Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình trong lý thuyết hàm hình học

MỤC LỤC

Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình

Định lý. Ta có

Đặt rk zk , và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact tương đối của y (một lân cận U như vậy luôn có thể lấy được, vì về mặt địa phương Y là một không gian con đóng của một đa đĩa trong  N). Vì tính liên tục của khoảng cách dY xác định tô pô trên Y, ta có thể giả thiết f z( )k U. Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một không gian con của một đa đĩa trong  N, sao cho bao đóng U của U trong Y là compact và được chứa trong đa đĩa.

Vì các độ dài hyperbolic của các đường tròn bán kính ak và bk dần đến 0 khi k và f là giảm khoảng cách từ d * tới dX, nên ta có dX-đường kính của f( k) và. Nói cách khác, f z1( )k không nằm trong ảnh của hai đường tròn k, k qua các ánh xạ f. , Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi K3-định lý.

Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ chỉnh hình fk: * X đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1,..,zm trong M sao cho về địa phương.

Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn A Aj như là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các Aj không có kỳ dị và A có giao chuẩn tắc. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển ft thành ánh xạ chỉnh hình trên n với mỗi t.

Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi X Y là compact và A là tùy ý (không có điều kiện gì về kỳ dị). Sau khi đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là. Ví dụ sau là của Kiernan chứng tỏ rằng nếu X không là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết.

Định lý thác triển hội tụ Noguchi

Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt không nhất thiết có giao chuẩn tắc. Theo định lý Ascoli, do Y là không gian compact nên F Hol(M X, ) không là liên tục đồng đều. Vì tính liên tục đồng đều là tính chất địa phương, ta có thể giả thiết. Điều này trái giả thiết. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. Ta chứng minh quy nạp theo m. F là họ chuẩn tắc đều. Chọn các dãy. Giả sử U, V là các lân cận compact tương đối của p sao cho V U và giả sử rằng. Vậy định lý được chứng minh. , Sử dụng các kết quả trên ta có thể mở rộng K3-định lý và định lý thác triển hội tụ Noguchi như sau. Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M. Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ f. Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f là thác triển chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh f là liên tục. Vậy i) được chứng minh. Để chứng minh ii) ta chứng minh. Vậy iii) được chứng minh.

Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt

Định lý. Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z

Hơn nữa, nếu {fj:Z H\ M}j 1 là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ đều trên các tập con compact của Z H\ tới ánh xạ chỉnh hình. Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều hòa, ta có h là điều hòa dưới trên. Giả sử M là một miền trong không gian phức X, tức là, M là một tập con khác rỗng, mở và liên thông của X.

(i) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một điểm p trong M nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới trên U M, tức là liên tục trên U M và thỏa mãn. (ii) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại một điểm p trong M nếu có một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới trên U M, tức là liên tục trên U M và thỏa mãn. Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa phương và tại p xác định trên một lân cận V p của p.

Giả sử với mỗi p M , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa dưới tại p, cả hai cùng định nghĩa trên một lân cận của p trong X. Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X thỏa mãn với mỗi điểm p M , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa dưới tại p, cả hai cùng xác định trên một lân cận của p trong X. Lặp lại quá trình này ta nhận được f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f Z: M.

Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng (xem [12]). Cho X là không gian phức giả lồi có tính chất * EP. Giả sử A là siêu mặt giải tích tùy ý của một đa tạp phức M. i) Trước hết ta chứng minh X là lồi đĩa yếu. Như trên, ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị và bằng cách địa phương hóa các ánh xạ, ta có thể giả sử rằng. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức hyperbolic Y sao cho X có tính chất * EP đối với Y.

Trước hết ta chứng minh rằng với một số 0 tùy ý, tồn tại lân cận V0 của z0 trong M sao cho. Giả sử M là đa tạp phức với số chiều m, và A là tập con không đâu trù mật trong không gian con phức B M với số chiều m 1. (*) Chọn một lân cận compact tương đối Vp của p trong X sao cho Vp được chứa trong một lân cận tọa độ chỉnh hình của p trong Y.

Giả sử M là đa tạp phức với số chiều là m, và A là tập con không đâu trù mật trong không gian con phức. Giả sử X là không gian phức hyperbolic đầy, M là đa tạp phức và A M là tập con giải tích bất kỳ với đối chiều 2.