Trong phần này, ta nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình vào các đa tạp hầu phức nhúng hyperbolic.
2.1.3.1. Định lý
Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J0) có số chiều 4 và (M, J) là một đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N, J). Khi đó mỗi ánh xạ giả chỉnh hình f : (S\C, J0) −→ (M, J) đều thác triển được lên một ánh xạ (J0, J)- chỉnh hình từ S tới N.
2.1.3.2. Bổ đề
Giả sử A là một tập con mỏng của một đa tạp hầu phức X,(M, J)
là đa tạp con hầu phức, compact tương đối của một đa tạp hầu phức
(N, J). Giả sử f : X\A −→ (M, J) là một ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu
f thác triển liên tục tới fe: X −→ N thì felà ánh xạ giả chỉnh hình. Như trong [Jo], một tập con đóng A của X được gọi là tập con mỏng nếu tồn tại một phép chia lớp địa phương h của X xác định bởi các đĩa giả chỉnh hình quanh p, với mỗi p thuộc A, mà thỏa mãn các tính chất sau:
1. Tồn tại hằng số dương r < 1sao choAz0 = {w ∈ ∆ : h(z0, w) ∈ C}
là tập điểm hữu hạn được chứa trong đĩa ∆r với mỗi z0 ∈ ∆n−1. 2. Tồn tại các dãy (rj) và (sj) gồm các số thực nhỏ hơn 1 sao cho
rj −→ 0 và các mặt trụ {(z0, w) : |w| = rj, |z0| < sj} không giao với h−1(A) với mọi j ∈ N.
Chứng minh Định lý 2.1.3.1
Với điểm p bất kỳ thuộc C, chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆×∆−→ X thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) h là vi phôi lên một lận cận của p và h(0,0) = p.
(b) h(., z0) : ∆ −→X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. (c) Với mỗi z0 ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆; h(w, z0) ∈ C}= {0}.
Ta ký hiệu fw là ánh xạ f ◦h(., w) với w ∈ ∆. Vì với mỗi w ∈ ∆,
fw : ∆∗ −→(M, J)
là đường cong giả chỉnh hình xác định trên đĩa ∆∗, nên nó có thể được thác triển thành đường cong giả chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ tới N. Ta
ký hiệu fw : ∆∗ −→ (N, J) là ánh xạ thác triển. Giả sử (wk) là dãy trong ∆, và wk → w0 ∈ ∆.
Ta chỉ cần chứng minh fewk hội tụ đều đến few0 trong lân cận của 0. Vì (M, J) là nhúng hyperbolic trong (N, J), theo Định lý 2.1.2.6, bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả sử dãy các đường cong giả chỉnh hình fewk hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới một đường cong giả chỉnh hình ϕ: ∆ −→(N, J). Khi đó, theo điều kiện (c)
nhận được
ϕ(z) = limfwk(z) =fw0(z) =few0(z) với z ∈ ∆∗.
Do đó, few0 trùng với ϕ trên đĩa đơn vị và (fewk) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của ∆. Suy ra f ◦h là liên tục trong lân cận của (0, w0)
và f có thể thác triển liên tục lên X, kí hiệu là fe. Theo Bổ đề 2.1.3.2 ta có felà ánh xạ giả chỉnh hình. Định lý được chứng minh.