Định nghĩa 2.2.1. Không gian mêtric (X, d) được gọi là một không gian mêtric siêu lồi nếu với mọi họ hình cầu đóng B(xi, ri) i∈I trong
22
X mà có tính chất
d(xi, xj) ≤ ri +rj ∀i, j ∈ I
thì ta đều có ∩
i∈IB(xi, ri) 6= ∅.
Ví dụ 2.2.2. Không gian `∞ là không gian mêtric siêu lồi. Không gian Hilbert không phải là không gian siêu lồi.
Mệnh đề 2.2.3. Mọi không gian mêtric siêu lồi đều là không gian mêtric đầy.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là không gian mêtric siêu lồi. Bởi nguyên lý Cantor, để chứng minh X đầy đủ ta chỉ cần chứng minh mọi dãy hình cầu đóng thắt dần trong X đều có giao khác rỗng. Thật vậy, giả sử
n
B(xn, rn)
o
là một dãy hình cầu đóng thắt dần trong X. Khi đó với
m > n ta có B(xm, rm) ⊂ B(xn, rn) nên
d(xm, xn) ≤ rn ≤ rn +rm.
Từ đó, do X là không gian siêu lồi ta nhận được ∩
n≥1B(xn, rn) 6= ∅. Định nghĩa 2.2.4. Cho (X, d) là một không gian mêtric siêu lồi.
- Một tập con A của X được gọi là tập chấp nhận được nếu A là giao của một họ nào đó các hình cầu đóng trong X.
- Bao chấp nhận được của một tập B ⊂ X kí hiệu là ad(B), là giao của họ tất cả các tập chấp nhận được của X chứa B.
Định nghĩa 2.2.5. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian mêtric siêu lồi (X, d) được xác định như sau:
N(X) = sup
nr(A)
d(A) : Alà tập con chấp nhận được của X, d(A) > 0
o
Mệnh đề 2.2.6. Nếu(X, d) là không gian mêtric siêu lồi thì N(X) = 1 2.
Chứng minh. Giả sử A là một tập chấp nhận được trong X có đường kính d(A) = d > 0 và bán kính r(A) = r > 0. Với 0 < ε < r , nếu họ hình cầu đóng
n
B(x, r −ε)
o
x∈A có giao khác rỗng thì với c thuộc vào giao của họ hình cầu đó ta có
d(x, c) ≤ r −ε ∀x ∈ A, hay rc(A) ≤r −ε < r = r(A).
Điều này không thể xảy ra nên họ hình cầu đóngnB(x, r−ε)o
x∈A
phải có giao bằng rỗng. DoX là không gian siêu lồi nên phải tồn tại hai hình cầu trong họ hình cầu đó có khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính, nghĩa là tồn tại hai điểmx, y ∈ Ađểd(x, y) > r−ε+r−ε = 2r−2ε. Từ đây suy rad(A) > 2r(A)−2ε. Do ε > 0 có thể nhỏ tùy ý nên ta nhận được d(A) ≥ 2r(A). Mặt khác do bất đẳng thức tam giác d(A) ≤2r(A). Vậy d(A) = 2r(A). Do đó N(X) = 1
2.
2.2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồiTrong mục này ta sẽ chứng minh không gian mêtric siêu lồi có tính Trong mục này ta sẽ chứng minh không gian mêtric siêu lồi có tính chất điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều. Trước tiên cần thêm một vài khái niệm và bổ đề kĩ thuật.
Định nghĩa 2.2.7 (Lim-Xu [11]). Không gian mêtric siêu lồi (X, d)
được gọi là có tính chất (P) nếu với bất kì hai dãy bị chặn {xn} và {zn}
trong X luôn tồn tại một điểm z ∈ ∩
n≥1ad {zj : j ≥ n} sao cho lim sup n d(z, xn) ≤lim sup j lim sup n d(zj, xn).
Cho {xn} là một dãy bị chặn trong không gian mêtric (X, d). Ta kí hiệu:
24
• da {xn}
= lim
n→∞sup{d(xi, xj) : i, j ≥ n} là đường kính tiệm cận của dãy {xn}.
