ∈ Wαpk , k = 1, , m Ta nói p (ω1 , , ωm ) thỏa mãn điều kiện W→ − α m ω(S0 ) ≥ q ωk (S0 ) qk (3.5) k=1 Ví dụ 3.1 Cho hàm trọng ωk ∈ Wαpk , k = 1, , m với ωk (x) = |x|αp k với p k = 1, , m (ω1 , , ωm ) thỏa mãn điều kiện W→ − α Trong toàn chương này, s1 , , sm hàm đo từ Zp − ta kí hiệu → s vectơ (s1 , , sm ) n vào Qp 14 Bổ đề ví dụ cho hàm thuộc không gian Lrω (Qdp ) Bổ đề 3.1 Cho ω ∈ Wα , α > −d γ > Khi đó, hàm 0 |x|p < d+α fr,γ (x) = |x|− r − γ |x| ≥ p p ω(S0 ) − p−r/γ thuộc Lrω (Qdp ) ||fr,γ ||Lrω (Qdp ) = 1/r > 3.2.2 Các kết Các kết mục Định lý 3.1, 3.2, 3.3 p tồn Định lí 3.1 Giả thiết (ω1 , , ωm ) thỏa mãn điều kiện W→ − α số β > thỏa mãn |sk (t1 , , tn )|p ≥ min{|t1 |βp , , |tn |βp } với n k = 1, , m với (t1 , , tn ) ∈ Zp hầu khắp nơi Khi tồn số C cho bất đẳng thức sau m p,m,n ||Uψ, (f1 , , fm )||Lqω (Qdp ) → − s ≤C ||fk ||Lqωk (Qdp ) k (3.6) k=1 với hàm đo f1 , , fm m A := n (Zp ) − |sk (t)|p d+αk qk ψ(t)dt < ∞ (3.7) k=1 Hơn nữa, p,m,n Uψ, → − s q d Lω11 (Qdp )×···×Lqωm m (Qp ) = A Nhận xét 3.2 Với m = n = ta nhận Định lý 3.1 Hung(2014) Lưu ý bất đẳng thức (13) cho hai dãy số thực không âm, hệ trực tiếp Định lý 3.1 Hung(2014) Định lí 3.2 Cho ≤ q, qk < ∞, λ, αk , λk số thỏa mãn (3.2), (3.3) cho − q1k < λk < với k = 1, , m Giả sử (ω1 , , ωm ) thỏa mãn điều p kiện W→ Đặt − α d + α1 d + αm λ= λ1 + · · · + λm d+α d+α Giả thiết m B= k )λk |sk (t)|(d+α ψ(t)dt < ∞, p n (Zp ) k=1 (3.8) 15 (ω(B0 )) 1+λq q m ≥ (ωk (B0 )) 1+λk qk qk , (3.9) k=1 với B0 hình cầu {x ∈ Qdp : |x|p ≤ 1} Tồn số C cho bất đẳng thức sau m p,m,n ||Uψ, (f1 , , fm )||Lq,λ → − d s ω ( Qp ) ||fk ||Lqωk ,λk (Qd ) , ≤C k=1 k (3.10) p với hàm đo f1 , , fm Hơn số tốt C (3.10) B Định lí 3.3 Cho q, qk , λ, αk , λk số thỏa mãn điều kiện Định lý 3.2 điều kiện (3.2), (3.3) thỏa mãn Giả sử (ω1 , · · · , ωm ) p,m,n p xác định toán tử bị chặn Khi U thỏa mãn điều kiện W→ − − ψ,→ s α từ B˙ q1 ,λ1 (Qd ) × · · · × B˙ qm ,λm (Qd ) vào B˙ q,λ (Qd ) Hơn nữa, ω1 p ωm p ω p p,m,n ||Uψ, ||B˙ ωq1 ,λ1 (Qd )×···×B˙ ωqm ,λm (Qd )→B˙ ωq,λ (Qd ) → − s m p p p = B (3.11) Nhận xét 3.3 Trường hợp m = n = từ Định lý 3.2 3.3 ta thu Định lý 2.1 chương luận án 3.3 Tính bị chặn giao hốn tử tốn tử song tuyến tính Hardy- Cesàro có trọng Trên trường p−adic, giao hốn tử tốn tử tích phân kiểu Hardy nghiên cứu tác Fu, Lu, Wu, Chuong, Hung, Ở chúng tơi nghiên cứu giao hốn tử tốn tử song tuyến tính p-adic Hardy- Cesàro p,2,n q d Q có trọng Uψ, với biểu trưng CM O → − ω p s 3.3.1 Các giao hốn tử bổ đề bổ trợ Chúng tơi định nghĩa giao hoán tử toán tử song tuyến tính p-adic Hardy- Cesàro có trọng sau: n n Định nghĩa 3.3 Cho n ∈ N, ψ : Zp → [0, ∞), s1 , s2 : Zp → Qp , b1 , b2 , hàm khả tích địa phương Qdp f1 , f2 : Qdp → C hàm đo p,n Giao hốn tử tốn tử song tuyến tính p-adic Hardy- Cesàro có trọng Uψ, → − s định