Điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên không gian b meetric chữ nhật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH TIẾN HOÀNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN b-MÊTRIC CHỮ NHẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH TIẾN HOÀNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN b-MÊTRIC CHỮ NHẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỨC THÀNH NGHỆ AN, 2018 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương1 Không gian b-mêtric chữ nhật số định lý điểm bất động 1.1 1.2 Không gian b-mêtric chữ nhật Định lý điểm bất động cho ánh xạ co Banach, Kannan Kiểu Boyd-Wong Chương2 10 Điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng ứng dụng 21 2.1 Điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng 21 2.2 Ứng dụng vào toán chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình tích phân 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời cảm ơn Luận văn thực Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Trần Đức Thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Trần Đức Thành, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập thực luận văn Nhân dịp xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo tổ Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Đại học Vinh, giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn bố mẹ, anh chị em, người thân bạn bè giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vưc khác như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế nhiều lĩnh vực khác toán học Một hướng nghiên cứu nhà tốn học tìm cách mở rộng định lý điểm bất động biết lên lớp khơng gian mêtric suy rộng như: khơng gian mêtric nón, không gian mêtric riêng, không gian b-mêtric, không gian mêtric chữ nhật Năm 1989, I A Bakhtin ([2]) đưa khái niệm không gian b-mêtric Năm 2000, A Branciari [3] đề xuất khái niệm không gian mêtric chữ nhật chứng minh số định lý điểm bất động lớp không gian Gần đây, năm 2015, R George ([7]) cộng đề xuất khái niệm không gian b-mêtric chữ nhật Khái niệm không gian b-mêtric chữ nhật mở rộng khái niệm không gian mêtric chữ nhật không gian b-mêtric Một hướng nghiên cứu khác nhà toán học lĩnh vực lý thuyết điểm bất động tìm cách mở rộng điều kiện co cho ánh xạ Chúng ta biết từ kỷ trước số điều kiện co tiêu biểu Kannan, Boyd-Wong, Meir-Keeler, Reich, Ciric, Berinde, Suzuki Với lý để tập duyệt với nghiên cứu khoa học với tìm hiểu cấu trúc, tính chất số lớp không gian mêtric suy rộng lớp không gian mêtric chữ nhật, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian b-mêtric chữ nhật , đồng thời tìm hiểu điều kiện co định lý điểm bất động với dạng suy rộng lớp khơng gian b-mêtric chữ nhật, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “ Điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric chữ nhật” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu khái niệm, tính chất lớp không gian b-mêtric chữ nhật với kết đạt điểm bất động cho số lớp ánh xạ co lớp không gian b-mêtric chữ nhật đồng thời tìm hiểu ứng dụng định lý điểm bất động lĩnh vực phương trình vi, tích phân Từ đó, trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết vấn đề nói Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số lớp không gian mêtric suy rộng lớp