• ra z,{xn}
= lim sup
n→∞
d(xn, z) là bán kính tiệm cận của dãy {xn}
đối với điểm z.
• ra {xn} = inf n ra z,{xn} : z ∈ ad {xn}o là bán kính tiệm cận của dãy {xn}.
Bổ đề 2.2.8. Cho (X, d) là một không gian mêtric siêu lồi có tính chất (P) và {xn} là một dãy bị chặn trong X. Khi đó tồn tại một điểm
z ∈ ad {xn} sao cho: (i) d(y, z) ≤ ra y,{xn} với mọi y ∈ X; (ii) ra z,{xn} ≤ 1 2da {xn}.
Chứng minh. (ii) Với mỗi n ≥ 1 đặt An = ad {xk : k ≥ n}
thì {An}
là một dãy giảm các tập chấp nhận được trong X. Do tính chất siêu lồi của X, với mỗi j tồn tại một điểm zj ∈ Aj sao cho
rzj({xn : n ≥ j}) = inf{rz({xn : n ≥ j}) : z ∈ Aj}.
Do X có tính chất (P) nên tồn tại một điểm z ∈ ∩
n≥1ad {zj : j ≥ n} sao cho lim sup n d(z, xn) ≤lim sup j lim sup n d(zj, xn), hay ra z,{xn} ≤lim sup j lim sup n d(zj, xn). Mặt khác ta có lim sup n d(zj, xn) ≤rzj {xn : n ≥j} = r Aj.
Như trong chứng minh Mệnh đề 2.2.6 ta có r Aj = 1 2d(Aj) = 1 2sup d(xm, xn) : m, n ≥j .
Kết hợp các đánh giá trên ta nhận được
ra z,{xn} ≤ 1
2lim supj sup
d(xm, xn) : m, n ≥j = 1
2da {xn}.
(i) Với mọi y ∈ X và mọi ε > 0, theo định nghĩa của lim sup ta chọn được số tự nhiên n0 sao cho
d(y, xk) ≤ ra y,{xn} +ε ∀k ≥n0. Từ đây suy ra ry(An0) ≤ ra y,{xn} + ε. Do z ∈ An0 nên d(y, z) ≤ ry(An0) ≤ra y,{xn} +ε.
Cho ε −→ 0 ta nhận được d(y, z) ≤ ra y,{xn} với mọi y ∈ X.
Định lí 2.2.9. Cho (X, d) là một không gian mêtric siêu lồi có tính chất (P) và C là một tập chấp nhận được của X. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k < √
2. Khi đó T có điểm bất động trong C. Chứng minh. Lấy bất kì x0 ∈ C và xét dãy {Tnx0}. Theo Bổ đề 2.2.8 tồn tại một điểm x1 ∈ ad {Tnx0} sao cho ra x1,{Tnx0} ≤ 1 2da {Tnx0} . (2.1) Ta có da {Tnx0} = lim n→∞sup{d(Tix0, Tjx0) : i > j ≥ n} ≤ sup{d(Tix0, Tjx0) : i > j ≥ 0} ≤ ksup{d(Ti−jx0, x0) : i > j ≥ 0} = k.sup{d(x0, Tnx0) : n ≥ 0}.
26 Kết hợp với (2.1) ta có
ra x1,{Tnx0}
≤ k
2 sup{d(x0, Tnx0) : n ≥ 0}. (2.2)
Với mỗi số tự nhiên m ta có
ra Tmx1,{Tnx0} = lim sup n→∞ d(Tmx1, Tnx0) ≤ klim sup n→∞ d(x1, Tn−mx0) = kra x1,{Tnx0} . (2.3) Từ (2.2) và (2.3) ta nhận được ra Tmx1,{Tnx0} ≤ k 2 2 sup{d(x0, Tnx0) : n ≥0}.
Áp dụng (i) của Bổ đề 2.2.8 cho y = Tmx1 ta có
d(x1, Tmx1) ≤ ra Tmx1,{Tnx0}
≤ k 2
2 sup{d(x0, Tnx0) : n ≥0} ∀m ≥ 0.
Lấy sup theo m ta nhận được
sup m≥0 d(x1, Tmx1) ≤ k 2 2 supn≥0 d(x0, T n x0).
