Mục đích của phần này là thiết lập các điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong tối ưu vectơ nửa vôhạn tuyến tính trong trường hợp đặc biệt khi T có hữu hạn phần tử.
Định lý 3.2.1. Cho p0 = (л0, &o) £ p và (pữ, Ж0) £ gphS.Giảsử rằng có các điều kiện sau
ỉ) C(p0) thỏa mẫn điều kiện Slater;
ii) Không có т0 С TPo(x°) mà ỊT0| < n thỏa mãn
— ơ0 Aữ G cone({B(t) I t G T0}) (3.4)
với mọi ơữ € M> mà xữ là nghiệm vô hướng hóa bởi ơ0.
Khi đó, s là giả Lipschitz tại (po, Ж0).
Trước khi chứng minh Định lý 3.2.1, chúng ta cần thiết lập bổ đề sau.
Tồn tại lăn cận w của pữ sao cho C(p) thỏa mãn điều kiện Slater với
mọi p e w;
b) Với dãy bất kì {(Pk, xk) := (Ak,bk, xk) }^°=1 c gph s hội tụ tới (Po, xữ) := (^oj&Oj^0) £ gphS, tồn tại ko > 1 sao cho
-ơkAk = XỊ B (tị) V k > k0 1=1
ở đó, CTfc G M> sao cho xk là nghiệm vô hướng hóa cho bởi ơỵ ; Xị >
0; tị € TPh{xk) Vi = 1,2, ...,n wà {B (ti) B [tn)} là độc lập tuyến tính trong Rn.
Chứng minh.
а) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa nên ta bỏ qua chứng minh.
б) Cho {(pjfc, xk) := (Ak, bk, xk)}™= 1 là một dãy của gphS sao cho {(pfc, £*)} hội tụ tới (po, x°) = (A>, bo, x°) € gphS. Do (pfc, xk) -»■ (po, £°) nên từ a) 3 /c0 > 1 sao cho C'(p) thỏa mãn điều kiện Slater V k > k0. Áp dụng Bổ đề 3.1.5, ta có thể khẳng
định với mọi k > kữ, 3ơk € v<3i ML — 1 sao cho xk là nghiệm vô hướng cho bởi (Tjfc, nghĩa là
xk € argmin { (ơf.Ảf.,z}\ z G ơ(pfc)}. Từ Bổ đề 3.1.3 ta có
- ơkAk <E cone ({5 (í) I í G (®fc)}) (3.5) Nếu tồn tại số nguyên dương kị sao cho TP k (a;fc) =0 V k > ki thì ơỵ Aỵ = 0. Nếu cần có thể lấy ra một dãy con, ta có thể giả sử lim ƠỊ. = ỡ € M> và ||ỡ||m = 1. Do đó,
ỡ Aữ = 0. Rõ ràng
xữ e argmin { (ỠAQ,Z) I z e ơ(po)}-
Cho т0 = 0 С TP o(xữ). Khi đó, — ỠOAQ e cone ({в (í) I t € TQ}). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ii) của Định lý 3.2.1. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng TP k (xk) Ỷ 0 у
к > k0. Từ (3.5) chỉ ra rằng 3q e N, Xị > 0 và tị € TP k (xk) , i e {l,...,ợ} sao cho
Î=1
Do tị e TPjfc (ж*), Bổ đề 3.1.1 và tính hữu hạn của T chỉ ra rằng tị = tị với к đủ lớn và tị G TP o (жд). Từ định lý Caratheodory, ta giả sử q < s, Xị > 0 Vi = l,qvầ { В (tị)\ ỉ =là
hệđộc lậptuyến tính.
g
Ta khẳng định q = n. Ngược lại, giả sử q < n. Đặt ịih := Ỵ2 ĩ к > k0. i= 1
Ta chỉ ra rằng tồn tại số thực dương a sao cho ịik < a \/k > k0. Thật vậy, nếu việc chỉ ra
của chúng ta là sai thì (nếu cần đưa ra dãy con) giả
sử là lim fik = +00 và { ^ Ị hội tụ tới Hi > 0 với mỗi i € {1,<?}.
k - t+00 ) к>к0
Chia hai vế ở (3.6) cho Hk và cho к —> +00, ta được
On = với = 1
i= 1 i= 1
Nghĩa là, On ẽ co ({5 (t) : t € Tp0 (ж0) }), điều này mâu thuẫn với khẳng định ở Bổ đề 3.1.2 và vấn đề chỉ ra của ta ở trên. Do đó, dãy {Af} bị chặn trên bởi a. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
lim ơk = ƠQ € , ỊỊcr0||m = 1
k—> + 00
và lim A* = Aj > 0 với mỗi ỉ € {1,q}
k-ị + oo
Cho к +00 trong (3.6) ta được g
- Ơ0A0 = ^2 ^iB (ti) với {*ъ —,tq} С TPữ (ж0) và q < n. (3.7)
i= 1
Điều này và Bổ đề 3.1.3 chỉ ra rằng x° là nghiệm vô hướng cho bởi 00, mâu thuẫn giả thiết
ii) của Định lý 3.2.1. Do đó, q = n. Bổ đề được chứng minh. □
BỔ đề 3.2.2. Nếu các giả thiết của định lý 3.2.1 được giữ nguyên thì ta có các
phát biểu sau
à) Vói mỗi ơ0 £ M> sao cho xữ tương ứng là một nghiệm vô hướng hóa thì
arg min { {ƠQAQ, Z) I z € с (pQ)} = {ж0};
b) Với {pk}kLi С p bất kì mà hội tụ tới p0 thì có thể tìm được các phần tứ xk e
Chứng minh.
a) Suy ra trực tiếp từ [6, Theorem 16 (iv)].
b) Giả sử ngược lại, 3 {pk := [Ak, bk)}™= 1 с p và một tập mở и £ Áí(xữ) sao cho {Pk} hội
tụ tới Pũ := (Aữ,òo) và
s ( pk) n u = 0 Vfc. (3.8) Chọn một hình cầu mở tâm Ж0, bán kính r > 0, kí hiệu B(xữ,r) sao cho clB(xữ,r) С u.
Từ giả thiết ỉ) của Định lý 3.2.1, C(p0) thỏa mãn điều kiện Slater. Bổ đề 3.1.4 chỉ ra rằng с là Isc ở pữ. Chúng ta chỉ ra
rằng tồn tại số nguyên k ũ > l ' , xk G C ( p k) C l B ( xũ, r) với IIЖ* — rc°II < — và zk € С
(Pk) \в (ж0, r) sao cho
At ự) - At (xh) e -щ\ {0„} V* > k0. (3.9) Thật vậy, nếu chỉ việc chỉ ra là sai thì với mỗi к > 1 tồn tại một tập mở W{xữ) e M{xữ) và
VF(x°) с -0(ж°,г) sao cho với mỗi ж € Ж(ж°) và
2 e ơ (í>fc) \5 (ж0, r) thỏa mãn
4к(*)-4к0*0 £ (3.10)
Kí hiệu s (Г2, Ak) tập các nghiệm Pareto của Ak với tập con ri của tập các điểm chấp nhận được của C(pk). Bổ đề 3.1.4 chỉ ra rằngC(pk) đóng
với mỗi K. Do tính compact của C(pk) П clB(xũ, r) và tính liên tục của
Aỵ nên s (с ipk) ndB (ж0, r) , Aỵ) Ỷ 0- Xét hai trường hợp có thể xảy ra
+ Nếu s (С (Pk) n cl В (ж0, г) , Aỵ) П w (ж5) ф 0 thì
Bz G s (С (рк) Del В (x°, r) , 4 ) n w (ж0) . Ta có 2 ẽ S(pk). Thật vậy, nếu 2 ị S(pk) thì do
z € s (c (pk) ndB (xũ, r) , Aỵ)
Trái ngược với (3.11) do г ẽ w (æ°)- Do đó, z G s ( P k ) và 2 € s (P k) П w (x°) С s (рк)
п В (ж0, г) С »S' (рк) п u. Điều này mâu thuẫn với (3.9). 4- Nếu s ( С (P k) n d В (æ°, г) , A ỵ) П w (ж0) = 0 thì với mỗi ỹ € w (ж0) \/S' ( с ( рк) n d В (ж0, г) , Ак), có một phần tử % G с ( рк) п cl В (ж0, r) thỏa mãn
Ak(zỹ)-Ak (ỹ) eR£\{0m}. (3.11)Đặt: D := {x e С (Pk) Del в (ж0, г) : Ак (X) — Ак ( 2ỹ) G — м> }. Đặt: D := {x e С (Pk) Del в (ж0, г) : Ак (X) — Ак ( 2ỹ) G — м> }.
Dễ dàng kiểm tra được rằng s (D, fx) Ф 0 và
s ( D , А к ) с s ( c ( p t ) n d В ( x \ r), A t ) .
Cho Z bất kì thuộc S (D, Ak), ta có z G s (pk). Thật vậy, nếu Z ệ s (pk) thì z € s (c (pk) ncỉB (я0, r) , Aỵ), 3y € ơ (pfc) \5 (я0, r) sao cho
(») - л (г) e —R>\ {0m}. (3.12)
Với Z € -D, (2) — Ak (Zỹ) G — м>. Kết hợp điều này với (3.12) và (3.13) , cho ta:
trái ngược với (3.11). Do đó, z £ s (Pk). Từ z £ D dẫn tới z & s ( P k ) П clB(xữ,r) С
S(pk) nu.