không gian mêtric chữ nhật, lớp không gian b-mêtric, lớp không gian b-mêtric chữ nhật với cấc định lý điểm bất động ứng dụng lớp không gian b-mêtric chữ nhật Những đóng góp đề tài 1) Trình bày cách có hệ thống khái niệm khơng gian b-mêtric, không gian mêtric chữ nhật, khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian bmêtric chữ nhật 2)Trình bày chi tiết kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co Banach, Kannan Boyd-Wong suy rộng lớp không gian b-mêtric chữ nhật ví dụ minh họa có tài liệu ([6]) ([7]) 3) Trình bày chi tiết số kết tồn điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric chữ nhật ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình tích phân có tài liệu ([8]) Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến khái niệm, tính chất lớp không gian b-mêtric chữ nhật với kết đạt điểm bất động cho số lớp ánh xạ co lớp không gian b-mêtric chữ nhật đồng thời tìm hiểu ứng dụng định lý điểm bất động lĩnh vực phương trình vi, tích phân - Trình bày cách có hệ thống kết vấn đề nói - Chứng minh chi tiết mệnh đề, tính chất định lý trình bày luận văn mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết dựa vào tài liệu để giải vấn đề đặt Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương Không gian b-mêtric chữ nhật số định lý điểm bất động Trong chương này, sau trình bày số khái niệm tính chất khơng gian b-mêtric chữ nhật, chúng tơi trình bày kết tồn điểm bất động lớp không gian cho ánh xạ co Banach, Kannan Boyd-Wong Chương Điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng ứng dụng Trong chương này, sau trình bày số khái niệm ánh xạ w-tương thích, điểm chung đơi, điểm bất động chung đơi, chúng tơi trình bày kết tồn điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric chữ nhật với ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình tích phân Nghệ An,tháng năm 2018 Tác giả Đinh Tiến Hoàng Chương Không gian b-mêtric chữ nhật số định lý điểm bất động Chương trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian b-mêtric chữ nhật kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co Banach Kannan không gian b-mêtric chữ nhật 1.1 Không gian b-mêtric chữ nhật Mục trình bày số khái niệm không gian b-mêtric, không gian mêtric chữ nhật khái niệm, tính chất khơng gian b-mêtric chữ nhật 1.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → [0, +∞) gọi b-mêtric tồn số s ≥ với x, y, z ∈ X cho điều kiện sau thỏa mãn: d(x, y) = ⇔ x = y ; d(x, y) = d(y, x); d(x, y) ≤ s(d(x, z) + d(z, y)) Khi đó, (X, d) gọi không gian b-mêtric hay bM S không gian với hệ số s 1.1.2 Định nghĩa ([3]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → [0, +∞) gọi mêtric chữ nhật với x, y ∈ X cặp điểm phân biệt u, v ∈ X\{x, y} cho điều kiện sau thỏa mãn: d(x, y) = ⇔ x = y ; d(x, y) = d(y, x); d(x, y) ≤ d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) Khi đó, (X, d) gọi khơng gian mêtric chữ nhật hay RM S không gian 1.1.3 Định nghĩa ([7]) Cho X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → [0, +∞) gọi b-mêtric chữ nhật với x, y ∈ X , cặp điểm phân biệt u, v ∈ X\{x, y}, tồn số s ≥ cho điều kiện sau thỏa mãn: d(x, y) = ⇔ x = y ; d(x, y) = d(y, x); d(x, y) ≤ s[d(x, u) + d(u, v) + d(v, y)] Khi đó, (X, d) gọi không gian b-mêtric chữ nhật hay RbM