nghĩa sau: → − p,n, b Uψ,→ (f1 , f2 )(x) − s = k=1 (3.12) (bk (x) − bk (sk (t)x)) ψ(t)dt fk (sk (t)x) n (Zp ) = k=1 16 Đặt C2 = k )λk |sk (t)|(d+α p n (Zp ) k )λk |sk (t)|(d+α p n (Zp ) (3.13) k=1 D2 = ψ(t)dt logp |sk (t)|p k=1 ψ(t)dt (3.14) k=1 Nhận xét 3.4 D2 < ∞ không suy C2 < ∞ Nhận xét 3.5 Ngược lại, C2 < ∞ không suy D2 < ∞ 3.3.2 Các kết Định lí 3.4 Cho < q < qk < ∞, < pk < ∞, − p1k < λk < 0, k = 1, cho 1 1 = + + + , q q q2 p1 p2 q q q1 + p1 λ = λ1 + λ2 Giả thiết ω(x) = ω1 ω(B0 ) 1+λq q · ω2 ≥ q q q + p2 ωk (B0 ) ;α = 1+λk qk + p1 qk k qα1 q1 qα2 qα2 + qα + + p1 q2 p2 k=1 (i) Nếu C2 D2 hữu hạn với hàm b = (b1 , b2 ) ∈ CBM Oωp11 (Qdp )× → − p,n, b p2 d CBM O (Q ) U → bị chặn từ B˙ q1 ,λ1 (Qd ) × B˙ q2 ,λ2 (Qd ) vào B˙ q,λ (Qd ) − ω2 p ω1 ψ, s (ii) Nếu với b = (b1 , b2 ) ∈ chặn từ B˙ q1 ,λ1 (Qd ) × B˙ q2 ,λ2 (Qd ) vào ω1 p ω2 p p ω2 p ω p CBM Oωp11 (Qdp ) × CBM Oωp22 (Qdp ), B˙ ωq,λ (Qdp ) D2 hữu hạn → − p,n, b Uψ,→ − s bị Hệ 3.1 Let < q < qk < ∞, < pk < ∞, − p1k < λk < 0, k = 1, cho 1 1 = + + + q q q2 p1 p2 λ = λ1 + λ2 Hơn giả thiết |sk (t)|p > hkn với t ∈ Zp n → − p,n, b Uψ,→ − s |sk (t)|p < hkn với t ∈ Zp với k = 1, Khi B˙ ωq11,λ1 (Qdp ) × B˙ ωq22,λ2 (Qdp ) vào B˙ ωq,λ (Qdp ) D2 hữu hạn n bị chặn từ Thật vậy, |x|p > nên |x|p ≥ p, ta có D2 ≥ (log p) C2 Vậy hệ 3.1 suy trực tiếp từ Định lý 3.4 17 Chương TOÁN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HỐN TỬ TRÊN TÍCH CÁC KHƠNG GIAN LOẠI HERZ Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro tích khơng gian Herz tích khơng gian Morrey-Herz Đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu toán Tiếp theo sử dụng phương pháp Xiao(2001) vận dụng nhiều cơng trình khác Fu, Wu, Hung, Ky , kĩ thuật từ giải tích đa tuyến tính, chúng tơi thu tính bị chặn tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro tích khơng gian Herz tích khơng gian Morrey-Herz Cuối dựa vào phương pháp biến thực Coifman-Rochberg-Weiss(1976), phương pháp đánh giá giải tích đa tuyến tính, lược đồ nghiên cứu hình thành Fu, Gong, Lu, Yawn, đặc biệt Hung, Ky, chúng tơi chứng minh giao hốn tử tốn tử bị chặn từ tích khơng gian tâm Morrey vào không gian tâm Morrey với biểu trưng không gian Lipschitz Nội dung chương dựa báo danh mục cơng trình cơng bố 4.1 Đặt vấn đề Bài tốn đặt nghiên cứu tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng tích khơng gian Herz khơng gian Morrey-Herz Dưới định nghĩa toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng đưa Hung Ky(2015) Cho m, n ∈ N, ψ : [0, 1]n → [0, ∞), s1 , , sm : [0, 1]n → R hàm đo m,n , định nghĩa Toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng Uψ, → − s m,n Uψ, → − s m → − f (x) = fk (sk (t)x) ψ(t)dt, [0,1]n k=1 → − − với f = (f1 , , fm ), → s = (s1 , , sm ) (4.1) 18 4.2 Tính bị chặn tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro tích khơng gian Herz Morrey-Herz 4.2.1 Một số khái niệm bổ đề Chúng nhắc lại định nghĩa lớp hàm trọng giới thiệu Chuong Hung(2014) Định nghĩa 4.1 Cho γ số thực Đặt Wγ tập tất hàm ω xác định Rd , hàm đo thỏa mãn ω(x) > hầu khắp nơi với x ∈ Rd , < ω(y)dσ(y) < ∞, hàm tuyệt đối bậc γ , nghĩa Sd ω(tx) = |t|γ ω(x), với t ∈ R \ {0}, x ∈ Rd Wγ chứa tất hàm trọng lũy thừa ω(x) = |x|γ Chú ý W = γ Để cho thuận tiện đưa vài kí hiệu chung cho mục Cho β > 0, γ, α, α1 , , αm số thực, γ1 , , γm > −d, < p < ∞, ≤ q < ∞, ≤ pi , qi < ∞ với i = 1, , m λ, λ1 , , λm ≥ thỏa mãn α1 + α2 + · · · + αm = α, p11 + p12 + · · · + p1m = p1 , q11 + q12 + · · · + q1m = 1q , γ1 γ2 γm γ d + + · · · + = , λ + λ + · · · + λ = λ S = {x ∈ R : |x| = 1} m d q1 q2 qm q d Sd = 2π Γ( d2 ) Các hàm ωi thuộc vào lớp Wγi với i = 1, , m, đặt m ω(x) = q qi ωi (x) (4.2) i=1 Với cách định nghĩa ω ta thấy ω ∈ Wγ Bổ đề 4.1 Cho p ≥ (fk )k≥1 hàm không âm đo [0, 1]n Khi ta có ∞ fk (t)dt k=1 [0,1]n fkp (t) ≤ [0,1]n α,λ Bổ đề 4.2 Nếu f ∈ M K˙ p,q (ω) f χk 1/p ∞ p q,ω p dt k=1 ≤ 2k(λ−α) f α,λ M K˙ p,q (ω) 4.2.2 Các kết Định lí 4.1 (i) Cho s1 (t), , sm (t) = hầu khắp nơi [0, 1]n m −αi − A1 = |si (t)| [0,1]n i=1 d+γi qi +λi ψ(t)dt < ∞ (4.3) 19 Giả sử ≤ p < ∞ < p < số λ1 , , λm dương m − m,n → Uψ, ( f) → − s α,λ M K˙ p,q (ω) → − · A1 · ≤ C→ − α,λ fi i=1 α ,λ M K˙ pii,qii (ωi ) (4.4) với → − = C→ − α,λ m 2|αk −λk | + k=1 2λ (2λp −1)1/p m ≤ p < ∞ 2|αk −λk | + < p < λ > k=1 (ii) Ngược lại cho < p < ∞, < λi < ∞ với i = 1, , m Giả sử m m,n M K˙ αi ,λi (ωi ) vào M K˙ α,λ (ω) U → − xác định toán tử bị chặn từ ψ, s p,q pi ,qi i=1 (4.3) m,n Uψ, → − s m i=1 α ,λ α,λ M K˙ pii,qii (ωi )→M K˙ p,q (ω) → −, ≥ A1 · D→ − α,λ (4.5) với m → − D→ − α,λ = m (2λi pi −1)1/pi · i=1 (2λp −1)1/p (1−2 −q(λ−α) m (qi (λi −αi ))1/qi 1/q ) (1−2−qi (λi −αi ) )1/qi · (ω(Sd )) · i=1 (q(λ−α))1/q 1/q m (ωi (Sd )) i=1 1/qi i=1 Định lí 4.2 (i) Nếu ≤ p < ∞, s1 (t), , sm (t) = hầu khắp nơi [0, 1]n m − A2 = |si (t)| [0,1]n ψ(t)dt < ∞, (4.6) i=1 − m,n → Uψ, ( f ) K˙ qα,p (ω) → − s d+γi qi −αi m m 2|αk | + · ≤ A2 · fi α ,p K˙ qii i (ωi ) (4.7) i=1 k=1 m,n (ii) Giả sử |si (t1 , , tn )| ≥ min{tβ1 , , tβn } với i = 1, , m Uψ, bị → − s m chặn từ i=1 K˙ qαii ,pi (ωi ) vào K˙ qα,p (ω) (4.6) m,n Uψ, → − s m i=1 α ,p K˙ qii i (ωi )→K˙ qα,p (ω) − ≥ A2 · E→ α, (4.8) − E→ α = (mp)1/p m i=1 1/pi pi · 2qα − qα m 1/q · i=1 q i αi 2qi αi − (ω(Sd ))1/q 1/qi · m i=1 (ωi (Sd ))1/qi 20 Nhận xét 4.1 Khi α1 = · · · = αm = ta thu tính bị chặn chuẩn tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro tích khơng gian Lebesgue Tuy nhiên kết không tốt kết thu Hung, m,n từ Ky(2015) Trong Định lí 3.1 Hung, Ky(2015) chuẩn Uψ, → − s Lpω11 × ··· × Lpωmm vào Lpω m − |si (t)| xác [0,1]n d+γi qi −αi ψ(t)dt i=1 Nhận xét 4.2 Từ kết Định lý 4.2 