Giả sử (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của
(N,J). Như trong [A-S] ta mở rộng dJM lên bao đóng M của M trong
N như sau: ∀p,q ∈ M, ta định nghĩa
Khi đó ta có định nghĩa sau.
Ta gọi p ∈ M là một điểm suy biến của nếu tồn tại một điểm
q ∈ M\{p} sao cho . Kí hiệu SMJ (N) là tập tất cả các điểm suy biến của .
2.1.1.2. Ví dụ
Giả sử (N,J) = (P1(C),J0) là mặt cầu Riemann được trang bị cấu trúc phức
chuẩn (xem Kobayashi [ Ko],
Ví dụ 3.1.21, tr.56), ta có
,
tức là tất cả các điểm của P1(C) đều là các điểm suy biến của .
2.1.1.3. Định nghĩa
Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài
G, (M,J) là đa tạp con của N. Một điểm p ∈ M được gọi là điểm J-hyperbolic
đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một hằng số dương c sao cho KMJ ≥ c.G trên U ∩ M.
2.1.1.4. Nhận xét
Tương tự tiêu chuẩn của Royden [Ro] ta có (M,J) là hyperbolic nếu và chỉ nếu mỗi điểm p ∈ M đều là điểm J-hyperbolic đối với M.
Tiếp theo ta có mệnh đề sau:
Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức và (M,J) là một đa tạp con hầu
phức của (N,J). Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) p ∈/ SMJ (N).
(ii) p là điểm J-hyperbolic đối với M.
Để chứng minh mệnh đề trên ta cần sử dụng bổ đề (xem [Si] Mệnh đề 2.3.6, tr. 171).
2.1.1.6. Bổ đề
Cho D là một miền trong Cn. Có một hằng số dương δ0 sao cho với
mỗi cấu trúc hầu phức J trong một lân cận của D thoả mãn kJ − J0kC2(D) ≤ δ0, khi
đó ta có
kfkC1(∆r) ≤ ckfkC0(∆),
với mỗi f ∈OJ(∆,D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào
r và δ0, J0 là cấu trúc phức chuẩn tắc trên Cn.
Chứng minh Mệnh đề 2.1.1.5
(i) ⇒ (ii) : Giả sử p không là điểm J-hyperbolic đối với M. Khi đó với mỗi n ≥ 1, tồn tại pn ∈ M và ξn ∈ TpnM sao cho dãy (pn) hội tụ tới p, |ξn| = 1 và KMJ (ξn) → 0. Do đó, tồn tại dãy (fn) ⊂OJ(∆,M) sao cho limfn(0) = p,
Giả sử W là một lân cận compact tương đối đủ nhỏ trong bản đồ địa phương quanh p. Nếu tồn tại r ∈ (0,1) sao chofn(∆r) ⊂ W, theo Bổ đề
2.1.1.6 ta suy ra tồn tại một hằng số dương c sao cho c||fn||C0(∆r)
và điều này mâu thuẫn với . Do đó, với mỗi số nguyên dương
k có zk ∈ ∆ và nk ∈Z sao cho |zk| < k1 và fnk(zk) ∈ ∂W. Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng fnk(zk) → q ∈ ∂W. Khi đó
,
nên p là điểm suy biến của .
(ii) ⇒ (i) : Giả sử rằng p là điểm suy biến của . Khi đó tồn tại điểm q ∈ M\{p} sao cho . Theo giả thiết, tồn tại lân cận
U của p sao cho q ∈/ U và KMJ ≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một hằng số dương và G là một hàm độ dài trên N. Lấy V,W lần lượt là lân
cận của p,q trong N, sao cho V b U và W ∩U = ∅. Lấy r ∈ V ∩M và s ∈ W ∩ M là hai điểm tuỳ ý. Gọi γ(t) là đường cong trơn từng khúc trên M sao cho γ(0) = r và γ(1) = s. Khi đó
,
trong đó E = {t ∈ [0,1];γ(t) ∈ U}. Tức là
dM(p,q) ≥ c.dist(∂U,∂V ) > 0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.1.1.7. Nhận xét
Từ chứng minh trên, ta có thể thấy ngay rằng p ∈/ SMJ (N) nếu và chỉ nếu
p thoả mãn: với mỗi lân cận W của p, đều tồn tại một hằng số dương R sao
cho
sup {|f0(0)|,f(0) ∈ W}≤ R.
f∈OJ(∆,M)
Từ Mệnh đề 2.1.1.5 ta có hệ quả sau.
