điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên không gian kiểu b metric và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -* - NGUYỄN THOẢI MÁI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU B-MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -* - NGUYỄN THOẢI MÁI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU B-MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỨC THÀNH Nghệ An - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn nghiêm túc, tận tình Thầy giáo TS Trần Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy ngành Tốn, Viện Sư phạm tự nhiên, Đại học Vinh, Thầy giáo TS.Nguyễn Văn Đức giáo viên chủ nhiệm lớp Cao học Giải tích khóa 24, Ban Giám hiệu q thầy trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Vĩnh Long nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè gần xa động viên giúp đỡ, chia kinh nghiệm thời gian nghiên cứu hồn thiện luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế, nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo q báu Thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thoải Mái Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Không gian kiểu b-mêtric định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng 1.1 Không gian kiểu b-mêtric 1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng 11 1.3 Ứng dụng vào toán chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân 16 Định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F-co 2.1 Ánh xạ kiểu F-co 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F-co suy rộng 21 21 23 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế nhiều lĩnh vực khác toán học Một hướng nghiên cứu nhà toán học tìm cách mở rộng định lý điểm bất động biết lên lớp không gian mêtric suy rộng như: khơng gian mêtric nón, khơng gian mêtric riêng, không gian b-mêtric, không gian mêtric chữ nhật Năm 1993, I A Bakhtin S Czerwik [4] đưa khái niệm không gian b-mêtric Năm 1994, S G Mathews [7] đề xuất khái niệm không gian mêtric riêng chứng minh số định lý điểm bất động lớp khơng gian có ứng dụng ngành khoa học máy tính Gần đây, năm 2012, A Harandi [5] đề xuất khái niệm không gian kiểu mêtric, mở rộng khái niệm không gian mêtric riêng Sau đó, năm 2013, M A Alghamdi [2] cộng xây dựng khái niệm không gian kiểu b-mêtric chứng minh số kết định lý điểm bất động lớp không gian Khái niệm không gian kiểu b-mêtric mở rộng khái niệm không gian kiểu mêtric không gian b-mêtric Một hướng nghiên cứu khác nhà toán học lĩnh vực lý thuyết điểm bất động tìm cách mở rộng điều kiện co cho ánh xạ Chúng ta biết từ kỷ trước số điều kiện co tiêu biểu Kannan, Boyd-Wong, Meir-Keeler, Reich, Ciric, Berinde, Suzuki Với lý để tập dượt với nghiên cứu khoa học với tìm hiểu cấu trúc, tính chất số lớp không gian mêtric suy rộng lớp không gian mêtric riêng, lớp không gian kiểu mêtric, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian kiểu b-mêtric Đồng thời tìm hiểu điều kiện co định lý điểm bất động với dạng suy rộng lớp khơng gian kiểu b-mêtric, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “ Điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng không gian kiểu b-mêtric ứng dụng ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích luận văn thơng qua tài liệu tìm hiểu trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất phép chứng minh định lý điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng lớp không gian kiểu b-mêtric ứng dụng chúng ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu không gian mêtric riêng, không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric, định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng Phạm vi nghiên cứu tính chất mối quan đối tượng trên; không gian mêtric riêng,không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric, định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng ví dụ minh họa NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu ánh xạ cyclic, ánh xạ F-co ánh xạ kiểu F-co Tìm hiểu khái niệm, số tính chất bản, đặc trưng số lớp không gian mêtric suy rộng không gian mêtric riêng, không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric Nghiên cứu số mở rộng ánh xạ cyclic, ánh xạ kiểu F-co lớp không gian kiểu b-mêtric Tìm hiểu số ứng dụng định lý điểm bất động lớp không gian kiểu b-mêtric 5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh sử dụng phương pháp suy luận toán học CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Không gian kiểu b-mêtric định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng Trong chương này, sau trình bày số khái niệm tính chất khơng gian kiểu b-mêtric, chúng tơi trình bày kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Edelstein-Suzuki suy rộng với ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân 1.1 Khơng gian kiểu b-mêtric Trình bày khái niệm: mêtric riêng, kiểu mêtric, b-mêtric kiểu bmêtric hội tụ, dãy Cauchy, không gian đầy đủ số tính chất đặc trưng lớp khơng gian kiểu b- mêtric 1.2 Định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng Trình bày chi tiết phép chứng minh định lý điểm bất động cyclic EdelsteinSuzuki suy rộng lớp không gian kiểu b-mêtric 1.3 Ứng dụng vào toán chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân Áp dụng định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến Chương 2: Định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F -co Trong chương này, sau trình bày số khái niệm ánh xạ kiểu F-co, F-co suy rộng, chúng tơi trình bày kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co kiểu F-co suy rộng khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự phận 2.1 Ánh xạ kiểu F-co Trình bày khái niệm ánh xạ F-co, ánh xạ F-co yếu, ánh xạ F-g-co yếu lớp không gian kiểu b-mêtric 2.2 Định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng Trình bày chi tiết số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F-co ví dụ minh họa lớp không gian kiểu b-mêtric Chương Không gian kiểu b-mêtric định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng Chương trình bày số kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Edelstein-Suzuki suy rộng khơng gian kiểu b-mêtric Sau đó, ứng dụng kết thu vào việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân 1.1 Khơng gian kiểu b-mêtric Mục trình bày số khái niệm không gian mêtric riêng, không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric khái niệm, tính chất khơng gian kiểu b-mêtric 1.1.1 Định nghĩa ([7]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ p : X ×X → [0, +∞) gọi mêtric riêng X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: x = y p(x, x) = p(y, y) = p(x, y); p(x, x) ≤ p(y, x); p(x, y) = p(y, x); p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Khi