Phương trình đại số lyapunov và một số tính chất liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THANH NGA PHUƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LYAPUNOV VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THANH NGA PHUƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LYAPUNOV VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Bình Minh Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Phương trình Lyapunov lý thuyết ổn định phương trình vi phân 1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục 1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục 10 2.1 Các phương pháp vectơ hóa 10 2.1.1 Phương pháp Bellman (1959) 11 2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963) 12 2.1.3 Phương pháp Bingulac (1970) 16 2.2 Phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận 19 2.3 Phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng 21 Các tính chất nghiệm phương trình Lyapunov 3.1 24 Đánh giá nghiệm 24 3.1.1 Đánh giá giá trị riêng 24 3.1.2 Ví dụ minh họa 25 3.2 Đánh giá vết 28 3.3 Đánh giá định thức 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học khoa học Tự Nhiên Hà Nội, hướng dẫn TS Hà Bình Minh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc công việc, gần gũi sống thầy giúp cho tơi có niềm tin, ý thức trách nhiệm tâm cao để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình bạn bè, người đồng hành, hết lịng động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn! Học viên Phạm Thanh Nga LỜI MỞ ĐẦU Phương trình ma trận Lyapunov tựa Lyapunov xuất nhiều tư tưởng toán học kỹ thuật khác lý thuyết điều khiển, lý thuyết hệ thống, tối ưu hóa, hệ thống điện, xử lý tín hiệu số, đại số tuyến tính, phương trình vi phân Theo định nghĩa Lyapunov ổn định (hay gọi ổn định theo tư tưởng Lyapunov), người ta kiểm tra ổn định hệ thống cách xác định hàm Lyapunov Trong toán học, hệ thống tuyến tính xử lý dễ dàng ta biểu diễn xấp xỉ tuyến tính cho hệ thống phi tuyến, kết phân tích nhà toán học kỹ thuật thường dựa vào mơ hình tuyến tính Vì vậy, nghiệm phương trình ma trận Lyapunov cho hiểu sâu cách thức hoạt động hệ thống động lực học Phương trình Lyapunov ứng dụng khơng nghiên cứu tính ổn định hệ thống tuyến tính mà cịn ứng dụng toán điều khiển toán lý thuyết hệ thống dựa vào phương trình Lyapunov phương trình tựa Lyapunov: khái niệm Grammian điều khiển quan sát(Chen, 1984), phép biến đổi cân bằng(Moore, 1981), tăng cường tính ổn định để biến đổi tham biến(Patel Toda, 1980; Yedavalli, 1985), nghiên cứu giảm bậc mô hình giảm bậc điều khiển(Hyland Bernstein, 1985, 1986; Bernstein Hyland, 1985; Safonov Chiang, 1989), cấu trúc thay đổi không gian lớn(Balas, 1982), thiết kế dự tốn(Chen, 1984) Trong luận văn này, tơi giới thiệu phương pháp giải phương trình ma trận Lyapunov phương pháp giải gần cho hệ thống thời gian liên tục Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Phương trình Lyapunov lý thuyết ổn định phương trình vi phân Trong chương này, tơi giới thiệu tính ổn định hệ tuyến tính, đồng thời đưa chứng minh cụ thể định lý tính ổn định tiệm cận, ví dụ minh họa Chương Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Trong chương này, tơi trình bày phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Đó phương pháp: vectơ hóa, sử dụng hàm mũ ma trận phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng Chương Các tính chất nghiệm phương trình Lyapunov Trong chương này, tơi