Trong phần này, ta nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình vào các đa tạp hầu phức nhúng hyperbolic.
2.1.3.1. Định lý
Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S,J0) có số chiều 4 và (M,J) là một đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N,J). Khi đó mỗi ánh xạ giả chỉnh hình f : (S\C,J0) −→ (M,J) đều thác triển được lên một ánh xạ (J0,J)- chỉnh hình từ S tới N.
Việc chứng minh định lý này dựa trên Bổ đề sau (xem [ Jo ]).
Giả sử A là một tập con mỏng của một đa tạp hầu phức X,(M,J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối của một đa tạp hầu phức (N,J). Giả sử f : X\A −→ (M,J) là một ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu f thác triển liên tục tới fe: X −→ N thì fe là ánh xạ giả chỉnh hình.
Như trong [Jo], một tập con đóng A của X được gọi là tập con mỏng nếu tồn tại một phép chia lớp địa phương h của X xác định bởi các đĩa giả chỉnh hình quanh p, với mỗi p thuộc A, mà thỏa mãn các tính chất sau:
1. Tồn tại hằng số dương r < 1 sao choAz0 = {w ∈ ∆ : h(z0, w) ∈C} là tập điểm hữu hạn được chứa trong đĩa ∆r với mỗi z0 ∈ ∆n−1.
2. Tồn tại các dãy (rj) và (sj) gồm các số thực nhỏ hơn 1 sao cho rj −→ 0 và các mặt trụ {(z0, w) : |w| = rj, |z0| < sj} không giao với h−1(A) với mọi j ∈N.
Chứng minh Định lý 2.1.3.1
Với điểm p bất kỳ thuộc C, chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) h là vi phôi lên một lận cận của p và h(0,0) = p.
(b) h(., z0) : ∆ −→ X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. (c) Với mỗi
z0 ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆; h(w, z0) ∈C} = {0}.
fw : ∆∗−→ (M,J)
là đường cong giả chỉnh hình xác định trên đĩa ∆∗, nên nó có thể được thác triển thành đường cong giả chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ tới N. Ta ký hiệu fw : ∆∗−→ (N,J) là ánh xạ thác triển. Giả sử (wk) là dãy trong ∆, và wk → w0 ∈ ∆.
Ta chỉ cần chứng minh hội tụ đều đến trong lân cận của 0. Vì (M,J) là nhúng hyperbolic trong (N,J), theo Định lý 2.1.2.6 , bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả sử dãy các đường cong giả chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới một đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆ −→ (N,J). Khi đó, theo điều kiện (c) nhận được
với z ∈ ∆∗.
Do đó, trùng với ϕ trên đĩa đơn vị và hội tụ đều trên mỗi tập con compact của ∆. Suy ra f ◦ h là liên tục trong lân cận của (0,w0) và f có thể thác triển liên tục lên X, kí hiệu là fe. Theo Bổ đề 2.1.3.2 ta có felà ánh xạ giả chỉnh hình. Định lý được chứng minh.