đó, (X, p) gọi khơng gian mêtric riêng 1.1.2 Định nghĩa ([5]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ p : X ×X → [0, +∞) gọi kiểu mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: p(x, y) = ⇒ x = y; p(x, y) = p(y, x); p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) Khi đó, (X, p) gọi khơng gian kiểu mêtric 1.1.3 Nhận xét 1) Rõ ràng kiểu mêtric X thỏa mãn điều kiện mêtric ngoại trừ trường hợp p(x, y) dương với x ∈ X 2) Mỗi không gian mêtric riêng không gian kiểu mêtric ngược lại không 1.1.4 Định nghĩa ([4]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ D : X×X → [0, +∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X tồn số K ≥ cho điều kiện sau thỏa mãn: Nếu D(x, y) = ⇔ x = y; D(x, y) = D(y, x); D(x, y) ≤ K(D(x, z) + D(z, y)) Khi đó, (X, D) gọi khơng gian b-mêtric 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ D : X×X → [0, +∞) gọi kiểu b-mêtric với x, y, z ∈ X tồn số K ≥ cho điều kiện sau thỏa mãn: Nếu D(x, y) = ⇒ x = y; D(x, y) = D(y, x); D(x, y) ≤ K(D(x, z) + D(z, y)) Khi đó, (X, D) gọi khơng gian kiểu b-mêtric 1.1.6 Ví dụ 1) Lấy X = [0, ∞) ánh xạ D : X × X → [0, ∞) xác định D(x, y) = (x + y)2 24 f x0 = gx1 gx0 Nếu gx0 f x0 = gx1 từ (i) ta có f x0 f x1 , tức gx1 f x1 = gx2 Do từ (i), ta có f x1 f x2 Tiếp tục q trình này, ta có yn = gxn gxn+1 = yn+1 (2.2) với n ∈ N Tương tự, f x0 = gx1 gx0 , ta có yn+1 yn với n ∈ N Do đó, từ chứng minh ta suy {yn : n ∈ N} thứ tự tốt Bây giờ, ta chứng minh f g có điểm chung Nếu σ(yn , yn+1 ) = với n0 ∈ N, có nghĩa σ(yn0 , yn0 +1 ) = 0, tức yn0 = yn0 +1 , kéo theo gxn0 +1 = f xn0 −1 với gxn0 = f xn0 −1 , gxn0 +1 = f xn0 suy gxn0 = f xn0 Do đó, xn0 điểm chung f g gxn0 = f xn0 ảnh điểm chung f g Do đó, ta giả sử σ(yn , yn+1 ) > với n ∈ N Sử dụng (2.1) (2.2), ta có τ +F (K σ(yn , yn+1 )) = τ + F (K σ(f xn−1 , f xn )) ≤ F (max{σ(gxn−1 , gxn ), σ(gxn−1 , f xn−1 ), σ(gxn−1 , f xn ) + σ(gxn , f xn−1 ) }) σ(gxn , f xn ), 4K = F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), σ(yn−1 , yn+1 ) + σ(yn , yn ) }) 4K ≤ F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), sσ(yn−1 , yn ) + 3Kσ(yn , yn+1 ) }), 4K ≤ F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), s max {σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 )} + 3K max {σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 )} }) 4K (2.3) Nếu tồn n0 ∈ N+ cho max {σ(yn0 −1 , yn0 ), σ(yn0 , yn0 +1 ) = σ(yn0 , yn0 +1 )} từ (2.3) ta τ + F (K σ(yn0 , yn0 +1 ) ≤ F (σ(yn0 , yn0 +1 )), chứng tỏ K σ(yn0 , yn0 +1 ) < σ(yn0 , yn0 +1 )), điều mâu thuẫn K ≥ Do đó, ta max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 )} = σ(yn−1 , yn ) với n ∈ N+ Từ 25 (2.3), ta có τ + F (σ(yn , yn+1 ) ≤ τ + F (K σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(yn−1 , yn )) Vì vậy, F (σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(yn−1 , yn )) − τ , với n0 ∈ N+ Lập luận tương tự, ta có F (σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(yn−1 , yn )) − nτ (2.4) Lấy giới hạn n → +∞ (2.4) suy lim F (σ(yn , yn+1 )) = −∞ n→+∞ Vì lim σ(yn , yn+1 ) = n→+∞ (2.5) Ta cần chứng minh lim m,n→+∞ Thật vậy, lim m,n→+∞ σ(ym , yn ) = (2.6) σ(ym , yn ) = tồn ε > dãy số tự nhiên {p(n)} {q(n)} cho với n ∈ N, bất thức đẳng thức sau thỏa mãn p(n) > q(n) > n, σ(yp(n) , yq(n) ) ≥ ε, σ(yp( n)−1 , yq(n) ) < ε (2.7) Áp dụng bất đẳng thức tam giác (2.7), ta