2.1.1.8. Hệ quả
Giả sử (N,J) là đa tạp hầu phức và (M,J) là đa tạp con của N. Khi đó (M,J)
là nhúng hyperbolic trong (N,J) nếu và chỉ nếu SMJ (N) = ∅.
SMJ (N) là tập con đóng trong N.
Chứng minh
Giả sử (pn) là một dãy trong SMJ (N) hội tụ tới p ∈ M. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại một lân cận compact tương đối W của p và
qn ∈ ∂W ∩M sao cho . Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng qn → q ∈ ∂W, khi đó . Hệ quả được chứng minh. 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình
Các kết quả sau là tổng quát hoá của Định lý Adachi [ Ad ]
2.1.2.1. Định lý
Cho (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối trong một đa tạp hầu phức (N,J) và fk : ∆∗→ (M,J) là dãy các đường cong giả chỉnh hình. Gọi (zk) và (wk) là hai dãy trong ∆∗hội tụ tới 0 sao cho dãy (fk(wk)) hội tụ đến q ∈/ SMJ (N). Khi đó dãy (fk(zk)) hội tụ đến q. Nhận xét
Điều kiện q ∈/ SMJ (N) là cần thiết trong Định lý 2.1.2.1.
Thật vậy, với mỗi q ∈C\{0} và k nguyên dương, xét dãy đường cong chỉnh hình
fk : ∆∗→ C\{0} được xác định bởi . Ta có
. Do đó fk(zk) không hội tụ được đến q.
Để chứng minh Định lý 2.1.2.1 ta cần bổ đề về tính đơn điệu sau của Gromov (xem [Mu], Bổ đề 4.2.1, tr.223).
Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức compact được trang bị hàm độ dài
G. Gọi B(x,ε) là hình cầu bán kính ε tâm x trong M. Tồn tại các hằng số dương ε0 và c sao cho với mọi ε ≤ ε0 và mọi đường cong giả chỉnh hình S ta có
AreaG(S ∩ B(x,ε)) ≥ cε2,
với mọi x ∈ S và S ∩ B(x,ε) là một mặt compact với biên được chứa trong ∂B(x,ε).
AreaG là diện tích ứng với metric G.
Giả thiết về tính compact của M có nghĩa là tất cả các hằng số mà ta đề cập đến không phụ thuộc vào cách chọn điểm x.
Chứng minh Định lý 2.1.2.1
Ta chỉ ra rằng sẽ là vô lý nếu có một dãy (zk) trong ∆∗hội tụ đến 0 sao cho fk(zk) → q0 6= q.
(i) Bằng cách lấy dãy con và đánh lại ký hiệu ta có thể giả sử |wk| < |zk|.
Đặt ρk(t) = wkeit với t ∈ [0,2π]. Ta chứng tỏ rằng
fk(ρk) → q. (1)
Thật vậy, với mỗi αk ∈ ρk, ta có
.
Vì , nên ta có fk(αk) → q.
Giả sử G là hàm độ dài trên N. Theo Hệ quả 2.1.1.9 và Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại các lân cận compact tương đối địa phương U,W của q
sao cho U ⊂ W, U là vi phôi với hình cầu đơn vị B(q,1) ⊂Cn và một hằng số dương
c sao cho
W ∩ SMJ (N) = ∅ và q0 ∈/ W. (2)
KMJ ≥ c.G trên W ∩ M. (3) Vì fk(ρk) → q và fk(zk) → q0, với k đủ lớn ta có fk(ρk) ⊂ U và fk(zk) ∈/
W. Do đó, tồn tại sao cho .
Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta giả sử rằng fk(zk0 ) → p ∈ ∂U. Từ (2) ta có
p ∈/ SMJ (N).