suy ra, trường hợp tồn số dương β cho |si (t1 , , tn )| ≥ min{tβ1 , , tβn } với i = 1, , m (lưu ý trường hợp tốn tử Hψm điều kiện tự động thoả mãn), m,n Uψ, → − s m xác định toán tử bị chặn từ i=1 α,λ (ω) M K˙ pαii,q,λi i (ωi ) vào M K˙ p,q điều kiện cần đủ A2 hữu hạn Hệ này, chứa hai kết Định lý Định lý Gong, Fu Ma(2014), để thu điều kiện cần, tác giả phải giả thiết α1 = · · · = αm , p1 = · · · = pm q1 = · · · = qm , nhiên kết chúng tơi khơng cần có giả thiết Tương tự cho kết Morrey-Herz, kết thu Định lý 4.1 thực làm mạnh kết trước Gong, Fu Ma Nhận xét 4.3 Định lý 4.1 xem xét trường hợp < p < 1, ý tưởng tiếp cận trường hợp tham khảo từ công trình J Kuang(2008), tác giả đánh giá chuẩn tốn tử Vψ khơng gian Herz Chính kết chúng tơi mở rộng mạnh với kết tương ứng thu Gong, Fu, Ma(2014) mở rộng cho trường hợp đa tuyến tính cơng trình Kuang, Liu, Fu, Chuong, Duong, 4.3 Giao hoán tử tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro m,n , theo nghĩa Giao hốn tử tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro Uψ, → − s Coifmann-Rochberg-Weiss, xác định sau → − m,n, b Uψ,→ − s m → − f (x) := m (bk (x) − bk (sk (t)x)) ψ(t)dt fk (sk (t)x) [0,1]n k=1 k=1 (4.9) Dựa theo ý tưởng Tang, Xue, Zhou(2011), xem xét biểu trưng thuộc lớp hàm Lipschitz, xác định sau Định nghĩa 4.2 Giả sử < β < Không gian Lipschitz Lipβ (Rn ) tập tất hàm f : Rn → C cho |f (x) − f (y)| ||f ||Lipβ (Rn ) := sup < ∞ (4.10) β n |x − y| x,y∈R ,x=y 21 4.3.1 Các kết Định lí 4.3 Cho αi > −d, ≤ q ≤ qi < ∞, ≤ ri , ≤ pi < ∞, < βi < 1, < β < 1, ≤ λi , λ ≤ với i = 1, , m, α = α1 + · · · + αm > −d, β = β1 +· · ·+βm , λ = λ1 +· · ·+λm , p1 = p11 +· · ·+ p1m , 1q = q11 +· · ·+ q1m + r11 +· · ·+ r1m Giả thiết bi ∈ Lipβi ωi thỏa mãn (4.2) với i = 1, , m Các hàm s1 (t), , sm (t) = hầu khắp nơi t ∈ [0, 1]n cho m − |si (t)| [0,1]n d+γi qi +λi −αi |1 − si (t)|βi ψ(t)dt < ∞ (4.11) i=1 → − m,n, b Uψ,→ − s giao hốn tử xác định toán tử bị chặn từ M K˙ pα11,q,λ11 (ω1 ) × · · · × α ,λ M K˙ pαmm,q,λmm (ωm ) vào M K˙ p,q (ω) < p < λ > ≤ p < ∞ λ ≥ Giả thiết m m α =α− βi − i=1 i=1 Khi m = n = 1, ω1 = 1, s1 (t) ≡ t → − 1,1, b Uψ,→ − s d + γi ri (4.12) = Uψb , ta thu kết sau: Hệ 4.1 Cho ψ : [0; 1] → [0; ∞) hàm đo được, < β < 1, b ∈ Lipβ (Rd ), ≤ q2 ≤ q1 < ∞ Nếu A= t − γ1 −λ− qd (1 − t)β ψ(t)dt < ∞, (4.13) α1 ,λ α2 ,λ Uψb bị chặn từ M K˙ p,q vào M K˙ p,q , với α1 = α2 + β + d q2 − q1 Nhận xét 4.4 Trong Tang, Xue, Zhou(2011), để thu tính bị chặn Uψb γ1 ,λ γ2 ,λ từ M K˙ p,q vào M K˙ p,q , tác giả cần điều kiện đủ hàm ψ là: C= t − γ1 −λ− qd ψ(t)dt < ∞ Tuy nhiên với ≤ t ≤ A ≤ C Thật vậy, chọn ψ(t) = t , (1−t)1+β/2 γ1 − λ − qd1 = suy C = ∞ A < ∞ Vậy kết thu tốt so với kết Tang, Xue, Zhou 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Trong luận án chúng tơi nghiên cứu tính bị chặn tốn tử