trình bày nội dung sau: đánh giá nghiệm, đánh giá vết đánh giá định thức DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Rn×n tập ma trận cấp n × n ||x|| chuẩn phần tử x λi giá trị riêng y = (y1 , y2 , · · · , yn )T vectơ riêng không gian Rn tr(A) vết ma trận A det(A) định thức ma trận A Chương Phương trình Lyapunov lý thuyết ổn định phương trình vi phân Theo lý thuyết ổn định Lyapunov (Lyapunov 1892), ổn định hệ động lực xác định hàm vô hướng gọi hàm Lyapunov Hàm Lyapunov áp dụng cho hệ tuyến tính phi tuyến, miền liên tục miền rời rạc theo thời gian 1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục Xét hệ tuyến tính, liên tục, bất biến theo thời gian mơ tả phương trình sau x˙ = Ax(t), x(t0 ) = x0 , (1.1) x(t) véctơ trạng thái, x(t) ∈ Rn , A ma trận khơng gian Rn×n Định nghĩa 1.1 Hệ động lực tuyến tính (1.1) gọi ổn định tiệm cận tất giá trị riêng ma trận A nằm trọn nửa trái mặt phẳng phức Lý thuyết ổn định Lyapunov xây dựng sau Định lý 1.1 Điểm cân x = hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) ổn định tiệm cận tồn hàm khả vi vô hướng liên tục V (x) thỏa mãn điều kiện sau: V (x) ≥ 0, V (x) = x = dV ∂V dx V˙ (x) = = < dx ∂x dt (1.2) (1.3) Đối với hệ động lực động lực tuyến tính (1.1), có nhiều cách chọn hàm Lyapunov Cách đơn giản chọn hàm Lyapunov có dạng tồn phương Giả sử rằng, với Q ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình đại số Lyapunov (gọi tắt phương trình Lyapunov) sau AT P + P A + Q = có nghiệm P đối xứng, xác định dương Khi đó, ta xây dựng hàm Lyapunov dạng sau: V (x) = xT P x Ta kiểm tra V (x) = xT P x hàm Lyapunov thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1 Thật • V (x) = xT P x ≥ 0, P ma trận xác định dương • V (x) = x = 0, P ma trận xác định dương • Tính V˙ (x), ta có: V˙ (x) = (x) ˙ T P x + xT (P x) ˙ = xT AT P x + xT P Ax = xT (AT P + P A)x = −xT Qx < 0, (do Q ma trận xác định dương) Như vậy, tính ổn định tiệm cận hệ (1.1) liên quan đến tồn nghiệm đối xứng, xác định dương phương trình Lyapunov Từ ta có kết sau: Định lý 1.2 Hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) ổn định tiệm cận với Q = QT > tồn nghiệm P = P T > phương trình Lyapunov sau AT P + P A + Q = Định lý 1.2 mở rộng cho trường hợp Q = C T C ≤ Ở không cần thiết Q > Trong trường hợp hệ (1.1) ổn định tiệm cận cặp (A, C) quan sát phương trình đại số Lyapunov có nghiệm P = P T > Tính quan sát cặp (A, C) kiểm tra cách dễ dàng nhờ vào tiêu chuẩn Kalman 1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc Cho hệ tuyến tính rời rạc bất biến theo thời gian x(k + 1) = Ax(k), x(k0 ) = x0 (1.4) Đối với hệ động lực động lực rời rạc (1.4), ta chọn hàm Lyapunov có dạng tồn phương sau Giả sử rằng, với Q ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình đại số Lyapunov rời rạc sau AT P A − P + Q = có nghiệm P đối xứng, xác định dương Khi đó, ta xây dựng hàm Lyapunov dạng sau: V (k) = x(k)T P x(k) Ta kiểm tra V (x) = x(k)T P x(k) hàm Lyapunov Thật • V (k) = x(k)T P x(k) ≥ 0, P ma trận xác định dương Vectơ riêng AT A   σ5 = 3.97        σ4 = 54.47,    σ3 = 4185.27,       σ2 = 5547.94,      σ1 = 82623.69 Theo Định lý (3.1), ta có λmin P = α5 ≥ βn 2σ1 = 1 2σ1 = 0.00174 λmax P = 1 2σ1 = 0.00174 Ta kiểm tra bất đẳng thức cách tính giá trị riêng P : α5 = 0.0026, α4 = 0.0072, α3 = 0.0172, α2 = 0.1115, α1 = 0.3473 Bất đẳng thức thỏa mãn Định lý 3.2 Giả sử A < Q > Khi đó, giá trị riêng lớn bé ma trận nghiệm P (2.1) thỏa mãn λmax (Q) λmin (Q) ≤ λ (P ) ≤ , |λmin (A + AT )| 2| min{Re{λ(A)}}| λmin (Q) λmax (Q) ≤ λmax (P ) ≤ , 2| max{Re{λ(A)}}| |λmax (A + AT )| (3.1) (3.2) λmax (A + AT ) < Chứng minh Nhân hai vế phương trình (2.1) với vectơ riêng A, tức x∗ (AT P + P A)x = −x∗ Qx ∗ dùng để mơ tả liên hợp phức Khi đó, có 2Re{λ(A)}x∗ P x = −x∗ Qx Theo tính chất cực đại thương Rayleigh, ta có λmin (P ) ≤ λmax (Q) , 2| min{Re{λ(A)}}| λmax (P ) ≥ 26 λmin (Q) 2| max{Re{λ(A)}}| Phần bất đẳng thức (3.1) (3.2) chứng minh cách sử dụng lập luận với µ > vectơ y = 0, hệ thức P y = µy đưa (2.1) dạng µy ∗ (A + AT )y = −y ∗ Qy Chọn µ = λmax (P ), phương trình sau dẫn đến cận cho (3.2) Nếu chọn µ = λmin (P ) dẫn đến cận (3.1) Chú ý cận (3.2) λmax (A + AT ) < Ví dụ 3.2 Xét mơ hình tốn học có ma trận  −0.2 0.5 0   −0.5 1.6   A= −14.28 85.71    0 −25  0 0         75   −10 Sử dung MATLAB ta thu λmin (A + AT ) = −152.0743, λmax (A + AT ) = 77.2679, min{Re{λ(A)}} = −25, λmin (P ) = 0.0110, max{Re{λ(A)}}, λmax (P ) = 34.8851 Theo Định lý 3.2 ta có 0.0066 ≤ λmin (P ) ≤ 0.02, 2.5 ≤ λmax (P ) Chú ý λmax (A + AT ) > 0, nên cận (3.2) không áp dụng Định lý 3.3 Giá trị riêng nghiệm phương trình (2.1) đánh sau sau: Khi k λk (P ) ≤ k (−1)λi (AT + A) (Q) i=1 −1 i=1 k λi (AT + A) < k = 1, 2, · · · , n, i=1 27 k k λi (P ) ≥ i=1 i=1 k λi (Q) k λi (AT + A) −1 λ(AT + A) < 0, k = 1, 2, · · · , n i=1 Ví dụ 3.3 Tìm giới hạn giá trị riêng P cho (2.1) với  −2  A=  −1 −2   −1  , −1 Q = I3 Giải P , ta tính được: λmax (P ) = λ1 (P ) = 0.5461, λ2 (P ) = 0.2642, λ3 (P ) = λmin (P ) = 0.2281 Sử dụng công thức Định lý 3.3 ta có đánh giá sau:    λ1 ≤ 0.6306    λ2 ≤ 0.3581     λ3 ≤ 0.3000 So sánh với kết xác, đánh giá thu tốt ví dụ 3.2 Đánh giá vết Những định lý cho ta đánh giá vết ma trận P Định lý 3.4 Vết ma trận đối xứng xác định dương P cho bất đẳng thức sau: (i) tr(P ) ≥ − tr(Q) , 2tr(A) (Patel Toda, 1978) n2 |Q| n (ii) tr(P ) ≥ − , 2tr(A) (Mori, 1985) λmin (Q)n2 , (Kwon et al, 1985) 2tr(A) |Q| định thức ma trận Q (iii) tr(P ) ≥ − 28 Ví dụ 3.4 Cho  −0.015    A=  −2.28  0.6 0.0805 −0.0011666 0 −0.84 −4.8   0.0333      −0.49 Q = I4 Sử dụng phương pháp giải phương trình Lyapunov chương trước ta thu  248.737   6.211  P =  −1.655  −0.904 6.211 −1.655 −0.904 272.719 −8.428 −8.428 2.318 1.501 −0.301   1.501   ; −0.301   0.508 tr(P ) = 524.282 Theo Định lý 3.4 ta có: • tr(P ) ≥ − tr(Q) = = 1.487 2tr(A) 0.15 + 0.84 + 0.49 n2 |Q| n = 5.948 • tr(P ) ≥ − 2tr(A) • tr(P ) ≥ 5.948 Nếu chọn Q1 = diag{1, 2, 3, 4}, ta có tr(P1 ) = 1722.6 Theo Định lý 3.4 ta có: • tr(P1 ) ≥ 3.718 • tr(P1 ) ≥ 13.166 • tr(P1 ) ≥ 5.948 Định lý 3.5 (Wang et al., 1986) Cho As = A+AT P có cận xác định sau: (i) tr(P ) ≤ −tr(Q) 2λmax (As ) λmax (As ) < 0, (ii) tr(P ) ≥ −tr(Q) 2λmin (As ) λmin (As ) < 0, 29 Khi vết ma trận (iii) tr(P ) ≥ −tr(Q) 2tr(A) Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề Bổ đề 3.1 Giả sử X, Y ∈ Rn×n đối xứng Y ≥ 0, λmin (X)tr (Y ) ≤ tr (XY ) ≤ λmax (X)tr (Y ) Từ (2.1), ta có tr (AT P ) + tr (P A) = −tr (Q) Đặt 2As = AT + A, tr (AT P ) + tr (P A) = 2tr (P As ) = −tr (Q) Theo Bổ đề 3.1, ta có 2tr (P )λmax (As ) ≥ −tr (Q) 2tr (P )λmin (As ) ≤ −tr (Q) Vậy (i) (ii) chứng minh Hơn λmin (As ) > tr (As ) với λmin (As ) < 0, 2tr (A) = tr (As ) nên (iii) chứng minh Định lý 3.6 Cho ma trận P , A Q phương trình (2.1) Khi n − i=1 λi (Q) ≥ tr(P ) ≥ − λi (AT + A) n λi2 (Q) i=1 , 2tr(A) λ1 (A + AT ) < Ví dụ 3.5 Cho  −0.173 0.06341 0   0.5390    