Điều này mâu thuẫn với (3.9). Kết hợp những điều này cho ta vấn đề cần chỉ ra.
Tiếp theo ta xét hai trường hợp: (+) Nếu {zk}k > k bị chặn (có thể đưa ra dãy con nếu cần), ta có thể giả sử zk —»• z° E Rn\B
(x°,r).
Từ tính chất đóng của с tại Po, Bổ đề 3.1.4 chỉ ra rằng z° G с (po)- Một mặt, cho к —»•
+00 trong (3.10), ta được:
Ao ự) - Ao (i°) e -R?.
Do đó, AQ (20) = Aq (ж0) với x° € s (po)-
Mặt khác, do (p0,x°) € gphS: từ Bổ đề 3.1.5 chỉ ra rằng xữ là nghiệm vô hướng hóa cho bởi ƠQ G R>. Do đó,
(3.14)
(3.15) Từ (3.15), (3.16) ta có z° = x°, mâu thuẫn với z° E Mп\в (ж°,г). (+) Nếu {zk}k > k
không bị chặn, ta có thể giả sử rằng
Chia ll^^ll trong bất đẳng thức ( в (t) :zk) < b ỵ (t ) và cho к —>■ oo, ta được (5
(í), z) < 0 Ví e T.
Một mặt, với mỗi Л > 0 ta có
(в (t), z° + Az) = (5 {t), x°) + Л (B (í), á) < òo (í) Ví G T. Nghĩa là: xữ + Xz € ơ(í>o) với mỗi Л > 0.
Mặt khác, chia ll^ll vào (3.10) và cho к +oo, ta được AQ(Z) g — м>. Do đó
AQ (X° + Xz) - A0 (x°) = XA0 (z) € —M>, VA > 0. Vậy A0 (ж0 4- Af) = A0 (ж0) với x° e ^(po)-
Cũng cách làm này, ta có thể chỉ ra rằng xữ + Xz = xữ điều này không thể xảy ra. Bổ
đề đã được chứng minh xong. □
Chứng minh định lý 3.2.1
Giả sử khẳng định của định lý là sai. Khi đó phải tồn tại một dãy {Х*)Г=1 С Mn hội tụ tới ж0, dãy {pk := (Ak, bk)}™= l và {pk := (AfcÃ)}r=i thuộc p và cùng hội tụ
tới Po sao cho VA: > 1, xk e s (Pk) và
d ( x k , s ( p k ) ) > k . d ( p k , p k ) . (3.16) Từ Bổ đề 3.2.2, 3xk G s (pk) thỏa mãn xk —¥ x° khi к —¥ oo.
Từ (3.16) chỉ ra rằng
max ịbk (t) -bỵ (í)| = I\bk -bkII < d(pk, pk) < hịxk -xk\\n VA: > 1. Dễ dàng chỉ ra rằng với mỗi к và xk Ф xk:
max ịbk (t) - bk (í)|
ở đó, ơk G м> (tương ứng ỡk G м>) sao cho xk (tương ứng xk) là một nghiệm vô hướng tương ứng, Xị > о, А* > 0, ti G Tp0 (ж0), i — 1,2, ...,71 và {5 (il),В (í„)} là các vectơ độc lập tuyến tính trong Rn. Như chứng minh Bổ đề 3.2.1 ta có thể giả sử rằng {^f}fc>fc và I hội
^ * к ^ ко
tụ tới Aj và Xị. Cho qua giới hạn của (3.18) dễ dàng chỉ ra rằng
n n
- <7 Ao = ^2 xiB (*») > - = XI *i B &)
i=1 i=l
với mỗi СГ, ỡ € R> mà ||cr||m = ||ỡ||m = 1. Từ (3.19) và Bổ đề 3.1.3 có thể kết luận rằng xữ
là nghiệm vô hướng cho bởi ơ và ỡ. Giả thiết ii) cùng với định lý Caratheodory đảm bảo rằng A j > 0, A j > 0 Vi = 1,n và {B ( t i В (ín)} là độc lập tuyến tính trong Mn.
Một mặt, vì tị € TP k (zfc) và ÿ € s (рк) с с (рк) nên với mỗi i G {1,n } và к > k ũ, thì
. xk — xk \ bỵ (tị) — Ь}. (tị) 1
Ü - H l < * (3-20)
xk -xk
Cho dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng Ti—— .. V hôi tu tới ||i* - я*||п J
2ẽl" với ||г||п = 1. Cho к —> oo trong (3.20), ta được (в (tị) ,z) < 0. Mặt khác, cách làm tương tự ta thấy rằng với mỗi ỉ e {1,n} và к > kị
(B (;ti),xk) = bk (ti),
{B {tị),xk) < bỵ (tị)
và (B ( t ị ) , z ) > 0. Ta suy ra rằng
( B ( t ị ) , z ) = 0.