S không gian với hệ số s Rõ ràng, không gian mêtric không gian mêtric chữ nhật không gian mêtric chữ nhật không gian b-mêtric chữ nhật với hệ số s = chiều ngược lại khơng 1.1.4 Ví dụ 1) Cho X = N  0 d(x, y) = 4α  α ánh xạ d : X × X → X xác định bởi: x = y x, y ∈ {1, 2} x = y x y ∈ / {1, 2} x = y, α số Khi đó, (X, d) không gian b-mêtric chữ nhật với hệ số s = > 1, (X, d)) khơng gian mêtric chữ nhật d(1, 2) = 4α > 3α = d(1, 3) + d(3, 4) + d(4, 2) 2) Cho X = N ánh xạ d : X × X → X cho d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X xác định bởi:  x = y     10α x = 1, y = d(x, y) = α x, y ∈ {1, 2} y ∈ {3}    2α x, y ∈ {1, 2, 3} y ∈ {4}   3α x y ∈ / {1, 2, 3, 4} x = y, α số Khi đó, (X, d) khơng gian b-mêtric chữ nhật với hệ số s = > 1, (X, d)) không gian mêtric chữ nhật d(1, 2) = 10α > 5α = d(1, 3) + d(3, 4) + d(4, 2) 3) Cho X = R ánh xạ d : X × X → R+ cho d(x, y) = |x − y|k , với x, y ∈ X k ≥ Khi đó, (X, d) khơng gian b-mêtric chữ nhật với hệ số s = 3k−1 Dễ kiểm tra tiên đề (1) (2) Định nghĩa 1.1.3 thỏa mãn Ta kiểm tra tiên đề (3) Thật vậy, hàm f (x) = xk hàm lồi với x ≥ theo bất đẳng thức Jensen ta có (a + b + c)k ≤ 3k−1 (ak + bk + ck ), với số thực khơng âm a, b, c Do d(x, y) = |x − y|k ≤ (|x − z| + |z − w| + |w − y|)k ≤ 3k−1 (|x − z|k + |z − w|k + |w − y|k ) = 3k−1 [d(x, z) + d(z, w) + d(w, y)] Do đó, (X, d) khơng gian b-mêtric chữ nhật với hệ số s = 3k−1 1.1.5 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) không gian b-mêtric chữ nhật, {xn } dãy điểm X x ∈ X Kết hợp (2.3), (2.6) (2.11) (2.12) ta thu d1 (gxn , gxn+p ) + d1 (gyn , gyn+p ) = d1 (gxn , gxn+2m ) + d1 (gyn , gyn+2m ) ∗ ≤ s(δ + δn+1 ) + s2 (δn+2 + δn+3 ) + + sm−1 (δn+2m−4 + δn+2m−3 ) + sm−1 δn+2m−2 ≤ s(k n + k n+1 )δ0 + s2 (k n+2 + k n+3 )δ0 + + + sm−1 (k n+2m−4 + k n+2m−3 )δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ } = sk n (1 + k)[1 + sk + (sk )2 + + (sk )m−2 ]δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ }  n sk = sk (1 + k)(m − 1)δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ } − (sk )m−1 = n sk (1 + k) δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ } sk = 1, − (sk )  n sk (1 + k)(m − 1)δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ } sk = = sk n (1 + k) sk = δ0 + sm−1 k n+2m−2 max{δ0 , δ0∗ }  − (sk ) (2.13) Vì k ∈ [0, 1) nên k n → n → ∞ Cho n → ∞ (2.10) (2.13) ta có lim [d1 (gxn , gxn+p ) + d1 (gyn , gyn+p )] = 0, n→∞ kéo theo {gxn } {gyn } dãy Cauchy g(X) Vì g(X) đầy đủ nên tồn x, y ∈ X cho lim gxn = gx lim gyn = gy n→∞ n→∞ 27 Từ (2.1) (2.4) ta có d1 (gxn+1 , F (x, y)) + d1 (gyn+1 , F (y, x)) = d1 (F (xn , yn ), F (x, y)) + d1 (F (yn , xn ), F (y, x)) ≤ k1 [d2 (gxn , gx) + d2 (gyn , gy)] + k2 [d2 (gxn , F (xn , yn )) + d2 (gyn , F (yn , xn ))] + k3 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] = k1 [d2 (gxn , gx) + d2 (gyn , gy)] + k2 [d2 (gxn , gxn+1 ) + d2 (gyn , gyn+1 )] + k3 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] ≤ k1 [d1 (gxn , gx) + d1 (gyn , gy)] + k2 [d1 (gxn , gxn+1 ) + d1 (gyn , gyn+1 )] + k3 k [d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x))] = k1 [d1 (gxn , gx) + d1 (gyn , gy)] + k2 δn + k3 [d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x)] ≤ k1 [d1 (gxn , gx) + d1 (gyn , gy)] + k2 k n δ0 + k3 [d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x)] (2.14) Áp dụng (2.4) (2.14) ta có d1 (gxn , F (x, y)) + d1 (gyn , F (y, x)) ≤ s[d1 (gxn , gx) + d1 (gxn , gxn+1 ) + d1 (gxn+1 , F (x, y))] + s[d1 (gyn , gy) + d1 (gyn , gyn+1 ) + d1 (gyn+1 , F (y, x))] = s[d1 (gxn , gx) + d1 (gxn , gy)] + sδn + s[d1 (gxn+1 , F (x, y)) + d1 (gyn+1 , F (y, x))] ≤ s(1 + k1 )[d1 (gxn , gx) + d1 (gyn , gy)] + s(1 + k2 )k n δ0 + sk3 [d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x))] (2.15) Cho n → ∞ bất đẳng thức (2.15) ta thu d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x)) ≤ sk3 [d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x))] (2.16) Vì ≤ sk3 < nên ta suy d1 (gx, F (x, y)) + d1 (gy, F (y, x)) = 28 Điều kéo theo gx = F (x, y) gy = F (y, x) Vậy, (x, y) điểm chung đôi F g Tiếp theo, ta chứng minh tính điểm chung đôi F g Thật vậy, giả sử (x∗ , y ∗ ) điểm chung đôi khác F g Từ (2.1) ta có d1 (gx, gx∗ ) + d1 (gy, gy ∗ ) = d1 (F (x, y), F (x∗ , y ∗ )) + d1 (F (y, x), F (y ∗ , x∗ )) ≤ k1 [d2 (gx, gx∗ ) + d2 (gy, gy ∗ )] + k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + k3 [d2 gx∗ , F (x∗ , y ∗ )) + d2 (gy ∗ F (y ∗ , x∗ ))] = k1 [d2 (gx, gx∗ ) + d2 (gy, gy ∗ )] ≤ k1 [d1 (gx, gx∗ ) + d1 (gy, gy ∗ )] (2.17) Từ (2.17) ≤ k1 ≤ k1 + k2 + k3 < nên ta suy d1 (gx, gx∗ ) + d1 (gy, gy ∗ ) = Điều kéo theo gx = gx∗ gy = gy ∗ Vì thế, điểm chung đôi F g Bây giờ, ta chứng minh gx = gy Thật vậy, (2.1) ta có d1 (gx, gy) + d1 (gy, gx) = d1 (F (x, y), F (y, x)) + d1 (F (y, x), F (x, y)) ≤ k1 [d2 (gx, gy) + d2 (gy, gx)] + k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + k3 [d2 gy, F (y, x)) + d2 (gxF (x, y))] = k1 [d2 (gx, gy) + d2 (gy, gx)] ≤ k1 [d1 (gx, gy) + d1 (gy, gx)] Từ (2.17) ≤ k1 ≤ k1 + k2 + k3 < nên ta suy d1 (gx, gy) + d1 (gy, gx) = Vậy gx = gy Cuối cùng, F g w-tương thích g(F (x, y)) = F (gx, gy) Lấy u = gx ta có u = gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Do gu = ggu = g(F (x, y)) = F (gx, gy) = F (u, u) 29 Chứng tỏ (gu, gu) điểm đôi chung F g Từ tính ta có gu = gx suy F (u, u) = gu = u Vì vậy, (u, u) điểm bất động đôi chung F g 2.1.3 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực k1 , k2 , k3 ∈ [0, 1) cho ≤ 2(k1 + k2 + k3 ) < 1; ≤ 2sk3 < ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v)) ≤ k1 [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] + k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + k3 [d2 (gu, F (u, v)) + d2 (gv, F (v, u))] (2.18) với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đôi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) Chứng minh: Từ (2.18) ta có d1 (F (x, y), F (u, v)) ≤ k1 [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] + k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + k3 [d2 (gu, F (u, v)) + d2 (gv, F (v, u))] (2.19) d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ k1 [d2 (gy, gv) + d2 (gx, gu)] + k2 [d2 (gy, F (y, x)) + d2 (gx, F (x, y))] + k3 [d2 (gv, F (v, u)) + d2 (gu, F (u, v))] 30 (2.20) Kết hợp (2.19) (2.20) ta có d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ 2k1 [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] + 2k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + 2k3 [d2 (gu, F (u, v)) + d2 (gv, F (v, u))] Từ Định lý 2.1.2 ta có điều phải chứng minh Trong Định