(Luận văn thạc sĩ) không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tơi có ý thức trách nhiệm việc thực Tơi xin phép bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Tơi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cơ khoa TốnTin Phịng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù nỗ lực khả thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ góp ý để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa nhóm ví dụ 1.2 Không gian phủ 1.3 Cái nâng 1.4 Phân loại không gian phủ .7 1.5 Nhóm 1 11 1.6 Phép biến đổi phủ 12 Chương PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN .17 2.1 Tích tự 17 2.2 Cấu trúc không gian phủ 19 Chương MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHĨM VỚI HÌNH VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS 29 3.1 Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện 29 3.2 Phát triển nhóm 32 3.3 Đa tạp Riemann phẳng 34 3.4 Tinh thể 2-D 3-D 46 3.5 Liên quan lý thuyết Galois không gian phủ .54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Tôpô đại số môn học đặc thù ngành tôpô - hình học Sử dụng kiến thức tơpơ để giải toán đại số ngược lại, trong cơng cụ chủ lực nhóm Nhóm xem hàm tử từ phạm trù không gian tôpô vào phạm trù nhóm Từ ta chuyển tốn tơpơ tốn lý thuyết nhóm Ngược lại nhờ tơpơ đại số mà ta giải nhiều tốn thú vị lý thuyết nhóm Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh nhóm nhóm tự nhóm tự Để tính nhóm khơng gian tơpơ có nhiều cách, cách thơng dụng dùng ánh xạ phủ Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu tác động nhóm bới nhóm cảm sinh nhóm Bên cạnh ta tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ khơng gian tơpơ ứng dụng chúng hình học đại số lí thuyết số Điểm quan trọng lý thuyết Galois tương quan nhóm đối xứng mở rộng trường thân mở rộng trường, cung cấp cho ta mối liên kết lý thuyết trường lý thuyết nhóm Các phủ khơng gian tôpô trang bị cách định nghĩa tương tự Ở đây, phủ không gian tôpô X thực chất không gian tôpô với ánh xạ Y → X cho Y X “đồng dạng” địa phương Lí thuyết Galois phủ đóng vai trị kết nối đối xứng phủ nhóm bản, đóng vai trị nhóm Galois Hơn vai trị lí thuyết Galois phủ phép so sánh đơn đặc biệt xem xét đường cong, ta thành lập mối liên kết trực tiếp phủ mở rộng trường ( z) Riemann Nếu xét trường hợp phủ mặt cầu với ba điểm cực biên ta tìm mối tương quan đường cong đại số định nghĩa trường số phủ tôpô Những khám phá cung cấp cho ta phương pháp mã hóa thơng tin nhóm Galois số hữu tỉ theo liệu tổ hợp Tóm lại, ghi nhằm khơi gợi mối liên kết đầy mẻ tôpô cổ điển giải tích phức với phát triển mẻ hình học đại số số học từ cho ta góc nhìn khác với nhóm Galois Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức Tơpơ đại số liên quan đến nhóm bản, khơng gian phủ, phân loại khơng gian phủ, nhóm 1 phép biến đổi phủ 1.1 Định nghĩa nhóm ví dụ 1.1.1 Nhóm Cho không gian tôpô X , đường X ánh xạ liên tục  :I [0;1] X Mọi không gian tôpô liên thông đường địa phương, Hausdorf ánh xạ không gian tôpô liên tục Cho hai đường   với điểm cuối  (1)    (0)  Khi tích  với điểm đầu đường  nối với  Một đường mà điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường đóng Ta chọn điểm x  X gọi điểm sở Tập hợp tất đường đóng với điểm gốc x kí hiệu ( X , x) Cho đường đóng  ( X , x) ta định nghĩa  1  1 (t )   (1 t) Trên ( X , x) ta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu   ,   hai tương đương đồng luân tương đối I , nghĩa có ánh xạ liên tục G : I  I  X cho: G (t , 0)   (t) G (t ,1)   (t) G (0, s )   (0)   (0)   (1)   (1)  G (1, s) Thương ( X , x)/ có nhóm cấu trúc với phép nhân định nghĩa tích hai đường định nghĩa Nghịch đảo lớp tương 1 ] đương [ ] đường đóng  kí hiệu  , đến đường đóng cố I 1 đối  Con đường đóng đồng luân tương định x : t  x mà chúng đồng nhóm Đồng luân xác định bởi:    ( st )  G (t , s)     t ))  ( s (1 x kí hiệu   Tập hợp lớp tương đương đường đóng  ( X , x)  ( X , x) Mỗi phần tử kí hiệu [ ] , [ ] , …  ( X , x) Trên ta trang bị phép nhân [ ][ ]  [ ]  ( X , x) với phép nhân lập thành nhóm gọi nhóm X (với điểm gốc x ) Một không gian tôpô gọi đơn liên khơng gian tơpơ liên thơng đường nhóm điểm tầm thường Hai nhóm tắc Thật vậy,  ( X , x) X  ( X , y) với x  y đẳng cấu khơng liên thơng đường nên có (0)  :IX với x   1  cảm sinh đẳng cấu  ( X , y ) 1( X , x) mà (1)  y Khi ánh xạ  phụ thuộc vào  khơng tắc Một ánh xạ f : ( X , x )  (Y , y) cảm sinh đồng cấu f # ([ ]) [ f  ] với  1 ( X , x) f :  ( X , x )  (Y , y) # 1 Nếu khơng gian co rút nhóm tầm thường f # Nếu f : ( X , x )  (Y , y) tương đương đồng luân đẳng cấu Quả cầu S n đơn liên với n 1 đường đóng đồng luân