loại Hardy giao hốn tử số không gian hàm Luận án đạt kết sau: d • Tìm chuẩn tốn tử p-adic Hardy-Cesàro có trọng Lq,λ ω (Qp ), B˙ ωq,λ Qdp CM Oq,λ Qdp Đồng thời đưa điều kiện cần điều ω p,b kiện đủ ψ(t) để Uψ,s bị chặn B˙ ωq,λ Qdp với biểu trưng Qdp CM Oq,λ ω • Tìm chuẩn tốn tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro có trọng d ˙ q,λ Qdp Đồng thời đưa tích không gian Lqω (Qdp ), Lq,λ ω (Qp ) Bω điều kiện cần điều kiện đủ ψ(t) để giao hoán tử bị Qdp chặn tích khơng gian B˙ ωq,λ Qdp với biểu trưng CM Oq,λ ω • Đưa điều kiện cần điều kiên đủ lớp hàm trọng ψ(t) toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng bị chặn tích α,λ (ω), K˙ qα,p (ω) Hơn đưa không gian M K˙ p,q điều kiện cần ψ(t) để giao hoán tử chúng bị chặn tích α,λ khơng gian M K˙ p,q (ω) với biểu trưng Lipβ (Rd ) Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu chuẩn tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng tích không gian kiểu Herz nhất, không có trọng, giao hốn tử tích khơng gian Morrey-Herz có trọng • Nghiên cứu chuẩn tốn tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro có trọng tích khơng gian p-adic kiểu Herz nhất, khơng có trọng, giao hốn tử tích khơng gian p-adic Morrey-Herz có trọng DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1) Nguyen Minh Chuong, Ha Duy Hung, Nguyen Thi Hong (2016), Bounds of p−adic weighted Hardy-Cesàro operators and their commutators on p−adic weighted spaces of Morrey types, p-Adic Numbers Ultrametric Analysis, and Applications, 8(1), 31-44 2) Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2018), Bounds of weighted multilinear Hardy-Cesàro operators in p−adic functional spaces, Frontiers of Mathematics in China, 13(1), 1-24 3) Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2017), Multilinear Hardy-Cesàro Operator and Commutator on the product of MorreyHerz spaces, Analysis Mathematica, 43(4), 547-565 Các kết luận án báo cáo tại: • Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017 • Seminar "Tốn tử giả vi phân, sóng nhỏ, giải tích điều hòa trường thực, p-adic" Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam • Đại hội tốn học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 08/2018 ... nghiên cứu luận án nghiên cứu (1) cho lớp tốn tử tích phân giao hoán tử chúng Lớp toán tử chứa đựng có mối liên hệ mật thiết với nhiều toán tử cổ điển quan trọng toán tử Hardy, tốn tử cực đại... 2.3 Giao hoán tử toán tử p−adic Hardy- Cesàro 2.3.1 Các giao hoán tử bổ đề bổ trợ p Giao hoán tử toán tử Uψ,s đưa Hung(2014) xác định sau Định nghĩa 2.3 Cho ψ : Z → [0, ∞), s : Z → Qp , b hàm. .. p-adic vài ví dụ 1.3 Các khơng gian hàm Trong phần này, nhắc lại số không gian hàm cần dùng luận án như: Không gian Lebesgue, không gian Herz, không gian Morrey-Herz, không gian BMO, không gian