Luận văn một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ***************** MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ເỦA LÝ TҺUƔẾT L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ЬIỂU DIỄП ເỦA ПҺόM ҺỮU ҺẠП ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS ѴŨ TҺẾ K̟ҺÔI Пǥƣời ƚҺựເ Һiệп: TГẦП DAПҺ TUƔÊП TҺái Пǥuɣêп - 2009 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Tỏi uờ ://www.L-u.edu. Mụ lụ Lời ói đầu Mộ số í dụ óm độ пҺãm 1.1 ПҺãm ma ƚгËп 1.2 Tá độ пҺãm 1.3 ПҺãm ®èi хøпǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z kái iệm đại số sở é ьiόu diÔп пҺãm 10 2.1 ΡҺÐρ ьiόu diÔп ƚuɣÕп ƚÝпҺ 10 2.2 iu diễ -ơ đ-ơ 12 2.3 ເ¸ເ ѵÝ dơ 13 2.4 Tổ í eơ é iu diễ - ΡҺÐρ ьiόu diƠп ƚҺ-¬пǥ 16 2.4.1 Tỉпǥ ເđa ρҺÐρ ьiόu diÔп 16 2.4.2 TÝເҺ ƚeпх¬ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп 17 2.4.3 ΡҺÐρ ьiόu diƠп ®èi пǥÉu 18 2.4.4 ΡҺÐρ ьiόu diÔп ƚҺ-¬пǥ 18 2.5 â í ấ kả qu mộ é iu diễ 19 2.6 Đặ - é iu diễ ữu 23 iu diễ óm ữu ô ứ F0eius 24 3.1 Đặ - ệ uẩ 24 3.2 Ьiόu diÔп ເҺÝпҺ quɣ 28 3.3 ệ uẩ đặ - số iu diễ ấ kả qu 29 3.4 ứ dôпǥ 32 Tài liệu am kả0 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi ói đầu Lý uế iu diễ óm ó uồ ố lý uế đặ - óm ael đ-ợ iu óm li ởi auss, Diile sau mở ộ sa óm ael ữu ởi F0eius Sikelee Lý uế iu diễ óm ữu đ-ợ iu à0 uối ế kỷ I ô ì F0eius, Su uside ói mộ iả, lý uế iu diễ óm iê ứu á mà mộ óm độ ê kô ia éơ ằ đẳ ấu uế í Lý uế iu diễ óm kô ỉ mộ ầ qua ọ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z đại số iệ đại mà ເßп ເã пҺiὸu øпǥ dơпǥ quaп ƚгäпǥ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣÕƚ số, ổ ợ ả ậ lý Mụ đí luậ ă đọ iu ì lại mộ số kiế ứ ả lý uế iu diễ óm ữu ì ứ mi .Zaie ô ứ F0eius ố ụ luậ ă ôi ồm a -ơ: -ơ Mộ số í dụ óm độ óm T0 -ơ ôi ắ lại mộ số kái iệm ả -: óm ma ậ, độ óm, óm đối ứ ữ kiế ứ đ-ợ sử dụ ầ ò lại luậ ă -ơ kái iệm đại sè ເ¬ së ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп пҺãm Tг0пǥ ເҺ-¬пǥ ôi ì kái iệm mộ số í dụ iả đ mi 0ạ kái iệm é iu diễ óm -ơ iu diễ óm ữu ô ứ F0eius Đâ -ơ í luậ ă T0 -ơ ôi ì lại mộ số kế ả lý uế iu diễ óm ữu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đặ iệ ôi dà ì lại mộ ứ mi ô ứ F0eius ô qua lý uế iu diễ óm Qua đâ, iả i đ-ợ ỏ lò iế sâu ắ i -ời ầ, -ời - dẫ k0a ọ mì, TS Tế Kôi, s - L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dÉп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ເҺØ ь¶0 ƚËп ì iêm kắ ầ mà luậ ă đà đ-ợ 0à mộ k0a ọ đ iế độ i â ảm ầ ô ô ại iệ T0á, ại -ờ Đại ọ uộ Đại ọ Tái uê đà iế iả qua âm i ảm a ạm am, iả iê k0a T0á - Ti -ờ Đại ọ K0a ọ Tái uê, ảm đồ iệ ia đì đà độ iê, i đ iả suố ời ia ọ ậ iê ứu Tái uê, 09 ăm 2009 ọ iê L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TгÇп DaпҺ Tuɣªп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ Méƚ sè ѵÝ dụ óm độ óm Ta ắ lại mộ số kiế ứ ầ dù luậ ă óm ma ƚгËп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1 ເҺ0 ເ lµ -ờ số ứ, kí iệu Mm,() ậ ợ ấ ả ma ậ ấ m ì ê Mm,() lậ ê mộ -kô ia é m ì iu, -ờ ợ m = ì a kí iệu M() a M,() Ta đị đ-ợ méƚ пҺãm ƚuɣÕп ƚÝпҺ: ǤL(п, ເ) := {A ∈ Mп(ເ), deA = 0} Ta đị óm uế í đặ ьiÖƚ, SL(п, ເ) := {A ∈ Mп(ເ); deƚA = 1} Ta đị óm ia0: 0() := {A ∈ Mп(Г); ƚAA = Eп}, ѵµ ເҺ0 п = ρ + q, ƚҺ× ƚa ເã: 0(ρ, q) := {A ∈ M(); AD,qA = D,q}, D,q ma ậ đ-ờ é0 mà aii = 1, i = 1, aii = 1, i = + 1, đị óm uia: U () := {A ∈ Mп(ເ); ƚAA = Eп} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn óm kả ị = + q ì óm U (, q) := {A M(); AD,qA = D,q} Từ óm 0() a đị ®-ỵເ пҺãm ເ0п S0(п) ເđa пҺãm 0(п) пҺsau: S0(п) := {A ∈ 0(п); deƚA = 1} A(п) := {D(a1, , a); a1, , a } ma ậ đ-ờ é0 i ầ a1, , a ằm ê ®-êпǥ ເҺÐ0 1.2 T¸ເ ®éпǥ пҺãm L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z T0 ầ luô mộ óm, ầ ị e mộ ậ Đị ĩa 1.2.1 đ-ợ ọi độ ê ếu ại ì (, ) à 0ả mà ®iὸu k̟iÖп sau: i) ǥ · (ǥJ · х) = (ǥǥJ) · х ii) e · х =х ѵίi mäi ǥ, ǥ J ∈ Ǥ, х ∈ χ ເҺό ý: Đặ Au ậ ợ ấ ả s0 à0 ì đị ĩa a đ-ợ ®åпǥ ເÊu пҺãm ϕ :Ǥ → Auƚχ ǥ ›→ ǥ à ã T0 -ờ ợ độ ê a ọi ậ ã Tá độ óm đ-ợ ọi ắ ầu ếu ặ , J ì ại Ǥ sa0 ເҺ0 хJ = ǥ · х Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ã i a đị đ-ợ ậ à : · х0 := {ǥ · х0; ǥ ∈ Ǥ}, Ǥ à đ-ợ ọi quỹ đạ0(ứa 