Bằng quy nạp ta xây dựng được dãy {xj} ⊂ C sao cho
sup m≥0 d(xj+1, Tmxj+1) ≤ k 2 2 supn≥0 d(xj, Tnxj) và ra xj+1,{Tnxj} ≤ k 2supn≥0 d(xj, T n xj) Đặt Dj = supn≥0d(xj, Tnxj) và α = k 2 2 ∈ (0,1). Ta có Dj+1 ≤ αDj ≤ · · · ≤αj+1D0 −→ 0.
Với mỗi j ≥ 0 ta có
d(xj, xj+1) ≤ d(xj, Tnxj) +d(xj+1, Tnxj) ≤ Dj +d(xj+1, Tnxj).
Lấy lim sup khi n→ ∞ ta nhận được
d(xj, xj+1) ≤ Dj +ra xj+1,{Tnxj} ≤ Dj + k 2 supn≥0 d(xj, T n xj) = Dj + k 2Dj = (1 + k 2)Dj ≤ 1 + k 2 D0αj.
Do α ∈ (0,1) nên bất đẳng thức trên suy ra dãy {xj} là dãy Cauchy. Do
X đầy đủ nên dãy {xj} hội tụ tới một điểm u ∈ C. Ta có
d(u, T u) ≤ d(u, xj) + d(xj, T xj) +d(T xj, T u) ≤ d(xj, u) + Dj +kd(xj, u)
= (1 + k)d(xj, u) +Dj ∀j ≥ 1.
Cho j −→ ∞ ta nhận được d(u, T u) = 0 , hay T u = u. Vậy T có điểm bất động trong C.
Kết luận
Đề tài của luận văn nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và trong không gian mêtric siêu lồi.
Luận văn đã:
(i) Chứng minh được một số tính chất hình học của không gian CAT(0). (ii) Đánh giá được đặc trưng Lifschitz của không gian CAT(0) lớn hơn
hoặc bằng √
2. Từ đó thu được Định lý Lifschitz cho không gian CAT(0).
(iii) Chứng minh Định lý Casini-Maluta trong không gian mêtric siêu lồi.
Luận văn đã đạt được những yêu cầu đặt ra trong đề cương nghiên cứu của luận văn.
Do thời gian và nhận thức của tác giả có hạn, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót mà chúng tôi không mong muốn. Chúng tôi chân thành cảm ơn và rất mong nhận được những ý kiến góp ý của các thầy cô và bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lý điểm bất động, NXB Đại học sư phạm, 2003.
Tiếng Anh
[2] M. R. Bridson, A. Haefliger, Metric Spaces of Non- positive Curva- ture, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1999.
[3] E. Casini, E. Maluta, Fixed points of uniformly Lipschitzian map- pings in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analy- sis: T.M.A., 9 (1985), 103-108.
[4] S. Dhompongsa, W. A. Kirk, B. Sims, Fixed points of Lipshitzian mappings, Nonlinear Analysis: T.M.A., 65 (2006), 762-772.
[5] K. Goebel, W. A. Kirk, Topics in metric fixed point theory, Cam- bridge University Press, 1990.
[6] K. Goebel, W. A. Kirk, A fixed point theorem for transformations whoes iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math., 47 (1973), 135-140.
[7] M. A. Khamsi, A. R. Khan, Inequalities in metric spaces with ap- plication, Nonlinear Analysis : T.M.A., 74 (2011), 4036-4045.
30
[8] M. A. Khamsi, W. A. Kirk, On uniformly Lipschitz multivalued mappings in Banach and metric space,Nonlinear Analysis : T.M.A., 72 (2010), 2080-2085.
[9] W. A. Kirk, A fixed point theorem for mappings which do not in- crease distances, Amer. Math. Monthly, 72 (1965), 1004-1006. [10] E. A. Lifschitz, A fixed point theorem for operators in strongly con-
vex spaces, Voronez. Gos. Univ. Trudy Math. Fak., 16 (1975), 23 - 28.
[11] T. C. Lim, H. K. Xu, Uniform lipshitzian mappings in metric spaces with uniform normal structure, Nonlinear Analysis: T.M.A., 25 (1995), 1231- 1235.