lý 2.1.2 ta cho d1 = d2 = d với x, y ∈ X ta nhận hệ sau: 2.1.4 Hệ ([8]) Cho (X, d) tập không gian b-mêtric chữ nhật đầy đủ với hệ số s ≥ Giả sử tồn số thực k1 , k2 , k3 ∈ [0, 1) cho ≤ k1 + k2 + k3 < 1; ≤ sk3 < ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d(F (x, y), F (u, v)) ≤ k1 [d(gx, gu) + d(gy, gv)] + k2 [d(gx, F (x, y)) + d(gy, F (y, x))] + k3 [d(gu, F (u, v)) + d(gv, F (v, u))] với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đơi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) 2.1.5 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực αi ∈ [0, 1) (i = 1, 2, 3, , 6) cho ≤ a1 + a2 + + a6 < 1; ≤ s(a5 + a6 ) < ánh xạ 31 F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v)) ≤ a1 d2 (gx, gu) + a2 d2 (gy, gv)] + a3 d2 (gx, F (x, y)) + a4 d2 (gy, F (y, x)) + a5 d2 (gu, F (u, v)) + a6 d2 (gv, F (v, u)) (2.21) với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đôi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) Chứng minh: Lấy (x, y), (u, v) ∈ X × X , từ (2.21) ta có d1 (F (x, y), F (u, v)) ≤ a1 d2 (gx, gu) + a2 d2 (gy, gv) + a3 d2 (gx, F (x, y)) + a4 d2 (gy, F (y, x)) + a5 d2 (gu, F (u, v)) + a6 d2 (gv, F (v, u)) (2.22) d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ a1 d2 (gy, gv) + a2 d2 (gx, gu) + a3 d2 (gy, F (y, x)) + a4 d2 (gx, F (x, y)) + a5 d2 (gv, F (v, u)) + a6 d2 (gu, F (u, v)) Kết hợp (2.22) (2.23) ta có d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ (a1 + a2 )[d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] + (a3 + a4 )[d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + (a5 + a6 )[d2 (gu, F (u, v)) + d2 (gv, F (v, u))] Từ Định lý 2.1.2 ta có điều phải chứng minh Các hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 2.1.2 32 (2.23) 2.1.6 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực k ∈ [0, 1) ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ k[d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đơi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) 2.1.7 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực k ∈ [0, 1) ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v))+d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ k[d2 (gx, F (x, y))+d2 (gy, F (y, x))] với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đôi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) 2.1.8 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực k ∈ [0, 1) cho ≤ sk < ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v))+d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ k[d2 (gu, F (u, v))+d2 (gv, F (v, u))] với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đơi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) 33 Lấy hệ số s = Định lý 2.1.2 ta thu hệ sau: 2.1.9 Hệ ([8]) Cho X tập khác rỗng d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) với x, y ∈ X Số thực s ≥ hệ số b-mêtric chữ nhật d1 Giả sử tồn số thực k1 , k2 , k3 ∈ [0, 1) cho ≤ k1 + k2 + k3 < ánh xạ F : X × X → X g : X → X thỏa mãn điều kiện d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ k1 [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] + k2 [d2 (gx, F (x, y)) + d2 (gy, F (y, x))] + k3 [d2 (gu, F (u, v)) + d2 (gv, F (v, u))] với (x, y), (u, v) ∈ X × X Nếu F (X × X) ⊂ g(X) (g(X), d1 ) đầy đủ F g