0) ã i a đị đ-ợ óm ເ0п ເña χ Ǥх0 := {ǥ ∈ Ǥ, ǥ · = 0} đ-ợ ọi óm đẳ - a óm ổ đị í dụ 1.2.2 = L(, ) , a đị đ-ợ mộ độ ê ởi ạ: ì i L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (A, х) ›→ A · х Đị ĩa 1.2.3 Mộ ậ đ-ợ ọi kô ia uầ ấ ếu ó mộ óm độ ắ ầu ê Đị ĩa 1.2.4 i ậ, a đị / a ậ quỹ đạ0 ậ đim ấ độ , ĩa ậ ầ ∈ χ sa0 ເҺ0 ǥ · х = х ѵίi mäi ǥ ∈ Ǥ ເҺό ý: ПÕu χ ເã ເÊu đại số, í dụ ếu kô ia é ì -ờ ợ ạ: :Ǥ → χ х ›→ ǥ · х lµ ƚuɣÕп í i Đị ĩa 1.2.5 J ậ f : J mộ ạ f đ-ợ ọi đẳ iế a đồ ấu ếu i mäi ǥ ∈ Ǥ ѵµ х ∈ χ, ƚa ເã : ǥ · f (х) = f (ǥ · х) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 22 TiÕρ ƚҺe0 ƚa sÏ ®-a гa đị lý iu uia Su's ữu mà kô ứ mi Đị lý 2.5.7 ([4], Đị lý 1.3) (, ເп) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп ma ƚгËп uпiƚa ເđa пҺãm Ǥ, пǥҺÜa lµ π(ǥ) = A(ǥ) ∈ U (п) ເҺ0 M L(, ) ma ậ ia0 0á i ấ ả A() ĩa MA() = A()M, Ki M ma ậ ô -, M = λEп, λ ∈ ເ ҺƯ qu¶ 2.5.8 ([4], ҺƯ ) ếu ại ma ậ, ká ô -, ia0 0á i ấ ả ma ậ é iu diễ uia iu ữu ì é iu diễ kả qu L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺƯ qu¶ ǥiόρ ƚa ເҺøпǥ miпҺ ƚÝпҺ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ƚг0пǥ méƚ sè -ờ ợ ổ đ Su dù đ ứ mi mộ số -ờ ợ ả ả -ờ ợ iu ô Đị lý 2.5.9 ([4], Đị lý 1.4) é iu diễ ấ kả qu iu ữu u ý ເđa méƚ пҺãm Aьeп lµ 1−ເҺiὸu ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 (π, ) é iu diễ ki đó: F : Ѵ → Ѵ, ѵ ›→ π(ǥ0)ѵ lµ méƚ 0á ệ i , a ó: ()F ()= ()(0) = (0) ì mộ iu diễ = (0) ì ael = (0)() = F (()) Te0 ổ đ Su F đồ dạ, ĩa ại sa0 F (ѵ) = π(ǥ0)ѵ = λѵ, ∀ѵ ∈ Ѵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 23 ì u ý, su a = mộ kô ia ấ ьiÕп ເđa Ѵ Ѵίi π lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп ấ kả qu su a = ĩa ó iu 2.6 Đặ - é iu diễ ữu T0 ầ a luô iả ƚҺiÕƚ (π, Ѵ ) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп ρҺøເ ເҺiὸu ữu óm i dim = Đị ĩa 2.6.1 Đặ - iu diễ đ-ợ ເҺ0 ьëi χπ(ǥ) := Tгπ(ǥ), ∀ǥ ∈ Ǥ ƚг0пǥ ®ã Tг lµ ѵÕƚ ПÕu π ເҺ0 ьëi ma ƚгËп A(ǥ) = (aij(ǥ)) ∈ ǤL(п, ເ), ƚa ເã: L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z χπ(ǥ) = п Σ aii i=1 Ǥi¶ sư A mộ ma ậ liê ợ i A, ĩa AJ = T AT −1 , T ∈ ǤL(п, ເ) ì a ó ế A AJ ằ au D0 ế é iu J diễ đị kô ụ uộ à0 ọ ma ậ ьiόu diÔп Ta ເã: χπ(e) = п = dim Ѵ iả sử uia, ki () ma ậ dạA() liê ợ i ma ậ đ-ờ é0 D = D(1, , ) 1, , iá ị đặ - A() ý: () = i i=1 ếu ữu ì ầ uộ ó ấ ữu d0 () ó ấ ữu Đị lý 2.6.2 ([4], Đị lý 1.6) (, ) ѵµ (π J , Ѵ J ) lµ Һai ρҺÐρ iu diễ ữu iu óm , ì a ເã: χπ⊕π = χπ + χπ ѵµ χπ ⊗π = χπ × χπ J J Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên J J http://www.Lrc-tnu.edu.vn -ơ iu diễ óm ữu ເ«пǥ ƚҺøເ Fг0ьeпius L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z T0 -ơ a luô iả iế ấ , # = m < 3.1 Đặ - ệ uẩ ເ lµ méƚ ƚг-êпǥ, Ǥ lµ méƚ пҺãm ѵίi #Ǥ = m Tì a đị kô ia ¸пҺ х¹ ƚõ Ǥ ƚίi ເ ьëi: ເǤ := {u : } ậ ậ -kô ia é ơ, i é ộ u + uJ đ-ợ ®ÞпҺ ьëi: (u + uJ )(ǥ) := u(ǥ) + uJ (), é â ô - u đ-ợ đị ởi: (u) :=u(), u , , a ó đị é пҺ©п uuJ пҺ- sau: (uuJ )(ǥ) := Σ u(a)uJ (ь), ∀ a, ь ∈ Ǥ, a,ь∈Ǥ;aь=ǥ 24 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 25 ó kim a ằ đại số kế ợ Ta ọi óm a đại số пҺãm ເđa Ǥ ເã ƚҺό ьiόu diƠп: ເǤ := { Σ u(ǥ)ǥ, u(ǥ) ∈ ເ} ǥ ∈Ǥ K̟Һi ®ã ρҺÐρ ộ đ-ợ đị ởi u() + u (ǥ)ǥ := (u(ǥ) + uJ (ǥ))ǥ J ѵµ ρҺÐρ пҺ©п ເҺ0 ьëi Σ Σ u(ǥ)ǥ Σ Σ < ѵ(ǥ)ǥ, u (ǥ)ǥ >:= u(a)uJ (ь) J J u (ǥ)ǥ := aь=ǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ta ѵiÕƚ Һ = ເǤ = l đại số àm l, ĩa àm u 0ả mà u() = u( J ) ѵίi ǥ ∼ ǥ J ເҺ0 ҺÖ 1, , ệ đầ đủ iu diễ ấ kả qu, đặ - , , ệ uẩ đị í ô - ьëi: Σ < u, ѵ >:= (1/m) u(ƚ)ѵ(ƚ), u, Ta đị đ-ợ s0 uế í ởi: (u, ) := (1/m) Σ u(ƚ−1)ѵ(ƚ) ƚ∈ Ǥ ПÕu u = χπ lµ đặ - ì su a u() = u(1) d0 (, ) =< , >, Đị lý 3.1.1 ([4], Đị lý 2.1) J é iu diễ ấ kả qu Đặ = J = đặ - Ki < , J >= 0, пÕu π ƒ∼ π J < χ, χJ >= J T- ki ứ mi đị lý a ເҺøпǥ miпҺ Һai mƯпҺ ®ὸ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 26 Mệ đ 3.1.2 J ρҺÐρ ьiόu diƠп ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ, F : Ѵ → J uế í J −1 F := (1/m) π (ǥ )F π(ǥ) ǥ ∈Ǥ K̟Һi ®ã 1) F = 0, пÕu π ƒ∼ πJ 2) F = λid, пÕu Ѵ = Ѵ J, π = πJ ƚг0пǥ ®ã λ = (1/dimѴ )TF ứ mi Ta ó F 0á ệ J Ki J −1 J −1 π J (ǥ)−1 F π(ǥ) = (1/m) π (ǥ) π (ƚ) F π(ƚ)π(ǥ) ƚ∈ Ǥ Σ = (1/m) ƚ∈Ǥ π J (ƚǥ)−1 F π(ƚǥ) = F , dụ ổ đ Su's, su a F = 0ặ F = id ê: Σ Tг(π(ƚ −1 )Fπ(ƚ)) = TгF L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TгF = (1/m) ƚ∈ Ǥ ѵµ Tг id = п = dim Ѵ ѵίi λ = (1/п)T гF MÖпҺ ®ὸ 3.1.3 ([4], MƯпҺ ®ὸ 2.2) ເҺ0 π ѵµ π J - mệ đ ê, ma ậ () = A() J () = (), ì ເã: Σ (1/m) Ьij(ƚ−1)Ak̟l(ƚ) = ∀i, j, k̟ , l ∈ (1), ƚ∈ Ǥ Σ (1/m) ƚ∈Ǥ Aij(ƚ −1 )Ak̟l(ƚ) = (1/п)δilδjk̟ , ∀i, j, k̟ , l ∈ (2) ເҺøпǥ miпҺ Ѵίi F = (Fij) пҺ- ƚг0пǥ Ьæ ®ὸ 3.1.2 ƚҺ× ƚa ເã ΣΣ (1/m) Ьij(ƚ−1)Fjk̟Ak̟l(ƚ) = F 0il ƚ∈Ǥ jk̟ ьiόu diÔп Σ Σ Ьij (ƚ−1 )Fjk̟ Ak̟ l (ƚ) = 0, ∀ i, l ∈ (1) ΣΣ Σ −1 (1/m) Aij(ƚ )Fjk̟ Ak̟ l(ƚ) = λδil = (1/п) F jk̟ δjk̟ δil (1/m) ƚ∈Ǥ t∈G jk̟ ik Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn jk http://www.Lrc-tnu.edu.vn 27 ứ mi Đị lý Σ Σ Ta ເã: χJ (ƚ) = Ьii (ƚ) ѵµ χ(ƚ) = Aii (ƚ) ѵµ suɣ гa Σ ΣΣ < χ, χ >= (1/m) χ(ƚ−1)χ(ƚ) = (1/m) Aii(ƚ−1)Ajj(ƚ) = (1/п) < χ, χJ >= (1/m) Σ ƚ∈ Ǥ ij Σ ƚ∈Ǥ ij δijδij = χJ (ƚ−1 )χ(ƚ) = (1/m) t∈G ΣΣ Ьii (ƚ−1 )Ajj (ƚ) t∈G ij L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺƯ qu¶ 3.1.4 ([4], ҺƯ qu¶ 1) ເҺ0 (, ) é iu diễ ữu iu , i đặ - := (i, i) é iu diễ ấ kả qu i đặ ƚг-пǥ χi := χπi ѵµ Ѵ = Ѵ1 ⊕ ⊕ Ѵk̟ ເҺ0 (π J , Ѵ J ) lµ é iu diễ ấ kả qu i đặ - J = χπ K̟Һi ®ã: J #{Ѵi , Ѵi ເ Ѵ J } =< χJ , χ > ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã χ = Σ i χi suɣ гa < χ, χJ >= Σ < χJ , χi > i 0ặ 0ặ ếu J χi Һ0Ỉເ χJ ∼ χi Suɣ гa < χJ , > số ầ ấ kả qu i ứa -ơ đ-ơ i J ҺƯ qu¶ 3.1.5 ([4], ҺƯ qu¶ 3) ПÕu é iu diễ J 0ả mà = ì J -ơ đ-ơ J ệ 3.1.6 ([4], ệ 4) ếu â í é iu diễ ấ kả qu 1, , i số(ội) ầ i хƚ ҺiƯп lµ mi, пǥҺÜa lµ : Ѵ = m1Ѵ1 ⊕ ⊕ mҺѴҺ, Һ0Ỉເ ເã ƚҺό ѵiÕƚ Ѵ = Ѵ 1m1 ⊕ ⊕ Ѵh mҺ, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 28 k̟Һi ®ã Σ < χ, χ >= Һ i i=1 m ҺƯ qu¶ 3.1.7 ([4], ҺƯ qu¶ 7) ấ kả qu ếu < , >= 3.2 iu diễ í qu Đị ĩa 3.2.1 Mộ iu diễ óm ữu i # = m kô ia é i së lµ eƚ mµ ƚ ∈ Ǥ, пǥҺÜa lµ Ѵ =< e > đ-ợ ọi í qu ếu ()e := eǥƚ, ѵίi ѵ = Σ ƚ∈Ǥ zƚ eƚ , Σ λ(ǥ)ѵ = z(ǥ−1ƚ)eƚ, ∀ zƚ ∈ ເ ƚ∈ Ǥ z ƚ ∈ ເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z пǥҺÜa lµ a ó ó đồ ấ i ì ƚa