A=      −1.173 0.6341 0 0.5390 −1.173 0.6341 0 0.05390 −1.173 0.6341 0 0.5390 −1.173 0 0.5390 30       ;    0.6341   −1.173 Giá trị riêng ma trận As xác định dương, cận đưa Định lý 3.5 ứng dụng Với Q = I, Định lý 3.5 cho đánh giá sau: 1.2453 ≤ tr(P ) ≤ 25.8509, Định lý 3.6 cho đánh giá 2.5575 ≤ tr(P ) ≤ 6.8236 Trên thực tế tr(P ) = 6.7809 Do Định lý 3.6 cho đánh giá sát nhiều Định lý 3.5 3.3 Đánh giá định thức Tương tự đánh giá vết, đánh giá định thức liên quan đến trung bình nghiệm hữu ích cho tính tốn số Kết đánh giá định thức ma trận P đưa (Bailas, 1980) Định lý 3.7 Nếu λi (A) + λj (A) = 0, i, j = 1, 2, · · · , n Q ma trận xác định dương, nghiệm P phương trình 2.1 thỏa mãn |P | ≥ (−1)n |Q| 2n |A| Cùng với giả thiết Định lý 3.7 (Mori et al, 1989) thu cận khác định thức P n −2tr(A) |P | ≥ |Q| n (3.3) Định lý 3.8 (Komanoff, 1988) Cận định thức ma trận P đưa n −1 − 2Re{λi (A)} |P | ≥ |Q| i=1 Ví dụ 3.6 Cho  A= sinα cosα −cosα sinα  ; 31  Q= 0   Ta có nghiệm phương trình Lyapunov sau:    −  P =  2sinα  − 2sinα =⇒ |P | −→ ∞ 4sin2 α Cận định thức P là: Do |P | = |P | ≤ tr(Q) n n abs|AT + A|−1 , α −→ |A| = |Q| = λ1 (AT + A) < 0, (3.4) abs|AT + A| trị tuyệt đối định thức |AT + A| Lưu ý, kết thu không mâu thuẫn Ví dụ 3.6 Ví dụ 3.7 Cho  −0.1094   1.3066   A=     0.0628 0 −2.1320 0.9807 1.5950 −3.1490 1.5470 0.0355 2.6320 −4.2570 0.0023 0.1636         1.8550   −0.1625 Q = I Dễ dàng ta có |P | = 0.0544 Ta có đánh giá sau: • Định lý 3.7 =⇒ det(P ) ≥ 1.8713, • Công thức 3.3 =⇒ det(P ) ≥ 0.011, • Định lý 3.8 =⇒ det(P ) ≥ 1.8713 Chú ý, Công thức 3.4 không áp dụng trường hợp λ1 (A + AT ) > 32 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau đây: • Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục (Các phương pháp vectơ hóa, phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng) • Các tính chất nghiệm phương trình Lyapunov (Đánh giá nghiệm, đánh giá vết, đánh giá định thức) Nếu chúng tơi tiếp tục nghiên cứu đề tài thời gian tới Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Tơi mong góp ý q báu thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Tiếng anh [2] Agathoklis, P., (1988), The Lyapunov equation for n - dimensional discrete systems, IEEE Trans, Automatic Control, vol 35, 448 - 451 [3] Barnett, M., (1974), Simplification of Lyapunov matrix equation AT P A − P = −Q, IEEE Trans, Automatic Control, vol 19, 446 - 447 [4] Geromel, J and J Bernussou, (1979), On bounds of Lyapunov matrix equation, IEEE Trans, Automatic Control, vol 24, 482 - 483 [5] M.W.Hisch and S Smale (1974), Differential equation, Dynamical systems and Linear algebra, Academic Press, New York [6] W.A.Coppel (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D C Heath, Boston [7] Zoran Gajic et al (1995), Lyapunov matrix equation in system stability and control, Academic Press 34 ... P = P T > phương trình Lyapunov sau AT P A − P + Q = Chương Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Các phương pháp tìm nghiệm tường minh cho phương trình đại số Lyapunov nghiên... bày phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Đó phương pháp: vectơ hóa, sử dụng hàm mũ ma trận phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng Chương Các tính chất nghiệm phương trình Lyapunov. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THANH NGA PHUƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LYAPUNOV VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02