Từ { В (tị), ...,B (tn)} là độc lập tuyến tính suy ra 2 = 0, mâu thuẫn. Định lý đã được chứng minh.
KET LUẠN
*
Đề tài nghiên cứu trình bày tổng quan về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại nghiệm, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình giải bài toán tối ưu vectơ tuyến tính và tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm.
Nghiên cứu ở chương 3 có được là do sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS Nguyễn Quang Huy.
Do thời gian có hạn nên chưa thể đi sâu vào nghiên cứu bài toán tối ưu nửa vô hạn mà mới chỉ tập trung nghiên cứu vào bài toán tối ưu vectơ tuyến tính với hữu hạn các ràng buộc. Chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được các ý kiến góp ý của Quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tài liêu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] PGS.TS. ĐỖ văn Lưu, PGS.TS.Phan Huy Khải (2000) , Giải tích lồi, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[B]Tài liệu tiếng Anh
[2] C.D. Aliprantis, K.c. Border (2006),Infinite Dimensional Analysis. A
Hitchhiker ’s Guider, third ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. [3] B. Brosowski (1984),Parametric semi-infinite linear programming.
I. Continuity of the feasible set and of the optimal value. Sensitivity, stability and parametric croa/ysis,,Mathemmatical Programming Study (21) 18-42.
[4] M.J. Cánovas, A.L. Dontchev, M.A. Lóper, J. Parra (2005),Metric
regularity of semi-infinite constraint systems Mathematical Programming, Series B 104 (2-3) 329 - 346.
[5] M.J. Cánovas, F.J. Gomez-Senent, J. Parra, On the Lipschitz modulus of
the Argmin mapping in linear semi-infinite optimization, Set- valued Analysis, doi: 10.1007/sll228-007-0052-x.
[6] M.J. Canovas, D. Klatte, M.A. Loper, J. Parra (2007),Metric regularity in
convex semi-infinite optimization under canonical perturbations,
SIAM Journal on Optimization 18 (3) 717-732.
[7] M.J. Canovas, M.A. Lopez, J. Para, M.I. Todorov (1999),Stability and
well-posedness in linear semi-infinite programming, SIAM Journal on Optimization 10 (1) 82-98.
continuity of the optimal value via bounds on the optimal setin linear semi-infinite optimization,Mathematics of Operations Research 31 (3) 478-489.
[9] M.J. Canovas, M.A. Lopez, J. Para, F.J. Toledo (2007),Sufficient conditions
for total ill-posedness in linear semi-infinite optimization,
European Journal of Operational Reesearch 181 (3) 1126- 1136.
[10]T.D. Chuong, N.Q. Huy, J.C. Yao,Stability of semi-infinite vector
optimization problems under functional pertubation, Journal of Global optimization, doi: 10.1007/sl0898-008-9391-x.
[11] T.D. Chuong, N.Q. Huy, J.C. Yao (2010),Pseudo- Lipschitz property of
linear semi-infinite vector optimization problems, European Journal of Operational Research 200 639-644.
[12]R. Colgen, K. Schnatz (1981),Continuity properties in semi-infinite
parametric linear optimization, Numerical Functional Analysis and Optimization 3 (4) 451-460.
[13]M.R. Davidson (1996),Lipschitz continuity of Pareto-optimal
extreme points, Vestnik Moskov. Univ. Ser. XV Vychisl. Mat. Kiber- net. (4) 41-45 (Russian).
[14] Dantzig, Goberna (1998), Linear Programming and extensions, Princeton University Press, Princeton, NJ.
[15] M.A. Goberna, M.A. Loper (1998),Linear semi-infinite optimization, John Wiley and Sons, Chichester, UK.
[16] M.A. Goberna(2005),Linear semi-infinite optimization: recent
advances, in: V. Jeyakumar, A. Rubinov (Eds.), Continuous optimization, Springer, New York, pp.3-22.
analysis in linear semi-infinite programming: perturbing cost and right-hand-side coefficients, European Journal of operational research 181
(3) 1069-1085.
[18] S. Helbig, M.I. Todorov (1998) , Unicity results for general linear
semi-infinite optimization problems using a new concept of active constraints, Applied Mathematics and optimization 38, 21-43.
[19] R. Hettich (Ed.)(1979),Proceedings of a Workshop on semi-infinite
programming, Bad Honnef, August 30-September 1, 1978, Lecture Notes in
Control and Information Sciences, vol, 15, Springer- Verlag, Berlin, New York. [20] J.B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal (1993),(7cm?;e:r Analysis and
Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin.
[21] J. Jahn (2004), Vector optimization. Theory , Application, and Extensions, Springer-Verlag , Berlin.
[22] D.T.Luc (1988),Theory of Vector Optimization, , Springer-Verlag, Erlangen, West Germany.