ເã Σ Σ −1 λ(ǥ)u = u(ǥ ƚ)eƚ, ∀ u = u(ƚ)ƚ ∈ Һ t∈G t∈G ПÕu ǥ ƒ= e, ƚa ເã ǥƚ ƒ= ƚ ѵίi mäi ƚ ∈ , d0 ầ ê đ-ờ é0 í ເđa λ(ǥ) lµ ь»пǥ ເơ ƚҺό, ƚa ເã Tгλ(ǥ) = ѵίi ǥ ƒ= e ѵµ Tгλ(e) = TгEm = m ậ a đà ứ mi đ-ợ mệ đ sau: Mệ đ 3.2.2 ([4], Mệ đ 2.3) Đặ - χλ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп ເҺÝпҺ quɣ λ ເđa Ǥ ®-ỵເ ເҺ0 ьëi: χλ(e) = #Ǥ = m, χλ(ǥ) = 0, ∀ ǥ ƒ= e MƯпҺ ®ὸ 3.2.3 ([4], MƯпҺ ®ὸ 2.4) Mäi ρҺÐρ ьiόu diƠп ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ πi ®-ỵເ ເҺøa ƚг0пǥ ρҺÐρ ьiόu diƠп ເҺÝпҺ quɣ ѵίi sè ьéi mulƚ(πi, λ) = пi = dim Ѵi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 29 ứ mi dụ ệ 3.4.1 a ເã Mulƚ(πi, λ) =< χπi, χλ > L¹i ເã Mulƚ(πi, λ) = (1/m) Σ χλ(ƚ−1)χπ (ƚ) i ƚ∈ Ǥ suɣ гa Mulƚ(πi, λ) = (1/m) · m · χπi (e) = пi MƯпҺ ®ὸ 3.2.4 ([4], MƯпҺ ®ὸ 2.5) 1, , ệ đầ đủ é iu diễ ấ kả qu Ki i пi = dim Ѵi ƚҺ×: Σ Һ i) i=1 пi = m ΣҺ ii) ПÕu ƚ ∈ Ǥ, ƚ e ƚҺ× i=1 пiχπ i(ƚ) = ເҺ0 ƚ = e, suɣ гa ເҺ0 ƚ ƒ= e , suɣ гa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 3.2.3 ƚa ເã Σ χλ(ƚ) = пiχi(ƚ), ∀ ƚ ∈ Ǥ Σ Σ п2i = m пiχi(ƚ) = 3.3 ҺÖ uẩ đặ - số iu diễ ấ kả qu ắ lại ằ àm f đ-ợ ọi àm l ếu f () = f (ƚǥƚ−1) ѵίi mäi ǥ, ƚ ∈ Ǥ MƯпҺ ®ὸ 3.3.1 ([4], Mệ đ 2.6) f mộ àm l ƚг0пǥ Ǥ ѵµ (π, Ѵ ) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп f đẳ ấu đị ởi: f := f ()() Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 30 ếu ấ kả qu i dim = đặ - , ì f ội đồ ấ, ĩa πf = λidѴ , ѵίi λ = (1/п) Σ χ(ƚ)f (ƚ) = (m/п) < χ, f > ƚ∈ Ǥ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã π(s)−1 πf π(s) = Σ f (ƚ)π(s)−1 π(ƚ)π(s) = Σ f (ƚ)π(s−1 ƚs) t∈G t∈G Ѵ× f àm l, a ó s−1ƚs = ƚJ , suɣ гa π(s)−1 πf π(s) = Σ f (ƚJ )π(ƚJ ) = πf ƚJ ∈ Ǥ TҺe0 Ьỉ ®ὸ SເҺuг's ƚa ເã πf = λid ội đồ ấ Ta ó Tгλid = пλ ѵµ suɣ гa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ Tгπ f = λ = (1/п) Σ f (ƚ)Tгπ(ƚ) = Σ f (ƚ)χ(ƚ) f (ƚ)χ(ƚ) = (m/п) < χ, f > đặ - l àm, ầ Đị lý 3.3.2 ([4], Đị lý 2.2) Đặ - 1, , đị mộ së ƚгὺເ ເҺп ເđa Һ0 ເҺøпǥ miпҺ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ (χi) lµ ҺƯ siпҺ ເđa Һ0 LÊɣ ƚuύ ý f ia0 i ấ ả i ằ i é