ε ≤ σ(yp(n) , yq(n)) ≤ sσ(yp(n) , yp( n)−1 )+sσ(yp( n)−1 , yq(n) ) < sσ(yp(n) , yp( n)−1 )+Kε với n ∈ N Áp dụng (2.5) vào bất đẳng thức trên, ta suy dãy {σ(yp(n) , yq(n) )} bị chặn, lim inf σ(yp(n) , yq(n) ) = A n→+∞ (2.8) Từ bất đẳng thức tam giác, ta có : σ(yp(n)+1 , yq(n)+1) ≤ Kσ(yp(n)+1 , yp(n) ) + K σ(yp(n) , yq(n) ) + K σ(yq(n) , yp(n)+1 ), 26 với (2.5) chứng tỏ dãy {σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 )} bị chặn, có giới hạn Giả sử lim inf σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 ) = B n→+∞ Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có : σ(yp(n) , yq(n)) ≤ Kσ(yp(n) , yp(n)+1 ) + K σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 ) + K σ(yq(n)+1 , yp(n) ) Cho n → +∞ bất đẳng thức kết hợp với (2.5) ta có A ≤ K B (2.9) Từ (2,7), (2,8), (2,9), ta có B ≥ KA2 ≥ Kε2 Do đó, ta giả sử tồn N1 ∈ N cho σ(yp(n)+1 , yq(n)+1) ) > 2Kε > với n > N1 Từ (2.1), ta τ + F (K σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 ) = τ + F (K σ(f xp(n) , f xq(n) ) ≤ F (max{σ(gxp(n) , gxq(n) ), σ(gxp(n) , f xp(n) ), σ(gxq(n) , f xq(n) ), σ(gxp(n) , f xq(n) ) + σ(gxq(n) , f xp(n) ) }) 4K = F (max{σ(yp(n) , yq(n) ), σ(yp(n) , yp(n)+1 ), σ(yq(n) , yq(n)+1 ), σ(yp(n) , yq(n)+1 ) + σ(yq(n) , yp(n)+1 ) }) 4K ≤ F (max{σ(yp(n) , yq(n) ), σ(yp(n) , yp(n)+1 ), σ(yq(n) , yq(n)+1 ), Kσ(yp(n) , yq(n) ) + sσ(yq(n) , yq(n)+1 ) + Kσ(yq(n) , yp(n) ) + Kσ(yp(n) , yp(n)+1 ) 4K (2.10) Vì F liên tục nên từ (2.10) cho n → +∞ ta có: τ + F (K B) ≤ F (A) , có nghĩa K B < A, điều mâu thuẫn với (2.9), (2.6) Vì vậy, dãy {yn } = {gxn } dãy Cauchy g(X) Vì g(X) đầy đủ nên tồn u, v ∈ X cho v = gu lim σ(yn , v) = lim σ(gxn , gu) = n→+∞ n→+∞ lim m,n→+∞ σ(yn , ym ) = σ(v, v) = (2.11) Bây giờ, ta chứng minh σ(f u, v) = Thật vậy, σ(f u, v) > 0, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta σ(yn , f u) ≤ Kσ(yn , v) + Kσ(v, f u) 27 Từ (2.11) ta thấy σ(yn , f u) bị chặn Do dãy {σ(yn , f u)} có giới hạn, giả sử lim inf σ(yn , f u) = C n→+∞ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có σ(v, f u) ≤ Kσ(yn , v) + Kσ(yn , f u) Lấy giới hạn n → +∞ bất đẳng thức sử dụng (2.11), ta lim inf σ(yn , f u) = C ≥ n→+∞ σ(v, f u) s σ(v, f u) với 2K n > N2 Vì σ(v, f u) > nên σ(yn , f u) > với n > N2 Áp dụng (2.1) điều kiện (iii), ta có Do đó, ta giả sử tồn N2 ∈ N cho σ(yn , f u) > τ + F (K σ(yn , f u)) = τ + F (K σ(f xn−1 , f u)) ≤ F (max{σ(gxn−1 , gu), σ(gxn−1 , f xn−1 ), σ(gu, f u), σ(gxn−1 , f u) + σ(gu, f xn−1 ) }) 4K = F (max{σ(yn−1 , v), σ(yn−1 , yn ), σ(v, f u), σ(yn−1 , f u) + σ(v, yn ) }) 4K với n ∈ N đủ lớn Cho n → +∞ bất đẳng thức trên, ta có C }) (2.12) τ + F (K C) ≤ F (max{σ(v, f u), 4K C Nếu max {σ(v, f u), } = σ(v, f u) từ (2.12) ta có 4K τ + F (K C) ≤ F (σ(v, f u)) σ(v, f u) Do đó, s2 C < σ(v, f u), điều mâu thuẫn với C ≥ K C C C Nếu max {σ(v, f u), }= ta có τ + F (K C) ≤ F ( ), có nghĩa 4K 4K 4K C , điều mâu thuẫn K ≥ K C < 4K 28 Do đó, σ(f u, v) = 0, nên f u = gu = v Vì vậy, v điểm chung f g Giả sử tập C(f, g) g thứ tự tốt v điểm chung khác f g Khi đó, ta tìm thấy u ∈ X cho f u = gu = v Từ Bổ đề 2.1.7, ta σ(v , v ) = Vì C(f, g) g thứ tự tốt nên ta có gu gu Nếu σ(v, v ) > từ (2.1), ta có τ + F (K σ(v, v )) = τ + F (K σ(f u, f u )) ≤ F (max{σ(gu, gu ), σ(gu, f u), σ(gu, f u ) + σ(gu , f u) }) σ(gu , f u ), 4K σ(v, v ) + σ(v , v) }) = F (max{σ(v, v ), σ(v, v), σ(v , v ), 4K ≤ F (σ(v, v )) với K σ(v, v ) < σ(v, v ) Điều mâu thuẫn s ≥ Do đó, ta có σ(v, v ) = 0, tức là, v = v Vì vậy, điểm chung f g Hơn nữa, f g tương thích yếu ta có f v = gv Đặt f v = gv = w, từ tính điểm chung, ta f v = gv = w = v, nghĩa f v = gv = v Vì vậy, f g có điểm bất động chung v σ(v, v) = Từ Định lý 2.2.1, ta thu hệ sau: 2.2.2 Hệ ([3]) Cho (X, σ ) không gian kiểu b-mêtric có thứ tự phận, ánh xạ f, g : X → X cho f (X) ⊆ g(X) g(X) đầy đủ Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: ( i ) fx f y với x, y ∈ X thỏa mãn gx ( ii ) tồn x0 ∈ X cho gx0 gy; f x0 ; ( iii ) tồn τ > F ∈ F cho với x, y ∈ X thỏa mãn gx ta có gy σ(f x, f y) > ⇒ τ +F (K σ(f x, f y)) ≤ F (max{σ(gx, gy), σ(gx, f x), σ(gy, f y)}) ( iv ) dãy {xn } (X, σ) hội tụ x ∈ X {xn : n ∈ N} thứ tự tốt xn x với n đủ lớn Khi đó, f g có điểm chung v ∈ X σ(v, v) = Hơn nữa, tập điểm chung f g g thứ tự tốt f g có điểm chung 29 Ngoài ra, f g tương thích yếu f g có điểm bất động chung Cho g = IX hệ 2.2.2 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ ([3]) Cho (X, σ ) không gian kiểu b-mêtric có thứ tự phận, ánh xạ f : X → X Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: ( i ) fx f y với x, y ∈ X thỏa mãn x ( ii ) tồn x0 ∈ X cho x0 y; f x0 ; ( iii ) tồn τ > F ∈ F cho với x, y ∈ X thỏa mãn x có y, ta σ(f x, f y) > ⇒ τ +F (K σ(f x, f y)) ≤ F (max{σ(x, y), σ(x, f x), σ(y, f y)}); ( iv ) dãy {xn } (X, σ) hội tụ x ∈ X {xn : n ∈ N} thứ tự tốt xn x với n đủ lớn Khi đó, ánh xạ f có điểm bất động v ∈ X σ(v, v) = Hơn nữa, tập điểm bất động f thứ tự tốt ánh xạ f có điểm bất động 2.2.4 Định nghĩa ([3]) Cho (X, σ ) khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự phận ánh xạ f, g : X → X Giả sử tồn τ > F ∈ F cho σ(gx, f x) < σ(gx, gy) ⇒ τ + F (K σ(f x, f y)) 2K ≤ F (max{σ(gx, gy), σ(gx, f x), σ(gy, f y), với x, y ∈ X thỏa mãn gx suy rộng có thứ tự loại (B) σ(gx, f y) + σ(gy, f x) }) 4K (2.13) gy Khi đó, ánh xạ f gọi F -g-co yếu 2.2.5 Bổ đề ([3]) Cho (X, σ ) khơng gian kiểu b-mêtric riêng có thứ tự phận ánh xạ f, g : X → X cho f F -g-co yếu suy rộng có thứ tự loại (B) Nếu v ∈ X điểm chung f g σ(v, v) = Chứng minh Giả sử v ∈ X điểm chung f g tồn u ∈ X cho f u = gu = v Giả sử σ(v, v) > Khi đó, ta có σ(gu, f u) σ(gu, gu) = < σ(gu, gu) 2K 2K 30 Vì f F -g-co yếu suy rộng có thứ tự loại (B) nên ta có τ + F (K σ(v, v)) = τ + F (K σ(f u, f u)) ≤ F (max{σ(gu, gu), σ(gu, f u), σ(gu, f u), σ(gu, f u) + σ(gu, f u) }) 4K σ(v, v) + σ(v, v) = F (max{σ(v, v), σ(v, v), σ(v, v), }) 4K = F (σ(v, v)) Từ tính chất (F1 ) suy K σ(v, v) < σ(v, v) Điều mâu thuẫn với K ≥ Do đó, ta có σ(v, v) = 2.2.6 Định lí ([3]) Cho (X, σ, ) khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự phận ánh xạ f, g : X → X cho f F − g co yếu suy rộng có thứ tự loại (B) thỏa mãn f (X) ⊆ g(X) g(X) đầy đủ Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: ( i ) fx f y với x, y ∈ X cho gx ( ii ) tồn x0 ∈ X cho gx0 gy; f x0 ; ( iii ) dãy {xn } (X, σ) hội tụ x ∈ X {xn : n ∈ N} thứ tự tốt xn x với n đủ lớn Khi f g có điểm chung v ∈ X σ(v, v) = Nếu tập điểm chung f g g thứ tự tốt f g có điểm chung Ngồi ra, f g tương thích yếu f g có điểm bất động chung Chứng minh Như chứng minh Định lý 2.2.1, với x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {yn } sau: yn = gxn = f xn−1 cho {yn : n ∈ N} thứ tự tốt Bây giờ, ta chứng minh f g có điểm chung Nếu