Gọi R là vành khuyên mở lớn nhất chứa ρk và
fk(Rk) ⊂ U. (4)
Vì fk(zk0 ) → p ∈ ∂U, khi đó tồn tại ak ≥ 0 và bk < |zk0 | sao cho Rk = {z ∈C,ak < |z| < bk}.
Lấy . Ta có
fk(ρk) → q và cũng giống như trong chứng minh fk(σk) → p ∈ ∂U. Khi đó với k đủ lớn ta có
.
Khi đó tồn tại các điểm ck ∈Rk, sao cho
Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 và α
sao cho với , ta có
AreaG(fk(Rek)) ≥ AreaG(fk(Rek) ∩ B(fk(ck),ε)) ≥ αε2.
Mặt khác, ta kí hiệu Area là diện tích của đối với metric Poincaré trên ∆∗. Khi đó ta có
Area .
Từ (3) và (4) ta có
Area .Area∆∗(Rek) → 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
(ii) Bằng cách lấy dãy con và đánh số lại, ta có thể giả sử |zk| < |wk|. Như trong trường hợp (i) tồn tại một dãy (zk0 ) trong ∆∗hội tụ tới 0 sao cho |zk|
< |zk0 | < |wk| và fk(zk0 ) → p ∈ ∂U. Bằng cách xét vành khuyên
, ta có thể đưa về như trường hợp (i), suy ra điều phải chứng minh.
2.1.2.3. Hệ quả
Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức compact trong đa tạp hầu phức (N,J)
và f : ∆∗→ (M,J) là một đường cong giả chỉnh hình. Nếu có dãy (zk) ⊂ ∆∗,zk
→ 0 sao cho f(zk) → q ∈/ SMJ (N), thì f có thể thác triển thành đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ → (N,J).
Chứng minh
Giả sử f : ∆∗→ M là ánh xạ giả chỉnh hình. Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N và nếu f là liên tục, khả vi và giả chỉnh hình ngoại
trừ một tập con rời rạc, thì f là khả vi và giả chỉnh hình trên ∆, (xem [Si], tr.169).
2.1.2.4. Hệ quả
Giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N,J) và f : ∆∗→ (M,J) là đường cong giả chỉnh hình. Nếu có một dãy (zk) trong ∆∗hội tụ tới 0 sao cho f(zk) hội tụ tới q ∈
M. Khi đó f có thể thác triển được thành đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ →
(M,J).
Đây là Hệ quả trực tiếp từ Hệ quả 2.1.2.3, vì nếu M là hyperbolic thì mọi điểm của M đều không là điểm suy biến.
2.1.2.5. Hệ quả
Giả sử fk : ∆∗→ M là dãy các đường cong chỉnh hình. Giả sử với mỗi fk có thể thác triển thành đường cong chỉnh hình . Nếu có dãy (zk)
trong ∆∗hội tụ tới 0 sao cho dãy (fk(zk)) hội tụ tới p ∈/ SMJ (N), thì fek(0)
hội tụ tới p.
Chứng minh
Nếu fek(0) 9 q thì do tính compact, ta có thể giả sử fek(0) → p 6= q. Vì mỗi
fek là liên tục, nên tồn tại dãy (zk) ⊂ ∆∗sao cho zk → 0 và fk(zk) → q. Điều này mẫu thuẫn theo Định lý 2.1.2.1. Hệ quả được chứng minh.
Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong đa tạp hầu phức (N,J). Khi đó OJ(∆∗,M) là compact tương đối trong OJ(∆,N).
Chứng minh
Giả sử OJ(∆∗,M) không là compact tương đối trong OJ(∆,N). Khi đó theo Ascoli, OJ(∆∗,M) không đồng liên tục tại 0 và p ∈ N, tức là tồn tại một lân cận mở U của p, (zn) ⊂ ∆∗, và (fn) ⊂OJ(∆∗,M) sao cho với mỗi n. Theo tính compact, ta có thể giả sử dãy (fn(zn)) → q ∈/ U. Khi đó, theo Hệ quả 2.1.2.5, ta có . Từ đó nhận được mâu thuẫn và ta có điều phải chứng minh.