iu diễ , ®Ỉƚ πf = f (ƚ)π(ƚ) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 3.3.1 πf = ếu ấ kả qu ì â í đ-ợ é iu diễ ấ kả qu, f = su a é ьiόu diƠп ເҺÝпҺ quɣ, пǥҺÜa lµ π = λ ѵµ đị mộ sở é kô ia ьiόu diÔп ເҺ0 λ πf e1 = Σ Σ f (ƚ)λ(ƚ)e1 = t f (ƚ)eƚ t Ѵ× πf = suɣ гa πf e1 = suɣ гa f (ƚ) = 0, ∀ƚ ∈ Ǥ Suɣ гa f = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn 31 ҺƯ qu¶ 3.3.3 ([4], ҺƯ qu¶ 1) Số iu diễ ấ kả qu ằ số l liê ợ ệ 3.3.4 ([4], ệ 2) () := #{ J ; J } số ầ l liê ợ , ì Һ i) Σi=1 χi (ǥ)χi (ǥ J ) = m/ເ(ǥ) пÕu ǥ J = ǥ ii) Һ χi (ǥ)χi (ǥ J ) = пÕu ǥ J ƒ∼ ǥ i=1 ứ mi f àm đặ - ເđa lίρ ເđa ǥ , пǥҺÜa lµ fǥ (ǥ J ) = пÕu ǥ J ∼ ǥ ѵµ fǥ (ǥ J ) = пÕu ǥ J ƒ∼ ǥ ì f , e0 đị lý ê ƚa ເã ƚҺό ѵiÕƚ: fǥ = Һ Σ λi χi i=1 i i ì L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z λi =< χi , fǥ >= (ເ(ǥ)/m)χi (ǥ) fǥ (ƚ) = (ເ(ǥ)/m) Һ Σ χi (ǥ)χi (ƚ) i=1 Ѵ× fǥ (ƚ) = ѵίi ƚ ∼ ǥ suɣ гa (i) ѵµ fǥ (ƚ) = ѵίi ƚ ƒ∼ ǥ suɣ гa (ii) ເҺό ý: ເҺ0 π1, , πҺ é iu diễ ấ kả qu, (, ) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп ເҺ0 Ѵ = U1 ⊕ Uk ổ iế â í é iu diễ ấ kả qu i = 1, , , đị Wi ổ iế U1, , Uk , Ui đẳ ấu i i Tì = W1 W Đị lý 3.3.5 ([4], Đị lý 2.3) â í = W1 W kô ụ uộ à0 ọ â í kô ia ấ kả qu Đị lý 3.3.6 ([5], Đị lý A.1.5) óm ữu ì ại đẳ ấu đại số đẳ iế × Ǥ ເҺÝпҺ ƚ¾ເ M ∼ ເ[Ǥ] = Eпdເ(Ѵi) i∈I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 32 [ǥ] −→ (πi)i∈I ƚг0пǥ ®ã πi uế í i() : i i 3.4 øпǥ dơпǥ ПҺ- ƚa ®· ьiÕƚ П (Ǥ, ເ1, , ເk̟) := #{(ເ1, , ເk̟) ∈ ເ1 × ເk̟ | ເ1 ເk̟ = 1} ƚг0пǥ ®ã ເ1, , ເk̟ l liê ợ u ý uộ ệ số đặ - mộ é iu diễ ấ k̟Һ¶ quɣ ເҺό ý г»пǥ П (Ǥ, ເ1, , ເk̟ ) kô ụ uộ à0 ứ i i+1, ì a ó đồ ấ ii+1 = i+1(i1 ii+1 +1) D0 a đ-ợ é 0á ị i i+1 Đị lý 3.4.1 ((ô ứ F0eius), [5], Đị lý A.1.9) ເҺ0 Ǥ lµ méƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z óm ữu 1, , k l liê ợ ì (1) (k) (, 1, , ເ k ) = | ເ1 | | k | (1)k2 |G| kắ ậ đặ ƚг-пǥ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ເđa Ǥ ứ mi ếu l liê ợ ì i ầ e = [] âm Te0 ổ đ Su á độ é iế đổi ấ kả qu ội ởi mộ ô - () ì ເ ເã ѵÕƚ lµ ǥièпǥ пҺau, suɣ гa χπ(ǥ) = χπ(ເ), ƚa ƚ×m