σ(yn , yn+1 ) = với n0 ∈ N σ(yn0 , yn0 +1 ) = 0, tức là, yn0 = yn0 +1 kéo theo gxn0 = f xn0 −1 = gxn0 +1 = f xn0 Vì vậy, xn0 điểm chung f g gxn0 = f xn0 điểm chung ảnh f g Giả sử σ(yn , yn+1 ) > với n ∈ N Khi đó, σ(gxn−1 , f xn−1 ) = σ(yn−1 , yn ) > với n ∈ N+ Do σ(gxn−1 ), f xn−1 ) < σ(gxn−1 , f xn−1 ) = σ(gxn−1 , gxn ) 2K 31 Áp dụng (2.13), ta τ +F (K σ(yn , yn+1 )) = τ + F (K σ(f xn−1 , f xn )) ≤ F (max{σ(gxn−1 , gxn ), σ(gxn−1 , f xn−1 ), σ(gxn , f xn ), σ(gxn−1 , f xn ) + σ(gxn , f xn−1 ) }) 4K = F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), σ(yn−1 , yn+1 ) + σ(yn , yn ) }) 4K ≤ F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), Kσ(yn−1 , yn ) + 3Kσ(yn , yn+1 ) }) 4K ≤ F (max{σ(yn−1 , yn ), σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), K max {σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 )} + 3K max {σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 )} }) 4K (2.14) Nếu tồn n0 ∈ N cho max{σ(yn0 −1 , yn0 ), σ(yn0 , yn0 +1 )} = σ(yn0 , yn0 +1 ) từ (2.14) ta τ + F (K σ(yn0 , yn0 +1 )) ≤ F (σ(yn0 , yn0 +1 )) Theo tính chất (F1 ) ta có K σ(yn0 , yn0 +1 ) < σ(yn0 , yn0 +1 ), ta gặp mâu thuẫn Vì ta có max {σ(yn−1 , yn ), σ(yn , yn+1 ), σ(yn−1 , yn )} = σ(yn−1 , yn ) với n ∈ N+ Từ (2.14), ta τ + F (σ(yn , yn+1 )) ≤ τ + F (K σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(yn−1 , yn )) Do F (σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(yn−1 , yn )) − τ Tiếp tục q trình ta có F (σ(yn , yn+1 )) ≤ F (σ(y0 , y1 ) − nτ Lấy giới hạn bất đẳng thức n → +∞ ta lim F (σ(yn , yn+1 ) = −∞ n→+∞ (2.15) 32 Vì lim σ(yn , yn+1 ) = (2.16) n→+∞ Bây giờ, ta chứng minh lim m,n→+∞ σ(ym , yn ) = Giả sử ngược lại, tồn ε > dãy số tự nhiên {p(n)} {q(n)} cho p(n) > q(n) > n, σ(yp(n) , yq(n) ) ≥ ε σ(yp(n)−1 , yq(n) ) < ε với n ∈ N Vì lim σ(yn , yn+1 ) = n→+∞ nên ta có lim σ(yp(n) , yp(n)+1 ) = n→+∞ Do đó, tồn N1 ∈ N cho σ(yp(n) , yp(n)+1) ) < ε với n > N1 , kéo theo σ(gxp(n) , f xp(n) ) ε < < σ(gxp(n) , gxq(n) ) 2K 2K với n > N1 Từ (2.13), ta có τ +F (K σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 )) = τ + F (K σ(f xp(n) , f xq(n) )) ≤ F (max{σ(gxp(n) , gxq(n) , σ(gxp(n) , f xp(n) ), σ(gxq(n) , f xq(n) ), σ(gxp(n) , f xq(n) ) + σ(gxq(n) , f xp(n) ) }) 4K = F (max{σ(yp(n) , yq(n) ), σ(yp(n) , yp(n)+1 ), σ(yq(n) , yq(n)+1 ), σ(yp(n) , yq(n)+1 ) + σ(yq(n) , yp(n)+1 ) }) 4K ≤ F (max{σ(yp(n) , yq(n) ), σ(yp(n) , yp(n)+1 ), σ(yq(n) , yq(n)+1 ), Kσ(yp(n) , yq(n) ) + sσ(yq(n) , yq(n)+1 ) + Kσ(yq(n) , yp(n) ) + sσ(yp(n) , yp(n)+1 ) 4K (2.17) Từ bất đẳng thức tam giác, ta có ε ≤ σ(yp(n) , yq(n) ) ≤ Kσ(yp(n) , yp(n)−1 ) + Kσ(yp(n)−1 , yq(n) ) < Kσ(yp(n) , yp(n)−1 ) + Kε, σ(yp(n)+1 , yq(n)+1) ) ≤ Kσ(yp(n)+1 , yp(n) ) + K σ(yp(n) , yq(n) ) + K σ(yq(n) , yq(n)+1 ) Kết hợp với (2.16) ta thấy dãy {σ(yp(n) , yq(n) )} {σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 )} bị chặn, nên chúng có giới hạn Bằng cách đặt: 33 lim inf σ(yp(n) , yq(n) ) = a; lim inf σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 ) = b n→+∞ n→+∞ (2.18) Cho n → +∞ (2.17) kết hợp với (2.18) ta có τ + F (s2 b) < F (a) , có nghĩa s2 b < a Từ bất đẳng thức tam giác, ta có σ(yp(n) , yq(n) ) ≤ Kσ(yp(n) , yp(n)+1 ) + K σ(yp(n)+1 , yq(n)+1 ) + K σ(yq(n)+1 , yq(n) ) Lấy giới hạn n → +∞ bất đẳng thức ta nhận a ≤ s2 b, điều mâu thuẫn với s2 b < a Do đó, lim σ(ym , yn ) = 0, suy {yn } = {gxn } m,n→+∞ dãy Cauchy g(X) Từ tính đầy đủ g(X), nên tồn u, v ∈ X cho v = gu lim σ(yn , v) = lim σ(gxn , gu) = n→+∞ n→+∞ lim m,n→+∞ σ(yn , ym ) = σ(v, v) = (2.19) Bây giờ, ta chứng minh σ(f xn , f xn+1 ) σ(gxn , f xn ) < σ(gxn , gu) < σ(f xn , gu), với n ∈ N 2K 2K (2.20) Giả sử ngược lại, tồn m ∈ N cho σ(gxm , f xm ) σ(f xm , f xm+1 ) ≥ σ(gxm , gu)và ≥ σ(f xm , gu) 2K 2K (2.21) Áp dụng (2.16), ta F (σ(ym+1 , ym+2 )) < F (σ(ym , ym+1 )), suy σ(ym+1 , ym+2 ) < σ(ym , ym+1 ), có nghĩa là, σ(f xm , f xm+1 ) < σ(gxm , f xm ) (2.22) 34 Từ (2.21) (2.22), ta có σ(gxm , f xm ) ≤ sσ(gxm , gu) + sσ(gu, f xm ) 1 ≤ σ(gxm , f xm ) + σ(f xm , f xm+1 ) 2 1 < σ(gxm , f xm ) + σ(gxm , f xm ) = σ(gxm , f xm ) 2 Ta gặp mâu thuẫn Do (2.21) Bây giờ, ta chứng minh σ(gu, f u) = Giả sử σ(gu, f u) > Ta xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử bất đẳng thức bên trái (2.20) đúng, tức σ(gxn , f xn ) < σ(gxn , gu) với n ∈ N Từ (2.13), ta có: 2K τ +F (K σ(f xn , f u)) ≤ F (max{σ(gxn , gu), σ(gxn , f xn ), σ(gu, f u), σ(gxn , f u) + σ(gu, f xn ) }) 4K ≤ F (max {σ(gxn , gu), σ(gxn , f xn ), σ(gu, f u), Kσ(gxn , gu) + Kσ(gu, f u) + Kσ(gu, gxn ) + Kσ(gxn , f xn ) }, (2.23) 4K với n đủ lớn Từ (2.16) (2.19), tồn N2 ∈ N cho σ(gxn , gu) < σ(gu, f u) σ(gxn , f xn ) < σ(gu, f u) Từ (2.24), ta có τ + F (K σ(f xn , f u)) < F (σ(gu, f u)) (2.24) với n > N2 Vì σ(f xn , f u) ≤ Kσ(f xn , gxn ) + K σ(gxn , gu) + K σ(gu, f u) nên dãy {σ(f xn , f u)} bị chặn nên ta đặt lim inf σ(f xn , f u) = c n→+∞ Cho n → +∞ (2.25) ta có τ + F (K c) < F (σ(gu, f u)) Do K c < σ(gu, f u) Mặt khác, ta có σ(gu, f u) ≤ Kσ(gu, gxn ) + K σ(gxn , f xn ) + K σ(f xn , f u) 35 cho n → +∞ bất đẳng thức ta nhận σ(gu, f u) ≤ K c Điều mâu thuẫn với K c < σ(gu, f u) Trường hợp Giả sử bất đẳng thức bên phải (2.20) thỏa mãn, σ(f xn , f xn+1 ) tức < σ(gxn+1 , gu), kéo theo 2K σ(gxn+1 , f xn+1 ) < σ(gxn+1 , gu) 2K với n ∈ N Khi đó, ta có: τ + F (K σ(f xn+1 , f u)) ≤ F (max{σ(gxn+1 , gu), σ(gxn+1 , f xn+1 ), σ(gu, f u), σ(gxn+1 , f u) + σ(gu, f xn+1 ) }) 4K ≤ F (max{σ(yn+1 , gu), σ(yn+1 , yn+2 ), σ(gu, f u), σ(yn+1 , f u) + σ(gu, yn+2 ) }) 4K ≤ F (max {σ(yn+1 , gu), σ(yn+1 , yn+2 ), σ(gu, f u), Kσ(yn+1 , gu) + Kσ(gu, f u) + Kσ(gu, yn+2 ) } 4K (2.25) với n đủ lớn Vì σ(yn , f u) ≤ sσ(yn , gu) + sσ(gu, f u) nên từ (2.19) ta suy dãy {σ(yn , f u)} bị chặn Đặt lim inf σ(yn , f u) = d n→+∞ Cho n → +∞ (2.25) ta τ + F (K d) ≤ F (σ(gu, f u)) kéo theo K d < σ(gu, f u) Mặt khác, ta có σ(gu, f u) ≤ sσ(gu, yn ) + sσ(yn , f u) cho n → +∞ ta σ(gu, f u) < sd Điều mâu thuẫn với K d < σ(gu, f u) Như vậy, trường hợp ta ln có σ(gu, f u) = 0, gu = f u = v, tức là, v điểm chung f g 36 Bây giờ, giả sử C(f, g) g thứ tự tốt v điểm chung khác f g Khi đó, tồn u cho f u = gu = v Áp dụng Bổ đề 2.1.7, ta σ(v , v ) = Vì C(f, g) g thứ tự tốt nên ta có gu gu Giả σ(gu, f u ) < σ(gu, f u ) = σ(gu, gu ) nên từ (2.14) ta có sử σ(v, v ) > o, 2K τ + F (K σ(v, v )) = τ + F (K σ(f u, f u )) ≤ F (max{σ(gu, gu ), σ(gu, f u), σ(gu , f u ), σ(gu, f u ) + σ(gu , f u) }) 4K σ(v, v ) + σ(v , v) }) = F (max{σ(v, v ), σ(v, v), σ(v , v ), 4K ≤ F (σ(v, v )) (2.26) kéo theo s2 σ(v, v ) < σ(v, v ) Ta gặp mâu thuẫn K ≥ Do ta có σ(v, v ) = 0, tức v = v Vậy, điểm chung f g Hơn nữa, f g tương thích yếu ta có f v = gv Đặt f v = gv = w Từ tính điểm chung f g, ta có f v = gv = w = v, tức f v = gv = v Vì vậy, f g có điểm bất động chung v σ(v, v) = Ví dụ sau minh họa cho Hệ 2.2.3 2.2.7 Ví dụ ([3]) Cho X = {0, 1, 5, 10} Hàm σ : X ×X → R+ xác định σ(x, y) = (max {x, y})2 Khi (X, σ) khơng gian kiểu b-mêtric đầy đủ với số K = Xác định quan hệ thứ tự phận X = {(0, 0), (1, 1), (5, 5), (10, 10), (0, 5), (5, 1), (0, 1)} Hàm f : X → X xác định sau: f = 0, f = 0, f = 0, f 10 = Hàm F xác định F (α) = lnα Vì σ(f 0, f 0) = σ(f 1, f 1) = σ(f 5, f 5) = σ(f 0, f 5) = σ(f 5, f 1) = σ(f 0, f 1) = σ(f 10, f 10) = F (max{σ(10, 10), σ(10, f 10), σ(10, f 10)})−F (4σ(f 10, f 10)) = F 100−F = ln25 nên điều kiện co Hệ 2.2.3 thỏa mãn với τ ∈ (0, ln25) Đồng thời, thấy tất điều kiện khác Hệ 2.2.3 thỏa mãn điểm bất động f 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Trình bày cách có hệ thống khái niệm không gian mêtric riêng, không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric Chứng minh chi tiết số tính chất ví dụ khơng gian kiểu b-mêtric Trình bày chi tiết kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Edelstein-Suzuki suy rộng với ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân có báo [2] Trình bày cách có hệ thống khái niệm F -co, F -co yếu, F -g-co yếu, F -g-co yếu suy rộng, F -g-co yếu có thứ tự suy rộng Trình bày phép chứng minh số kết tồn điểm bất động cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự có báo [3] 38 Tài liệu tham khảo [1] M Abbas and G Jungck (2008), Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity on cone metric spaces, J Math Anal Appl., 341, 416-420 [2] M A Alghamdi, N Hussain and P Salim (2013), Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces, Journal of Inequalities and Applications, 25 pages [3] C Chen, H Xue and C Zhu (2017) , Common fixed point theorems concerning F-contraction in b-metric-like spaces, Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 3075-3086 [4] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav., 1, 5-11 [5] A Harandi (2012), Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point, Fixed point theory and Applications, Article ID 204 [6] S K Malhotra, S Radenovic and S Shukla (2014), Some fixed point results without monotone property in partially ordered metric like spaces, J Egyptian Math Soc., 22, 83-89 [7] S G Mathews (1994), Partial metric topology, In Proc 8th Summer conference on general topology and applications, Ann New York Acad Sci., Vol 728, 183-197 [8] H Piri and P Kumam (2014), Some fixed point theorems concerning F-contraction in complete metric spaces, Fixed point theory and Applications, 11 pages [9] D Wardowski (2012), Fixed point of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed point theory and Applications, pages ... niệm ánh xạ F -co, ánh xạ F -co yếu, ánh xạ F-g -co yếu lớp không gian kiểu b- mêtric 2.2 Định lý điểm b? ??t động kiểu F -co suy rộng Trình b? ?y chi tiết số định lý điểm b? ??t động cho ánh xạ kiểu F -co. .. Định lý điểm b? ??t động cho ánh xạ kiểu F -co Chương trình b? ?y số kết tồn điểm b? ??t động cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng khơng gian kiểu b- mêtric có thứ tự 2.1 Ánh xạ kiểu F -co Mục trình b? ?y số khái... trình b? ?y số khái niệm ánh xạ kiểu F -co, F -co suy rộng, trình b? ?y kết tồn điểm b? ??t động cho ánh xạ co kiểu F -co suy rộng khơng gian kiểu b- mêtric có thứ tự phận 2.1 Ánh xạ kiểu F -co Trình b? ?y khái