có điểm chung đơi (x, y) ∈ X × X thỏa mãn gx = F (x, y) = gy = F (y, x) Hơn nữa, F g w- tương thích F g có điểm bất động đôi chung (u, u) cho u = gu = F (u, u) 2.1.10 Ví dụ ([8]) Cho X = R d1 , d2 hai b-mêtric chữ nhật X cho (x − y)2 d1 (x, y) = (x − y) ; d2 (x, y) = ∀x, y ∈ X Xác định hai ánh xạ F : X × X → X g : X → X cho F (x, y) = x−y ; gx = 2x ∀x, y ∈ X Dễ thấy, F (X × X) ⊂ g(X), (g(X), d1 ) đầy đủ, F g w- tương thích Mặt khác ta có 34 d1 (F (x, y), F (u, v)) = (F (x, y) − F (u, v))2 x−y u−v =( − ) 3 x−u v−y =( − ) 3 x−y u−v ≤ 2[( ) −( )] 3 (2x − 2u)2 (2y − 2v)2 + ] = [ 2 (gx − gu)2 (gy − gv)2 = [ + ] 2 = [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] Tương tự ta có d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ [d2 (gy, gv) + d2 (gx, gu)] Kết hợp bất đẳng thức ta nhận d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] Khi đó, theo Hệ 2.1.6, F g có điểm bất động đơi chung Rõ ràng, (0, 0) điểm bất động đôi chung F g 2.2 Ứng dụng vào toán chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình tích phân Trong mục này, cách áp dụng kết thu Mục 2.1, nghiên cứu tồn nghiệm hệ phương trình tích phân phi tuyến Ký hiệu X = C([a, b]) tập hàm thực liên tục [a, b], với x, y ∈ X k ≥ ta trang bị X hai b-mêtric chữ nhật cho d1 (x, y) = max |x(t) − y(t)|k , t∈[a,b] 35 maxt∈[a,b] |x(t) − y(t)|k d2 (x, y) = Khi đó, hệ số hai b-mêtric chữ nhật s = 3k−1 Xét hệ phương trình tích phân sau: x(r) = K(r) + y(r) = K(r) + b a G(r, t)[f (t, x(t)) + g(t, y(t))]dt b a G(r, t)[f (t, y(t)) + g(t, x(t))]dt (2.24) Để xét tồn nghiệm hệ phương trình tích phân (2.24), bổ sung giả thiết sau: (i) f, g : [a, b] × R → R hàm liên tục (ii) K : [a, b] → R hàm liên tục (iii) G : [a, b] × R → R hàm liên tục (iv ) Tồn số thực p, q > cho với x, y ∈ X ta có |f (t, x(t)) − f (t, y(t))| ≤ p|x − y| |g(t, x(t)) − g(t, y(t))| ≤ q|x − y| (v ) b |G(r, t)|dt)k ≤ max ( t∈[a,b] a 2k+1 Lk L = max{p, q} 2.2.1 Định lí ([8]) Với điều kiện (i)-(v), hệ phương trình tích phân (2.24) có nghiệm [a, b] Chứng minh: Xác định hàm F : X × X → X g : X → X tương ứng cho bởi: b F (x, y)(r) = K(r) + G(r, t)[f (t, x(t)) + g(t, y(t))]dt, a gx = 2x, ∀x ∈ X, t ∈ [a, b], d1 (F (x, y), F (u, v)) = max |F (x, y)(r) − F (u, v)(r)|k , ∀x, y, u, v ∈ X, t∈[a,b] 36 maxt∈[a,b] |F (x, y)(r) − F (u, v)(r)|k d2 (F (x, y), F (u, v)) = , ∀x, y, u, v ∈ X Dễ thấy, F (X × X) ⊂ g(X), (g(X), d1 ) đầy đủ, F g w- tương thích Mặt khác, từ (iv ) (v ) ta có |F (x, y)(r) − F (u, v)(r)|k b b G(r, t)[g(t, y(t)) − g(t, v(t))]dt |k G(r, t)[f (t, x(t)) − f (t, u(t))]dt + =| a a b ≤ 2k−1 | G(r, t)[f (t, x(t)) − f (t, u(t))]dt |k a b + 2k−1 | G(r, t)[g(t, y(t)) − g(t, v(t))]dt |k a b k−1 =2 G(r, t)[f (t, x(t)) − f (t, u(t))]dt |k [| a b G(r, t)[g(t, y(t)) − g(t, v(t))]dt |k ] +| a b ≤2 k−1 k k k k t∈[a,b] t∈[a,b] ≤ 2k−1 Lk [max |x(t) − u(t)|k + max |y(t) − v(t)|k ] t∈[a,b] ≤ = |G(r, t)|dt)k [p (max |x(t) − u(t)|) + q (max |y(t) − v(t)|) ]( 2k+1 2k+1 Lk [max |2x(t) − 2u(t)|k + max |2y(t) − 2v(t)|k ] 2k+2 t∈[a,b] t∈[a,b] a t∈[a,b] [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] Từ bất đẳng thức ta có d1 (F (x, y), F (u, v)) = max |F (x, y)(r) − F (u, v)(r)|k t∈[a,b] ≤ 2k+1 [d2 (gx, gu) + d2 (gy, gv)] (2.25) Lý luận tương tự ta có d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ 2k+1 37 [d2 (gy, gv) + d2 (gx, gu)] (2.26) Kết hợp (2.25) (2.26) ta suy d1 (F (x, y), F (u, v)) + d1 (F (y, x), F (v, u)) ≤ [d2 (gy, gv) + d2 (gx, gu)] 2k Rõ ràng, điều kiện Hệ 2.1.6 thỏa mãn Do đó, F g có điểm bất động đơi chung (u, u) thỏa mãn F (u, u) = gu = u Vì vậy, (u, u) nghiệm hệ phương trình (2.24) 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Trình bày cách có hệ thống khái niệm khơng gian b-mêtric, không gian mêtric chữ nhật, không gian b-mêtric chữ nhật khái niệm, tính chất, ví dụ khơng gian b-mêtric chữ nhật Trình bày chi tiết kết tồn điểm bất động cho ánh xạ co Banach, Kannan Boyd-Wong suy rộng lớp không gian b-mêtric chữ nhật ví dụ minh họa có tài liệu ([6]) ([7]) Trình bày chi tiết số kết tồn điểm bất động chung cho ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric chữ nhật ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình tích phân có tài liệu ([8]) 39 Tài liệu tham khảo [1] M A Alghamdi, N Hussain and P Salim (2013), "Fixed point and coupled fixed point theorems on b- metric-like spaces", Journal of Inequalities and Applications, 25 pages [2] I A Bakhtin (1989), "The contraction mapping principle in quasi-metric spaces", Funct Anal Uni Gos Ped Inst., 30, 26-37 [3] A Branciari (2000), "A fixed point theorem of Banach-Caccippoli type on a class of generalized metric spaces", Publ Math Debrecen., 57, 31-37 [4] C Chen, H Xue and C Zhu (2017) , "Common fixed point theorems concerning F-contraction in b-metric-like spaces", Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 3075-3086 [5] S Czerwik (1993), "Contraction mappings in b- metric spaces", Acta Math Inform Univ Ostrav., 1, 5-11 [6] H S Ding, M Imdad, S Radenovic, J Vujakovic (2016), "On some fixed point results in b-metric, rectangular and b-rectangular metric spaces", Arab J Math Sci., 22, 151-164 [7] R George, S Radenovic, K P Reshma, S Shukla (2015), "Rectangular b-metric spaces and contraction principles", Journal of Nonlinear Science and Applications, 8, 1005-1013 [8] F Gu (2017), "On some common coupled fixed point results in rectangular b-metric spaces", Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 40854098 40 [9] A Harandi (2012), "Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point", Fixed point theory and Applications, Article ID 204 [10] H Piri and P Kumam (2014), "Some fixed point theorems concerning F-contraction in complete metric spaces", Fixed point theory and Applications, 11 pages [11] D Wardowski (2012), "Fixed point of a new type of contractive mappings in complete metric spaces", Fixed point theory and Applications, pages 41 ... Khơng gian b- mêtric chữ nhật số định lý điểm b? ??t động Chương trình b? ?y số khái niệm, tính chất khơng gian b- mêtric chữ nhật kết tồn điểm b? ??t động cho ánh xạ co Banach Kannan không gian b- mêtric chữ. .. 20 12 25 t f có điểm Chương Điểm b? ??t động chung cho ánh xạ co suy rộng ứng dụng Chương trình b? ?y số kết tồn điểm b? ??t động chung cho ánh xạ co suy rộng không gian b- mêtric chữ nhật ứng dụng chúng... hệ phương trình tích phân 2.1 Điểm b? ??t động chung cho ánh xạ co suy rộng Mục trình b? ?y số kết tồn điểm b? ??t động chung cho ánh xạ co suy rộng không gian b- mêtric chữ nhật 2.1.1 Định nghĩa ([8])