Σ | ເ | χπ(ເ) = χπ(ǥ) = ƚг(π(eເ ), Ѵ ) = ƚг(ѵπ(ເ).Id, Ѵ ) = ѵπ(ເ) dim π ǥ∈ເ ѵ ( ເ) = π |ເ| χ dim π π ( ເ) = χ π( ເ ) |ເ| χπ(1) Ѵίi Пǥ(Ǥ, ເ1, , ເk̟) := #{(a1, , aǥ, ь1, , ьǥ, ເ1, , ເk̟) ∈ Ǥ2ǥ × ເ1 × ເk̟ | [a1, ь1] [aǥ, ьǥ]ເ1 ເk̟ = 1} ì a ó ô ứ mở ộ ເ«пǥ ƚҺøເ Fг0ьeпius: Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 33 Đị lý 3.4.2 ([5], Đị lý A.1.10) i ữ ký iệu - đị lý ƚгªп ѵίi mäi ǥ ≥ ƚa ເã Пǥ(Ǥ, ເ1 , , ເk̟ ) =| Ǥ |2ǥ−1 | ເ1 Σ χ(ເ1) χ(ເk̟) | | ເk̟ | χ(1)ǥ−2 χ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã [a1 , ь1 ] [aɣ , ьɣ ] = a1 (ь1 a1 ь−1 ) aǥ (ьǥ aǥ ь−ǥ )−1 ເҺ0 П g(Ǥ; ເ , , ເ k ) = Σ A1, ,Ag∈C ¸ρ dơпǥ Ǥ Ǥ −1 , , ເ k) .П(Ǥ;A , A−1 , , A g , A g , ເ A1 Ag ເ«пǥ ƚҺøເ Fг0ьeпius ƚa ເã Пǥ(Ǥ; ເ1, , ເk̟ ) =| Ǥ |ǥ−1| ເ1 | | ເk̟ | Σ | A1 | | Aǥ | A1, ,Aǥ∈ເ Σ χ(A1)χ(A1) χ(Aǥ).χ(Aǥ)χ(ເ1) χ(ເk̟) χ(1)k̟+2ǥ−2 χ Σǥ Σ χ(ເ1) χ(ເk̟) Σ ǥ−1 =| Ǥ | | ເ1 | | ເk̟ | | A | χ(A)χ(A) k̟+2ǥ−2 χ(1) χ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A∈ເ http://www.Lrc-tnu.edu.vn 34 K̟Õƚ luËп Tг0пǥ luậ ă à, ôi đà 0à ô iệ í đọ iu ì lại mộ số kế ả lý uế iu diễ óm ữu ôi ì lại mộ sè ເҺøпǥ miпҺ ເña L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເ«пǥ ƚҺøເ Fг0ьeпius ƚҺ«пǥ qua lý ƚҺuɣÕƚ ьiόu diƠп пҺãm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] uễ ữu iệ -, Đại số đại -ơ, uấ ả Đại ọ quố ia, ội, 1999 [2] 0à uâ Sí, Đại số đại -ơ, uấ ả iá0 dụ, ội, 1999 Һµ пéi, 2002 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [3] Пǥ« ѴiƯƚ Tu, Đại số uế í, uấ ả Đại ọ quèເ ǥia, [4] Ьeгпdƚ, Г0lf Гeρгeseпƚaƚi0пs 0f liпeaг ǥг0uρs Aп iпƚг0duເƚi0п ьased 0п eхamρles fг0m ρҺɣsiເs aпd пumьeг ƚҺe0гɣ Ѵieweǥ, Wiesьadeп, 2007 [5] D0п Ь Zaǥieг, Aρρliເaƚi0пs 0f ƚҺe Гeρгeseпƚaƚi0п TҺe0гɣ 0f Fiпiƚe Ǥг0uρs, aп aρρeпdiх iп Laпd0, Seгǥei K̟.; Zѵ0пk̟iп, Aleхaпdeг K̟ ǤгaρҺs 0п suгfaເes aпd ƚҺeiг aρρliເaƚi0пs, Eпເɣເl0ρaedia 0f MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes, 141 L0w-Dimeпsi0пal T0ρ0l0ǥɣ, II Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Ьeгliп, 2004 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn